Расчет установившихся режимов электроэнергетических систем

Расчет установившихся режимов электроэнергетических систем ВВЕДЕНИЕ В современных условиях расчет установившихся режимов электроэнергетиче¬ской системы является наиболее часто решаемой задачей. При проектировании ЭЭС расчет установившихся режимов осуществляется с целью выбора и уточнения парамет¬ров проектируемой системы.В процессе эксплуатации подобные расчеты позволяют оперативно управлять и прогнозировать работу ЭЭС. При этом осуществляется оценка допустимости режима по условиям обеспечения нормальной работы оборудования и определение режимов, опти¬мальных по технико-экономическим критериям.

Задача расчета установившихся режимов ЭЭС сводится к определению сово¬купности параметров, характеризующих работу системы: напряжений в различных точ¬ках системы, токов в её элементах, потоков мощности и потерь мощности и т.д. Проведение расчета связано с рядом основных этапов: 1.Предварительные преобразования и переход к расчетной схеме электрической системы; 2. Формирование уравнения состояния по известным исходным данным с уче¬том структуры расчетной схемы; 3. Выбор метода расчета и составление алгоритма и программы на ЭВМ; 4. Проведение расчета установившегося режима на ЭВМ; 5. Анализ точности полученных результатов. 6. Выводы.

Исходные данные: Z1 = 0.5 J1 = -3 Z2 = 0.3 J2 = -5 Z3 = 0.6 J3= -4 Z4 = 0.4 J4 = 8 Z5 = 0.9 J5 = -6 Z6 = 0.7 ЕВ2 = 100 Z7 = 0.8 ЕВ5 = 300 Базисные величины: UБ=Uг ном = 10,5 кВ; SБ = Sг ном = 7 Мва. Параметры генератора и системы: Eg = 1.07; Uc = 1 ; Pd = 60; Tj = 14c. Угол δ между осью вращающегося магнитного поля обмотки статора и продольной осью ротора в генераторе: δ = π/4 Исходная схема: Рисунок 1 Примечание: 1. Расчет проводится в относительных единицах. 2. Направление ветвей и независимых контуров выбираются произвольно. УСЛОВИЯ ЗАДАНИЙ: Задание 1. Используя расчетную схему и исходные данные для ручного счета, произвести сле¬дующие действия: - составить матрицы инциденции М и N; - записать матрицы режимных параметров: а) J, ZB, YB ; б) U∆, UB в общем виде в)предположить наличие ЭДС в ветвях 2,5 ( EB2 , EB5 ), записать матрицы EB , EK . Задание 2. Используя вариант расчетной схемы и исходные данные записать 1 и 2 законы Кирх¬гофа в матричной форме и в виде системы уравнений. Задание 3. Для расчетной схемы записать в матричной форме обобщенное уравнение состоя¬ния. Перейти к системе алгебраических уравнений относительно неизвестных токов в ветвях.

Задание 4. 1. Для расчетной схемы вычислить матрицу узловых проводимостей Y∆ . 2. Составьте матрицу Y∆ без перемножения матриц с учетом физического смысла ее элементов.

Сравните полученный результат с матрицей Y∆, вычисленной в п.3. Записать уравнение узловых напряжений в матричной форме и в виде системы уравнений. Задание 5. Предположив наличие ЭДС в ветвях 2,5 расчетной схемы ЕВ2 = 100, Ев5 = 300, записать уравнение контурных токов в матричной форме и в виде системы уравнений.

Задание 1. Используя систему уравнений узловых напряжений, полученную в задании 4, рассчитать значение узловых напряжений методом Гаусса. 2. Проанализировать точность результатов расчета. Задание 1. Используя систему уравнений узловых напряжений (задание 4), рассчитать значения напряжений в узлах расчетной схемы методом Зейделя (провести 3 итерации). 2. Проанализировать сходимость итерационного процесса. Задание 8. На основе расчетной схемы с учетом постановки задачи раздела 3.2. и исходных данных о параметрах генератора, который подключен к 4-му узлу, определить устойчивость системы по корням характеристического уравнения.

Задание 9. Для расчетной схемы задания 8 записать характеристическое уравнение с учетом переходных процессов в обмотке возбуждения.

Проанализировать устойчивость системы по критерию Гурвица.

Задание 10. Проанализировать устойчивость системы (задание 9) по критерию Михайлова. На миллиметровке построить кривую Михайлова.ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЙ. Выполнение задания 1: Для расчета исходной схемы задаемся направлениями тока в ветвях и направлениями обхода контуров: Рисунок 2 Составим матрицы инциденций M и N: 1 2 3 4 5 6 7 Б 1 0 0 -7 Запишем матрицы режимных параметров: а) матрица задающих токов: В общем виде: J = ; По данным задания: J = - диагональная матрица сопротивлений ветвей , диагональная матрица проводимости ветвей : ; ; б) матрица узловых напряжений , матрица падений напряжений : в) матрица Э.Д.С. в ветвях , матрица контурных Э.Д.С. : Выполнение задания 2: Первый закон Кирхгофа.

Матричная форма записи позволяет представить баланс токов для всех узлов схемы одновременно.

M•I = J где, М — матрица инциденций первого рода; I — матрица неизвестных токов в ветвях; J — матрица задающих токов . Матричная форма: В виде системы уравнений: J — матрица задающих токов . J = Второй закон Кирхгофа.Матричная форма записи позволяет записать баланс напряжений для всех независимых контуров схем: N•ZB•I = EK где, EK = N•ЕB отсюда, N•ZB•I = N•ЕB Найдем вектор контурных Э.Д.С. • • = отсюда, В виде системы уравнений: Выполнение задания 3: Обобщенное уравнение состояния имеет вид: A•I = F где единая матрица коэффициентов имеет вид: где объединенная матрица исходных параметров имеет вид: Находим произведение N•ZB: N•ZB = отсюда, A = ; F = тогда обобщенное уравнение состояния в матричной форме имеет вид: • = Система алгебраических уравнений относительно неизвестных токов в ветвях: Выполнение задания 4: Определяем матрицу узловых проводимостей Y∆: Y∆ = M•YB•Mt где MT — транспонированная матрица М Находим произведение M•YB: • = = Тогда, Y∆ = M•YB•Mt = • = = Составим матрицу Y∆ без перемножения матриц, с учетом физического смысла ее элементов.

На главной диагонали расположены собственные проводимости узлов YB — равные сумме проводимостей ветвей, соединенных с узлом i: = Симметрично относительно главной диагонали расположены взаимные проводимости Yij = -Yji ( со знаком минус ), которые равны проводимости ветви (взятой со знаком минус, находящийся между узлами i и j, или нулю при отсутствии связи между узлами: Y∆ = Запишем уравнения узловых напряжений в матричной форме Y∆•U∆ = J: • = Составим уравнения узловых напряжений в виде системы уравнений: Выполнение задания 5: В матричной форме уравнение контурных токов ( II закон Кирхгофа ) имеет вид: N•ZB•I = EK Выразим матрицу токов I в ветвях через вектор контурных токов Iк , используя следующие известные уравнения связи между ними: I = Nt• IК, тогда второй закон Кирхгофа будет иметь вид: N•ZB• Nt•IК = EK Произведение трех матриц N•ZB• NT позволяет получить матрицу контурных сопротивлений: ZK = N•ZB•Nt где Nt — транспонированная матрица N: Nt = Тогда матричное уравнение контурных токов можно записать в виде: ZK•IК = EK Определяем матрицу контурных сопротивлений: ZK = • • = = • = Определяем матрицу контурных Э.Д.С: EK = • = Запишем матричное уравнение контурных токов ZK•IК = EK: • = Составим уравнение контурных токов: Выполнение задания 6: Данные из 4 задания: Решим систему уравнений узловых напряжений с использованием алгоритма метода Гаусса с обратным ходом: алгоритм включает в себя 2 этапа: 1 этап. Прямой ход Гаусса состоит из одинаковых шагов, связанных с формированием из матрицы коэффициентов Y∆ верхней треугольной матрицы: 1 шаг: Получим первое ключевое уравнение для чего разделим первое уравнение системы узловых напряжений на диагональный элемент Y∆11 = 5,33. Для исключения U∆1 из i-го уравнения мысленно помножим ключевое уравнение на коэффициент при U∆1 i-го уравнения, взятый с обратным знаком, а затем сложим ключевое и i-е уравнение: 2 шаг: Получаем второе ключевое уравнение: 3 шаг: Получаем 3-е ключевое уравнение: 4 шаг: Получаем 4-е ключевое уравнение: 5 шаг: Получаем пятое ключевое уравнение: В результате прямого хода Гаусса уравнение узловых напряжений приобретает вид: 2 этап. Обратный ход метода Гаусса: Проведем анализ точности решения, для этого рассчитаем невязки по исходной системе уравнений: ; ; ; ; Рассчитаем суммарную невязку: - определяет точность полученных значений узловых напряжений.

Выполнение задания 7: Данные из 4 задания: Расчет узловых напряжений с использованием метода Зейделя (метод итераций) включает в себя следующие этапы: Преобразуем исходную систему узловых напряжений к виду, удобному для итерационного процесса: Зададимся начальным приближением узловых напряжений: На первой итерации вычисляем значения первого приближения узловых напряжений , осуществляя подставку в систему уравнений: Рассчитываем невязки на первой итерации для проверки точности полученных результатов. Для этого подставим значения напряжений в исходную систему узловых напряжений: ; ; ; ; Рассчитаем суммарную невязку: Так как >0,01 , то точность расчета не достигнута.

