Вправи для повторення

258. Розв’яжіть рівняння:

а)5х - 3 = 3х + 17; б)7х + 32 = 12х + 25;

в) 2(х - 11) - 5(5 - 2х) = –23; г) 8(-3х + 4) + 14(3 + 2х) = 4 + 2х.

259.Футбольна команда у 15 матчах набрала 23 очка, програвши 6 матчів. У скількох матчах команда здобула перемогу і скільки матчів зіграла внічию? (За перемогу команді нараховується 3 очка, за нічию ¾ 1 очко, за поразку ¾ 0 очок.)

260.Середнє арифметичне трьох чисел дорівнює -8. Перше число на 5 більше від другого, а друге — на 1 менше від третього. Знайдіть ці числа.

8. Властивості степеня з натуральним показником

1. Множення степенів з однаковими основами.

Розглянемо добутки двох степенів з основою а. Врахувавши, що а¹ = а, матимемо:

а¹а¹ = аa = а² = а^{1 + 1}; а²а¹ = (аа)a = ааа = а³ = а^{2 + 1}.

Отже, а¹а¹ = а^{1 + 1}, а²а¹ = а^{2 + 1}. У цих прикладах добуток степенів з однаковими основами дорівнює степеню з тією ж основою і показником, який дорівнює сумі показників степенів. Таку властивість має добуток будь-яких степенів з однаковими основами.

Властивість 1

Для будь-якого числа а й довільних натуральних чисел m і n справджується рівність

a^mаⁿ = а^{m + n}.

● Доведення. Врахувавши означення степеня, матимемо:

a^mаⁿ === а^{m + n}. ●

Із властивості 1, яку ще називають основною властивістю степеня, випливає правило множення степенів:

Щоб перемножити степені з однаковими основами, потрібно основу залишити ту саму, а показники степенів додати.

Наприклад:

3² × 3³ = 3^{2 + 3} = 3⁵; 2⁴ × 2 = 2⁴ × 2¹ = 2^{4 + 1} = 2⁵; b⁷ × b⁸ = b^{7 + 8} = b¹⁵.

Правило множення степенів поширюється на добуток трьох і більше степенів. Наприклад:

5² × 5⁴ × 5⁶ = 5^{2 + 4 + 6} = 5¹²; b⁵ × b³ × b⁷ × b = b^{5 + 3 + 7 + 1} = b¹⁶.

2. Ділення степенів з однаковими основами.

Розглянемо рівність а²а³ = а⁵, де а ¹ 0. Із цієї рівності за означенням
частки маємо: а⁵ : а³ = а². Рівність а⁵ : а³ = а² можна переписати так:

а⁵ : а³ = а^{5 - 3}.

У цьому прикладі частка степенів з однаковими основами дорівнює степеню з тією ж основою й показником, який дорівнює різниці показника степеня діленого й показника степеня дільника. Сформулюємо й доведемо відповідну властивість у загальному випадку.

Властивість 2

Для будь-якого числа а ¹ 0 та довільних натуральних чисел m і n, де m > n, справджується рівність

а^m : аⁿ = а^{m - n}.

● Доведення. Оскільки a^{m - n} × аⁿ = а^{m - n + n} = а^m, тобто a^{m - n} × аⁿ = а^m, то за означенням частки маємо: а^m : аⁿ = а^{m - n}. ●

З доведеної властивості випливає правило ділення степенів:

Щоб поділити степені з однаковими основами, потрібно основу залишити ту саму, а від показника степеня діленого відняти показник степеня дільника.

Наприклад: 3⁷ : 3² = 3^{7 - 2} = 3⁵; х⁴ : х = х⁴ : х¹ = х^{4 - 1} = х³.

3. Піднесення степеня до степеня.

Піднесемо степінь а² до куба:

(а²)³ = а² × а² × а² = а^{2 + 2 + 2} = а^2×3.

Отже, (а²)³ = а^2×3. Із прикладу видно: щоб піднести квадрат числа до куба, потрібно залишити ту ж основу й узяти показник, який дорівнює добутку показників. Сформулюємо й доведемо відповідну властивість у загальному випадку.

Властивість 3

Для будь-якого числа а та довільних натуральних чисел m і n справджується рівність

(a^m)ⁿ = а^mn.

● Доведення.

(a^m)ⁿ === а^mn. ●

Із властивості 3 випливає правило піднесення степеня до степеня:

Щоб піднести степінь до степеня, потрібно основу залишити ту саму, а показники степенів перемножити.

Наприклад: (4³)⁵ = 4^{3 × 5} = 4¹⁵; (b⁶)⁴ = b^{6 × 4} = b²⁴.

4. Піднесення добутку до степеня.

Піднесемо добуток аb до куба:

(аb)³ = аb × аb × аb = (аaa) × (bbb) = а³b³.

Отже, (аb)³ = а³b³. Із прикладу видно: щоб піднести до куба добуток, потрібно піднести до куба кожний множник і результати перемножити.
Сформулюємо й доведемо відповідну властивість у загальному випадку.

Властивість 4

Для будь-яких чисел а та b і довільного натурального числа n справджується рівність

(ab)ⁿ = аⁿbⁿ.

● Доведення.

(ab)ⁿ ==×= аⁿbⁿ. ●

Маємо таке правило:

Щоб піднести до степеня добуток, досить піднести до цього степеня кожний множник і результати перемножити.

Це правило поширюється на добуток трьох і більше множників. Наприклад:

(5ab)³ = 5³a³b³ = 125a³b³; (abху)ⁿ = aⁿbⁿхⁿуⁿ.

Зауваження.Доведені тотожності a^mаⁿ = а^{m + n}, а^m : аⁿ = а^{m - n}, (a^m)ⁿ = а^mn, (ab)ⁿ = аⁿbⁿ, які виражають властивості степеня, дозволяють не тільки замінювати вирази, що стоять у їхніх лівих частинах, виразами, що стоять у правих частинах, а й навпаки:

a^{m + n} = а^mаⁿ; a^{m - n} = а^m : аⁿ; а^mn = (a^m)ⁿ = (aⁿ)^m; аⁿbⁿ = (ab)ⁿ.

Приклади розв’язання вправ

Приклад 1. Спростити вираз (a²а)³ × (a³а²)².

● (a²а)³ × (a³а²)² = (a³)³ × (a⁵)² = а⁹a¹⁰ = a¹⁹. ●

Приклад 2. Обчислити:

а) 0,3⁶ : 0,3⁴ + 0,1⁴ : 0,1; б)2,5⁵× 2⁶× 0,4⁵.

● а)0,3⁶ : 0,3⁴ + 0,1⁴ : 0,1 = 0,3² + 0,1³ = 0,09 + 0,001 = 0,091;

б)2,5⁵× 2⁶× 0,4⁵ = (2,5⁵× 0,4⁵) × 2⁶ = (2,5× 0,4)⁵× 2⁶ = 1⁵× 2⁶ = 64. ●

Приклад 3. Подати 4¹⁸ у вигляді степеня з основою 4²; 4³; 4⁶; 4⁹.

● 4¹⁸ = 4^{2 × 9} = (4²)⁹; 4¹⁸ = (4³)⁶; 4¹⁸ = (4⁶)³; 4¹⁸ = (4⁹)². ●

Приклад 4. Подати у вигляді степеня добуток а⁶b⁶.

● а⁶b⁶ = (аb)⁶. ●