Ортонормированный базис евклидова пространства. - раздел Образование, Определение, примеры и простейшие свойства линейных пространств Азн. 13.8.Базіс...
Азн. 13.8.Базіс(2)n-мерного евклидового пространства называется ортонормированным, когда он ортогональный и все его векторы нормированные, то есть .
Тэарэма 13.9.Базис (2) евклидового пространства εn является ортонормированным тогда и только тогда, когда ортогональное достояние произвольных векторов , которые в этом базисе имеют координаты , грядет равный:(3). Доказ:Если - ортонормированный, тогда по 14.2 . Пусть правдиво (3). Тогда поскольку в базисе (2) мои координаты (1,0,0,...,0) получаем что: .
Откуда =1. Аналогично . Когда з (3)следует, что , то (2) – ортонормированный базис .■
Тэарэма 13.10.В каждой конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.
Доказ: В евклидовом пространстве εn существует базис . Идея доказательства в том, чтобы построить постепенно посредством этого базиса ортогональный базисВозьмем . Очевидно, что . Будем искать в виде =ÎR. Из условия ортогональности следует, что 0=()=()=. Но , последнее равенство эквивалентно тому, что . Таким образом, нашли такой, что ()=0. Заметим, что векторы получили из векторов посредством элементарных преобразований. По 14.5 ранги систем векторов і равные, то . Когда построили систему ненулевых попарно ортогональных векторов
і <, тогда вектор будем искать в виде: . Рассмотрим ()=(. Условие попарной взаимоортогональности векторов , эквивалентная тому, что 0=()+, поскольку , последнее равенство эквивалентно тому, что Таким образом, получаем систему попарно ортогональных векторов . Остается заметить, что последняя система получается из системы посредством элементарных преобразований, значиться их ранги равные , і . Таким путям мы получим систему попарно ортогональных векторов , ранг какой равный n, из чего следует, что эти векторы образовывают ортогональный базис пространства . Исходя из базиса , рассмотрим векторы . То . Па 12.9 , значит векторы образовывают ортонормированный базис.■
Св-во 13.11. Когда - ортонормированный базис εn, , то . Доказ: . Из условия ортонормируемости следует, что .■
Св-во 13.12.Когда - ортонормированный базис εn, векторы имеют в этом базисе столбцы координат X и Y соответственно, тогда . Доказ. , что по 14.4 ровно . ■
Опр Пусть P поле Непустое множество V называется линейным пространством либо векторным пространством над P элементы V будем называть... На V задана бинарная алгебраическая операция которая называется сложением... Icirc V Icirc V что Icirc V...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Ортонормированный базис евклидова пространства.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Нулевой и противоположный векторы линейного пространства
Опр.1.1. Пусть P- поле. Непустое множество V называется линейным пространством (либо векторным пространством) над P (элементы V будем называть векторами, элементы P - скалярами
Ранг матрицы. Определение и свойства
Опр. 11.1. Ранг системы векторов векторов столбцов матрицы А как векторов арифметического пространства Pm, наз. рангом матрицы А и обозначается rang(A) или rangA.
Линейные алгебры
Азн 16.16.Линейной алгеброй над полем Р называется множество А, когда над А заданы операции сложения, умножения, а также заданное умножение элементов из А на скаляры (элемен
Приведение квадратичной формы к каноническому виду
Определение 18.8. Говорят, что квадратичная форма имеет канонический вид, когда ее матрица диагональная.
Теорема 19.9. Для каждой квадратичной формы сущес
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов