рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Точки во внешнем силовом поле

Точки во внешнем силовом поле - раздел Экономика, Кинематика материальной точки Сопоставим Каждой Точке Поля Консервативных Сил Значение Некоторой Функции Ко...

Сопоставим каждой точке поля консервативных сил значение некоторой функции координат Ер(x,y,z), которую определим следующим образом. Произвольно выбранной точке О припишем значение функции Ер0, взятое также произвольно. Значение функции в любой другой точке В положим равным сумме Ер0 и работы АВ0, совершаемой силами поля при перемещении частицы из точки В в точку О:

ЕрВр0В0 (5.6)

Поскольку работа АВ0 не зависит от пути, значения функции ЕР во всех точках поля определяются однозначно. Функция (5.6) имеет, как и кинетическая энергия Ек, размерность работы и называется потенциальной энергией частицы во внешнем силовом поле.

Образуем разность значений потенциальной энергии для точек 1 и 2 (рис.5.5). Согласно формуле (5.6)

Ер1р2=(Ер010)-(Ер020)=А10201002

(мы воспользовались тем, что А20=-А02). Правая часть полученного соотношения дает работу, совершаемую над частицей силами поля на пути из точки 1 в точку 2, проходящем через точку О. Вследствие независимости работы от формы пути такая же работа А12 совершается на любом другом пути. Следовательно, мы приходим к выводу, что работа консервативных сил равна разности значений функции Ер в начальной и конечной точках пути, т.е. убыли потенциальной энергии:

А12р1р2. (5.7)

Из (5.6) следует, что потенциальная энергия определяется с точностью до неизвестной аддитивной постоянной Ер0. Однако это не имеет никакого значения, так как во все физические соотношения входит либо разность значений потенциальной энергии в двух точках, либо производная функции Ер по координатам.

Ранее мы нашли, что работа силы тяжести равна

А12=mgh1-mgh2 (5.8)

Сопоставление формул (5.6) и (5.7) дает, что потенциальная энергия частицы массы m в поле сил тяжести определяется выражением

Ер=mgh, (5.9)

где h отсчитывается от произвольного уровня.

В отличие от кинетической энергии, которая всегда положительна, потенциальная энергия может быть как положительной, так и отрицательной. Если, например, h отсчитывать от поверхности Земли, то потенциальная энергия частицы, лежащей на дне ямы глубины l, будет равна –mgl (подчеркнем, что l>0, ибо глубина, как и длина, не может быть отрицательной).

Пусть частица движется в поле консервативных сил. При переходе из точки 1 в точку 2 над ней совершается работа (5.5). В соответствии с формулой (4. ) эта работа равна приращению кинетической энергии частицы. Приравняв оба выражения для работы, получим соотношение Ер1р2к2к1, из которого следует, что

Ек1р1к2р2. (5.10)

Величина Е, равная сумме кинетической и потенциальной энергий, называется полной механической энергией частицы. Формула (5.10) означает, что Е12, т.е. что полная механическая энергия частицы, движущейся в поле консервативных сил, остается постоянной. Это утверждение выражает закон сохранения механической энергии для системы, состоящей из одной частицы.

В случае поля силы тяжести полная энергия определяется выражением

Е= (5.11)

Кинетическая и потенциальная энергии могут переходить друг в друга. Однако, если на частицу не действуют никакие силы, кроме обусловивших потенциальную энергию консервативных сил, полная энергия остается постоянной. Пусть частица свободно падает с высоты h. Первоначально ее кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная энергия равна mgh. Формулы кинематики дают для скорости в конце падения значение v=Следовательно, в конце падения кинетическая энергия частицы равна

Ек=

Потенциальная же энергия в конце падения равна нулю. Таким образом, потенциальная энергия превратилась в эквивалентное количество кинетической энергии.

Если известно выражение Ер(x,y,z) для потенциальной энергии, можно найти силу, действующую на частицу в каждой точке поля. Пусть частица переместилась параллельно оси х, вследствие чего координата х получила приращение dx. При этом силы поля совершают над частицей работу dA=Fds=Fxdsx; в данном случае dsy и dsz равны нулю. Проекция перемещения ds на ось х равна dx; поэтому dA=Fxdx. Вместе с тем согласно формуле (3.30) эта работа равна убыли потенциальной энергии: dA=-dEp. Приравняв оба выражения для работы, найдем, что Fxdx=-dEp, откуда

Fx=-.

