Линейные отображения, их связь с подпространствами и композиция
Линейные отображения, их связь с подпространствами и композиция - раздел Образование, Определение, примеры и простейшие свойства линейных пространств Теорема 8.6. Гомоморфный Образ Подпространства Является Подп...
Теорема 8.6. Гомоморфный образ подпространства является подпространством. Пусть f: V→U - линейное отображение линейных просторов. Когда V' - подпространство в V, тогда f (V' ) - подпространство в U. Доказательство: Напомним, что . Используем критерий подпространства. Æ, , тогда такие, что и , тогда .. Когда и , тогда . Если взять, получим частный случай свойства. ■
Опр. 8.7. Пусть f: V→U - линейное отображение, тогда является подпространством в , которое обозначается .
Теорема. 8.8. Гомоморфный праобраз подпространства является подпространством, т.е. если f: V→U - линейное отображение, U ’ – подпространство U, тогда - подпространство V. В частности . - подпространство V. Доказательство. Напомним, что . По , значит Æ . Пусть тогда и , значиться , откуда , и . , откуда , значит .
Частные случаи получаются, когда взять или . ■
Азн. 8.9. называется ядрам отображения f и обозначается Ker f.
Св-во 8.10.Гомоморфный образ линейнозависимой системы векторов является линейно зависимая система векторов.Доказательство: (*) - линейно зависимая система V. f: V→U - линейное отображение. Т.к. (*) – лин. завис., то не все равны нулю, тогда . По линейности имеем: , не все равны нулю, то - линейно зависимая.■
Следствие 8.11. Пусть f: V→U - лин. отображение, - линейно зависимое подмножество U, тогда - линейно зависимая в V. Доказательство: Очевидно.■
Теорема. 8.12.Композиция линейных отображений является линейным отображением. V, U, W-линейные пространства над P. и - линейные отображения. Тогда - линейное отображение. Доказательство. По 8.3 для произвольных векторов и скаляров имеет место:■
Опр Пусть P поле Непустое множество V называется линейным пространством либо векторным пространством над P элементы V будем называть... На V задана бинарная алгебраическая операция которая называется сложением... Icirc V Icirc V что Icirc V...
Нулевой и противоположный векторы линейного пространства
Опр.1.1. Пусть P- поле. Непустое множество V называется линейным пространством (либо векторным пространством) над P (элементы V будем называть векторами, элементы P - скалярами
Ранг матрицы. Определение и свойства
Опр. 11.1. Ранг системы векторов векторов столбцов матрицы А как векторов арифметического пространства Pm, наз. рангом матрицы А и обозначается rang(A) или rangA.
Линейные алгебры
Азн 16.16.Линейной алгеброй над полем Р называется множество А, когда над А заданы операции сложения, умножения, а также заданное умножение элементов из А на скаляры (элемен
Приведение квадратичной формы к каноническому виду
Определение 18.8. Говорят, что квадратичная форма имеет канонический вид, когда ее матрица диагональная.
Теорема 19.9. Для каждой квадратичной формы сущес
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов