Решение

 

Подынтегральную функцию можно преобразовать, понизив степень:

 

 

Поэтому

 

Рациональные функции и их интегрирование. Функция называется рациональной функцией, или рациональной дробью, если она представляет собой отношение двух многочленов и : .

Пусть степень многочлена равна m, а степень равна n, т. е:

 

 

где и . Разделив числитель и знаменатель на число , мы получим, что коэффициент при старшей степени в знаменателе равен 1. Далее будет удобно предполагать, что эта операция уже произведена, то есть, что , и, что все коэффициенты и - вещественные числа. Если , то дробь называется правильной, а если , то неправильной. Если дробь неправильная, то её числитель можно поделить на знаменатель , получив при этом частное и остаток , степень которого меньше n. Это означает, что или что , где - некоторый многочлен, называемый целой частью рациональной дроби . Если остаток тождественно равен 0, то многочлен делится на без остатка, и функция является многочленом, то есть совпадает со своей целой частью .

Предположим, что нам дана правильная рациональная дробь . Её знаменатель после разложения на множители может содержать множители следующих четырёх видов: ; ,

где: ; и .

 

 

Каждому из указанных типов множителей знаменателя соответствуют простейшие рациональные дроби, а именно:

 

- простейшая дробь первого типа;

 

, где , - простейшая дробь второго типа;

 

- простейшая дробь третьего типа;

 

, где , - простейшая дробь четвёртого типа.

 

Здесь А и В - некоторые постоянные.

Любая правильная дробь раскладывается в сумму простейших дробей указанных четырёх типов:

 

где - некоторые постоянные. Эти постоянные отыскивают методом неопределённых коэффициентов.

Для отыскания неизвестных постоянных методом неопределённых коэффициентов нужно, выписав разложение в сумму простейших дробей, привести к общему знаменателю сумму, стоящую в правой части. Заметим, что этот общий знаменатель, очевидно, равен . Получим, что в левой и правой части равенства стоят дроби с одинаковыми знаменателями. Значит, и числители у них также тождественно равны. Числитель в правой части содержит неизвестные постоянные , а числитель в левой части - нет.

Далее, приравниваем друг к другу коэффициенты при одинаковых степенях х в числителях левой и правой частей: эти коэффициенты также совпадают вследствие тождественности числителей, при этом получаем систему линейных уравнений, которым должны удовлетворять неизвестные коэффициенты.

 

Пример. Разложить рациональную дробь в сумму простейших дробей и вычислить .