Подпространства. Свойства. Линейная оболочка системы векторов
Подпространства. Свойства. Линейная оболочка системы векторов - раздел Образование, Определение, примеры и простейшие свойства линейных пространств Опр. 13.1. Пусть V Линейное Пространство Над Полем Р...
Опр. 13.1. Пусть V линейное пространство над полем Р. Непустое подмножество UVназывают подпространством пространства V, когда U является линейным пространством относительно операций, какие указанный в V.
Ул.7.6. Когда U и W подпространства пространства V, тогда U∩W - подпространство пространства V. Доказательство.1. Так как U і W, U∩W , значиться U∩W≠Ø .
2. Когда и и U∩W,тогда по 7.2.2 +U и +W,откуда+U∩W.
3. Когда U∩W і λР, тогда по 7.2.3 λU и λW, значиться λU∩W■
Итог.7.7. Когда {Ui}(iІ)линейные подпространства V, тогда U= ∩Ui- подпространство в V.
Доказательство. Аналогично 7.6. ■
Ул.7.3. Когда U подпространство линейного пространства V и dim V<∞,тогда dim U≤ dim V. Доказательство. Когда U={} утверждение очевидно. Когда U≠{}, тогда dimU=k і u1,…,ukбазис U. Тогда, по 5.4, k≤ dim V.■
Ул.7.4. Когда U подпространство в V, dim V<∞ и dim U= dim V, тогдп U=V. Доказательство.Пусть - базис U, тогда это n линейно независимых векторов n-мерного пространства V. Значит это базис V. ■
Ул.7.5. Пусть размерность dim V<∞ ив V, тогда произвольный базис подпространства U в V можно дополнить до базиса пространства V. Доказательство. Следует из теоремы (Любая линейнозависимая подсистема системы содержится в ее МЛНП, в частности, любой ненулевой вектор из содержится в МЛНП.) и определения базиса. ■
Азн.7.8. V- линейное пространство над Р,,,...,V.Через L(,,...,)= {λ1+…+λn|λ iP}будем обозначать линейную оболочку множества векторов{},i=.
Св-во 7.7. L(,,...,) – подпространство V (натянутый на вектор ,,...,). Доказательство: .Пусть ,тоэто подпространство. ■
Ул.7.9. L(,,...,)- наименьшая из подпространств V, что удерживает {,,...,}. [Наименьшая в том смысле, что когда U подпространство в V и {,,...,}U, тогда L(,,...,)U]. Доказательство:Пусть U удовлетворяет условию свойства, тогда ■
Св-во 7.10.Пусть ,,...,- система векторов пространства V, содержащая хотя бы 1 ненулевой вектор, тогда если ранг этой системы векторов = r, то и для любой МЛНП этой системы векторов является базисом . Доказательство: Пусть ,,...,- МЛНП, тогда лин.завис. Любой вектор системы выражается через МЛНП, а МЛНП полна в L, значит МЛНП – базис в L. ■
Опр Пусть P поле Непустое множество V называется линейным пространством либо векторным пространством над P элементы V будем называть... На V задана бинарная алгебраическая операция которая называется сложением... Icirc V Icirc V что Icirc V...
Нулевой и противоположный векторы линейного пространства
Опр.1.1. Пусть P- поле. Непустое множество V называется линейным пространством (либо векторным пространством) над P (элементы V будем называть векторами, элементы P - скалярами
Ранг матрицы. Определение и свойства
Опр. 11.1. Ранг системы векторов векторов столбцов матрицы А как векторов арифметического пространства Pm, наз. рангом матрицы А и обозначается rang(A) или rangA.
Линейные алгебры
Азн 16.16.Линейной алгеброй над полем Р называется множество А, когда над А заданы операции сложения, умножения, а также заданное умножение элементов из А на скаляры (элемен
Приведение квадратичной формы к каноническому виду
Определение 18.8. Говорят, что квадратичная форма имеет канонический вид, когда ее матрица диагональная.
Теорема 19.9. Для каждой квадратичной формы сущес
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов