Матанализ

1Натуральные числа 1,2,3,4, счт предметов, указание порядкового номера. Натуральные числа также называют положительными целыми числами. Числа 1 2, -3 противоположные натуральным называются отрицательными целыми числами. Число 0 тоже целое. Рациональные числа целые и дроби Вид МN, где N 0 M и N- взаимно простые целые числа. Иррациональные - v2 все вышепереч-е бесконечные непериодич. дроби. Все эти числа действительные.Компл. число Z1A1iB1 i-1 2 Z1Z2A1A2iB1B2 Z1Z2A1iB1A2iB2 Z1Z2a1ib1a2-ib2a2ib2a2-ib2a1a2b1b2 ib1a2-a1b2a2b2a1a2b1b2a2b2i b1a2- a1b2a2b3 Тигонометрическая форма комплексного числа Zaibrcosцirsinцrcosцisinц r модуль ц аргумент. b y a x. 4 Zrcos Aцisin Aц 5 vZvrcos ц2рkа i sin ц2рka k123a-1 Все корни А-ой степени лежат на окружности r Z а и являются вершинами правильного А-угольника, вписанного в эту окружность. 6 Переменная вел. Х, принимающая последовательно с возрастанием номера n значения х1,х2,х3 хN называется числовой последовательностью 1,1,1,1,11 1,12,131N 1 1,1 1-1 Xn,nN Число А наз. пределом последовательности Хn если для любого сколь угодно малого положит. числа E 0 найдтся такой номер NE, что как только n NE то имеет место неравенство Xn A E lim Xn A n Число А есть предел последовательности Xn если для любого е 0 найдтся такой номер N, начиная с которого при n N все члены последовательности будут заключены в е-окрестности какой бы она узкой ни была. Вне этой окрестности может быть лишь конечное число членов этой последовательности. 7 Если последовательность Хn монотонна и ограничена, то она имеет предел сходится. Cвойства пределов если ХnС то lim XnC n пусть lim XnA, a lim YnB тогда lim XnYnAB n n lim XnYnAB lim XnYnAB B0 если XnYn для nN то lim Xn lim Yn n n 8 Eсли Хn сходится имеет предел то Хn ограничена Последовательность Xn nN наз. ограниченной если существует положительное число М, что выполняется нер-во Xn M nN Если lim Xn0, то Xn nN наз. БМВ обознач бn,вn,гn n Св-ва БМВ lim бn0 n lim бnвn0 n lim Xnбn0 если Xn-ограничена n В произведении БМВ можно заменять на эквивалентную БМ. В алгебраической сумме замену можно производить в том случае если не происходит сокращения БМ одного порядка с Х sin X X e-1 a tg X X 1x ax 1 cos X X2 arctg X X LOGe1X X x-1 aLNx 9 Сумма эл-тов числовой последовательности наз. числовым рядом.

Сумма n членов ряда n частичная сумма ряда Если при n lim SnS, то ряд сходящийся, S сумма ряда . Ряд наз. сходящимся если сущ. конечный предел последовательности его частичных сумм. Прим при каких q сходится и расходится сходится к сумме Sa1-q при q 1 и расход-ся при q 10 Признак сравнения двух знакоположит-х рядов. есть 2 знакполож. ряда Ak,Bk так что 0AkBk kN тогда если Bk то Ak тоже и наооборот если меньший ряд не сходится то и больший тоже. 11 Признак Даламбера Un c положительными членами сущ. lim Un1Un l n то ряд сходится если l 1 и расходится если l 1, если l1 то вопрос о сходимости нерешн.

