Рівняння та нерівності, що містять під знаком абсолютної величини

Нагадаємо означення модуля або абсолютної величини числа: модулем називається само число , якщо і , якщо :

 

Наприклад, якщо , то . А у випадку значення модуля таке: .

Геометричний зміст модуля: - це відстань від точки до точки 0 на числовій прямій. Отже, для маємо:

а) (рис. 5.5); б) (рис. 5.6);

в) .

 

Рис. 5. 5 Рис. 5. 6 Рис. 5. 7

Корисно запам’ятати також, що є відстанню на числовій прямій від точки до точки (рис. 5.7).

Наприклад , на числовій прямій множина точок, що задовольняє умову , є інтервал із центром у точці і радіусом , тобто інтервал від точки до точки .

Приклад 5.12. Розв’язати рівняння .

Розв’язання. Точка розбиває числову вісь на два проміжки, а саме, якщо , то вираз під знаком модуля додатний, тому модуль збігається із самим виразом, і маємо систему або та її розв’язок . У протилежному випадку після розкриття знака модуля отримаємо . Відповідь: .

Приклад 5.13. Розв’язати рівняння .

Розв’язання. Для розв’язання цього рівняння краще безпосередньо проаналізувати означення модуля. Модуль числа дорівнює якщо це число або . Наше рівняння можна замінити на два окремих рівняння, які часто записують у вигляді сукупності Кожне рівняння розглянемо окремо і отримаємо

Приклад 5.14. Розв’язати рівняння

Розв’язання. Перший спосіб - використання заміни змінної, а саме: позначимо і підкреслимо, що . Розв’язками отриманого квадратного рівняння є числа і , друге із яких нас не влаштовує. Рівняння має два корені: .

Рівняння можна було розв’язати інакше, а саме розглянути окремо два випадки: і . Відповідно маємо і . Першу систему задовольняє число , а другу – .

Приклад 5.15. Розв’язати нерівність .

Розв’язання. Нерівність одразу замінимо на або . Відповідь: або .

Приклад 5. 16. Розв’язати нерівність .

Розв’язання. Щоб позбавитися знака модуля, розглянемо окремо два випадки: 1) , 2) , які приводять до двох окремих систем:

1) і 2) . Перша має розв’язок , а друга - розв’язок . Тому .

Зауваження. Розглянуті приклади здаються занадто простими, але у подальшому вони можуть змінювати своє “обличчя” та виникати у досить серйозному вигляді, а тоді має неабияке значення вміння розв’язувати їх швидко та правильно

( див. завдання 5.10)

Завдання для самостійної роботи

 

5.7. Розв’язати рівняння:

а) ; b) ; c) ; d) .

5.8. Розв’язати рівняння .

5.9. Зобразити на числовій осі точки, що задовольняють нерівності:

а) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ;

g) .

5.10. Визначити, для яких значень геометрична прогресія із знаменником буде нескінченно спадною, тобто

5.11. Розв’язати нерівності: а) ; b) .

5.12. Розв’язати рівняння:

а) ; b) ; c)

5.13. Розв’язати нерівності:

а) ; b) ; c)2 ; d) .

 

5.4. Показникові та логарифмічні рівняння

 

Рівняння, що містять невідому в показникові степеня, мають назву “показникові рівняння”.

Основні види показникових рівнянь такі:

1.

За визначенням нульового показника

2.

Якщо розділити обидві частини рівняння на то одержимо рівняння

3.

За означенням логарифма

4.

Винесемо за дужки де Маємо

або

Рівняння має розв`язок , якщо .

5.

Позначимо , тоді одержимо квадратне рівняння відносно , оскільки

6.

Поділивши обидві частини на , отримаємо рівняння, що має вигляд рівняння 5 .

Приклад 5.17. Розв’язати рівняння .

Розв’язання. Праву частину перетворимо в число з основою 3: . Тепер підставимо в рівняння. Маємо Þ .

Приклад 5.18.Розв’язати рівняння .

Розв’язання. Оскільки , то рівняння матиме вигляд . Винесемо за дужки: Þ Þ Таким чином, але Þ Þ .

Приклад 5.19. Розв’язати рівняння

Розв’язання. Позначимо , тоді Підставимо і в задане рівняння. Отримаємо квадратне рівняння Розв’яжемо це рівняння. Маємо:Þ Звідси: , , , і , , ,

Приклад 5.20. Розв’язати рівняння