Спектральное представление негармонических периодических сигналов

В основе расчетов электрических цепей при периодических несинусоидальных или непериодических воздействиях лежат спектральные представления токов и напряжений. Спектр является важнейшей и единственной формой аналитического описания сигналов в рамках линейной теории. Основная идея использования такого метода исследований заключается в том, что воздействие представляется в виде суммы простых функций, например, гармонических. Тогда, используя линейность оператора электрической цепи, можно свести задачу преобразования цепью этого воздействия к задаче преобразования элементарных функций, что, безусловно, проще.

Для представления периодических негармонических сигналов, т.е. сигналов, отличающихся от гармонических колебаний, для которых справедливо соотношение: , где , T-период сигнала, широко используется ряд Фурье. Причем s(t) обозначает либо напряжение, либо ток, т.е.

В этом случае ряд Фурье имеет следующий вид:

, (1.1)

где – основная частота, частота первой гармоники,

Коэффициенты ряда Фурье определяются как:

- постоянная составляющая, (1.2)

; (1.3)

Таким образом, периодический сигнал в форме ряда Фурье представляет собой сумму постоянной составляющей С(0) и гармоник с частотами кратными частоте w₁.

Выражения (1.2) и (1.3) являются формулами разложения, а выражение (1.1) –формула обращения. Такое название объясняется тем, что совокупность коэффициентов С(k) является спектром сигнала

Используя формулу Эйлера

(1.4)

можно записать ряд Фурье в комплексной форме:

(1.5)

. (1.6)

Причем из сравнения с формулой (15.1) следует

;

В комплексной форме ряда Фурье присутствуют положительные и отрицательные частоты. Однако реально существуют лишь положительные частоты, а отрицательные это математическая абстракция – следствие использования комплексных экспоненциальных функций для спектрального представления сигнала.. Составляющие и имеют одинаковые модули, а их фазы противоположны по знаку:

(15.7)

Отсюда находим:

 

Тогда можно из формулы (1.5) получить:

, (1.8)

где - амплитуда гармоники;

- фаза гармоники.

Это третья форма ряда Фурье в виде суммы реальных гармоник.

Таким образом, любая спектральная составляющая характеризуется амплитудой и фазой. Спектром амплитуд (амплитудным спектром) называется зависимость амплитуд гармоник от частоты. Зависимость начальных фаз гармоник от частоты называется спектром фаз (фазовым спектром). Спектр амплитуд и спектр фаз, представленные в графическом виде, называются спектральными диаграммами.

Активная мощность периодического негармонического сигнала равна сумме мощностей всех составляющих его обобщенного спектра:

, (1.9)

где мощность элементарных функций по которым определен спектр сигнала. Мощность гармонических функций равна ½.

Формула (1.9) носит название равенства Парсеваля.

Для ряда Фурье в комплексной форме, получим равенство Парсеваля в следующем виде:

. (1.10)

При ограничении спектра по частоте мощность сигнала уменьшается, т.е. равенство Парсеваля позволяет судить о потерях мощности при той или иной фильтрации сигнала.

Рассмотрим пример расчета амплитудного спектра периодического сигнала

 

Рис. 1.1

Определим спектр такого сигнала из формулы (16). Используя формулу Эйлера (1.4), далее находим: и амплитуды гармоник, частоты которых равны и т.д., будут равны нулю. Полученная формула позволяет вычислить амплитудный спектр комплексного ряда Фурье, т.е. включает гармоники с положительными и отрицательными частотами. Чтобы вычислить амплитудный спектр одностороннего ряда Фурье (включает реальные гармоники с положительными частотами), амплитуды гармонических составляющих необходимо умножить на 2. Тогда получим: U₀ =U(0)=U/3,

и т.д.

Амплитудный спектр заданного периодического сигнала приведен на рис. 1.2.

Рис. 1.2