Матрица перехода от базиса к базису - раздел Образование, Определение, примеры и простейшие свойства линейных пространств Опр. 6.4. Пусть ...
Опр. 6.4. Пусть (1) и ,,…,(4) - базисы пространства V. Матрица системы векторов (4) в базисе (1) называется матрицей перехода к новому базису. (Матрицей перехода ли от (1) к (4), матрицей преобразования ли координат.)
Теорема 6.5. Матрица перехода от базиса к базису - невырожденная. Доказательство. (1) - базис, значит "k і А=()- матрица (4) в (1). Поскольку (4) – базис "j= . Когда В=(), тогда . Получили но (1) - базис, значит, когда i=j , тогда , а когда i≠j , j, тогда . Со второй стороны, , значит, , A×B=Еn. (5) – единичная матрица. Следует, что А и В - невырожденные и взаимно-обратные.■
Вывод.6.6. Матрицы перехода от (1) к (4) и от (4) к (1) - взаимно обратные. Доказательство. Сохраним обозначения док-ва 6.5. А – матрица перехода от (1) к (4), В – матрица перехода от (4) к (1). Из того, что A×B=Еn (5) – единичная матрица, значит, что В=А–1, А=В–1.■
Теорема 6.7. Когда А - матрица перехода от (1) к (4), и имеет в базисе (1) столбец координат , а в базисе (2) , тогда C=A×Y. Доказательство. Сохраним обозначения теоремы 6.5. Пусть и эти векторы имеют столбцы координат C, Y. Тогда , значит, , и C=A×Y. ■
Следствие 6.8. (1) и (4) – базис. А – матрица перехода от (1) к (4), Х,Y – координаты векторов в базисах (1) и (4) соответственно, тогда Y=A–1X. Доказательство. В 6.7. доказано, что C=A×Y. Умножим слева на A–1.■
Пример 6.9: Старый базис: ,.Новый базис: =+2, =3+4. в ,.
в , где Т – матрица перехода от старого к новому базису. .
система векторов линейно зависима.■
Теорема 6.10. Пусть (1) – базис пространства V, (4) – сістема векторов пространства V, которое в базисе (1) имеет матрицу А. Тогда система векторов (4) является базисом пространства V, значит, когда матрица А невырожденная, (4) – базис, то .
Доказательство. Если (4) – базис, то доказано в 6.5. Пусть . В (4) столько векторов, какова размерность пространства. Если докажем, что (4) – лин. независ., то по 5.9. докажем, что (4)-базис. . По определению матрицы системы векторов .
Опр Пусть P поле Непустое множество V называется линейным пространством либо векторным пространством над P элементы V будем называть... На V задана бинарная алгебраическая операция которая называется сложением... Icirc V Icirc V что Icirc V...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Матрица перехода от базиса к базису
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Нулевой и противоположный векторы линейного пространства
Опр.1.1. Пусть P- поле. Непустое множество V называется линейным пространством (либо векторным пространством) над P (элементы V будем называть векторами, элементы P - скалярами
Ранг матрицы. Определение и свойства
Опр. 11.1. Ранг системы векторов векторов столбцов матрицы А как векторов арифметического пространства Pm, наз. рангом матрицы А и обозначается rang(A) или rangA.
Линейные алгебры
Азн 16.16.Линейной алгеброй над полем Р называется множество А, когда над А заданы операции сложения, умножения, а также заданное умножение элементов из А на скаляры (элемен
Приведение квадратичной формы к каноническому виду
Определение 18.8. Говорят, что квадратичная форма имеет канонический вид, когда ее матрица диагональная.
Теорема 19.9. Для каждой квадратичной формы сущес
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов