рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Образование
/
Квадратурна формула Гауса

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Квадратурна формула Гауса

Квадратурна формула Гауса - раздел Образование, Абсолютна і відносна похибки Загальний Підхід Для Побудови Квадратурної Формули Для Інтегралів ...

Загальний підхід для побудови квадратурної формули для інтегралів полягає у виборі параметрів фіксоване) так, щоб забезпечити максимально можливий степінь точності. Квадратурна формула з такою властивістю носить назву формули Гауса. У розглянутих квадратурних формулах вибирали і знаходили вузли та ваги, а отже, тим самим не було використано всі можливості загальної квадратурної формули.

К.Ф.Гаус звернув увагу, що квадратурна формула має невідомих параметрів та , тобто саме стільки, скільки параметрів має алгебраїчний поліном степеня . Він запропонував підбирати ці параметри так, щоб квадратурна формула була точною для підінтегральної функції у вигляді полінома степеня, не вищого за .

Спочатку для спрощення розглянемо відрізок , тобто інтеграл вигляду

(7.7)

Отже, знайдемо параметри з таких умов:

(7.8)

Це система нелінійних алгебраїчних рівнянь відносно , .

Для подальшого спрощення вважатимемо, що .

Якщо одержимо і система набере вигляду

із другого рівняння випливає, що , тобто дійшли відомої формули середніх для відрізка

яка є точною для будь-якого полінома 1-го степеня.

Якщо , система матиме такий вигляд ():

Розв’язавши цю систему, знайдемо:

тобто маємо квадратурну формулу

яка є точною для будь-якого полінома 3-го степеня.

За довільного як вузли квадратурної формули Гауса беруть нулі поліномів Лежандра

а ваги цієї квадратурної формули визначають за таким виразом:

(7.9)

Маючи значення та вузлів на відрізку , значення інтеграла на довільному відрізку обчислюється за такою квадратурною формулою Гауса:

Похибка квадратурної формули Гауса має вигляд

Зауважимо, що, починаючи з , і вузли, і ваги є ірраціональними числами, а кінці a і b ніколи не входять до вузлів.

Іншими прикладами квадратурних формул типу Гауса є формули Чебишева, Ерміта.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Абсолютна і відносна похибки

С... Розділ Основні проблеми чисельного розв язання Класифікація похибок...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Квадратурна формула Гауса

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Похибки наближеного методу
У випадку, коли розв’язати задачу точно неможливо, доводиться застосовувати різні наближені методи. Результати такого підходу завчасно містять похибки, характер яких залежить від використовуваного

Похибки заокруглень при розрахунках
При реалізації на ЕОМ алгоритмів, що містять велику кількість операцій множення і ділення, типовими є похибки округлення. При виконанні операцій множення кількість розрядів може зрости насті

Поширення похибок
Важливим у чисельному аналізі є питання про те, як помилка, що виникла у визначеному місці в ході обчислень, поширюється далі, тобто чи стає її вплив більшим або меншим залежно від

Машинна арифметика
ВЕОМ для кодування дійсних чисел використовується двійкова система зчислення й прийнята форма подання чисел із плаваючою точкою

Метод Ньютона
Метод Ньютона (метод дотичних) для наближеного розв’язку рівняння полягає в побудові ітераційної послідовно

Метод Ньютона для знаходження кратного кореня
Метод Ньютона на випадок кратного кореня має лише лінійну швидкість збіжності. Щоб зберегти квадратичну збіжність, його модифікують у такий спосіб:

Метод Гауcа
Цей метод базується на приведенні шляхом еквівалентних перетворень вихідної системи (3.1) до вигляду з верхньою трикутною матрицею.

Метод Краута
Суть методу Краута, або LU-розкладання, полягає в тому, що це своєрідний перезапис методу Гауса. Він дозволяє зробити зручною комп’ютерну реалізацію методу Гауса. Можна явно виділити два ета

Метод прогонки
Це - ще одна модифікація методу Гауса для систем лінійних алгебраїчних рівнянь спеціального вигляду. Нехай потрібно знайти розв’язок системи так званих триточкових рівнянь:

Алгоритм методу Зейделя
Вхідні параметри: B та c - матриця B та вектор правої частини c системы x=Bx+c; n- порядок матр

Нтерполювання за Лагранжем
За цією методикою попередньо визначають допоміжні поліноми -го порядку

Нтерполювання за Ньютоном
Недоліком інтерполювання за Лагранжем є те, що якщо для поліпшення наближення додати ще один вузол інтерполювання, доведеться всі обчислення проводити заново. На практиці ч

Метод Рунге-Ромберга
Загальна ідея методу така: маємо деяку наближену формулу (х,к) для обчислення величи

Зауваження
1 Формула Рунге - Ромберга має ту перевагу, що вона може бути застосована для довільних кроків та числа сі

Процес Ейткена
Метод розрахунків на декількох сітках застосовується для підвищення порядку точності і в тому випадку, коли невідомий порядок головного члена похибки. Він має назву процесу Ейткена. Нехай

Квадратурна формула Чебишева
Візьмемо за основу формулу і будемо вважати всі квадратурні коефіцієнти однаковими:

Кубатурна формула типу Симпсона
Нехай областю інтегрування є K-вимірний просторовий паралелепіпед (рис.7.6), сторони якого паралельні осям

Метод Ейлера
Ознайомлення з чисельними методами розв’язання звичайних диференціальних рівнянь першого порядку почнемо з вивчення методу Ейлера для задачі Коші

Схеми Рунге-Кутта другого порядку
Невисокий ступінь точності методу Ейлера визначається перш за все тим, що залишковий член формули (8.4) .

Схеми Рунге-Кутта четвертого порядку
Методом Рунге-Кутта можна будувати схеми різного порядку точності. Так схема ламаних Ейлера (8.5) є схемою Рунне-Kyттa першого порядку точності. Найбільш уживані схеми четвертого порядку т

Методи Адамса
На відміну від однокрокових методів, у яких числовий розв’язок одержують тільки з диференціального рівняння і початкової умови, алгоритми Адамса складаються з двох частин: перша з н