ЗМІСТ
Розділ 1. Алгебраїчні перетворення ………………………….………. ………………4
1.1. Многочлени від однієї змінної. Ділення многочленів з остачею. Теорема Безу …………………………………..…………………..…………4
1.2. Корені многочлена. Теорема Вієта ………………………………………..6
1.3. Елементарні формули алгебри. Спрощення алгебраїчних виразів.
Раціональні дроби. Розкладання правильних раціональних дробів на прості дроби ……………………………………………………...………....8
Розділ 2. Тригонометричні перетворення …………………………………...…13
2.1. Тригонометричні функції числового аргументу ………..…………..…...13
2.2. Основні формули тригонометрії. Формули зведення. Перетворення
тригонометричних виразів …………………………………………..…….15
Розділ 3. Перетворення логарифмічних виразів ……………………………………....22
3.1. Означення логарифма числа ……………………………………………....22
3.2. Властивості логарифмів. Логарифмічні перетворення ………………...22
Розділ 4. Функції та графіки ……….. ….……………………………………………….....24
4.1. Означення функції та її властивості ……….…………………………..….24
4.2. Графіки алгебраїчних функцій …………………………………………..…29
4.3. Графіки тригонометричних функцій ….…………………………………..32
4.4. Графіки показникової та логарифмічної функцій ..…………………..….33
4.5. Графіки обернених тригонометричних функцій ………..……….……...33
4.6. Побудова графіків функцій за допомогою геометричних
перетворень ………………………………………………………...………..35
Розділ 5. Рівняння та нерівності ………………………………………………………..…40
5.1. Рівняння та нерівності. Основні означення ……………………………...40
5.2. Метод інтервалів. Раціональні нерівності …..……………………………42
5.3. Рівняння та нерівності, що містять під знаком абсолютної
величини ……………………………………………………………………....45
5.4. Показникові та логарифмічні рівняння …………………………………….47
5.5. Показникові та логарифмічні нерівності …………………………………..50
5.6. Тригонометричні рівняння …………………………………………………...52
5.7. Тригонометричні нерівності ………………………………………………....56
Розділ 6. Алгебра комплексних чисел ………………………………………………..….58 6.1. Означення комплексного числа …………………………………….....58
6.2. Алгебраїчні дії з комплексними числами ………………………..……60
Бібліографічний список ………………………………………………….…………………63
Розділ 1. АЛГЕБРАЇЧНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ
Многочлени від однієї змінної. Ділення многочленів з остачею.
Розглянемо ділення многочлена на двочлен
Приклад 1.3. Знайти остачу від ділення многочлена на
Розв’язання. За теоремою Безу
Приклад 1.4. Перевірити подільність многочлена на
Розв’язання. Оскільки то не ділиться на Далі не ділиться на .
Зауваження. Справедлива рівність
Завдання для самостійної роботи
1.01. Розділити многочлен на многочлен
1.02. Розділити многочлен на многочлен
1.03. Многочлен ділиться на многочлен Знайти і .
1.04. Многочлен ділиться на многочлен Знайти і .
1.05. Розділити на
1.06. Розділити на
1.07. Знайти остачу від ділення многочлена на: .
1.08. Знайти остачі від ділення многочлена на:
1.09. Чи ділиться многочлен на:
1.10. Чи ділиться многочлен на:
Елементарні формули алгебри. Спрощення алгебраїчних виразів. Раціональні дроби. Розкладання правильних
Розв’язання.
ОДЗ: якщо
Приклад 1.10. Спростити
Розв’язання. Позначимо цей вираз через
ОДЗ перетворень:
Приклад 1.11. Спростити вираз
Розділ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ
Розділ 3. ПЕРЕТВОРЕННЯ ЛОГАРИФМІЧНИХ ВИРАЗІВ
Означення логарифма числа
Означення. Нехай Логарифмом числа за основою називається показник степеня, до якого потрібно піднести число , щоб одержати число ,тобто
Таке співвідношення носить назву “основна логарифмічна тотожність”.
Приклад 3.1. Із рівності випливає із рівності маємо
Розв’язання.
Завдання для самостійної роботи
3.1. Знайти логарифми за основою 10 таких виразів:
1) 2) 3) 4)
5) 6) 7) .
3.2. Спростити вирази:
1) 2) 3) 4) 5)
6) 7) 8)
9) 10) 11)
3.3. Визначити знаки чисел:
1) 2) 3) 4) 5)
3.4. Обчислити:
1) 2) 3)
4) 5) 6)
7) 8) 9)
3.5. Дано Знайти
3.6. Дaно Знайти
ГЛАВА 4. ФУНКЦІЇ ТА ГРАФІКИ
Розділ 5. РІВНЯННЯ ТА НЕРІВНОСТІ
Алгоритм розв’язання нерівностей методом інтервалів
1. На числовій прямій позначають всі нулі чисельника і знаменника (критичні точки) заданої функції .
2. Визначають знак нерівності на кожному з числових проміжків. Обов’язково враховують парність чи непарність відповідного показника степеня.
3. Вибирають проміжки згідно зі знаком нерівності:
- якщо функція має знак "+", то на цьому проміжку ;
- якщо функція має знак "-", то на цьому проміжку .
Приклад 5.8. Розв’язати нерівність
Розв’язання.
1. Нулі заданої функції і . Позначимо ці точки на числовій прямій
(рис. 5.1). Оскільки нерівність строга, то точки 3 і 5 виключаємо із розв’язку.
2. Точки 3 і 5 розбивають числову пряму на 3 інтервали:
3. Визначимо знак нерівності на проміжку : нехай , тоді маємо нерівність . Скористаємося правилом зміни знака: на проміжку знак "-"; на проміжку – "+". Виберемо проміжки зі знаком нерівності "+". Тоді .
Рис. 5.1 Рис. 5.2
Приклад 5.9. Розв’язати нерівність .
Розв’язання.
1. Розкладемо квадратний тричлен . Для цього розв’яжемо квадратне рівняння : . Нерівність запишемо у вигляді і застосуємо метод інтервалів.
2. – нулі функції (рис. 5.2).
3. Визначаємо знак нерівності на кожному інтервалі:
:нехай , тоді ;
:нехай , тоді ;
:нехай , тоді .
Виберемо проміжки зі знаком нерівності "-". Маємо .
Приклад 5.10. Розв’язати нерівність .
Розв’язання.
Приклад 5.21. Розв’язати рівняння
АЛГЕБРА КОМПЛЕКСНИХ ЧИСЕЛ