Мы написали дЕр/дх вместо dEp/dx, чтобы отметить то обстоятельство, что производная по х вычисляется при условии, что координаты y и z остаются постоянными. Производная, вычисленная при этом условии, называется частной. Таким образом, компонента силы по оси х равна взятой с обратным знаком частной производной потенциальной энергии по переменной х. Для компонент силы по осям y и z получаются аналогичные выражения. Следовательно. Мы приходим к соотношениям

Fx=- Fy=- Fz=- (5.12)

Учитывая, что сумма произведений компонент силы на соответствующие орты координатных осей дает вектор силы:

F=Fxex+Fyey+Fzez=- (5.13)

Вектор с компонентами где j - скалярная функция координат х, у, z, называется градиентом функции j и обозначается символом grad j:

grad j=ex+eyez. (5.14)

Направление вектора grad j совпадает с направлением оси l, вдоль которой функция j возрастает с наибольшей скоростью, а модуль равен dj/dl, т.е. скорости возрастания функции j при перемещении вдоль оси l. В этом проще всего убедиться на примере функции, зависящей только от одной координаты, скажем х. Для такой функции

grad j=ex

В этом случае осью l является ось х, если dj/dx>0, либо ось, противоположная оси х, если dj/dl<0. Модуль же grad j равен I dj/dx I, т.е. dj/dl.

Выражение (3.37) можно рассматривать как результат действия на функцию j оператора

ехеуеz, (5.15)

который называется оператором Гамильтона или оператором набла. Поэтому градиент функции j можно представить в виде j:

grad jºj.

Из сравнения выражений (5.13) и (5.14) заключаеи, что

F=-grad Ep, или F=-Ep. (5.16)

Таким образом, консервативная сила равна градиенту потенциальной энергии частицы, взятому с обратным знаком.

Если система состоит из N не взимодействующих друг с другом частиц, находящихся в поле внешних консервативных сил, то потенциальная энергия этой системы равна сумме потенциальных энергий отдельных частиц:

Ер= (5.17)

Здесь Ерi – потенциальная энергия i – й частицы. Функция Ер зависит от координат всех N частиц. Сила Fi, действующая на i – ю частицу, равна -Ерi.

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Кинематика материальной точки

Кинематика материальной точки Механическое движение Материальной точкой называют тело.. Продифференцировав соотношение по времени получим..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Точки во внешнем силовом поле

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Механическое движение
Движением в широком смысле слова называется всякое изменение вообще. Простейшей формой движения является механическое движение, которое заключается в изменении с течением времени положения тел или

Скорость
Рассмотрим движение частицы (т.е. материальной точки) по некоторой траектории. Если за равные, сколь угодно малые промежутки времени Dt частица проходит одинаковые пути Ds, движение части

Сравнение выражений (1.9) и (1.10) приводит к соотношениям
(1.11) Таким обра

В математике выражение вида
s=, (1.16) составленное для значений х, заключенных в пределах от а до b, называют определенным интегралом от функции f(x), взятым

Ускорение
Чтобы охарактеризовать изменение скорости частицы со временем, используется величина а=limDt®0

Сопоставление этого выражения с (1.25) дает, что
, , . (1.26) Таки

Поступательное движение твердого тела
    Поступательным н

Инерциальные системы отсчета. Закон инерции
Мы уже отмечали, что относительно разных систем отсчета движение имеет неодинаковый характер. Например, относительно вагона точка на ободе колеса движется по окружности, в то время как относительно

Сила и масса
Для того чтобы сформулировать второй закон Ньютона, нужны понятия силы и массы. Силой называется векторная величина, характеризующая воздействие на данное тело со стороны других тел. Модуль этой ве

Второй закон Ньютона
Второй закон Ньютона утверждает, что скорость изменения импульса частицы равна действующей на частицу силе F:

Единицы и размерности физических величин
Измерить какую-либо величину означает найти ее отношение к величине такого же вида, принятой за единицу. Для каждой физической величины можно было бы установить единицу произвольно, незави

