рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Образование
/
Ранг матриц и системы линейных уравнений

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Ранг матриц и системы линейных уравнений

Ранг матриц и системы линейных уравнений - раздел Образование, Определение, примеры и простейшие свойства линейных пространств Пример 11.18. Найти Ранг Матрицы А. ...

Пример 11.18. Найти ранг матрицы А. .

Т. 11.19. Теорема Кронер-Капелли: Система линейных уравнений совместна , когда ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы системы. Доказательство: Пусть . Пусть эта система совместна. - решение. ,. Пусть . тогда в А МЛНП системы столбцов содержит r столбцов, но т.к. это МЛНП в А, то все столбцы из А выражаются ч/з МЛНП. Но тогда и В выражается ч/з МЛНП. Значит эти r столбцов являются МЛНП системы столбцов матрицы . Значит . Обратно. Пусть . Рассмотрим МЛНП столбцов матрицы А. Ранги равны, значит она является МЛНП системы столбцов матрицы . Т.к. система выражается ч/з свою МЛНП, то мтолбец В выражается ч/з r столбцов матрицы А, значит ч/з все стобцы матрицы А. - решение системы , т.е. система совместна. ■

Т. 11.20. Структура решений систем линейных уравнений.Пусть дана система и столбец Х* - ее решение. Тогда произвольное решение Х1 этой системы имеет вид: Х1=Х*+Х_О ,где столбец Х_О является решением однородной системы АХ=0, соотв. данной. Если Х* - решение данной системы, а Х_О – решение соотв. однородной, то Х1=Х*+Х_О – решение данной системы. Доказательство: Пусть Х* и Х1 – решение системы АХ=В. Обозначим Х_О=Х1–Х*, АХ_О=А(Х1–Х*)=АХ1–АХ*=В–В=0 значит АХ_О=0, т.е. столбец Х_О – решение соотв. однородной системы. Х1=Х*+ Х_О.Обратно. ПустьАХ*=Ви АХ_О=0, то А(Х*+ Х_О)=АХ*+А Х_О=В+0=В, Х*+ Х_О –решение системыАХ=В. ■

Следствие 11.21. Все решения системы АХ=В имеет вид Х*+ Х_О ,т.е. принадлежит множеству , где V – пространство решение, соотв. данной системы. Х*+V – линейное многообразие. Доказательство: доказано в 11.20. ■

Т. 11.22. (2 часть теоремы Кронер-Копелли) Если АХ=В – система с неизвестным и , то система имеет единственное решение. Если , то система в базисе бесконечного поля имеет бесконечное решение. Доказательство: Ранги равны, значит система совместна. если Х* - ее решение, то все решения имеют вид: если то , . если , то - число свободных переменных. V – это -мерное пространство над полем действительных чисел, значит V – бесконечно, значит X*+V – бесконечно. ■

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Определение, примеры и простейшие свойства линейных пространств

Опр Пусть P поле Непустое множество V называется линейным пространством либо векторным пространством над P элементы V будем называть... На V задана бинарная алгебраическая операция которая называется сложением... Icirc V Icirc V что Icirc V...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Ранг матриц и системы линейных уравнений

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Нулевой и противоположный векторы линейного пространства
Опр.1.1. Пусть P- поле. Непустое множество V называется линейным пространством (либо векторным пространством) над P (элементы V будем называть векторами, элементы P - скалярами

Линейно зависимые системы векторов. Критерий линейной зависимости
Опр.2.1. V - линейное пространство над P. Системой векторов называют конечную последовательность векторов

Выражение одной системы векторов через другую
Опр. 3.1. Пусть ,

Основная теорема о линейной независимости
Лемма 3.10. Пусть система векторов ,

Ранг системы векторов
Св-во 4.1. Все МЛНП данной системы векторов (1) содержат одинаковое количеств

Базис линейного пространства. Определение и простейшие свойства
Азн. 5.1. Система векторов линейного пространства V над P ,

Координаты вектора в базисе. Определение и свойства
Св-во 5.9. Пусть ,

Матрица системы векторов. Определение и свойства.
Пример 6.0. Рассмотрим пространство V2 и ее привычный базис

Матрица перехода от базиса к базису
Опр. 6.4. Пусть (1) и

Подпространства. Свойства. Линейная оболочка системы векторов
Опр. 13.1. Пусть V линейное пространство над полем Р. Непустое подмножество U

Фундаментальная система решений системы однородных линейных уравнений
Опр. 7.11.4.Фундаментальной системой решений однородной системы наз. базис пространства ее решений (как подпространство в Pn). Св-во 7.11.5. Ес

Линейные отображения, их связь с подпространствами и композиция
Теорема 8.6. Гомоморфный образ подпространства является подпространством. Пусть f: V→U - линейное отображение линейных просторов. Когда V' - подпространство в V

Изоморфизм конечномерных векторных пространств
Азн.9.1. V, U-линейные пространства над P. f: V→U- линейное отображение. Когда f - биекция, тогда f называется изоморф

Изоморфизм конечномерных пространств и системы векторов
Св-во 9.8. Пусть f: V→U - изоморфизм линейных пространств. Система векторов

Матрица линейных отображений и ее свойства
Опр. 10.1. Пусть V,U - лин. пространство над Р. (1) базис V,

Ранг матрицы. Определение и свойства
Опр. 11.1. Ранг системы векторов векторов столбцов матрицы А как векторов арифметического пространства Pm, наз. рангом матрицы А и обозначается rang(A) или rangA.

Евклидовы пространства. Определение и свойства
Опр. 12.1.V- линейное пространство над R. Скалярным произведением V называется отображение (· ; ·) :V´V

Норма вектора. Неравенство Коши-Буняковского. Угол между векторами.
Опр. 12.5. Длиной (нормой) вектора Îε называется действитель

Геометрические теоремы в евклидовых пространствах
Т 12.16.Т-ма косинусов в Евклидовом простр-ве

Ортогональные векторы и ортогональный базис.
Опр.13.1.Вектарыевклидового пространства называются ортогональными, когда

Ортонормированный базис евклидова пространства.
Азн. 13.8.Базіс(2)n-мерного евклидового пространства называется ортонормирова

Кольцо эндоморфизмов линейного пространства
Св-во 15.13.End(V) замкуто относительно операции композиции отображений End(V)и является – моноидом. Док-во.Когда

Линейные алгебры
Азн 16.16.Линейной алгеброй над полем Р называется множество А, когда над А заданы операции сложения, умножения, а также заданное умножение элементов из А на скаляры (элемен

Характеристические многочлены и собственные числа
Азн. 16.8 Пусть (3) -базис пространства V, fÎEnd(V) і А

Квадратичные формы. Матрицы замены
Определение 18.1. Квадратичной формой от букв (переменных) называются

Приведение квадратичной формы к каноническому виду
Определение 18.8. Говорят, что квадратичная форма имеет канонический вид, когда ее матрица диагональная. Теорема 19.9. Для каждой квадратичной формы сущес