На второй итерации произведем подстановку в систему уравнений, а именно: Рассчитаем невязки на второй итерации: ; ; ; ; Рассчитаем суммарную невязку: Так как >0,01 , то точность расчета не достигнута. На третьей итерации произведем подстановку в систему уравнений, а именно: Рассчитаем невязки на третьей итерации: ; ; ; ; Рассчитаем суммарную невязку: Так как >0,01 , то точность расчета не достигнута, следовательно, значения еще не являются искомым решением системы уравнений узловых напряжений.

Однако, суммарная невязка на третьей итерации уменьшилась по сравнению с . Выполнение условия < < свидетельствует о сходимости итерационного процесса. Выполнение задания 8: Установившийся режим работ ЭЭС предполагает непрерывное, стохастическое изменение во времени большого количества нагрузок.

Это приводит к появлению на генераторах системы дополнительных малых моментов &#916;М, которые также статистически увеличивают и уменьшают моменты, действующие на валах этих генераторов и смещающие их роторы на малые углы &#916;&#948; . Возникающие при этом переходные процессы могут быть описаны дифференциальными уравнениями относительно малых &#916;&#948;. Порядок уравнений определяется сложностью рассматриваемой ЭЭС. Рассмотрим простейший случай: станция – шины бесконечной мощности.

Проанализируем статическую устойчивость системы согласно рисунку 1 При отсутствии нагрузки в узлах 1,2,3,5, Б и подключения к узлу 4 синхронного неявнополюсного генератора.

Для решения этой задачи целесообразно привести исходную расчетную схему к эквивалентному виду, показанному на рисунке П.1.1. Если не учитывать переходные процессы в обмотке возбуждения генератора, но учесть демпфирующие моменты, дифференциальное уравнение относительно &#916;&#948; имеет вид: , где -эквивалентное сопротивление системы, которое соответствует сопротивлению узла, к которому подключен генератор.

Если вещественная часть обоих корней характеристического уравнения отрицательная, то электроэнергетическая система является устойчивой.

Данные для расчета: - матрица сопротивлений ветвей, m=7 - количество ветвей в схеме, n=5 - количество узлов в схеме, y=4 - номер узла к которому подключен генератор.

Данные генератора: Еq = 1,07 -синхронная ЭДС, Хd = 1,7-синхронное индуктивное сопротивление генератора по продольной оси, UC = 1 -напряжение системы, Pd = 60 -коэффициент демпфирования, Тj = 14с -постоянная инерции генератора, UБ = Uг ном = 10,5кВ -номинальное напряжение генератора, SБ = Sг ном = 7МВА -номинальная мощность генератора, &#948; = &#960;/4 - угол между осью вращающегося магнитного поля обмотки статора и продольной осью ротора в генераторе.

Определим коэффициент С1, для этого необходимо рассчитать значение эквивалентного сопротивления системы XC, которое соответствует диагональному элементу матрицы узловых сопротивлений Z&#8710;: ХС = Z&#8710;44, так как генератор подключен к 4 узлу. Матрица узловых сопротивлений Z&#8710; обратна по отношению к матрице узловых проводимостей, поэтому выполняется соотношение: где Е = - единичная матрица Z&#8710;= -матрица узловых сопротивлений для расчетной схемы Отсюда следует матричное уравнение для определения элементов четвертого столбца Z&#8710;, а следовательно Z&#8710;44: Y&#8710; • = При решение системы уравнений воспользуемся уже имеющимся у нас результатами расчета узловых напряжений методом Гаусса по матричному уравнению Поскольку матрица коэффициентов Y&#8710; одинакова, заменим вектор неизвестных U&#916;i в уравнении на Z&#8710;ij , а столбец свободных членов J на столбец единичной матрицы.

Тогда все преобразования до четвертого ключевого уравнения аналогичны.

Запишем преобразованную матрицу, начиная с четвертого ключевого уравнения: Завершим прямой ход Гаусса: Тогда Ом Ом Переведем ХС и Tj в относительные единицы: , (рад), где - синхронная угловая частота при n = 3000 об/мин, &#969;0 = 314 рад/сек, Определим значение коэффициента С1 Найдем корни характеристического уравнения вида: Исходя из теоремы Ляпунова, система является статически устойчивой , поскольку оба корня содержат отрицательную вещественную часть.

Выполнение задания 9: Рассмотрим применение алгебраического критерия Гурвица для анализа статической устойчивости простейшей электрической системы, где учтены не только демпфирующие моменты, но и переходные процессы в обмотке возбуждения генератора.

В этом случае характеристическое уравнение будет иметь вид: где – постоянная инерции генератора; - коэффициент демпфирования; - переходная постоянная времени генератора по продольной оси. Значение коэффициента С1 вычисляется также как и в задании 8, а для определения С2 используется выражение: где - переходное реактивное сопротивление генератора, по продольной оси; Переходная постоянная времени генератора рассчитывается из выражения: Исходные данные задания 8 и дополнительные справочные данные генератора в относительных единицах: = 7,26 - постоянная времени обмотки возбуждения синхронной машины при разомкнутой обмотке статора; X’d =0,172- переходное реактивное сопротивление генератора, по продольной оси; Eg = 1,07-синхронная ЭДС, Xd = 1,7-синхронное индуктивное сопротивление генератора по продольной оси, UC = 1 -напряжение системы, Pd = 60 -коэффициент демпфирования, Tj = 14c - постоянная инерции генератора, U&#948; = Uгном = 10,5 кВ - номинальное напряжение генератора, SБ = Sгном = 7,0 мВА - номинальная мощность генератора, &#948; = &#960;/4- угол между осью вращающегося магнитного поля обмотки статора и продольной осью ротора в генераторе; Xc = 0,249 - эквивалентное сопротивление системы; , (рад), где - синхронная угловая частота при n = 3000 об/мин, &#969;0 = 314 рад/сек, , Проведем расчет коэффициентов характеристического уравнения: Для определения a2 найдем значение коэффициента С2 : Тогда Запишем характеристическое уравнение с учетом значений коэффициентов: , Составим определитель Гурвица для нашего характеристического уравнения: &#916;3 = Выделим миноры относительно главной диагонали &#916;3 и применением критерий Гурвица.

Для устойчивости электроэнергетической системы необходимо и достаточно, чтобы при а0>0 все главные диагональные миноры определителя Гурвица были положительны: а0 = 4066,3 > 0; &#916;1 = а1 = 4451,5 > 0; &#916;2 = = 4451,5&#8729;62,01 – 4066,3&#8729;0,432 = 283228 > 0 &#916;3 = а3 &#916;2 = 0,432&#8729;283228=122355 > 0. Таким образом, рассматриваемая ЭЭС является статистически устойчивой , т.к. все главные диагональные миноры определителя Гурвица положительные.

Выполнение задания 10: Критерий Михайлова является частотным критерием устойчивости. В его основу положен принцип аргумента, известный из теории функций комплексного переменного.

Рассмотрим использование частотного критерия Михайлова для анализа устойчивости простейшей ЭЭС, рассмотренной в предыдущих разделах.

Исходя из вида характеристического уравнения задачи 9, запишем характеристический многочлен Д (р) : Осуществляя подстановку р = ј&#969; , получим характеристический вектор Д (ј&#969;) Разделим вещественную и мнимую составляющую вектора, то есть , где ; Вектор Д (ј&#969;)изображенный в декартовых координатах на плоскости, при изменении 0 < &#969; < &#8734;, вращается, и конец вектора описывает кривую, которая называется годографом характеристического уравнения.

Практическая формулировка критерия Михайлова: система будет устойчива, если при возрастании &#969; от 0 до &#8734; годограф, начинаясь на положительной части вещественной оси, проходит последовательно в положенном направлении n квадратов, где n - степень характеристического уравнения.

Такое перемещение годографа соответствует повороту вектора Д (ј&#969;) на угол 0,5 &#960;n. Для построения годографа определим точки пересечения с вещественной U и мнимой V осями: а) пересечение годографа с осью U проходит при ; Таким образом, первая точка пересечения при &#969;1 = 0 соответствует ; вторая точка при &#969;2 = 0,123 соответствует б) пересечения годографа с осью V проходит при откуда ; таким образом точка пересечения при соответствует ; Выбираются только положительные значения корней, т.к. &#969; изменяется от 0 до &#8734;. Для построения графика зададимся рядом значений 0&#8804;&#969;<&#8734; и рассмотрим соответствующие значения U(&#969;) и V(&#969;): &#969; 0 10-3 5&#8729;10-2 8&#8729;10-2 10-1 1,5& #8729;10-1 2&#8729;10-1 … &#8734; U(&#969;) 0,432 0,428 -10,7 -28,1 -44,1 -99,7 -177,6 … -&#8734; V(&#969;) 0 0,064 2,69 3,04 2,34 -4,12 -19,7 … -&#8734; Построим годограф данного характеристического уравнения: Рисунок 3. На основании данного графика система по критерию Михайлова устойчива, т.к. кривая годографа пересекает три квадранта и степень характеристического уравнения тоже три. ПРИЛОЖЕНИЕ 1 Рисунок П.1.1.