рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Системы массового обслуживания с отказом.

Системы массового обслуживания с отказом. - Лекция, раздел Науковедение, Курс лекций по дисциплине: Методы исследования операций В Качестве Показателей Эффективности Смо С Отказами Будет Рассматривать: ...

В качестве показателей эффективности СМО с отказами будет рассматривать:

А – абсолютную пропускную способность СМО, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых системой в единицу времени;
Q- относительную пропускную способность, т.е среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой.

Ротк – вероятность отказа, т.е того что заявка покинет СМО не обслуженной.

_ k _ среднее число занятых каналов (для многоканальной системы).

 

Одноканальная система с отказами.

Имеется один канал, на который поступает поток заявок с интенсивность λ. Поток обслуживания имеет интенсивность μ. Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

Система S имеет два состояния: S0 – канал свободен, S1 – канал занят (рис 9.5).

В предельном режиме система алгебраических уравнений для вероятностей состояний имеет вид:

Учитывая нормировочное уравнение P0 + P1 = 1, найдем предельные вероятности:

P0 = μ/(λ+μ) ;

P1 = λ/(λ+μ) ;

Здесь P0 определяет относительную пропускную способность Q системы, т.е

Q = μ/(λ+μ), т.е среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой.

А P1 определяет вероятность отказа Pотк, т.е вероятность того, что заявка покинет СМО не обслуженной:

Pотк = λ/(λ+μ).

Найдем абсолютную пропускную способность, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых системой в единицу времени

А = Q * λ = λ*μ/(λ+μ).

Пример 9.3

Известно, что заявки на телефонные переговоры поступаю с интенсивностью λ = 90 заявок в час, а средняя продолжительность разговора _ t = 2 мин. Определить эффективность работы СМО (телефонной связи) при наличии одного телефонного номера.

 

 

Многоканальная СМО с отказами.

Имеется n каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью λ. Поток обслуживаний имеет интенсивность μ. Найти предельные вероятности состояний системы и показатели её эффективности.

А – абсолютную пропускную способность СМО, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых системой в единицу времени;
Q- относительную пропускную способность, т.е среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой.

Ротк – вероятность отказа, т.е того что заявка покинет СМО не обслуженной.

_ k _ среднее число занятых каналов (для многоканальной системы).

Состояние системы пронумеруем в соответствии с числом заявок.

S0 – в СМО нет ни одной заявки (все каналы свободны);

S0 – в системе имеется одна заявка (один канал занят, остальные свободны).

……………………………………………………………………………………….

Sk - в системе имеется k заявок.

……………………………………………………………………………………….

Sn – в системе имеется n заявок.

Размеченный граф состояний соответствует процессу гибели и размножения и показан на рисунке 9.6.

Поток заявок последовательно переводит систему из левого состояния в соседнее правое с одной и той же интенсивностью λ. Интенсивность же потока обслуживаний, переводящих систему из правого состояния в соседнее левое постоянно меняется в зависимости от состояния. Действительно, если СМО находится в состоянии S2 (два канала заняты), то она может перейти в состояние S’1 (один канал занят), когда кончится обслуживание либо первый, либо второй канал, т.е. суммарная интенсивность их потоков обслуживания будет 2μ.

Суммарный поток обслуживания, в состоянии S3 ,будет иметь интенсивность 3М, К-каналами –КМ.

В формуле (9.4) для схемы гибели и размножения (рис. 9.6) получим для предельной вероятности состояний

ρ0 =( 1+ λ/М + λ2/2!М2 +…+ λk/k!Мk +…+ λn/n!Мn)-1, где члены разложения будут представлять собой коэффициенты при ρ0 в выражениях для предельных вероятностей ρ1, ρ2,…, ρk,…, ρn. Введем величину ρ0= λ/М – приведенная интенсивность потока заявок. Она выражает среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки. Тогда

ρ0 =( 1+ ρ + ρ 2/2! +…+ ρ k/k! +…+ ρ n/n!)-1 (9.5) тогда,

 

ρ1= ρ* ρ0; ρ2 = (ρ 2/2!) ρ0; … ; ρk= (ρ k/k!) ρ0 ;…; ρn= (ρ n/n!) ρ0 –(9.6)

Формулы (9.5) и (9.6) для предельных вероятностей получили названия формул Эрлана (основателя теории массового обслуживания).

Вероятность отказа СМО есть предельная вероятность того, что все n каналов будут заняты, т.е:

ρотк= (ρ n/n!) ρ 0

Относительная пропускная способность – вероятность того, что заявка будет обслужена:

Q=1- ρотк=1- (ρ n/n!) ρ 0

Абсолютная пропускная способность:

А = Q*λ = λ * (1- (ρ n/n!) ρ 0).

Среднее число занятных каналов К есть математическое ожидание числа занятых каналов:

n

К= Σ K*ρ k, где ρ k - предельные вероятности состояний, определяемых по формулам

k=0

(9.5) и (9.6).

Т.к. каждый занятый канал обслуживает в среднем М заявок(в единицу времени), то среде число занятых каналов:

К= =ρ(1- (ρn /n!)*ρ0)

Пример 9.4 Станция телефонной связи имеет 4 канала (n=4). Интенсивность заявок λ=1 заявка/ мин.. Среднее время обслуживания одной заявки t=2мин.. Процесс работы станции-марковский. Найти финальные вероятности состояний станции и показатели ее эффективности.

