Сопоставление этого выражения с (1.25) дает, что

, , . (1.26)

Таким образом, компоненты ускорения равны вторым производным соответствующих координат по времени.

При движении в одну и туже сторону по прямолинейной траектории скорость изменяется только по модулю. Следовательно, ускорение должно определяться значением -производной модуля скорости по времени.

 

ЛЕКЦИЯ 2

КИНЕМАТИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

При вращении твердого тела все его точки движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения. Окружности, по которым движутся точки тела, лежат в плоскостях, перпендикулярных к этой оси.

Быстроту вращения естественно характеризовать углом, на который поворачивается тело в единицу времени. Если за равные, сколь угодно малые промежутки времени Dt тело поворачивается на одинаковые углы Dj, вращение называется равномерным. Пусть равномерно вращающееся тело поворачивается за время t на угол j. Тогда величина

(2.1)

определит угол поворота в единицу времени. Эту величину называют угловой скоростью тела (точнее, эта величина есть модуль угловой скорости, сама угловая скорость – вектор). При неравномерном вращении выражение (1.1) дает среднее значение угловой скорости за промежуток времени t. Мгновенное значение угловой скорости определяется выражением

(2.2)

где Dj - угол, на который поворачивается тело за время Dt.

Чтобы охарактеризовать не только быстроту вращения, но также и ориентацию оси вращения в пространстве и направление вращения, вводят векторную величину w, модуль которой определяется формулой (2.2). Направлен вектор w вдоль оси вращения, причем так, что направление вращения и направление w образуют правовинтовую систему: если смотреть вслед вектору w, вращение представляется происходящим по часовой стрелке (рис.2.1). Определенная таким образом векторная величина w называется угловой скоростью тела. Поскольку направление угловой скорости определяется условно, w является псевдовектором. Единицей угловой скорости служит радиан в секунду (рад/с).

Изменение угловой скорости со временем характеризуется векторной величиной

e===, (2.3)

которая называется угловым ускорением. Как и угловая скорость, угловое ускорение является псевдовектором.

Если направление оси вращения в пространстве не изменяется, вектор w может изменяться только по модулю. В этом случае векторы w и e коллинеарны, причем направлены в одну и ту же сторону, если вращение ускоренное, и в противоположные стороны, если вращение замедленное.

При неизменном направлении оси вращения модуль углового ускорения определяется формулой

e= (2.4)

(модуль вектора всегда положителен, производная же dw/dt может быть как положительной, так и отрицательной). Нетрудно сообразить, что сама производная dw/dt представляет собой проекцию углового ускорения на направление угловой скорости:

(2.5)

Отметим, что при поворотах оси вращения угловое ускорение e отлично от нуля даже в том случае, когда dw/dt=0.

Угловое ускорение измеряется в радианах в секунду за секунду (рад/с²).

Найдем связь векторов w и e с величинами v и а, которые, чтобы отличить от угловых называют линейными скоростью и ускорением. Из рис. 2.1 следует, что точка тела, отстоящая от оси вращения на расстоянии R, при повороте тела на угол Dj проходит путь Ds=RDj. Разделив Ds на время Dt, за которое произошел поворот тела на угол Dj, и осуществив предельный переход, получим модуль линейной скорости точки:

.

Таким образом, мы нашли связь между модулями линейной и угловой скоростей:

v=wR (2.6)

Будем определять положение точек тела с помощью радиус-вектора r, проведенного из точки О, лежащей на оси вращения. На рис. 2.2 видно, что R=r sinb. Подстановка этого значения в (2.6) дает

v=wrsinb

Это равенство и показанные на рис. 2.2 взаимные направления векторов w, r, и v дают основание представить v в виде векторного произведения w на r:

v= (2.7)

Движение по криволинейной траектории

При равномерном движении по криволинейной траектории =0, так что скорость изменяется только по направлению. Легко сообразить, что направление скорости будет изменяться тем быстрее, чем больше кривизна траектории и чем быстрее движется частица.

Представив скорость в виде

v=ve_v (2.8)

(e_v-орт скорости v), рассмотрим два частных случая; 1) движение по прямолинейной траектории и 2) равномерное движение по окружности.

1. При прямолинейном движении e_v=const, изменяется только v, поэтому

а=е_v (2.9)

Из этого выражения следует, что в случае, когда скорость со временем увеличивается (т.е. ), ускорение направлено так же, как скорость, а модуль ускорения равен . Если же скорость со временем уменьшается (т.е. <0), направление ускорения противоположно направлению скорости, а модуль ускорения равен (напомним, что модуль вектора должен быть положительным).

2. При равномерном движении по окружности v=const, изменяется только е_v, поэтому

а=v. (2.10)

Из рис.2.3 следует, что за время Dt орт скорости поворачивается на угол Dj=vDt/R и получает приращение Dе_v. По определению производной

. (2.11)

При Dt®0 будет стремиться к нулю и угол Dj. Поэтому, заменив хорду АВ на рис.2.3 б соответствующей дугой, можно положить |Dе_v| приближенно равным Dj (напомним, что стороны треугольника ОА и ОВ равны единице). При Dt®0 отношение хорды к дуге будет стремиться к единице.

Приняв |Dе_v|»Dj, можно написать, что Dе_v»Dj×n^I, где n^I-единичный вектор, имеющий такое же направление, как и Dе_v. При предельном переходе этот единичный вектор превращается в n– орт нормали к траектории в той точке, в которой была частица в момент t. Подставив полученное значение Dе_v в формулу (2.11) и приняв во внимание, что Dj=vDt/R, получим

.

Как мы и предполагали, быстрота поворота вектора скорости (т.е. поворота е_v) оказалась пропорциональной модулю скорости и кривизне траектории. (В случае окружности кривизна траектории характеризуется величиной, обратной радиусу.)

Подставив найденное значение в формулу (2.9), получим, что

а_n= (2.12)

Таким образом, при равномерном движении по окружности ускорение определяется выражением (2.12). Направлено ускорение по нормали к скорости. Поэтому его называют нормальным ускорением и в обозначении его ставят индекс n.

Каждой точке произвольной искривленной линии можно сопоставить окружность, которая сливается с линией на бесконечно малом участке (рис.2.4).

Радиус этой окружности характеризует кривизну линии в данной точке и называется радиусом кривизны.

Если частица движется равномерно по произвольной криволинейной траектории, ускорение также определяется формулой (2.12), причем под r подразумевается радиус кривизны траектории в той точке, где находится в данный момент частица.

При неравномерном движении частицы по криволинейной траектории оба множителя в формуле (2.8) изменяются со временем. Применив правило дифференцирования произведения двух функций, получим выражение

а=,

из которого следует, что в общем случае ускорение распадается на два слагаемых. Одно из них, как мы выяснили ранее, коллинеарно скорости и, следовательно направлено по касательной к траектории. Поэтому его называют тангенцальным (т.е. касательным) ускорением и обозначают а_i. Второе является нормальным ускорением.

Итак,

а=а_i+а_n= (2.13)

(обычно вместо е_v пишут i - орт касательной, однако мы предпочитаем писать е_v, чтобы подчеркнуть, что это орт скорости). Первое слагаемое характеризует быстроту изменения модуля скорости. Второе слагаемое – быстроту изменения направления скорости.

Составляющие а_i и а_n перпендикулярны друг к другу. Поэтому квадрат модуля ускорения равен сумме квадратов модулей составляющих

а=. (2.14)