Признак Коши An знакополож. ряд lim vAnq n q 1 сходится q 1 расходится. 12 Знакопеременный ряд а1-а2а3-а4 -1в степ.n-1An An 0 Признак Лейбница Если члены ряда знакопер убывают а1 a2 a3 An и предел Аn при n 0 то ряд сходится пример 1-1213-14-1n-11n 13 Имеет место функциональная зависимость между двумя переменными величинами х и у если задан закон yfx, согласно которому каждому хХ соответствует значение yY. х-аргумент ykxb линейная ф-ия yaxbxc квадратичная ф-ия Обратная ф-ия ф-ия xцy наз. обратной ф-ией к прямой ф-ии yfx если xцfx для всех хХ Графики взаимно обратных ф-ий симметричны относительно прямой ух. yX и yLOGxA примеры 14 Число B называется пределом ф-ии в fx при x, стремящемуся к x0 или в точке x0 если для любого, сколь угодно малого положительного числа е 0, найдтся такое положительное число де 0 что для всех х не равных х0 и удовлетворяющих условию x-x0 д выполняется нерав-во fx-B е lim fxB xx0 Смысл состоит в том, что для всех значений х, достаточно близких к х0, значения ф-ии fx как угодно мало отличаются от числа В по модулю 15 lim fxB xx0 Если Bfx0, то ф-ия fx непрерывна в точке х0. св-ва lim cc xx0 если fxb, цxc то lim fxцxbc xx0 lim fxцxbc xx0 lim fxцxbc c0 xx0 Если fxцxgx и lim fxlim gx b то lim цxb xx0 xx0 xx0 если при этом bfx0 cцx0 то св-во 2 можно записать Если fx или цх непрерывны в т. х0 то в т.х0 непрерывны сумма, разность, произведение и частноецх00 этих функций Если ф-ия непрерывна в каждой точке отрезка, то она непрерывна на этом отрезке 16 Линейная ф-ия непрерывна в любой точке А- ykxbfx fAkAb k0 fx-fa е kx-b-kab е k x-f е k x-a е x-a е k де yaxbxc -88 17 yB B 0 Докажем, что yB непрерывна на - lim B1 a0 B-1 е 1 B1 2 B 1 -е B-1 е 1-е B е1 LOGb1-е a LOGb1е min -LOGa1-е LOGa1е де x де LOGaB 18 ycos x - cos x cos a е 2 sin x-a2 sin xa2 е 2 sin x-a2 sin xa2 е 2 sin x-a2 е x-a е де ysin x - ytg xsin xcos x кроме xр2рk yctg xcos xsin x кроме xрk 19 Первым замечательным пределом называется lim sin xx1 xx20 Второй замечательный предел lim11ae a Число е число Эйлера, неперово число играет важную роль в матанализе. lim 1a e a21 Пусть имеется ф-ия yfx, определнная на а в, говорят что ф-ия имеет в т. х0а в производную f x0 если существует предел lim fx-fx0x-x0 xx0 Производной ф-ии yfx в точке х0 называется предел отношения приращения ф-ии к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Ф-ия имеющая производную в каждой точке интервала называется дифференцируемой на этом интервале.

Геометрический смысл производной пр-ая f x0 есть угловой коэфф. tg угла наклона касательной, проведнной к кривой yfx в точке х0 , kf x0 уf x0x - x0 Механический смысл производной пр-ая пути по времени s t0 есть скорость точки в момент t0 Vt0s t0 Определение для любой точки 22 Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых ф-ий равна такой же сумме производных этих ф-ий uvu v Производная произведения двух дифференцируемых ф-ий равна произведению пр-ой первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на про-ую второго uvuv uv Постоянный множитель можно выносить за знак производной cucu Производная произведения нескольких дифференцируемых ф-ий равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные uvwuvwuvwuvw 23 Производная частного двух ф-ий uxvx, если vx0 равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя есть квадрат прежнего знаменателя uvuv-uvv v0 uc1cu cu-cvv cconst 24 xax 25 LNx1x ee Для дифференцируемой ф-ии с производной, не равной 0, производная обратной ф-ии равна обратной величине производной данной ф-ии Xy 1Yx 26 sin xcos x cos x-sin x tg x1cosx ctg x-1sinx 27 Если yfu и uцx дифференцируемые ф-ии от своих аргументов, то производная сложной ф-ии существует и равна производной данной ф-ии по промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного аргумента по незавмсимой переменной х yfuu yfux FxFuUx Пример yvx5 y yu, где uvx5 по формуле y3uu3vx5vx53vx52vx 28 Дифференциалом ф-ии наз. линейная часть приращения ф-ии относительно Дх, равная произведению производной на приращение независимой переменной. dyfxДx Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной.

