Сфера

СФЕРА СОДЕРЖАНИЕВВЕДЕНИЕ 3МНОЖЕСТВО И РАССТОЯНИЕ В Н М 4ОТКРЫТЫЕ ИЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА В 5СФЕРА 6НЕКОТОРЫЕСВОЙСТВА СФЕРЫ 7СПИСОКИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 11 ВВЕДЕНИЕМногие величины, представляющие интерес, зависят не от одного, а от оченьмногих факторов, и если сама величина и каждый из определяющих его факторовмогут быть охарактеризованы некоторым числом, то указанная зависимость сводитсяк тому, что упорядоченному набору чисел, каждое изкоторых описывает состояние соответствующего фактора, становится в соответствиезначение исследуемой величины,которое она приобретает при этом состоянии определяющих величину факторов.Например, площадь прямоугольника есть произведение длин его сторон объ мданного количества газа вычисляется по формуле,где постоянная, масса, абсолютнаятемпература и давление газа. Такимобразом, значение зависит от переменнойупорядоченной тройки чисел или, как говорят есть функция тр хпеременных .Мы ставим себе целью научиться исследовать функции многихпеременных так же, как мы научились исследовать функции одного переменного.Как и в случае функции одного переменного, изучение функции многих числовыхпеременных начинается с описания их области определения.МНОЖЕСТВО И РАССТОЯНИЕ В Н М.Условимся через обозначать множествовсех упорядоченных наборов , состоящих из действительных чисел .Каждый такой набор будем обозначать одной буквой и в соответствии судобной геометрической терминологии называть точкой множества .Число в наборе называют -й координатой точки .Геометрические аналогии можно продолжить и ввести на множестве расстояние междуточками , по формуле 1 Функция,определяемая формулой 1 , очевидно, обладает следующими свойствами a b c d .Последнее неравенство называемое опять-таки погеометрической аналогии неравенством треугольника есть частный случайнеравенства Минковского.

Функцию, определ нную на парах точек некоторогомножества и обладающуюсвойствами a , b , c , d , называют метрикой или расстоянием в .Множество вместе с фиксированнойв н м метрикой называют метрическим пространством.Таким образом, мы превратили в метрическоепространство, наделив метрикой, заданнойсоотношением 1 .Из соотношения 1 следует, что при 2 т. е. расстояние между точками мало в том и только втом случае, когда мало отличаются соответствующие координаты этих точек.

Из 2 , как и из 1 , видно, что при множество совпадает с множествомдействительных чисел, расстояние между точками которого измеряется стандартнымобразом посредством модуля разности чисел.

ОТКРЫТЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА В Определение 1. При множество называется шаром с центром радиуса или также -окрестностью точки .Определение 2. Пример 1. открытое множество в. Пример 2. пустое множество вообще не содержит точек и потому может считаться удовлетворяющим определению2, т. е. открытое множество в.Пример 3. Шар открытое множество в.Действительно, если , т. е то при будет , поскольку.Пример 4. Множество , т. е. совокупность точек, удал нных от фиксированной точки на расстояние большечем является открытым,что, как и в примере 3, легко проверить, используя неравенство треугольника дляметрики.

Определение 3. Пример 5. Множество , т. е. совокупность точек, удал нных от фиксированной точки не больше чем на , является замкнутым, что следует из определения 3 и примера4. Множество называют замкнутымшаром с центром радиуса . СФЕРА .Сфера множество точек евклидова пространства, находящихся от некоторой точки центр сферы на постоянном расстоянии радиус сферы , т. е Сфера пара точек, сфера это окружность, сферу при иногда называютгиперсферой.

Объ м сферы длина при , поверхность при вычисляется по формуле,в частности .Уравнение сферы в декартовыхпрямоугольных координатах в имеет вид здесь координаты , соответственно , т. е.Сфера гипер квадрика, или поверхность второго порядка специального вида.Положение какой-либо точки в пространстве относительно сферы характеризуетсястепенью точки. Совокупность всех сфер, относительно которых данная точка имеетодинаковую степень, составляет сеть сферы.

Совокупность всех сфер, относительнокоторых точки некоторой прямой радикальной оси имеют одинаковую степень различную для различных точек , составляет пучок сферы.

