рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Образование
/
Схеми Рунге-Кутта другого порядку

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Схеми Рунге-Кутта другого порядку

Схеми Рунге-Кутта другого порядку - раздел Образование, Абсолютна і відносна похибки Невисокий Ступінь Точності Методу Ейлера Визначається Перш За Все Тим, Що Зал...

Невисокий ступінь точності методу Ейлера визначається перш за все тим, що залишковий член формули (8.4) . Зажадаємо, щоб . За формулою Тейлора

де залишковий член

. (8.9)

Рівність (8.9) справедлива, якщо у'’’(x) обмежена на . З (8.1) випливає

Тут треба обчислювати частинні похідні функції f(x,y), що з причин, зазначених раніше, небажано. Щоб уникнути диференціювання, замінимо виразом

де - деякі параметри. Тоді, якщо у формулі (8.9) відкинути залишок r , одержимо

або , (8.10)

де ; .

Параметри виберемо так, щоб розкладання точного розв’язку задачі (8.1)- (8.2) у вузлі і його наближення , що обчислюється за формулою (8.10), у ряди за степенями , збігалися з точністю до нескінченно малої найбільш високого порядку щодо .

Для одержання точного розв’язку використовуємо формулу (8.9)

аналогічно для наближеного розв’язку

Припускаючи, що , і порівнюючи члени при однакових степенях , одержимо

Для визначення чотирьох невідомих параметрів маємо три рівняння. Виразимо через інші параметри: .

Підставляючи ці значення у (8.10), одержимо однопараметричне сімейство двочленних схем Рунге-Кутта:

(8.11)

Відзначимо, що вибрати параметр так, щоб збігалися коефіцієнти у формулі Тейлора при , неможливо.

Формула (8.11) завдяки своїй досить великій точності широко використовується в чисельних розрахунках, при цьому найчастіше беруть або , або .

Підставляючи в (8.11) , одержимо розрахункову формулу

, (8.12)

відому як формулу вдосконаленого методу Ейлера.

При використанні даного методу спочатку за формулою (8.5) обчислюємо наближене значення розв’язку при . Після цього в знайденій точці визначаємо нахил інтегральної кривої: , а потім знаходимо значення

.

Покладаючи в (8.11) =0,5, одержимо

(8.13)

При використанні формули (8.13) спочатку обчислюється за методом Ейлера наближене значення , потім нахил інтегральної кривої в новій точці (рис. 8.4) Після цього визначається уточнене значення

. (8.14)

Розрахункова схема (8.13) або (8.14) називається методом Ейлера-Коші, або обчислювальним правилом типу предиктор-коректор.

Для схеми (8.14) можна довести, що якщо f(x,y) неперервна й обмежена разом зі своїми другими похідними, то розв’язок, отриманий за схемою (8.11) при будь-якому і при , рівномірно збігається до точного розв’язку із сумарною похибкою . Отже, схема (8.11) має другий порядок точності.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Абсолютна і відносна похибки

С... Розділ Основні проблеми чисельного розв язання Класифікація похибок...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Схеми Рунге-Кутта другого порядку

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Похибки наближеного методу
У випадку, коли розв’язати задачу точно неможливо, доводиться застосовувати різні наближені методи. Результати такого підходу завчасно містять похибки, характер яких залежить від використовуваного

Похибки заокруглень при розрахунках
При реалізації на ЕОМ алгоритмів, що містять велику кількість операцій множення і ділення, типовими є похибки округлення. При виконанні операцій множення кількість розрядів може зрости насті

Поширення похибок
Важливим у чисельному аналізі є питання про те, як помилка, що виникла у визначеному місці в ході обчислень, поширюється далі, тобто чи стає її вплив більшим або меншим залежно від

Машинна арифметика
ВЕОМ для кодування дійсних чисел використовується двійкова система зчислення й прийнята форма подання чисел із плаваючою точкою

Метод Ньютона
Метод Ньютона (метод дотичних) для наближеного розв’язку рівняння полягає в побудові ітераційної послідовно

Метод Ньютона для знаходження кратного кореня
Метод Ньютона на випадок кратного кореня має лише лінійну швидкість збіжності. Щоб зберегти квадратичну збіжність, його модифікують у такий спосіб:

Метод Гауcа
Цей метод базується на приведенні шляхом еквівалентних перетворень вихідної системи (3.1) до вигляду з верхньою трикутною матрицею.

Метод Краута
Суть методу Краута, або LU-розкладання, полягає в тому, що це своєрідний перезапис методу Гауса. Він дозволяє зробити зручною комп’ютерну реалізацію методу Гауса. Можна явно виділити два ета

Метод прогонки
Це - ще одна модифікація методу Гауса для систем лінійних алгебраїчних рівнянь спеціального вигляду. Нехай потрібно знайти розв’язок системи так званих триточкових рівнянь:

Алгоритм методу Зейделя
Вхідні параметри: B та c - матриця B та вектор правої частини c системы x=Bx+c; n- порядок матр

Нтерполювання за Лагранжем
За цією методикою попередньо визначають допоміжні поліноми -го порядку

Нтерполювання за Ньютоном
Недоліком інтерполювання за Лагранжем є те, що якщо для поліпшення наближення додати ще один вузол інтерполювання, доведеться всі обчислення проводити заново. На практиці ч

Метод Рунге-Ромберга
Загальна ідея методу така: маємо деяку наближену формулу (х,к) для обчислення величи

Зауваження
1 Формула Рунге - Ромберга має ту перевагу, що вона може бути застосована для довільних кроків та числа сі

Процес Ейткена
Метод розрахунків на декількох сітках застосовується для підвищення порядку точності і в тому випадку, коли невідомий порядок головного члена похибки. Він має назву процесу Ейткена. Нехай

Квадратурна формула Гауса
Загальний підхід для побудови квадратурної формули для інтегралів полягає у виборі параметрів

Квадратурна формула Чебишева
Візьмемо за основу формулу і будемо вважати всі квадратурні коефіцієнти однаковими:

Кубатурна формула типу Симпсона
Нехай областю інтегрування є K-вимірний просторовий паралелепіпед (рис.7.6), сторони якого паралельні осям

Метод Ейлера
Ознайомлення з чисельними методами розв’язання звичайних диференціальних рівнянь першого порядку почнемо з вивчення методу Ейлера для задачі Коші

Схеми Рунге-Кутта четвертого порядку
Методом Рунге-Кутта можна будувати схеми різного порядку точності. Так схема ламаних Ейлера (8.5) є схемою Рунне-Kyттa першого порядку точності. Найбільш уживані схеми четвертого порядку т

Методи Адамса
На відміну від однокрокових методів, у яких числовий розв’язок одержують тільки з диференціального рівняння і початкової умови, алгоритми Адамса складаються з двох частин: перша з н