Интерполяция функций с финитным спектром

В данном разделе в качестве моделей полезных сигналов используются функции с финитным спектром (ФФС) [29], для которых в соответствии с известной теоремой отсчетов справедливо представление в виде ряда Котельникова. На базе ФФС развивается метод косвенного оценивания локальных характеристик полезного сигнала, который в отличие от традиционных подходов в меньшей степени чувствителен к случайным ошибкам измерений и может быть применен для вычисления соответствующей производной в любой точке фиксиро­ванного интервала наблюдения.

Следует отметить, что необходимость оценивания локальных характеристик до N-гo порядка включительно возникает довольно часто при решении широкого круга прикладных задач. При этом на практике, как правило, используются достаточно простые в вычислительном плане косвенные методы оценивания, основанные на численном дифференцировании измеренных сигналов с использованием разностных шаблонов. Среди данных методов наиболее распространены методы скользящего дифференцирования [26, 27], предполагающие разложение дифференцируемой функции в соответствующий конечный ряд Тейлора и вычисление искомой производной только для одной (средней) точки выбранного интер­вала измерений. Основной недостаток указанных методов состоит в следующем. Для уменьшения остаточной (методической) погрешности требуется либо уменьшать шаг дискретизации по времени либо повышать порядок используемых разностей. Но и в том, и в другом случаях резко возрастают погрешности, вызываемые случайными ошибками измерений. Как показано в [26], численные методы, основанные на разностных представлениях, относятся к классу некорректных, поскольку теряют устойчивость при наличии случайных ошибок, которые неизбежно сопутствуют процессу измерений.

Метод N-кратного дифференцирования ФФС, предлагаемый в данном разделе, позволяет разрабатывать алгоритмы косвенного оценивания, которые в отличие от традиционных являются корректными в вычислительном плане.

Ниже обсуждаются отдельные результаты [4, 5, 12], касающиеся интерполяции и аппроксимации ФФС и функций с нефинитным спектром, которые будут использованы нами при изложении основного материала.

Пусть функция f(t), интегрируемая в квадрате на всей вещественной оси, представима в виде

(2.1)

где F(iω) - спектральная плотность функции f(t),

(2.2)

Согласно известной теореме Винера-Пэли-Шварца, для того чтобы f(t) была функцией с финитным интегрируемым в квадрате спектром F(iω), необходимо и достаточно, чтобы f(t) могла быть доопределена в комплексной плоскости как целая функция конечной степени, интегрируемая в квадрате на всей вещественной оси. Следуя [29], обозначим через класс функций f(t) с финитным интегрируемым в квадрате спектром F(iω), для которого справедливо представление (2.1).

Поскольку f(t) может быть доопределена как целая функция конечной степени, то можно воспользоваться следующей интерполяционной формулой Котельникова:

(2.3)

где - шаг между отсчетами f_k = f(kΔt) функции f(t); sincx = sinx/x.

Формула (2.3) показывает, что для восстановления ФФС f(t) на всей вещественной оси необходимо использовать лишь значения этой функции f_k, называемые отсчетами, которые выбираются через равные интервалы . В разложении (2.3) можно воспользоваться отсчетами , взятыми в периодической последовательности точек при любом фиксированном t₀, которое указывает лишь начало отсчета переменной t, и при любом . Последнее утверждение следует из того, что если спектр f(t) сосредоточен в интервале (-2πF_max, 2πF_max) = (-Ω, Ω), то он подавно сосредоточен в большем интервале , где . Если функция f(t) принадлежит пространству , причем интервал (-Ω, Ω) - это наименьший интервал, вне которого спектр F(iω) тождественно равен нулю, то величина Δt = π/Ω = l/(2F_max) указывает наибольший возможный интервал между отсчетами, при котором представление (2.3) еще справедливо.

Таким образом, формула (2.3) отражает замечательное свойство ФФС - свойство однозначной восстановимости значений функции на всей оси по ее значениям в дискретной (периодической) последовательности точек.

В формуле (2.3) предполагается использование неограниченного числа отсчетов функции f(t). Очевидно, что для конечного числа отсчетов применение формулы (2.3) без дополнительных ограничений приводит к неединственности решения интерполяционной задачи. Для того чтобы данное решение было единственным, обычно сужают класс функций, в котором решается интерполяционная задача. Укажем три известных способа введения указанных ограничений.

Первый способ состоит в специальном задании отсчетов вне того интервала, на котором определена функция. Второй способ заключается во введении дополнительного ограничения экстремального типа: из всех ФФС в интервале (-Ω, Ω), обладающих заданными величинами отсчетов в конечном числе узлов, выбирается та, которая минимизирует некоторый функционал. Третий способ предполагает ограничение энергии функции вне заданного интервала и подбор минимального числа степеней свободы (свободных параметров), при котором достигается требуемая точность приближения функции.

Рассмотрим конкретные примеры применения этих различных подходов.

При первом подходе положим равными нулю все отсчеты функции f(t), кроме тех, которые заданы на отрезке [0, Т]. Отсчеты берутся в моменты
0 ≤ t₀ < t₁ < ... < t_K ≤ Т. Такая интерполяционная задача имеет бесконечное множество решений, поскольку не заданы отсчеты функции f(t) вне отрезка [0,T].

Если же положить

f(t_k) = 0 (2.4)

при k < 0 и k > К, т.е. считать, что все отсчеты вне отрезка [0, Т] равны нулю, то интерполяционная задача имеет единственное решение. Например, в случае равномерно следующих отсчетов из формулы (2.3) получаем общее представление для множества функций из класса , отсчеты которых равны нулю вне отрезка [0, T]:

(2.5)

Число отсчетов, которые берутся внутри отрезка [0, T], здесь равно
К + 1 = 2F_maxT + 1, т.е. считаем, что на отрезке [0, T] укладывается целое число интервалов длительности Δt. Следует особо подчеркнуть, что если все отсчеты вне отрезка [0, T] равны нулю, то из этого вовсе не вытекает, что функция f(t) тождественно равна нулю вне отрезка [0, T].

Обратимся теперь ко второму из указанных подходов к ограничению класса функций. В качестве примера рассмотрим функции с минимальной энергией. Среди всех функций класса выделим ту, для которой полная энергия минимальна:

(2.6)

Нетрудно указать представление для этого класса функций с минимальной энергией, который мы обозначим через . Класс - это подмножество класса , следовательно, по теореме отсчетов для любой из функций имеем представление вида (2.3).

Члены ряда (2.3) попарно ортогональны на всей оси в силу соотношений

(2.7)

Поэтому, возводя обе части равенства (2.3) в квадрат, раскрывая скобки и интегрируя почленно, получаем

(2.8)

Предположим сначала, что отсчеты на отрезке [0, T] берутся в моменты Поскольку в правой части равенства (2.8) стоит ряд из неотрицательных величин, причем отсчеты f_k, фиксированы, выражение (2.8) достигает минимума, когда все остальные отсчеты обращаются в нуль. Следовательно, в том случае, когда отсчеты на отрезке [0, T] берутся в моменты , ФФС и минимальной энергией задаются формулой (2.5).

Таким образом, для восстановления функции рассматриваемого класса достаточно знать лишь отсчеты f_k, и в классе эта интерполяционная задача имеет единственное решение.