М= = , ρ= = =2.

В соответствии с (9.5)

ρ0=(1+ρ+ρ2/2! + ρ3/3!+ ρ4/4!)-1 =(1+2+22/(1*2)+23/(1*2*3)+24/(1*2*3*4))-1=0.1429;

ρ1= ρ* ρ0=2*0.1429=0.2857

ρ2= (ρ2/(1*2))* ρ0=(4/2)*0.1429=0.2857

ρ3= (ρ3/(1*2*3))* ρ0=(8/6)*0.1429=0.0952

ρ4= ((ρ4/(1*2*3*4))* ρ0=(16/24)*0.1429=0.0952

∑ ρi=0.1429+0.2857+0.2857+0.1905+0.00952=1

i=1

Вероятность отказа СМО

ρотк.= ρ4=0.0952

Относительная пропускная способность СМО, т.е. вероятность того,что заявки будут обслужены: Q=1- ρотк =0.9048.

Абсолютная пропускная способность СМО:А=λ*Q=1*0.9048≈0.9 заявок/мин.

Среднее число занятых каналов К==0.9/0.5=1.8

Из анализа полученных результатов видно, что в данной СМО, имеющей 4 канала в среднем работает только 2, а остальные два свободных. Из поступающих заявок 90% удовлетворяются и 10% заявок не обслуживаются.

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Курс лекций по дисциплине: Методы исследования операций

Федеральное агенство по образованию.. Московский государственный строительный университет.. Курс лекций по дисциплине..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Системы массового обслуживания с отказом.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Экономико-математическая модель. ТЗ
Транспортные задачи(ТЗ)- частный случай задачи линейного программирования. В ТЗ существуют поставщики и потребители грузов. У каждого поставщика имеется определенное количест

Метод северо-западного угла.
С помощью метода северо-западного угла реализуется первоначальный план поставок.   Таблица 2.1   Nj M

Метод потенциалов нахождения оптимального решения.
Введем показатель U1 для каждой строки и V1 для каждого столбца. Эти показатели называются потенциалами поставщиков и потребителей. Потенциалы подбираются так, чтобы для запол

Открытая (не сбалансированная) модель ТЗ.
Открытая модель сводится к закрытой. Если суммарная мощность поставщика больше суммарного спроса потребителей, то вводится фиктивный потребитель, к которому присваивается спрос равный разнице между

Постановка задачи динамического программирования.
Рассматривается управляемый процесс. В результате управления система (объект управления) приводится из начального состояния S0 в конечное S(S0 → S). Предположим, что упр

Принцип оптимальности.
Впервые был сформулирован Р. Беллманом в 1953 году. Каково бы не было состояние системы в результате какого-либо числа шагов на ближайшем шаге нужно выбрать управление так, чтобы оно приво

Задачи замены оборудования без приведения затрат к текущему моменту времени.
1) Постановка задачи: В эксплуатации находятся оборудование, цена нового оборудования S. Известны затраты на эксплуатацию оборудования С t зависящие от времени. В результ

Задачи замены оборудования с учетом приведения затрат к текущему моменту времени.
  1) Постановка задачи: В эксплуатация находится с первоначальной ценой S. Известны затраты на эксплуатацию оборудования в периоды 1, 2, 3 . . . t - С1, С

Детерминированные задачи упорядочивания.
  1) Постановка задачи: Имеется несколько изделий, каждое из которых надо обработать на двух машинах последовательно (сначала на первой, потом на второй). Известны вре

Решение игры с седловой точкой.
  B1 B2 А1 -4 А2

Смешанные стратегии.
Рассмотрим пример;   В1 В2 min А1

Дублирование и доминирование стратегий.
Если матрица игры содержит несколько одинаковых строк или стобцов, то из них оставляют одну строку(столбец), а отброшенным стратегиям присваиваем нулевые вероятности. Это дублирование с

Решение игры 2хn.
Самым удобным способом для определения оптимальной стратегии игроков в игре 2хn является графическим способом.   Пример:  

Марковские процессы.
Для математического описания многих случайных процессов может быть применен аппарат, разработанный в теории вероятностей, для так называемых Марковских случайных процессов. Они обладают следующим с

Простейший пуассоновский поток событий.
Для простейшего потока справедливы три свойства: 1) Стационарность потока λ = const. Интенсивность λ – частота появления события или среднее число событий, поступающих в СМО в ед

Система дифференциальных уравнений Колмогорова.
Рассмотрим математическое описание процесса с дискретными состояниями системы и непрерывным временем на примере случайного процесса, размеченный граф которого размещен на рисунке:

Уравнение Колмогорова для простейшего потока событий.
Особый интерес представляют вероятности системы Рi(t) в предельном стационарном режиме, т.е. при t→∞, которые называются предельными вероятностями состояний. Т.к. пр

Системы массового обслуживания с ожиданием
В качестве показателей эффективности СМО с ожиданием, кроме уже известных показателей – абсолютной А и относительной Q пропускной способности, вероятности отказа ρотк, среднего числ

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги