рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Образование
/
Метод Ейлера

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Метод Ейлера

Метод Ейлера - раздел Образование, Абсолютна і відносна похибки Ознайомлення З Чисельними Методами Розв’Язання Звичайних Диференціальних Рівн...

Ознайомлення з чисельними методами розв’язання звичайних диференціальних рівнянь першого порядку почнемо з вивчення методу Ейлера для задачі Коші

, (8.1)

. (8.2)

Відзначимо, що на практиці цей метод використовується рідко через невисоку точність, однак він є найпростішим з чисельних методів і на його прикладі зручно пояснити їх суть, способи побудови і дослідження.

Для розв’язання задачі потрібно знайти наближені значення точного розв’язку рівняння (8.1). Уведемо позначення . Припустимо, що розв’язок задачі (8.1) — (8.2) у вузлі відомий. Знайдемо розв’язок у наступному вузлі . Використовуючи формулу Тейлора, одержимо

(8.3)

Відзначимо, що похідну , що стоїть у правій частині, можна знайти, диференціюючи рівняння (8.1).

Підставимо у формулі (8.3), тоді

. (8.4)

Припускаючи, що на відрізку обмежена, маємо . Однак використовувати формулу (8.4) незручно з таких міркувань:

1) вираз може виявитися громіздким; 2) якщо права частина рівняння (8.1) відома лише приблизно, що часто має місце при розв’язанні технічних задач, знаходити її похідні небажано.

Якщо має q-і неперервні похідні по сукупності аргументів, то в розкладанні (8.3) можна враховувати значення членів аж до

Відкидаючи в (8.4) величини другого порядку малості при в порівнянні з кроком сітки , одержуємо формулу для обчислення наближеного значення у вузлі З огляду на те, що , виводимо розрахункову формулу методу Ейлера

. (8.5)

Для чисельного розрахунку за формулою (8.5) досить знати . Потім, використовуючи (8.5), можна послідовно знайти значення розв’язку відповідно в точках

Рис. – 8.1

Геометрична інтерпретація методу Ейлера показана на рис. 8.1, де зображена множина інтегральних кривих рівняння (8.1). Використання тільки першого члена формули Тейлора рівносильне заміні інтегральної кривої на відрізку [] дотичною до неї в точці (). На кожному кроці заново визначається дотична, і, отже, траєкторія буде ламаною лінією. Тому метод Ейлера називають також методом ламаних.

При визначенні наближеного розв’язку задачі надзвичайно важлива оцінка похибки використовуваного методу. Розглянемо таку оцінку для методу Ейлера.

Припустимо, що початкова умова задана точно. При одержанні (8.5) у формулі Тейлора був відкинутий член, що містить .

На першому кроці, при обчисленні , отримана похибка , яка називається локальною похибкою, або похибкою на кроці.

На другому кроці обчислюється за формулою . Величина , знайдена раніше, визначена наближено. Тому сумарна похибка на другому кроці буде викликана не тільки заміною інтегральної кривої на відрізку дотичною до неї, але і помилкою, допущеною на першому кроці.

Аналогічно сумарна похибка n-го кроку залежить не тільки від заміни інтегральної кривої на відрізку дотичною, але і від помилок, допущених при обчисленні (рис. 8.2). У випадку, коли початкова умова задана неточно, сумарна похибка на будь-якому кроці буде залежати і від похибки початкової умови (8.2).

Розглянемо похибку наближеного розв’язку , знайденого методом Ейлера (рис. 8.2).

Припустимо, що функція f(x, у) з (8.1) неперервна і має неперервні перші похідні в області зміни своїх аргументів. Віднімаючи (8.5) з (8.4) , одержимо

Використовуючи формулу Тейлора, з урахуванням того, що , одержуємо

.

Звідси .

Рис. – 8.2

Отже, з точністю до величин більш високого порядку малості,

Таким чином,

.

Аналогічно

Продовжуючи цей процес, одержимо

(8.6)

Таким чином, похибка на довільному кроці m виражається через похибку .

При малих має місце така оцінка:

.

Аналогічно

.

Тут h(t) – кусково-лінійна функція, значення якої в кожному вузлі дорівнює .

Підставляючи ці вирази у формулу (8.6), одержимо оцінку похибки на довільному кроці m:

(8.7)

Вона складається з двох доданків, перший з яких обумовлений похибкою початкових даних. Якщо вони точні, =0, що і будемо припускати надалі.