Геометрический смысл Дифференциал ф-ии есть приращение ординаты касательной, проведнной к графику ф-ии yfx в данной точке когда х получает приращение Дх 29 При исследовании ф-ий используется следующий алгоритм 1 ООФ, ОЗФ 2 Непрерывность ф-ии 3 Нахождение асимптот 4 Экстремумы и интервалы монотонности 5 Интервалы выпуклости и т. перегиба 6 Чтность нечтность, периодичность 7 Т. пересечения с Ох и Оу 3Если для некоторого х0 имеет место предел fx при хх0 то говорят, что хх0 явл. вертикальн. асимптотой fx Если предел fxb при x то говорят, что уb явл. горизонтальной асимптотой fx Если предел fxхk при x k0k и предел fx-kxb, то ykxb является наклонной асимпт-й 4Если производная ф-ии положительна отрицательна внутри некоторого промежутка Х то ф-ия возрастает убывает на этом промежутке Если при переходе через т. х0 производная дифференцируемой ф-ии меняет свой знак и в т. х0 равна 0 то х0-точка экстремума минимума или максимума 5Точкой перегиба непрерывной ф-ии fx0 наз. т. в разделяющая интервалы, в которых ф-ия выпукла вниз и вверх. Ф-ия yfx называется выпуклой внизу на интервале ab если fx 0 на ab ф-ия называется выпуклой вверх на ab если fx 0 на ab 30 Асимптотой графика ф-ии yfx называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки х, fx до этой прямой стремится к 0 при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Если для некоторого х0 имеет место предел fx при хх0 то говорят, что хх0 явл. вертикальн. асимптотой fx. Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва ф-ии или на концах е ООФ а в если аи в конечные числа Если предел fxb при x то говорят, что уb явл. горизонтальной асимптотой fx Если предел fxхk при x k0k и предел fx-kxb, то ykxb является наклонной асимпт-й Наклонная асимптота как и горизонтальная может быть правосторонней или левосторонней 31 Степенным рядом наз. ряд вида 1 Bnx b0b1xb2xbax это ряд в котором членами являются ф-ии, в частности степенные.

Совокупность тех значений х, при которых степнной ряд сходится, называется областью сходимости степнного ряда. Ряд 1 наз. абсолютно сходящимся рядом, если сходится ряд 2 bn x Т1. Если ряд 2 сходится, то сходится и ряд 1 Т2. Для любого степ. ряда 1 сущ-ет такое неотрицат. число R0 что этот ряд сходится абсолютно при x R и расходится при x R R радиус сходимости ряда Даламбер lim Bn1 Bn 1 n сходится 1 n расходится 32 Разложение ф-ий в ряд Если бесконечно дифференцируемая ф-ия fx0a0 fA12A2x-x0nAnx-x0 fxfx0f1x0x-x0fx0x- x0a Рядом Тейлора ф-ии fx в окрестности т. х0 называется степ. рядом отн. разности х-х0 Особенно часто используется разложение ф-ии в ряд по степеням х, при этом х00 fxf0f0f 0ax Ряд Маклорена частный случай ряда Тейлора e1xx2x3xa sin x1 x-x3-1x2a1 cos x1-x2x4-1nxn2n ln1xx-x2x3 1nxnn1 33 Ф-ия Fx наз. первообразной для ф-ии fx если для всех х из области определения имеет место Fxfx нетрудно увидеть что если Fx является первообразной для fx то и для FxC также явл. первообразной.

Общий вид первообразной FxC называется неопределнным интегралом от ф-ии fx обозначается FxCfxdx dFxFxdxfxdx Св-ва неопр. dFxFxC fxdxfx бfxdxбfxdx fxgxdxfxdxgxdx Таблица интегралов 34 Метод замены переменных fxdxfцtцtdt xцt sin 5x dxsin t 15dt15sin t dt-15 costC -15cos 5xC 5xt x15t dx15 dt 35 Интегрир-ие по частям UdVUV-VdU Возможности применения связаны с тем, что дифференцир-ие может существенно упростить один из сомножителей при условии что дифф-ие не слишком усложнит другой xsinx dx xU dU2x dx sin x dx dV V-cos x xsin x dx-xcos x cos x2x dx-xcos x2xcos x dx xU dUdx cos x dxdV Vsin x xsin x dx-xcos x 2xsin x-sin x dx -xcos x2xsin x 2cos xC 36 Рациональной дробью называется ф-ия, равная отношению двух многочленов fxPmxQnx, Pmx-многочлен степени m, Qnx- многочлен степени n. Рациональная дробь наз. правильной если степень числителя меньше степени знаменателя, т.е. m n, в противном случае дробь неправильная.

Интегрирование дробей методом разложения на элементарные дроби 1 Если дробь неправильна, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби. 2 Разложив знаменатель дроби на множители, представить е в виде суммы простейших рац. дробей. 3 Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей. 37 Определнным интегралом от ф-ии fx на отрезке a b называется предел интегральной суммы Sn, когда n Дxi0 Cв-ва опр. интеграла все интегралы на отрезке от А до В 1 СfxdxCfxdx 2 fxgxdxfxdxgxdx 3 fxdx-fxdx 4 Если fxgx на A,B, то fxdxgxdx 5 Если на А,В mminfx Mmaxfxто mB- -AfxdxMB-A 6 Если fx непрерывна на A,B то сущ. также точка СAB fxdxfCB-A 7 Если fx непрерывна на А,В то fxdx существует 8 fxdxadfxdxdbfxdx 9 Формула Ньютона-Лейбница fxdxFB-FAFxfx 38 Применение опр. 1 Вычисление площадей Н-Лейб Если на А,В fx 0 то Sfxdx Если на А,В fx 0 то S-fxdx Если на А,В fx gx то Sfx-gxdx действительно для всех вариантов расп. ф-ий 2 Вычисление объмов тел вращения Vрfxdx 39 Приближ. вычисление интегралов 1 Формула Н-Лейб. 2 Метод прямоугольника B-Anh ABfxdxhf1f2fn 3 Формула трапеции fxdxh12f0f1f2fn 4 Формула Симпсона n-чтное fxdxB-A3nf04f12f24f32f44fn-1fn 40 Несобственные бывают 2-х видов -ы вида afxdx -bfxdx -fxdx называются несобственными -и 1-го рода Если сущ. предел b abfxdxC C то интеграл сходится и наоборот. Пусть есть числовой ряд AxA0A1An и пусть есть ф-ия fxAx на интервале ab Тогда ряд и несобственный afxdx сходятся или расходятся одновременно Если lim xbfx или limxafx то fxdx наз. несобственным интегралом 2-го рода, он сходится если сущ. конечный предел lim a b-дfxdx д0 41 Пусть имеется n переменных величин, и каждому набору их значений x1,x2,x3xn из некоторого мн-ва Х соответствует одно вполне определнное значение переменной величины Z. Тогда говорят,что задана ф-ия нескольких переменных Zfx1xn Если сущ-ет limДx0fxДx,y-fx,yДxfxx,y то он называется частной производной по переменной х. Если сущ-ет limДy0fx,yДy-fx,yДyfyx,y то он называется частной производной по переменной y Величина dZfxxydxfyxydy называется дифференциалом от ф-ии fxy Zfx1x2xndZfx1dx1fx2dx2fxndxn Дифференциалом ф-ии называется сумма произведений частных производных на приращение соответствующих независимых переменных. 42 Если Zfxy имеет в точке х0у0 экстремум локальный и ф-ия дифференцируема т.е. имеет частные произв-ые то частные произв-ые в этой т. равны 0. 43 Формулы служащие для аналитического представления опытных данных получили название эмпирических формул Этапы вывода ЭФ 1 Установить вид зависимости линейная, квадратичная, логарифмическая и т.д. 2 Определение известных параметров этой ф-ии Для линейной зависимости сущ-ет метод наименьших квадратов 44 ДУ называют ур-ие, связывающее искомую ф-ию одной или нескольких переменных, эти переменные, и производные различных порядков данной ф-ии. Решением ДУ называется такая ф-ия, котю при подстановке е в это ур-ие обращает его в тождество.

ДУ первого порядка наз. ур-ие содержащее переменную х, неизвестную ф-ию yfx и е производную yfx ДУ первого порядка наз. ур-ем с разделяющимися переменными, если оно мб представленно в виде dydxfxgy Для решения такого ур-ия его следует преобразовать к виду, в котором дифференциал и ф-ии переменной х окажутся в одной части равенства, а переменной у в другой.

Затем проинтегрировать обе части полученного рав-ва dygyfxdx dygy fxdx fxfxfxfxc0xaxx1x2xvx2vxarccos x-1v1-x x 11x-1xarctg x11xeearcctg x-11xaaln ash xch xln x1xch xsh xLOGaX1xln ath x1chxsin xcos xcth x-1shxcos x-sinxlnxvx11v1xtg x1cosxarcsin x1v1-xctg x-1sinx fxFxC0C1xCxx2Cxxa1C a11xln x C1x-1xC1x12xC11xarctg xC1ax1aarctg xaC a011-x12ln 1x1-x C1a-x12aln axa-x C a0xxa12ln xa C1v1-xarcsin xC1va-xarcsin xaCeeaaln aln xx ln x x Csin x-cos xCcos xsin xCtg x-ln cos x Cctg xln sin x C1cosxtg xC1sinx-ctg xC 1. Понятие числа от натур. до комплексного 2. Сложение, вычитание для комплексного числа 3. Тригонометрическая форма комплексного числа 4. Возведение в степень комплексного числа 5. Извлечение из комплексного числа 6. Последовательность и е предел 7. Св-во сходящихся последовательностей док-во 8. БМВ и ограниченная последовательность.

Св-ва БМВ 9. Знакоположительный ряд и его сходимость пример 10. Признак сравнения двух знакоположительных рядов примеры 11. Признаки Даламбера и Коши 12. Знакопеременный ряд. Признак Лейбница пример 13. Прямая и обратная функция примеры 14. Предел ф-ии в точке 15. Непрерывность ф-ии в точке.

Св-ва непрерывных ф-ий 16. Непрерывность линейной и степенной ф-ий 17. Непрерывность ф-ий В и LOGaX 18. Непрерывность тригонометрической ф-ии 19. 1-ый замечательный предел 20. 2-ой замечательный предел и его применение для начисления непрерывных 21. Понятие производной от ф-ии. Геометрический и механический смысл призводной 22. Понятие пр-ой. Пр-ая от , двух ф-ий 23. Понятие пр-ой. Пр-ая от двух ф-ий 24. Понятие пр-ой. Пр-ая от Х 25. Понятие пр-ой. Пр-ая от обратных ф-ий LNx, e 26. Пр-ая от тригонометрической ф-ии. 27. Пр-ая от сложной ф-ии пример 28. Понятие дифференциала ф-ии. Его геометр. смысл 29. Исследование ф-ий с помощью пр-ой и пределов. 30. Понятие асимптот и их нахождение 31. Степенной ряд и область его сходимости 32. Разложение ф-ий в степенные ряды 33. Неопределнный интеграл.

Табл. Интегралов 34. Метод интегрир-ия с помощью замены переменных примеры 35. Интегрирование по частям 36. Интегрир-ие с помощью разложения на элементарнве дроби 37. Определнный интеграл и его св-ва. Формула Ньютона-Лейбница 38. Применение опр. интегралов 39. Приближнный метод вычисления опр. интегралов 40. Несобственные интегралы 41. Ф-ии нескольких переменных.

Понятие частных пр-ых и дифференциала 42. Экстремум ф-ий нескольких переменных 43. Понятие об эмпирических формулах.

Метод наименьших квадратов. 44 Понятие ДУ и методы его решения.