Реферат Курсовая Конспект
Системы массового обслуживания с отказом. - Лекция, раздел Науковедение, Курс лекций по дисциплине: МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ В Качестве Показателей Эффективности Смо С Отказами Будет Рассматривать: ...
|
В качестве показателей эффективности СМО с отказами будет рассматривать:
А – абсолютную пропускную способность СМО, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых системой в единицу времени;
Q- относительную пропускную способность, т.е среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой.
Ротк – вероятность отказа, т.е того что заявка покинет СМО не обслуженной.
_ k _ среднее число занятых каналов (для многоканальной системы).
Одноканальная система с отказами.
Имеется один канал, на который поступает поток заявок с интенсивность λ. Поток обслуживания имеет интенсивность μ. Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.
Система S имеет два состояния: S0 – канал свободен, S1 – канал занят (рис 9.5).
В предельном режиме система алгебраических уравнений для вероятностей состояний имеет вид:
Учитывая нормировочное уравнение P0 + P1 = 1, найдем предельные вероятности:
P0 = μ/(λ+μ) ;
P1 = λ/(λ+μ) ;
Здесь P0 определяет относительную пропускную способность Q системы, т.е
Q = μ/(λ+μ), т.е среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой.
А P1 определяет вероятность отказа Pотк, т.е вероятность того, что заявка покинет СМО не обслуженной:
Pотк = λ/(λ+μ).
Найдем абсолютную пропускную способность, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых системой в единицу времени
А = Q * λ = λ*μ/(λ+μ).
Пример 9.3
Известно, что заявки на телефонные переговоры поступаю с интенсивностью λ = 90 заявок в час, а средняя продолжительность разговора _ t = 2 мин. Определить эффективность работы СМО (телефонной связи) при наличии одного телефонного номера.
Многоканальная СМО с отказами.
Имеется n каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью λ. Поток обслуживаний имеет интенсивность μ. Найти предельные вероятности состояний системы и показатели её эффективности.
А – абсолютную пропускную способность СМО, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых системой в единицу времени;
Q- относительную пропускную способность, т.е среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой.
Ротк – вероятность отказа, т.е того что заявка покинет СМО не обслуженной.
_ k _ среднее число занятых каналов (для многоканальной системы).
Состояние системы пронумеруем в соответствии с числом заявок.
S0 – в СМО нет ни одной заявки (все каналы свободны);
S0 – в системе имеется одна заявка (один канал занят, остальные свободны).
……………………………………………………………………………………….
Sk - в системе имеется k заявок.
……………………………………………………………………………………….
Sn – в системе имеется n заявок.
Размеченный граф состояний соответствует процессу гибели и размножения и показан на рисунке 9.6.
Поток заявок последовательно переводит систему из левого состояния в соседнее правое с одной и той же интенсивностью λ. Интенсивность же потока обслуживаний, переводящих систему из правого состояния в соседнее левое постоянно меняется в зависимости от состояния. Действительно, если СМО находится в состоянии S2 (два канала заняты), то она может перейти в состояние S’1 (один канал занят), когда кончится обслуживание либо первый, либо второй канал, т.е. суммарная интенсивность их потоков обслуживания будет 2μ.
Суммарный поток обслуживания, в состоянии S3 ,будет иметь интенсивность 3М, К-каналами –КМ.
В формуле (9.4) для схемы гибели и размножения (рис. 9.6) получим для предельной вероятности состояний
ρ0 =( 1+ λ/М + λ2/2!М2 +…+ λk/k!Мk +…+ λn/n!Мn)-1, где члены разложения будут представлять собой коэффициенты при ρ0 в выражениях для предельных вероятностей ρ1, ρ2,…, ρk,…, ρn. Введем величину ρ0= λ/М – приведенная интенсивность потока заявок. Она выражает среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки. Тогда
ρ0 =( 1+ ρ + ρ 2/2! +…+ ρ k/k! +…+ ρ n/n!)-1 (9.5) тогда,
ρ1= ρ* ρ0; ρ2 = (ρ 2/2!) ρ0; … ; ρk= (ρ k/k!) ρ0 ;…; ρn= (ρ n/n!) ρ0 –(9.6)
Формулы (9.5) и (9.6) для предельных вероятностей получили названия формул Эрлана (основателя теории массового обслуживания).
Вероятность отказа СМО есть предельная вероятность того, что все n каналов будут заняты, т.е:
ρотк= (ρ n/n!) ρ 0
Относительная пропускная способность – вероятность того, что заявка будет обслужена:
Q=1- ρотк=1- (ρ n/n!) ρ 0
Абсолютная пропускная способность:
А = Q*λ = λ * (1- (ρ n/n!) ρ 0).
Среднее число занятных каналов К есть математическое ожидание числа занятых каналов:
n
К= Σ K*ρ k, где ρ k - предельные вероятности состояний, определяемых по формулам
k=0
(9.5) и (9.6).
Т.к. каждый занятый канал обслуживает в среднем М заявок(в единицу времени), то среде число занятых каналов:
К= =ρ(1- (ρn /n!)*ρ0)
Пример 9.4 Станция телефонной связи имеет 4 канала (n=4). Интенсивность заявок λ=1 заявка/ мин.. Среднее время обслуживания одной заявки t=2мин.. Процесс работы станции-марковский. Найти финальные вероятности состояний станции и показатели ее эффективности.
М= = , ρ= = =2.
В соответствии с (9.5)
ρ0=(1+ρ+ρ2/2! + ρ3/3!+ ρ4/4!)-1 =(1+2+22/(1*2)+23/(1*2*3)+24/(1*2*3*4))-1=0.1429;
ρ1= ρ* ρ0=2*0.1429=0.2857
ρ2= (ρ2/(1*2))* ρ0=(4/2)*0.1429=0.2857
ρ3= (ρ3/(1*2*3))* ρ0=(8/6)*0.1429=0.0952
ρ4= ((ρ4/(1*2*3*4))* ρ0=(16/24)*0.1429=0.0952
∑ ρi=0.1429+0.2857+0.2857+0.1905+0.00952=1
i=1
Вероятность отказа СМО
ρотк.= ρ4=0.0952
Относительная пропускная способность СМО, т.е. вероятность того,что заявки будут обслужены: Q=1- ρотк =0.9048.
Абсолютная пропускная способность СМО:А=λ*Q=1*0.9048≈0.9 заявок/мин.
Среднее число занятых каналов К==0.9/0.5=1.8
Из анализа полученных результатов видно, что в данной СМО, имеющей 4 канала в среднем работает только 2, а остальные два свободных. Из поступающих заявок 90% удовлетворяются и 10% заявок не обслуживаются.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ... МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ... Курс лекций по дисциплине...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Системы массового обслуживания с отказом.
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов