Реферат Курсовая Конспект
Метод Ньютона - раздел Образование, Абсолютна і відносна похибки Метод Ньютона (Метод Дотичних) Для Наближеного Розв’Язку Рівняння ...
|
Метод Ньютона (метод дотичних) для наближеного розв’язку рівняння полягає в побудові ітераційної послідовності
, (2.22)
що збігається до кореня рівняння, на відрізку локалізації кореня.
Теорема 7Якщо f(a) f(b)<0, причому f¢(x) і f²(x) не дорівнюють нулю і зберігають певні знаки при a £ x £ b, то, виходячи з початкового наближення x0Î[a,b], що задовольняє нерівність
, (2.23)
можна обчислити методом Ньютона єдиний корінь x рівняння з будь-яким ступенем точності.
Доведення.Нехай, наприклад, f(а)<0, f(b)>0, f¢(x)>0, f²(x)>0 при a £ x £b (інші випадки розглядаються аналогічно). Відповідно до нерівності (2.23) маємо f(x0)>0. (наприклад, можна взяти x0=b). Методом математичної індукції доведемо, що всі наближення xn>x (n=0,1,2…) і, отже, f(xn)>0. Справді, насамперед, x0>x. Нехай тепер xn>x. Покладемо x = xn + (x - xn).
Застосовуючи формулу Тейлора, одержимо
0 = f(x)= f(xn) + f¢(xn)(x - xn)+, (2.24)
де x<cn<xn. Оскільки f²(x)>0, маємо
і отже, , що і потрібно було довести.
З огляду на знаки f(xn) та f¢(xn), маємо xn+1<xn (n=0,1,…), тобто послідовні наближення x0,x1,…,xn,…утворять обмежену монотонно спадну послідовність. Отже, існує .
Переходячи до границі в рівності (2.22), будемо мати
,
тобто f()= 0. Звідси =x, що і потрібно було довести.
Тому, застосовуючи метод Ньютона, варто керуватися таким правилом: за вихідну точку x0 вибирається той кінець інтервалу (а,b), якому відповідає ордината того самого знака, що і знак f²(x).
Зауваження. З формули (2.22) бачимо, що чим більше числове значенняf¢(x) в околі кореня, тим меншою є поправка, яку треба додати до попереднього наближення, щоб отримати наступне. З цієї причини метод Ньютона особливо зручний тоді, коли в околі кореня графік функції має велику крутизну. Якщо ж f¢(x) біля кореня – мала, то застосовувати даний метод не рекомендується.
Для оцінки похибки n-го наближення xn можна скористатися формулою
, (2.25)
де m1 найменше значення ½f¢(x)½ на відрізку [a,b].
Виведемо ще одну формулу для оцінки точності наближення xn.
Застосовуючи формулу Тейлора, маємо:
, (2.26)
де xn-1Î (xn-1, xn). Оскільки з визначення наближення xn маємо
, то з (2.26) знаходимо:де М2 – найбільше значення ½f² (x)½ на відрізку [a,b]. Отже, на підставі формули (26) остаточно одержуємо
(2.27)
Якщо процес збігається, то xn-xn-1 ®0 при n®¥. Тому при n³N маємо тобто «усталені» початкові десяткові знаки наближень xn-1 і xn, починаючи з деякого наближення, є правильними.
Зауважимо, що в загальному випадку збіг з точністю до e двох послідовних наближень xn-1 і xn зовсім не гарантує, що з тією самою точністю збігаються значення xn і точний корінь x.
Проаналізуємо абсолютні похибки двох послідовних наближень xn і xn+1. З формули (2.24) одержуємо
,
де cnÎ (xn,x). Звідси, з огляду на формулу (2.22), будемо мати
і, отже,
. (2.28)
Формула (2.28) забезпечує швидку збіжність процесу Ньютона, якщо початкове наближення x0 таке, що . Зокрема, якщо і , тобто наближення xn мало m правильних десяткових знаків після коми, то наступне наближення xn+1 буде мати не менше 2m правильних знаків; іншими словами, якщо , то за допомогою методу Ньютона число правильних знаків після коми шуканого кореня x подвоюється на кожному кроці.
Приклад. Знайти корінь рівняння з точністю
1 Це рівняння має один корінь на (f(0)f(1))<0)
Знайдемо похідні
.
2 Вибираємо початкове наближення кореня так, щоб Обираємо , тому що .
3 Будуємо ітераційну послідовність
4 Обчислення припиняємо , тому що , і за наближене значення кореня з точністю беремо
Приклад реалізації чисельного алгоритму розв’язування нелінійних рівнянь на псевдокоді
//Метод Ньютона. Вважаємо, що умова збіжності методу перевірена
f(x):
//повертає значення функції для даного х
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
С... Розділ Основні проблеми чисельного розв язання Класифікація похибок...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Метод Ньютона
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов