Реферат Курсовая Конспект
Смешанное произведение векторов - раздел Математика, И.С. Рубанов: Геометрия 1. Определение И Простейшие Свойства. В Отличие От Чисел, У Векторов Сущес...
|
1. Определение и простейшие свойства. В отличие от чисел, у векторов существует не одно, а несколько разных “умножений”. Мы уже рассматривали скалярное умножение векторов. В этом параграфе мы познакомимся еще с одним, в котором участвуют не два, как обычно, а сразу три сомножителя.
Пусть V3 – ориентированное трехмерное векторное пространство, B = (i,j,k) – его положительно ориентированный ортонормированный базис. Смешанным[10] произведением abc векторов a, b и с называется определитель перехода DB ®(a,b,с). Подробнее, если в базисе B а(а1,а2,а3), b(b1,b2,b3), с(с1,с2,с3), то по определению
(7.1) abc = .
Прямо из определения смешанного произведения вытекают такие его свойства:
(7.2) abc = 0 тогда и только тогда, когда векторы a, b и с компланарны.
(7.3) Смешанное произведение abc положительно (отрицательно) тогда и только тогда, когда базис (a,b,c) положительно (отрицательно) ориентирован.
Для доказательства других свойств нам понадобится
(7.4) Лемма. Определитель перехода от одного ортонормированного базиса пространства V3 к другому равен 1, если эти базисы одинаково ориентированы, и –1, если они противоположно ориентированы.
ÿ Пусть B = (i,j,k) и D = (i¢,j¢,k¢) – два ортонормированных базиса пространства V3. Положим а1 = cosÐ(i,i¢) = cosÐ(i¢,i), а2 = cosÐ(i,j¢) = cosÐ(j¢,i), а3 = cosÐ(i,k¢) = cosÐ(k¢,i), b1 = cosÐ(j,i¢) = cosÐ(i¢,j), b2 = cosÐ(j,j¢) = cosÐ(j¢,j), b3 = cosÐ(j,k¢) = cosÐ(k¢,j), c1 = cosÐ(k,i¢) = cosÐ(i¢,k), c2 = cosÐ(k,j¢) = cosÐ(j¢,k), c3 = cosÐ(k,k¢) = cosÐ(k,k¢). Тогда в силу (5.16) векторы базиса B в базисе D имеют координаты i(а1,а2,а3), j(b1,b2,b3), k(с1,с2,с3), а векторы базиса D в базисе B – координаты i¢(а1,b1,c1), j¢(a2,b2,c2), k¢(a3,b3,с3). Отсюда получаем:
DD ®B = , DB ®D = .
Расписывая получившиеся определители по формуле (6.4) (сделайте это!), находим, что они равны. С другой стороны, согласно (П3), DB ®D = 1/DD ®B. Получается, что DB ®D = 1/DB ®D, откуда (DB ®D)2 = 1. Значит DB ®D = 1 или DB ®D = –1. ÿ
(7.5) Следствие. Смешанное произведение не зависит от выбора положительно ориентированного базиса B . При смене ориентации пространства смешанное произведение меняет знак.
ÿ В самом деле, если B и D – два положительно ориентированных базиса пространства V3, то в силу леммы DB®(a,b,с) = DB®DDD®(a,b,с) = 1´DD®(a,b,с) = DD®(a,b,с). Если бы базис D ориентирован отрицательно, то DB®D = –1 и DD ®(a,b,с) = –DB ®(a,b,с). ð
Допустим теперь, что D = (е1, е2, е3) – произвольный базис пространства V3, а векторы а(х1,х2,х3), b(y1,y2,y3), с(z1,z2,z3) заданы своими координатами в нем. Тогда по определению abc = DB ®(a,b,с) = DB ®DDD ®(a,b,с) = (е1е2е3)DD®(a,b,с). Расписывая DD ®(a,b,с) как определитель, получаем еще одно полезное свойство:
(7.6) Если векторы а(х1,х2,х3), b(y1,y2,y3), с(z1,z2,z3) заданы своими координатами в произвольном базисе D = (е1, е2, е3), то abc = (е1е2е3). ÿ
2. Алгебраические свойства смешанного произведения.
