рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры
- Раздел Математика
- /
- Формула Бернулли
Реферат Курсовая Конспект
Формула Бернулли
Формула Бернулли - раздел Математика, Возникновение математики случайного относится к середине 18 века и связано с попыткой создания теории азартных игр, особенно в кости Простейшая Задача, Относящаяся К Схеме Бернулли, Состоит В Определен...
Простейшая задача, относящаяся к схеме Бернулли, состоит в
определении вероятности того, что в п независимых испытаниях событие А наступит т раз (0 £т £ n). Обозначается искомая вероятность так: Pn(m) или Pn,m или Р(mп = m), где mп — число появления события А в серии из п опытов.
Например, при бросании игральной кости 3 раза Р3(2) означает вероятность того, что в 3-х опытах событие А - - выпадение цифры 4 — произойдет 2 раза. Очевидно,
Р3(2) = p2q + p2q + p2q = = [{А,А, 
);{А, ,А)( ,А,А}]=
3p2q =
0,069.
Теорема 1.4. Если производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р, а вероятность его непоявления равна q = 1 — р, то вероятность того, что событие А произойдет т раз определяется формулой Бернулли
Pn(m)=
×pm×qn-m, т=0,1,2,…,n. (1.32)
Вероятность одного сложного события, состоящего в том, что событие А в п независимых опытах появится т раз в первых т опытах и не появится (n — т) раз в остальных опытах (это событие 
) по теореме умножения вероятностей равна pmqn-m. Вероятность появления события А снова т раз, но в другом порядке (например, 
или А
и т. д.)
будет той же самой, т. е. pmqn-m.
Число таких сложных событий — в п опытах т раз встречается событие А в различном порядке — равно числу сочетаний из п по m, т. е. . Так как все эти сложные события несовместны, то по теореме сложения вероятностей искомая вероятность равна сумме вероятностей всех возможных сложных событий, т. е.
Pn(m)= 
=×pm×qn-m, m =0, l,...,n.
Можно заметить, что вероятности Рп(т), m= 0,1,..., n являются коэффициентами при хm в разложении (q + рx)n по формуле бинома Ньютона:
(q+рх)п = qn + 
qn-1 px + 
qn-2 p2 x2 + ... + ×qn-m pm xm+ ... + pnxn.
Поэтому совокупность вероятностей Рп(т) называют биномиальным законом распределения вероятностей (см. п. 2.7), а функцию j(x) = (q + рх)п — производящей функцией для последовательности независимых опытов.
Если в каждом из независимых испытаний вероятности наступления события A разные, то вероятность того, что событие А наступит т раз в п опытах, равна коэффициенту при m-й степени многочлена jn(z) = (q1 + p1x)( q2 + p2x) • ... • (qn + pnx), где jn(z) - производящая функция.
Если в серии из п независимых опытов, в каждом из которых может произойти одно и только одно из k событий А1, А2, … ,Аk с соответствующими вероятностями p1, p2, ..., pk , то вероятность того, что в этих опытах событие А1 появится m1 раз, событие А2— m2 раз, ..., событие Аk — mk раз, равна
Pn(m1,m2,...,mk )=
(1.33)
где m1+m2+...+mk = n. Вероятности (1.33) называются полиномиальным распределением.
Пример 1.31. Производится 3 независимых выстрела по цели. Вероятности попадания при разных выстрелах одинаковы и равны р = 0,9. Какова вероятность: а) промаха; б) одного попадания; в) двух попаданий; г) трех попаданий? Решить задачу в случае, если вероятность попадания при разных выстрелах различны: p1 = 0,7, p2 = 0,8, p3 = 0,9
В данном случае n = 3, р = 0,9, q = 0,1. Пользуясь формулой Бернулли (1.32), находим:
а) Р3(0) = 
• 0,90 • 0,13 = 0,001 — вероятность трех промахов;
б) Р3(1) = 
• 0,91 • 0,12 = 3 • 0,9 • 0,01 = 0.027 — вероятность однокй попадания;
в) Р3(2) = 
• 0,92 • 0,11 = 3 • 0,81 • 0,1 = 0,243 — вероятность двух попаданий;
г) Р3(3) = 
• 0,93 • 0,10 = 0,93 = 0,729 — вероятность трех попаданий.
Эти результаты можно изобразить графически, отложив на оси Ох- значения m, на оси Оy — значения Рn(m) (рис. 14)
Рп(т)
Рис. 14
Ломаная, соединяющая точки (0; 0,001), (1; 0,027), (2; 0,243), (3; 0,729), называется многоугольником распределения вероятностей.
Если вероятности при разных выстрелах различны, то производящая функция имеет вид j3 (z) = (0,3 + 0,7z)(0,2 + 0,8z)(0,l + 0,9z) = 0,504z3 + 0,398z2 + 0,092z + 0,006. Откуда находим вероятность трех, двух, одного попаданий, промаха соответственно: Р3(3) = 0,504, Р3(2) = 0,398, Р3(1) = 0,092, Р3(0) = 0,006. (Контроль: 0,504 + 0,398 + 0,092 + 0,006 = 1.)
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Возникновение математики случайного относится к середине 18 века и связано с попыткой создания теории азартных игр, особенно в кости
Теория вероятности как и другие науки возникла из потребностей практики Ее элементы были знакомы еще первобытным людям шансы убить зверя у двух... Возникновение математики случайного относится к середине века и связано с... Пример одной из ситуаций два игрока договорились играть в кости до тех пор пока одному не удастся выиграть три...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Формула Бернулли
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
| Твитнуть |
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Реклама
Информация в виде рефератов, конспектов, лекций, курсовых и дипломных работ имеют своего автора, которому принадлежат права. Поэтому, прежде чем использовать какую либо информацию с этого сайта, убедитесь, что этим Вы не нарушаете чье либо право.
© copyright 1999 - 2024 allRefs.net. Все права защищены. Страница сгенерирована за: 0.021 сек.
Новости и инфо для студентов