Матрица системы векторов. Определение и свойства. - раздел Образование, Определение, примеры и простейшие свойства линейных пространств Пример 6.0. Рассмотрим Пространство V2...
Пример 6.0. Рассмотрим пространство V2 и ее привычный базис ,. Векторы =+2, =3+4 - неколлинеарные, значит они линейно независимые и образовывают базис V2. Вектор v=2+6- столбец координат X=в базисе ,.. Найдем его координаты y1, y2 в базисе,.. По определению y1+y2=, откуда y1(+2)+y2(3+4)= 2+6,или (y1+3y2)+(2y1+4y2)= 2+6.Поскольку ,- базис, значит , из чего следует, что , откуда получаем ответ: Y=.
Опр. 6.1. V - линейное пространство над P, dimV=n, данный базис V, ,(1) и произвольная система векторов(2) . Пусть "i=++… + = (3). Матрица А=()n´m называется матрицей системы векторов (2) в базисе (1). Внимание! Матрица системы векторов записывается по столбцам.
Пример 6.2. V2. – базис. В этом базисе система векторов ; ; имеет матрицу A=. Система векторовв этом базисе моей матрицу, а система векторов ; - матрицу T=. Св-во 6.3. Матрица базиса относительно себя единичная.
Опр. 6.4. Пусть (1) и ,,…,(4) - базисы пространства V. Матрица системы векторов (4) в базисе (1) называется матрицей перехода к новому базису. (Матрицей перехода ли от (1) к (4), матрицей преобразования ли координат.)
Теорема 6.5. Матрица перехода от базиса к базису - невырожденная. Доказательство. (1) - базис, значит "k і А=()- матрица (4) в (1). Поскольку (4) – базис "j= . Когда В=(), тогда . Получили но (1) - базис, значит, когда i=j , тогда , а когда i≠j , j, тогда . Со второй стороны, , значит, , A×B=Еn. (5) – единичная матрица. Следует, что А и В - невырожденные и взаимно-обратные.■
Вывод.6.6. Матрицы перехода от (1) к (4) и от (4) к (1) - взаимно обратные. Доказательство. Сохраним обозначения док-ва 6.5. А – матрица перехода от (1) к (4), В – матрица перехода от (4) к (1). Из того, что A×B=Еn (5) – единичная матрица, значит, что В=А–1, А=В–1.■
Тогда , значит, , и C=A×Y. ■
Теорема 6.7. Когда А - матрица перехода от (1) к (4), и имеет в базисе (1) столбец координат , а в базисе (2) , тогда C=A×Y. Доказательство. Сохраним обозначения теоремы 6.5. Пусть и эти векторы имеют столбцы координат C, Y.
Опр Пусть P поле Непустое множество V называется линейным пространством либо векторным пространством над P элементы V будем называть... На V задана бинарная алгебраическая операция которая называется сложением... Icirc V Icirc V что Icirc V...
Нулевой и противоположный векторы линейного пространства
Опр.1.1. Пусть P- поле. Непустое множество V называется линейным пространством (либо векторным пространством) над P (элементы V будем называть векторами, элементы P - скалярами
Ранг матрицы. Определение и свойства
Опр. 11.1. Ранг системы векторов векторов столбцов матрицы А как векторов арифметического пространства Pm, наз. рангом матрицы А и обозначается rang(A) или rangA.
Линейные алгебры
Азн 16.16.Линейной алгеброй над полем Р называется множество А, когда над А заданы операции сложения, умножения, а также заданное умножение элементов из А на скаляры (элемен
Приведение квадратичной формы к каноническому виду
Определение 18.8. Говорят, что квадратичная форма имеет канонический вид, когда ее матрица диагональная.
Теорема 19.9. Для каждой квадратичной формы сущес
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов