рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Образование
/
Базис линейного пространства. Определение и простейшие свойства

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Базис линейного пространства. Определение и простейшие свойства

Базис линейного пространства. Определение и простейшие свойства - раздел Образование, Определение, примеры и простейшие свойства линейных пространств Азн. 5.1. Система Векторов Линейного Пространства...

Азн. 5.1. Система векторов линейного пространства V над P _,_,_{. . . ,}(1) называется базисом пространства V, когда исполняются 2 условия:

1) система (1) линейно независимая; 2) (условие полноты) "ÎV $l_1,l_2,…,l_nÎP=l₁+l₂+_{. . .}+l_n.

Азн. 5.2. Количество векторов в базисе называется размерностью пространства V над P. То, что пространство V имеет измеримость n обозначается n=dim_pV, либо n=dimV.

Св-во. 5.3. Определение 5.2. корректное, то есть, что когда (2) и (1) - базисы V, тогда k=n. Доказательство. Все пространство выявляется через (1), значиться, (2) выявляется через (1), но (2) - линейно независимая, значиться (по 3.11) k £ n. Аналогично, n £ k, значиться, k=n.■

Примеры. 1. Rⁿ. Стандартный базис =,= , ...,= . Значит, dim_R Rⁿ =n.

2. R_n[x]. Базис 1, x, …, xⁿ , значиться, dim _R R_n [x]=n+1.3. V_2.. Произвольные 2 некалінеярныя векторы образовывают базис, dim _R V₂=2.4. V₃. Произвольные 3 некампланыя векторы образовывают базис, dim _R V₃=3.5. V={}.По определению считаться, что dim_P{}=.

Св-во 5.4. Когда dimV=n, тогда каждая линейно независимая система векторов из V удерживает не более n векторов. Доказательство. Пусть (1) - базис V, - - линейно независимая система. По условию полноты она выявляется через базис, значиться, по 3.11, k £ n.■

Св-во 5.5. Произвольная минимальная (по количеству векторов) полная система векторов

образовывает базис. Доказательство. Пусть (2) - полная система векторов и минимальная. Надо доказать, что (2) - линейно независимая. От противного. Когда (2) - линейно зависимая, тогда, (по 2.13) существует вектор из (2), который выражается через остальные, скажем,. Тогда "ÎVвыражается через (2), а (2) выражается через .. Из этого (по 3.3) следует, что выражается через _,, значиться получили меньшую за минимальную полную систему векторов, что противоречить посылке.■

Св-во 5.6. Произвольная максимальная (по количеству векторов) линейно независимая система векторов образовывает базис. Доказательство. Пусть (2) - такая система. Надо доказать условие полноты: "ÎV система - линейно зависимая (из максимальности), тогда по 3.4 выражается через (2).■

Следствие 5.7. Если dim_PV=n, то любая линейно независимая система n векторов пространства V является базисом V. Доказательство.Возьмем систему из 5.5, значит она максимальна по числу векторов, а это значит из 5.6, это базис.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Определение, примеры и простейшие свойства линейных пространств

Опр Пусть P поле Непустое множество V называется линейным пространством либо векторным пространством над P элементы V будем называть... На V задана бинарная алгебраическая операция которая называется сложением... Icirc V Icirc V что Icirc V...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Базис линейного пространства. Определение и простейшие свойства

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Нулевой и противоположный векторы линейного пространства
Опр.1.1. Пусть P- поле. Непустое множество V называется линейным пространством (либо векторным пространством) над P (элементы V будем называть векторами, элементы P - скалярами

Линейно зависимые системы векторов. Критерий линейной зависимости
Опр.2.1. V - линейное пространство над P. Системой векторов называют конечную последовательность векторов

Выражение одной системы векторов через другую
Опр. 3.1. Пусть ,

Основная теорема о линейной независимости
Лемма 3.10. Пусть система векторов ,

Ранг системы векторов
Св-во 4.1. Все МЛНП данной системы векторов (1) содержат одинаковое количеств

Координаты вектора в базисе. Определение и свойства
Св-во 5.9. Пусть ,

Матрица системы векторов. Определение и свойства.
Пример 6.0. Рассмотрим пространство V2 и ее привычный базис

Матрица перехода от базиса к базису
Опр. 6.4. Пусть (1) и

Подпространства. Свойства. Линейная оболочка системы векторов
Опр. 13.1. Пусть V линейное пространство над полем Р. Непустое подмножество U

Фундаментальная система решений системы однородных линейных уравнений
Опр. 7.11.4.Фундаментальной системой решений однородной системы наз. базис пространства ее решений (как подпространство в Pn). Св-во 7.11.5. Ес

Линейные отображения, их связь с подпространствами и композиция
Теорема 8.6. Гомоморфный образ подпространства является подпространством. Пусть f: V→U - линейное отображение линейных просторов. Когда V' - подпространство в V

Изоморфизм конечномерных векторных пространств
Азн.9.1. V, U-линейные пространства над P. f: V→U- линейное отображение. Когда f - биекция, тогда f называется изоморф

Изоморфизм конечномерных пространств и системы векторов
Св-во 9.8. Пусть f: V→U - изоморфизм линейных пространств. Система векторов

Матрица линейных отображений и ее свойства
Опр. 10.1. Пусть V,U - лин. пространство над Р. (1) базис V,

Ранг матрицы. Определение и свойства
Опр. 11.1. Ранг системы векторов векторов столбцов матрицы А как векторов арифметического пространства Pm, наз. рангом матрицы А и обозначается rang(A) или rangA.

Ранг матриц и системы линейных уравнений
Пример 11.18. Найти ранг матрицы А. .

Евклидовы пространства. Определение и свойства
Опр. 12.1.V- линейное пространство над R. Скалярным произведением V называется отображение (· ; ·) :V´V

Норма вектора. Неравенство Коши-Буняковского. Угол между векторами.
Опр. 12.5. Длиной (нормой) вектора Îε называется действитель

Геометрические теоремы в евклидовых пространствах
Т 12.16.Т-ма косинусов в Евклидовом простр-ве

Ортогональные векторы и ортогональный базис.
Опр.13.1.Вектарыевклидового пространства называются ортогональными, когда

Ортонормированный базис евклидова пространства.
Азн. 13.8.Базіс(2)n-мерного евклидового пространства называется ортонормирова

Кольцо эндоморфизмов линейного пространства
Св-во 15.13.End(V) замкуто относительно операции композиции отображений End(V)и является – моноидом. Док-во.Когда

Линейные алгебры
Азн 16.16.Линейной алгеброй над полем Р называется множество А, когда над А заданы операции сложения, умножения, а также заданное умножение элементов из А на скаляры (элемен

Характеристические многочлены и собственные числа
Азн. 16.8 Пусть (3) -базис пространства V, fÎEnd(V) і А

Квадратичные формы. Матрицы замены
Определение 18.1. Квадратичной формой от букв (переменных) называются

Приведение квадратичной формы к каноническому виду
Определение 18.8. Говорят, что квадратичная форма имеет канонический вид, когда ее матрица диагональная. Теорема 19.9. Для каждой квадратичной формы сущес