Сила тяжести и вес
Вблизи поверхности Земли все тела падают с одинаковым ускорением, которое называют ускорением свободного падения и обозначают буквой g.Отсюда вытекает, что в системе отсчета

Упругие силы
    Под действием внешних сил возникают дефо

Силы трения
Трение подразделяется на внешнее и внутреннее. Внешнее трение возникает при относительном перемещении двух соприкасающихся твердых тел (трение скольжения) или при попытках вызвать такое перемещение

Сохраняющиеся величины
Совокупность тел, выделенных для рассмотрения, называется механической системой. Тела системы могут взаимодействовать как между собой, так и с телами, не входящими в систему. В соответствии

Энергия и работа
Понятия энергии и работы широко используются в повседневной жизни. Эти понятия тесно связаны друг с другом. Например, говорят об энергичном или работоспособном человеке. Само слово «энергия» происх

Кинетическая энергия и работа
Рассмотрим простейшую систему, состоящую из одной материальной точки (частицы) массы m, движущейся под действием сил, результирующая которых равна F. Напишем уравнение движения час

Потенциальная энергия взаимодействия
Рассмотрим систему, состоящую из двух взаимодействующих частиц. Силы, с которыми частицы действуют друг на друга, будем предполагать направленными вдоль проходящей через обе частицы прямой и завися

В случае гравитационного притяжения частиц
F(r)=G Получим A12=-=-Gm1m2

Нетрудно убедится в том, что в этом случае
Ер= Можно показать, что взаимная потенциальная энергия системы, состоящей из N частиц, силы взаимодействия между которым

Где определяется формулой (3.30)
Работа внутренних сил равна убыли взаимной потенциальной энергии частиц: А12,внутр= Где

Закон сохранения момента импульса
По аналогии с моментом силы, моментом импульса материальной точки (частицы) относительно точки 0 называется векторная величина L=[rp]=[r

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
Разобъем тело, вращающееся вокруг неподвижной оси с угловой скоростью w, на элементарные массы Dmi (рис.8.1). Момент импульса i – й элементарной массы относител

С учетом dm=rdV, получим формулу
I= (8.10) где r - плотность тела в точке, в которой взят объем dV, R – расстояние этого объема от оси, относительно которой вычисля

Кинетическая энергия вращающегося тела
Когда тело вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью w, элементарная масса Dmi, отстоящая от оси вращения на расстояние Ri, обладает скоростью vi=wR

Возведение в квадрат дает
(DЕк)i= Просуммировав (DЕк)i по всем элементарным массам, найдем кинетическую энергию т

Кинетическая энергия вращающегося тела
Когда тело вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью w, элементарная масса Dmi, отстоящая от оси вращения на расстояние Ri, обладает скоростью vi=wR

Возведение в квадрат дает
(DЕк)i= Просуммировав (DЕк)i по всем элементарным массам, найдем кинетическую энергию т

Малые колебания
Рассмотрим механическую систему, положение которой может быть задано с помощью одной величины, которую мы обозначим х. В таких случаях говорят, что система имеет одну степень свободы. Величиной х,

Введя обозначения
(10.6) преобразуем уравнение (10.5) следующим образом (10.7)

Применив обозначения
2b=r/m, =k/m (10.15) перепишем уравнение (10.14) следующим образом:

Маятник
В физике под маятником понимают твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной точки или оси. Принято различать математический и физический маятники. Мат

Распространение волн в упругой среде
Если в каком-либо месте упругой (твердой, жидкой или газообразной) среде возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами это колебание будет распространяться в среде от

Уравнения плоской и сферической волн
Уравнением волны называется выражение, которое дает смещение колеблющейся частицы как функцию ее координат х, у, z и времени t: x=x(x, y, z; t) (11.3) (имеются в виду координаты р

Волновое уравнение
Уравнение любой волны является решением дифференциального уравнения, называемого волновым. Чтобы установить вид волнового уравнения, сопоставим вторые частные производные по координатам и вр

Стоячие волны
Если в среде распространяются одновременно несколько волн, то колебания частиц среды оказываются геометрической суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в о

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги