Системы массового обслуживания с отказом.

В качестве показателей эффективности СМО с отказами будет рассматривать:

А – абсолютную пропускную способность СМО, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых системой в единицу времени;
Q- относительную пропускную способность, т.е среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой.

Р_отк – вероятность отказа, т.е того что заявка покинет СМО не обслуженной.

_ k _ среднее число занятых каналов (для многоканальной системы).

 

Одноканальная система с отказами.

Имеется один канал, на который поступает поток заявок с интенсивность λ. Поток обслуживания имеет интенсивность μ. Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

Система S имеет два состояния: S₀ – канал свободен, S₁ – канал занят (рис 9.5).

В предельном режиме система алгебраических уравнений для вероятностей состояний имеет вид:

Учитывая нормировочное уравнение P₀ + P₁ = 1, найдем предельные вероятности:

P₀ = μ/(λ+μ) ;

P₁ = λ/(λ+μ) ;

Здесь P₀ определяет относительную пропускную способность Q системы, т.е

Q = μ/(λ+μ), т.е среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой.

А P₁ определяет вероятность отказа P_отк, т.е вероятность того, что заявка покинет СМО не обслуженной:

P_отк = λ/(λ+μ).

Найдем абсолютную пропускную способность, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых системой в единицу времени

А = Q * λ = λ*μ/(λ+μ).

Пример 9.3

Известно, что заявки на телефонные переговоры поступаю с интенсивностью λ = 90 заявок в час, а средняя продолжительность разговора _ t = 2 мин. Определить эффективность работы СМО (телефонной связи) при наличии одного телефонного номера.

 

 

Многоканальная СМО с отказами.

Имеется n каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью λ. Поток обслуживаний имеет интенсивность μ. Найти предельные вероятности состояний системы и показатели её эффективности.

А – абсолютную пропускную способность СМО, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых системой в единицу времени;
Q- относительную пропускную способность, т.е среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой.

Р_отк – вероятность отказа, т.е того что заявка покинет СМО не обслуженной.

_ k _ среднее число занятых каналов (для многоканальной системы).

Состояние системы пронумеруем в соответствии с числом заявок.

S₀ – в СМО нет ни одной заявки (все каналы свободны);

S₀ – в системе имеется одна заявка (один канал занят, остальные свободны).

……………………………………………………………………………………….

S_k - в системе имеется k заявок.

……………………………………………………………………………………….

S_n – в системе имеется n заявок.

Размеченный граф состояний соответствует процессу гибели и размножения и показан на рисунке 9.6.

Поток заявок последовательно переводит систему из левого состояния в соседнее правое с одной и той же интенсивностью λ. Интенсивность же потока обслуживаний, переводящих систему из правого состояния в соседнее левое постоянно меняется в зависимости от состояния. Действительно, если СМО находится в состоянии S₂ (два канала заняты), то она может перейти в состояние S’₁ (один канал занят), когда кончится обслуживание либо первый, либо второй канал, т.е. суммарная интенсивность их потоков обслуживания будет 2μ.

Суммарный поток обслуживания, в состоянии S₃ ,будет иметь интенсивность 3М, К-каналами –КМ.

В формуле (9.4) для схемы гибели и размножения (рис. 9.6) получим для предельной вероятности состояний

ρ₀ =( 1+ λ/М + λ²/2!М² +…+ λ^k/k!М^k +…+ λⁿ/n!Мⁿ)^-1, где члены разложения будут представлять собой коэффициенты при ρ₀ в выражениях для предельных вероятностей ρ_1, ρ₂,…, ρ_k,…, ρ_n. Введем величину ρ₀= λ/М – приведенная интенсивность потока заявок. Она выражает среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки. Тогда

ρ₀ =( 1+ ρ + ρ ²/2! +…+ ρ ^k/k! +…+ ρ ⁿ/n!)^-1 (9.5) тогда,

 

ρ₁= ρ* ρ₀; ρ₂ = (ρ ²/2!) ρ₀; … ; ρ_k= (ρ ^k/k!) ρ₀ ;…; ρ_n= (ρ ⁿ/n!) ρ₀ –(9.6)

Формулы (9.5) и (9.6) для предельных вероятностей получили названия формул Эрлана (основателя теории массового обслуживания).

Вероятность отказа СМО есть предельная вероятность того, что все n каналов будут заняты, т.е:

ρ_отк= (ρ ⁿ/n!) ρ ₀

Относительная пропускная способность – вероятность того, что заявка будет обслужена:

Q=1- ρ_отк=1- (ρ ⁿ/n!) ρ ₀

Абсолютная пропускная способность:

А = Q*λ = λ * (1- (ρ ⁿ/n!) ρ ₀).

Среднее число занятных каналов К есть математическое ожидание числа занятых каналов:

n

К= Σ K*ρ _k, где ρ _k - предельные вероятности состояний, определяемых по формулам

k=0

(9.5) и (9.6).

Т.к. каждый занятый канал обслуживает в среднем М заявок(в единицу времени), то среде число занятых каналов:

К= =ρ(1- (ρⁿ /n!)*ρ₀)

Пример 9.4 Станция телефонной связи имеет 4 канала (n=4). Интенсивность заявок λ=1 заявка/ мин.. Среднее время обслуживания одной заявки t=2мин.. Процесс работы станции-марковский. Найти финальные вероятности состояний станции и показатели ее эффективности.

М= = , ρ= = =2.

В соответствии с (9.5)

ρ₀=(1+ρ+ρ²/2! + ρ³/3!+ ρ⁴/4!)^-1 =(1+2+2²/(1*2)+2³/(1*2*3)+2⁴/(1*2*3*4))^-1=0.1429;

ρ₁= ρ* ρ₀=2*0.1429=0.2857

ρ₂= (ρ²/(1*2))* ρ₀=(4/2)*0.1429=0.2857

ρ₃= (ρ³/(1*2*3))* ρ₀=(8/6)*0.1429=0.0952

ρ₄= ((ρ⁴/(1*2*3*4))* ρ₀=(16/24)*0.1429=0.0952

∑ ρ_i=0.1429+0.2857+0.2857+0.1905+0.00952=1

i=1

Вероятность отказа СМО

ρ_отк.= ρ₄=0.0952

Относительная пропускная способность СМО, т.е. вероятность того,что заявки будут обслужены: Q=1- ρ_отк =0.9048.

Абсолютная пропускная способность СМО:А=λ*Q=1*0.9048≈0.9 заявок/мин.

Среднее число занятых каналов К==0.9/0.5=1.8

Из анализа полученных результатов видно, что в данной СМО, имеющей 4 канала в среднем работает только 2, а остальные два свободных. Из поступающих заявок 90% удовлетворяются и 10% заявок не обслуживаются.