Состоятельность критерия качества

 

Полагая и учитывая, что оценка действительного значения вектора зависит от мощности выборки (т.е. ), введем в Rⁿ расстояние с помощью нормы

. (1.21)

Рассмотрим известные статистические свойства оценок.

1. Состоятельность,

, (1.22)

где - любое положительное число; Р{Q)} - вероятность события Q.

2. Несмещенность,

. (1.23)

где М{·} - символ математического ожидания.

3. Эффективность (оценка называется эффективной, если по сравнению с любой другой она обладает наименьшим разбросом).

4. Достаточность (оценка называется достаточной, если она определяется через достаточные статистики как функция от них).

Опыт показывает, что в большинстве случаев невозможно найти такой критерий качества K, чтобы названные статистические свойства оценок удовлетворялись в совокупности, хотя они и не являются противоречащими друг другу. Данные свойства называются вторичными оптимальными свойствами оценок, поскольку первичное свойство определяется критерием качества.

Для решения вопроса о выборе критерия качества, обеспечивающего получение оценок, обладающих какими-то вторичными свойствами, необходимо из всех вторичных свойств выбрать одно или несколько свойств, чтобы множество методов оценивания было разбито на два класса. В первый класс должны войти методы, обеспечивающие выбранные свойства (множество состоятельных методов), во второй - все остальные (множество несостоятельных методов). Среди состоятель­ных методов оценивания (состоятельных критериев качества) далее можно искать метод, которому соответствует наиболее эффективная вычислительная процедура решения задачи.

Из перечисленных выше статических свойств оценок наименее ограничительными является свойство состоятельности. Однако условие (1.22) обеспечивает лишь слабую сходимость или сходимость по вероятности, что не является достаточной гарантией для получения желательной оценки. Поэтому на практике используются еще два вида сходимости [2, 3].

1. Сходимость сильная, или почти наверное,

. (1.24)

2. Сходимость в среднем квадратическом,

. (1.25)

Если выбрать в качестве оптимального свойства сильную сходимость, то получим следующее определение состоятельности критерия K. Критерий качества К называется состоятельным по отношению к паре G - S_, если соответствующее ему решение является единственным и обладает свойством сильной сходимости к действительному значению .

В случае, когда модель G эквивалентна реальному поведению R, то . Если условие эквивалентности не выполняется, но выполняется условие ε-адекватности, то начальные условия могут не совпадать. Расстояние между ними будет

, (1.26)

где - некоторое число, зависящее от ε . В этом случае условие (1.24) в определении состоятельности критерия качества должно выполняться не для всякого μ > 0, а только для .

Если решение задачи оценивания получено в аналитическом виде и имеется плотность вероятности р(ξ) выборочного вектора ξ, то появляется возможность использования необходимых или достаточных условий состоятельности, когда критерий K обеспечивает получение единственного решения .

Если учесть, что из сильной сходимости следует слабая сходимость, то имеем следующий критерий: для состоятельности критерия качества К по отношению к паре G - Q необходимо, чтобы оценка обладала свойством сходимости по вероятности

. (1.27)

Признаком слабой сходимости может быть выполнение следующего условия: для каждого ε > 0 существует такое натуральное число К, при котором для любого l > 0 справедливо неравенство

. (1.28)

Если все оценки ограничены в совокупности, то данный признак является также и необходимым.

Следующий критерий, отражающий достаточные условия состоятельности K, выглядит так: для состоятельности критерия качества K по отношению к паре G - Q достаточно, чтобы оценка обладала свойством сходимости в среднем квадратическом:

(1.29)

и чтобы

. (1.30)

Данным критерием можно пользоваться, если имеется выражение для математического ожидания квадрата нормы отклонения оценки от действительного значения в зависимости от числа К результатов измерений.

Сформулированные критерии задают некоторые границы сос­тоятельности критерия качества К.

С использованием неравенства Чебышева можно сформулировать следующие менее сложные с практической точки зрения критерии, выполнение которых гарантирует необходимое условие состоятельно­сти K. Первый критерий: если оценка обладает свойством сходимости в среднем квадратическом

(1.31)

то она обладает свойством слабой сходимости. Второй критерий: если оценка обладает свойством асимптотической несмещенности

(1.32)

и

, (1.33)

то она обладает свойством слабой сходимости.

В [2, 3] дана характеристика наиболее распространенных на практике функций потерь, которые задают многообразие критериев качества, применяемых в задачах оценивания. Там же перечисляются основные свойства риска , непосредственно вытекающие из свойств применяемой функции потерь.