Поява другого доданка пов'язана з відкиданням у рівності (8.5) залишкового члена формули Тейлора. Оцінимо цей доданок зверху.

Припустимо, що на відрізку , |, |.

Тоді

, де (8.8)

З нерівності (8.8) випливає твердження.

Якщо f(x,y) неперервна й обмежена в системі зі своїми першими похідними в області зміни своїх аргументів, то наближений розв’язок задачі (8.1) – (8.2), знайдений методом Ейлера, при збігається до точного розв’язку рівномірно на обмеженому відрізку із сумарною похибкою .

Отже, метод Ейлера має перший порядок точності.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Абсолютна і відносна похибки

С... Розділ Основні проблеми чисельного розв язання Класифікація похибок...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Метод Ейлера

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Похибки наближеного методу
У випадку, коли розв’язати задачу точно неможливо, доводиться застосовувати різні наближені методи. Результати такого підходу завчасно містять похибки, характер яких залежить від використовуваного

Похибки заокруглень при розрахунках
При реалізації на ЕОМ алгоритмів, що містять велику кількість операцій множення і ділення, типовими є похибки округлення. При виконанні операцій множення кількість розрядів може зрости насті

Поширення похибок
Важливим у чисельному аналізі є питання про те, як помилка, що виникла у визначеному місці в ході обчислень, поширюється далі, тобто чи стає її вплив більшим або меншим залежно від

Машинна арифметика
ВЕОМ для кодування дійсних чисел використовується двійкова система зчислення й прийнята форма подання чисел із плаваючою точкою

Метод Ньютона
Метод Ньютона (метод дотичних) для наближеного розв’язку рівняння полягає в побудові ітераційної послідовно

Метод Ньютона для знаходження кратного кореня
Метод Ньютона на випадок кратного кореня має лише лінійну швидкість збіжності. Щоб зберегти квадратичну збіжність, його модифікують у такий спосіб:

Метод Гауcа
Цей метод базується на приведенні шляхом еквівалентних перетворень вихідної системи (3.1) до вигляду з верхньою трикутною матрицею.

Метод Краута
Суть методу Краута, або LU-розкладання, полягає в тому, що це своєрідний перезапис методу Гауса. Він дозволяє зробити зручною комп’ютерну реалізацію методу Гауса. Можна явно виділити два ета

Метод прогонки
Це - ще одна модифікація методу Гауса для систем лінійних алгебраїчних рівнянь спеціального вигляду. Нехай потрібно знайти розв’язок системи так званих триточкових рівнянь:

Алгоритм методу Зейделя
Вхідні параметри: B та c - матриця B та вектор правої частини c системы x=Bx+c; n- порядок матр

Нтерполювання за Лагранжем
За цією методикою попередньо визначають допоміжні поліноми -го порядку

Нтерполювання за Ньютоном
Недоліком інтерполювання за Лагранжем є те, що якщо для поліпшення наближення додати ще один вузол інтерполювання, доведеться всі обчислення проводити заново. На практиці ч

Метод Рунге-Ромберга
Загальна ідея методу така: маємо деяку наближену формулу (х,к) для обчислення величи

Зауваження
1 Формула Рунге - Ромберга має ту перевагу, що вона може бути застосована для довільних кроків та числа сі

Процес Ейткена
Метод розрахунків на декількох сітках застосовується для підвищення порядку точності і в тому випадку, коли невідомий порядок головного члена похибки. Він має назву процесу Ейткена. Нехай

Квадратурна формула Гауса
Загальний підхід для побудови квадратурної формули для інтегралів полягає у виборі параметрів

Квадратурна формула Чебишева
Візьмемо за основу формулу і будемо вважати всі квадратурні коефіцієнти однаковими:

Кубатурна формула типу Симпсона
Нехай областю інтегрування є K-вимірний просторовий паралелепіпед (рис.7.6), сторони якого паралельні осям

Схеми Рунге-Кутта другого порядку
Невисокий ступінь точності методу Ейлера визначається перш за все тим, що залишковий член формули (8.4) .

Схеми Рунге-Кутта четвертого порядку
Методом Рунге-Кутта можна будувати схеми різного порядку точності. Так схема ламаних Ейлера (8.5) є схемою Рунне-Kyттa першого порядку точності. Найбільш уживані схеми четвертого порядку т

Методи Адамса
На відміну від однокрокових методів, у яких числовий розв’язок одержують тільки з диференціального рівняння і початкової умови, алгоритми Адамса складаються з двох частин: перша з н