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА СФЕРЫ .С точки зрения дифференциальной геометрии, сфера риманово пространство,имеющее постоянную гауссову при и риманову при кривизну . Все геодезические линии сферы замкнуты и имеют постояннуюдлину это так называемыебольшие окружности, т. е. пересечения с двумерных плоскостей в, проходящих через е центр.

Внешнегеометрические свойства все нормали пересекаются в одной точке, кривизна любогонормального сечения одна и та же и не зависит от точки, в которой онорассматривается, в частности имеет постоянную среднюю кривизну, прич м полнаясредняя кривизна сферы наименьшая среди выпуклых поверхностей одинаковойплощади, все точки сферы омбилические.Некоторые из таких свойств, принятые за основные, послужили отправной точкойдля обобщения понятия сферы.

Так, например, аффинная сфера определяется тем,что все е аффинные нормали пересекаются в одной точке псевдосфера поверхность в постоянной гауссовойкривизны но уже отрицательной одна из интерпретаций орисферы предельнойсферы множество точек внутри , определяемое уравнением также второго порядка.На сферу дважды транзитивнодействует ортогональная группа пространства 2 транзитивностьозначает, что для любых двух пар точек, с равными расстояниями, существуетвращение элемент , переводящая одну пару в другую наконец, сфера естьоднородное пространство .С точки зрения дифференциальной топологии, сфера замкнутое дифференцируемоемногообразие, разделяющее на две области иявляющееся их общей границей при этом ограниченная область, гомеоморфная это открытый шар,так, что сферу можно определить как его границу.Группы гомологий сферы , в частности не стягивается в точкусама по себе, т. е. тождественное отображение в себя существенно.Группы гомотетий сферы , Например при . В общем случае для любых и группы не вычислены.И здесь понятие сфера получает обобщение.

Например, дикая сфера топологическаясфера в , не ограничивающая области, гомеоморфной Милнора сфера экзотическая сфера многообразие,гомеоморфное, но не диффеоморфное .Топологическое пространство, гомеоморфное сфере, называетсятопологической сферой. Одним из основных здесь является вопрос об условияхтого, что некоторое пространство является топологической сферой.Примеры.а Инвариантная топологическая характеристика сферы при не известна.

О случае см. Одномерное многообразие.

Для того чтобы континуум былгомеоморфен сфере , необходимо и достаточно, чтобы он был локально связан,содержал хотя бы одну простую замкнутую линию и чтобы всякая лежащая на н мтакая линия разбивала его на две области, имеющие эту линию своей общейграницей теорема Уайлдера .б Полное односвязное риманово пространство размерности кривизна которого для всехкасательных двухмерных плоскостей ограничена , т. е. гомеоморфно теорема о сфере .в Односвязное замкнутое гладкое многообразие, целые гомологии которого совпадают с гомологиями при при неизвестно . Если , то оно также и гомеоморфно , при гипотеза оста тся, при диффеоморфизм не имеетместа.Совершенно аналогично определяется сфера в метрическомпространстве . Однако это множество, вообще говоря, может быть устроенодостаточно сложно или может быть пустым .В нормированном пространстве с нормой сферой называетсямножество это, по существу, произвольная, вообще говоря, бесконечномернаявыпуклая гипер поверхность, не всегда обладающая, например, гладкостью,округлостью и т. п. полезными свойствами обычной сферы.

Один из вариантов,применяющихся в топологии, тек называемая бесконечномерная сфера строгийиндуктивный предел последовательностивложенных сфер другое определение , где бесконечномерноемногообразие Штифеля.

Для любого оказывается, что .Приложения понятия сфера чрезвычайно разнообразны.Например сферы участвуют в конструкциях новых пространств или дополнительныхструктур на них. Так, например, проективные пространства можно интерпретироватькак сферу с отождествл ннымидиаметрально противоположными точками сфера с ручками и дырами используются втеории ручек.СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ1. Буземан Г Геометрия геодезических.

М 1962.2. Зорич В. А. Математический анализ.

Ч.1. М. Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1981.3. Розенфельд Б. А Многомерные пространства.М 1966.4. Розенфельд Б. А Неевклидовы пространства.М 1969.