(7.7) Смешанное произведение дистрибутивно по каждому из сомножителей:
(а1+а2)bc = а1bc + а2bc , а(b1+b2) c = аb1 c + аb2c , аb(c1+c2) = аbc1 + аbc2.
(7.8) Смешанное произведение однородно по каждому из сомножителей:
(xa)bc = a(xb)c = ab(xc) = x(abc) .
(7.9) При перестановке двух сомножителей смешанное произведение меняет знак:
bac = acb = cba = –abc (антикоммутативность).
ÿ Все эти свойства доказываются прямым вычислением. Проверим, например, равенство (xa)bc = x(abc). Пусть в некотором положительно ориентированном ортонормированном базисе а(а1,а2,а3), b(b1,b2,b3), с(с1,с2,с3). Тогда
(xa)bc = = (ха1)b2c3 – (xа1)b3c2 + b1c2(xа3) – b1c3(xa2) + c1 (xа2)b3 + c1(xа3)b2 = х(а1b2c3 – а1b3c2 + b1c2а3 – b1c3a2 + c1а2b3 + c1а3b2) = х= х(abc). Остальные свойства проверьте сами. ÿ
3. Смешанное произведение как объем.
(7.10) Теорема. Объем параллелепипеда АВСDА1В1C1D1 равен абсолютной величине смешанного произведения векторов АВ, АD и АА1.
ÿ Опустим из вершины А перпендикуляры АК на прямую СD и АН на плоскость А1В1C1. Положим i = АВ/|АВ|, j = АK/|АK| и k = АH/|АH|. В силу (2.10) i, j и k – единичные векторы, сонаправленные соответственно векторам АВ , АК и АН (рис.28).
По построению АВ = |АВ| i, АD = AK + KD = |AK| j+xi, AA1 = AH + HA1 =
|AH| k + yi + zj. Здесь KD = xi, ибо KD || i , а HA1 = yi + zj, так как вектор HA1 компланарен неколлинеарным векторам i и j. Таким образом, в базисе (i,j,k) векторы АВ, АD и АА1 имеют такие координаты: АВ(|АВ|, 0, 0), АD(х, |АК|, 0), AA1(y, z, |AН|). Составленный из них определитель D равен |АВ| |АК| |АН| (проверьте!). Поскольку |АВ| |АК| – это площадь параллелограмма ABCD, а |АН| – высота параллелепипеда АВСDА1В1C1D1, определитель D равен объему этого параллелепипеда.
Заметим теперь, что по построению базис (i,j,k) – ортонормированный. Если он положительно ориентирован, то по определению АВ АD АА1 = D, а если отрицательно, то по следствию 7.5 АВ АD АА1 = –D. В обоих случаях |АВ АD АА1| = |D| = D. ÿ
(7.11) Следствие. Объем тетраэдра ABDA1 равен |АВ АD АА1|.
ÿ Достроим тетраэдр ABDA1 до параллелепипеда АВСDА1В1C1D1 (рис.29). Объем тетраэдра равен трети произведения площади треугольника ABD на высоту АН, что составляет 1/6 объема параллелепипеда. ÿ
Посмотрим, как работают эти утверждения.
Задача. Найти отношение объема параллелепипеда АВСDА1В1C1D1 к объему тетраэдра ACB1D1.
ÿ Рассмотрим в пространстве V3 базис (АВ, АD, АА1). В нем АС(1,1,0), AB1(1,0,1), AD1(0,1,1). По свойству 7.6 АС AB1 АD1 = (АВ АD АА1)= –2(АВ АD АА1). По теоремам 7.10 и 7.11 = |АС AB1 АD1| = |АВ АD АА1| = .Ответ: 1/3. ÿ
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Глава Векторы Понятие вектора Коллинеарность направленных отрезков Два направленных... Векторные пространства Координаты... Глава Метод координат Прямая на плоскости Аффинные...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Смешанное произведение векторов
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов