Аналитическое описание дискретных сигналов

 

Реально, при цифровой фильтрации, непрерывный сигнал s(t) описывается на интервале времени (0, Т₀) совокупностью N отсчетов, следующих через интервал T_д, т.е.N=T₀/T_д. Такую выборку можно считать одним периодом периодического сигнала и для ее спектрального описания применить ряд Фурье. Используем модель импульсного сигнала на периоде и представим импульсный периодический сигнал в виде ряда Фурье

,

где ; .

Подставляя выражение для s_и(t), далее находим

.

 

Это и есть прямое дискретное преобразование Фурье (прямое ДПФ) (спектр дискретного сигнала).

Соответствующее выражение для дискретного сигнала имеет следующий вид

.

Это обратное ДПФ. В этой формуле сумма конечна, так как дискретный сигнал содержит конечное (N) число гармоник. Период сигнала равен Т₀=NТ_Д.

Для восстановления действительного сигнала необходимо вычислить конечную сумму:

,

где - фазовый угол соответствующей спектральной составляющей ряда Фурье.

При спектральном анализе для реализации алгоритма ДПФ на ЭВМ используют быстрое преобразование Фурье (БПФ), позволяющее во многих случаях производить обработку сигналов в реальном масштабе времени.

Формула соответствующего дискретного преобразования Лапласа (ДПЛ) имеет вид:

.

Во временной области такому изображению соответствует дискретный сигнал , соответствующий одному периоду (суммирование одного периода в ряде обратного преобразования Фурье).

Рассмотренные функциональные преобразования дискретного сигнала полезны с точки зрения установления связи с соответствующими преобразованиями непрерывных сигналов, но они достаточно сложны. Можно функциональные преобразования дискретных сигналов упростить, соответствующим выбором формы ряда.

Например, для функционального преобразования использовать степенной ряд комплексной переменной z , т.е. ряд следующего вида

 

Это Z-преобразование дискретного сигнала. Обозначим далее .

Очевидно, степенной ряд должен быть сходящимся, чтобы существовало

Z-преобразование. Для конечного числа отсчетов сумма будет конечной и существование

Z-преобразования будет обеспечиваться автоматически.

Обратное Z-преобразование дается следующей формулой

 

Составлены таблицы Z-преобразований. Сравнивая формулы ДПЛ и Z-преобразования, находим, что они будут совпадать при условии , т.е. когда Z-преобразование определяется на единичном круге. Поэтому часто Z-преобразование рассматривают, как переход от переменной «p» к переменной Z=е^рТД в дискретном преобразовании Лапласа. При этом p-плоскость переходит в Z-плоскость, как показано на рис. 6.3. Левая

р-полуплоскость переходит в круг единичного радиуса, а правая р-полуплоскость во всю остальную часть Z-плоскости. Действительно, используя формулу Эйлера, можно получить

.

 

 

 

Рис. 6.3

Если (устойчивые системы), то Z лежит внутри единичного круга. Именно поэтому единичный круг имеет важное значение при исследовании дискретных ЭЦ.

Рассмотрим для примера решения нескольких тестовых заданий.

ТЗ№1.

Комплексная переменная Z-преобразования связана с переменной преобразования Лапласа зависимостью … .

а) z= 1/e^pТ_Д, б) lnz=pT_Д, в) z= e^pT_Д, г) z= e^pT_Д, д) z=pT_Д,

Решение основано на знании соотношения между переменными преобразования Лапласа и Z-преобразования z=е^рТД . Тогда правильный ответ будет б) и г).

ТЗ№2.

Точка р-плоскости p_i= … соответствует точке Z-плоскости z_i= , если интервал дискретизации Т_д=1с.

а) j, б) 0+j , в) 1+j, г) , д) 0+j , е) - Решение основано на знании двух соотношений: р=σ+jω и . Тогда из второго равенства для точки на Z-плоскости z_i= находим и . Из этих уравнений находим и ; , при условии Т_Д=1с. Отсюда легко получить, что σ = 0, а ω = , т.е. р_i = 0+j . Таким образом, правильный ответ будет д). Конечно, можно, найдя условие σ = 0, сразу для рассмотрения оставить два конкурирующих ответа б) и д), так как только у них σ = 0.