Реферат Курсовая Конспект
Общее уравнение плоскости. - раздел Математика, И.С. Рубанов: Геометрия 1. Вывод Общего Уравнения. Сохраняя Обозначения, Введенные В §16, Раскроем...
|
1. Вывод общего уравнения. Сохраняя обозначения, введенные в §16, раскроем определитель в правой части канонического уравнения (16.3):
М(х,у,z)ÎП Û (16.3) Û (x–x0) +0 (y–y0) + (z–z0) = 0 Û
(17.1) Ax + By +Cz + D = 0,
где А = , В = , С = , D = –(Ах0+Ву0+Сz0). При этом
(17.2) А2 + В2 + С2 ¹ 0,
ибо иначе уравнение (16.1) задает не плоскость, а пустое множество (при D ¹ 0) или все пространство (при D = 0). Уравнение (17.1) при условии (17.2) называется общим уравнением плоскости (в АСК в пространстве). Мы показали, что
(17.3) всякую плоскость можно задать в данной АСК общим уравнением.
Верен и обратный факт.
(17.4) Теорема. Всякое уравнение вида (17.1) при условии (17.2) задает в данной АСК в пространстве некоторую плоскость.
ð Условие (17.2) означает, что хотя бы один из коэффициентов А, В, С не равен 0. Не умаляя общности, можно считать, что С ¹ 0. Тогда (17.1) Û z = Û
. Переписав полученную систему в виде , убеждаемся, что это – система параметрических уравнений плоскости, заданной точкой М0(0, 0, –D/C) и векторами а(1, 0, –А/С), b(0, 1, –B/С). Значит, и равносильное ей уравнение (17.1) задает ту же плоскость. ð
2. Уравнение центральной связки плоскостей. (17.3) Лемма. Пусть точка М0(х0,у0,z0) лежит в плоскости, заданной уравнением (17.1). Тогда для любых действительных x, y и z выполнено тождество
(17.4) Ax + By + Cz + D = A(x–x0) + B(y–y0) + C(z–z0) .
Доказательство аналогично доказательству леммы 14.4. Проведите его сами.
(17.5) Теорема. Если плоскость, заданная уравнением (17.1), проходит через точку М0(x0,y0,z0), то ее можно задать уравнением
(17.6) A(x–x0) + B(y–y0) + C(z–z0) = 0.
Обратно, всякое уравнение вида (17.6) при условии (17.2) задает некоторую плоскость, проходящую через точку М0.
ð Первая часть теоремы вытекает из леммы 17.4. Чтобы доказать вторую, заметим, что после раскрытия скобок уравнение (17.6) приводится к виду (17.1), где
D = –(Ax0+ By0+ Cz0). Значит, уравнение (17.6) при условии (17.1) действительно задет плоскость. То, что она проходит через точку М0, проверяется прямой подстановкой. ð
Центральной связкой плоскостей называется совокупность всех плоскостей, проходящих через данную точку пространства (центр связки). Мы показали, что (17.6) при условии (17.2) есть уравнение связки с центром М0(х0,у0,z0).
3. Признак параллельности вектора и плоскости. (17.7) Теорема. Вектор р(а,b,c) параллелен плоскости П, заданной общим уравнением (17.1), тогда и только тогда, когда выполнено равенство
(17.8) Aa + Bb + Cc = 0.
ð Отложим от точки М0(х0,у0,z0)ÎП вектор М0М = р, и обозначим координаты точки М через (x,y,z) Вектор р параллелен плоскости П тогда и только тогда, когда МÎП, что по теореме (17.5) равносильно равенству A(x–x0) + B(y–y0) + C(z–z0) = 0. Осталось заметить, что по построению x–x0 = a, y–y0 = b и z–z0 = с. ð
(17.9) Следствие. Если плоскость задана в АСК уравнением (17.1), то векторы a(0,–C, B), b(–C,0,A), c(–B,A,0) параллельны этой плоскости.
ð Достаточно подставить координаты данных векторов в равенство (17.8). ð
(17.10) Задача. Записать параметрические уравнения плоскости П: 2х–3у–z+1=0.
ð Достаточно найти точку, лежащую в плоскости и базисную пару векторов. Чтобы найти точку, положим х=у=0 и найдем z = 1, а в качестве базисной пары, согласно следствию (17.9), можно взять векторы (0,1,–3) и (1,0,2). ð
Еще одно следствие проясняет геометрический смысл коэффициентов общего уравнения плоскости.
(17.11) Теорема. Если плоскость П задана уравнением (17.1), то А=0 Û П||Ох, В=0 Û П||Оу, С=0 Û П||Оz, А=В=0 Û П||Оху, А=С=0 Û П||Охz, B=C=0 Û П||Оуz, D=0 Û OÎП.
ð А = 0 Û p(1,0,0) || П Û Ох || П. D = 0 Û 0A + 0B + 0C + D = 0 Û O(0,0,0)ÎП.
А=В=0 Û Ох || П и Оу || П Û Оху || П (по признаку параллельности двух плоскостей). ð
4. Геометрический смысл неравенств первой степени с тремя переменными.
(17.12) Теорема. Каждое из двух неравенств:
|
(17.13–) Ах + Ву + Сz + D < 0
задает в АСК в пространстве одно из полупространств, на которые разбивает пространство плоскость П: Ах + Ву + Сz + D = 0.
Доказательство с очевидными изменениями копирует доказательство аналогичной теоремы 14.14. Проведите его самостоятельно.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Глава Векторы Понятие вектора Коллинеарность направленных отрезков Два направленных... Векторные пространства Координаты... Глава Метод координат Прямая на плоскости Аффинные...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Общее уравнение плоскости.
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов