рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры
- Раздел Математика
- /
- Статистическое распределение выборки.
Реферат Курсовая Конспект
Статистическое распределение выборки.
Статистическое распределение выборки. - раздел Математика, Возникновение математики случайного относится к середине 18 века и связано с попыткой создания теории азартных игр, особенно в кости Эмпирическая Функция Распределения/ Пусть Изучается...
Эмпирическая функция распределения/
Пусть изучается некоторая св. X. С этой целью над с. в. X производится ряд независимых опытов (наблюдений). В каждом из этих опытов величина X принимает то или иное значение.
Пусть она приняла n1 раз значение x1, n2 раз — значение x2, …, nk раз — значение xk. При этом n1 + n2 +…+ nk =n— объем выборки. Значения x1, x2, …, xk называются вариантами св. X.
Вся совокупность значений с.в. X представляет собой первичный статистический материал, который подлежит дальнейшей обработке, прежде всего — упорядочению.
Операция расположения значений случайной величины (признака) по неубыванию называется ранжированием статистических данных. Полученная таким образом последовательность x(1), x(2), …, x(n) значений с. в. X (где x(1) £ x(2) £ …£ x(n) и x(1) =
,…, x(n) =
называется вариационным рядом.
Числа ni , показывающие, сколько раз встречаются варианты xi в ряде наблюдений, называются частотами, а отношение их к объему выборки — частностями или относительными частотами (рi*), т.е.
(6.1)
где n=
Перечень вариантов и соответствующих им частот или частостей называется статистическим распределением выборки или статистическим рядом.
Записывается статистическое распределение в виде таблицы. Первая строка содержит варианты, а вторая — их частоты ni (или частости рi*).
Пример 6.2. В результате тестирования (см. пример 6.1) группа абитуриентов набрала баллы: 5, 3, 0, 1, 4, 2, 5, 4, 1, 5. Записать полученную выборку в виде: а) вариационного ряда; б) статистического ряда.
а) Проранжировав статистические данные (т. е. исходный ряд), получим вариационный ряд (x(1), x(2), …, x(10)):
(0, 1, 1, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5).
б) Подсчитав частоту и частость вариантов x1=0, x2=1, x3 =2, x4=3, x5 =4, x6 =5, получим статистическое распределение выборки) (так называемый дискретный статистический ряд)
| xi | ||||||
| ni |
или
| xi | ||||||
| рi* | 
| 
|
|
|
| 
|
Статистическое распределение выборки является оценкой неизвестного распределения. В соответствии с теоремой Бернулли (п. 5.3) относительные частоты рi* сходятся при n → ∞ к соответствующим вероятностям рi, т.е. рi*
рi. Поэтому при больших значениях п статистическое распределение мало отличается от истинного распределения.
В случае, когда число значений признака (с. в. X) велико или признак является непрерывным (т. е. когда с. в. X может принять любое значение в некотором интервале), составляют интервальный статистический ряд. В первую строку таблицы статистического распределения вписывают частичные промежутки [x0, x1), [x1, x2), …, [xk-1, xk), которые берут обычно одинаковыми по длине: h = x1 – x0 = х2 — x1 = .... Для определения величины интервала (h) можно использовать формулу Стерджеса:
,
где хmах — xmin — разность между наибольшим и наименьшим значениями признака, m= 1 + log2 n — число интервалов (log2 n ≈ 3,322 lg n). За начало первого интервала рекомендуется брать величину xнач = xmin—
. Во второй строчке статистического ряда вписывают количество наблюдений ni (i =1,…,k), попавших в каждый интервал.
Пример 6.3. Измерили рост (с точностью до см) 30 наудачу отобранных студентов. Результаты измерений таковы:
178, 160, 154, 183, 155, 153, 167, 186, 163, 155,
157, 175, 170, 166, 159, 173, 182, 167, 171, 169,
179, 165, 156, 179, 158, 171, 175, 173, 164, 172.
Построить интервальный статистический ряд.
Для удобства проранжируем полученные данные:
153, 154, 155, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 163, 164, 165. 166. 167, 167, 169,
170, 171, 171, 172, 173, 173, 175, 175, 178, 179, 179, 182, 183, 186.
Отметим, что X — рост студента — непрерывная с. в. При более точном измерении роста значения с. в. X обычно не повторяются (вероятность наличия на Земле двух человек, рост которых равен, скажем 
= 1,732050808... метров, равна нулю!).
Как видим, хтiп = 153, хmах = 186; по формуле Стерджеса, при п = 30, находим длину частичного интервала
Примем h = 6. Тогда хнач = 153-
= 150. Исходные данные
разбиваем на 6 (т = 1 + log230 = 5,907 ≈ 6) интервалов: [150,156), [156,162), [162,168), [168,174), [174, 180), [180, 186).
Подсчитав число студентов (ni), попавших в каждый из полученных промежутков, получим интервальный статистический ряд:
| Рост | [150-156) | [156-162) | [162-168) | [168-174) | [174-180) | [180-186) |
| Частота | ||||||
| Частость | 0,13 | 0,17 | 0,20 | 0,23 | 0,17 | 0,10 |
Одним из способов обработки вариационного ряда является построение эмпирической функции распределения.
Эмпирической (статистической) функцией распределения называется функция Fn* (х), определяющая для каждого значения х частость события {X < х}:
Fn* (х)=p*{X<x}. (6.2)
Для нахождения значений эмпирической функции удобно Fn* (х) писать в виде
Fn* (х)=
где n — объем выборки, nх — число наблюдений, меньших x (x Î R) Очевидно, что Fn* (х) удовлетворяет тем же условиям, что и истинная функция распределения F(x) (см. п. 2.3).
При увеличении числа п наблюдений (опытов) относительная частота события {X < х} приближается к вероятности этого события (теорема Бернулли, п. 5.3). Эмпирическая функция распределения- Fn* (х) является оценкой вероятности события {X < х}, т.е. оценкой теоретической функции распределения F(x) с.в. X, Имеет место
Теорема 6.1 (Гливенко).Пусть F(x) — теоретическая функция распределения с.в. X, а Fn* (х) — эмпирическая. Тогда для любого e > 0
lim { |Fn* (х)-F(x)|>e} = 0.
Пример 6.4.Построить функцию Fn* (х), используя условие и результаты примера 6.2.
Здесь п = 10. Имеем F*10(x) = 
= 0 при х£ 0 (наблюдений меньше 0 нет); F*10(x) = при 0 < х£ 1 (здесь nх = 1) и т. д. Окончательно получаем
График эмпирической функции распределения
приведен на рис. 59.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Возникновение математики случайного относится к середине 18 века и связано с попыткой создания теории азартных игр, особенно в кости
Теория вероятности как и другие науки возникла из потребностей практики Ее элементы были знакомы еще первобытным людям шансы убить зверя у двух... Возникновение математики случайного относится к середине века и связано с... Пример одной из ситуаций два игрока договорились играть в кости до тех пор пока одному не удастся выиграть три...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Статистическое распределение выборки.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
| Твитнуть |
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Реклама
Информация в виде рефератов, конспектов, лекций, курсовых и дипломных работ имеют своего автора, которому принадлежат права. Поэтому, прежде чем использовать какую либо информацию с этого сайта, убедитесь, что этим Вы не нарушаете чье либо право.
© copyright 1999 - 2024 allRefs.net. Все права защищены. Страница сгенерирована за: 0.02 сек.
Новости и инфо для студентов