Изоморфизм конечномерных пространств и системы векторов
Изоморфизм конечномерных пространств и системы векторов - раздел Образование, Определение, примеры и простейшие свойства линейных пространств Св-Во 9.8. Пусть F: V→u - Изоморфизм Линейных П...
Св-во 9.8. Пусть f: V→U - изоморфизм линейных пространств. Система векторов линейно зависима когда -линейно зависима в U. Доказательство: Т.к. f линейно, то по св-ву (Гомоморфный образ линейнозависимой системы векторов является линейно зависимая система векторов.) из линейной зависимости первой системы следует линейная зависимость второй. Но f – изоморфизм, то по св-ву f –1: U → V линейно. Из линейной зависимости следует зависимость .n
Следствие 9.9. Пусть f: V→U - изоморфизм, тогда система векторов и либо обе линейно зависимы, либо обе линейно независимы. Доказательство: Доказано в предыдущем n
Следствие 9.10. Если f: V→U - изоморфизм, то ранги обеих систем из утверждения 9.9. равны. Доказательство: Очевидно из 9.9., что f(МЛНП) отображается в МЛНП. n
Следствие 9.11.: Пусть f: V→U - линейное отображение, - базис V, f является изоморфизмом, тогда и только тогда, когда - базис V. Доказательство: Пусть f – изоморфизм, то по 9.9. из линейной независимости системы векторов следует линейная независимость . , т.е. эти векторы образуют полную систему. Наоборот Пусть - базис U. . Пусть , тогда - столбцы координат векторов в базисе , то столбец . Из того, что что противоречит допущению. Сюрьективность: . Разложим его по базису . Рассмотрим – биекция. n
Следствие 9.12. Пусть f: V→U - линейное пространство над P. и - базисы V и U соответственно, тогда существует единственный изоморфизм f: V→U . Доказательство: Задание линейного отображения f( V ) →U доказано в ранее. Единственность также. Так как - базис в U, то по 9.11. f – изоморфизм. n
Опр Пусть P поле Непустое множество V называется линейным пространством либо векторным пространством над P элементы V будем называть... На V задана бинарная алгебраическая операция которая называется сложением... Icirc V Icirc V что Icirc V...
Нулевой и противоположный векторы линейного пространства
Опр.1.1. Пусть P- поле. Непустое множество V называется линейным пространством (либо векторным пространством) над P (элементы V будем называть векторами, элементы P - скалярами
Ранг матрицы. Определение и свойства
Опр. 11.1. Ранг системы векторов векторов столбцов матрицы А как векторов арифметического пространства Pm, наз. рангом матрицы А и обозначается rang(A) или rangA.
Линейные алгебры
Азн 16.16.Линейной алгеброй над полем Р называется множество А, когда над А заданы операции сложения, умножения, а также заданное умножение элементов из А на скаляры (элемен
Приведение квадратичной формы к каноническому виду
Определение 18.8. Говорят, что квадратичная форма имеет канонический вид, когда ее матрица диагональная.
Теорема 19.9. Для каждой квадратичной формы сущес
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов