рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Формула Бернулли

Формула Бернулли - раздел Математика, Теория вероятности. Возникновение математики случайного Простейшая Задача, Относящаяся К Схеме Бернулли, Состоит В Определен...

Простейшая задача, относящаяся к схеме Бернулли, состоит в

определении вероятности того, что в п независимых испытаниях собы­тие А наступит т раз (0 £т £ n). Обозначается искомая вероятность так: Pn(m) или Pn,m или Р(mп = m), где mп — число появления события А в серии из п опытов.

Например, при бросании игральной кости 3 раза Р3(2) означает вероятность того, что в 3-х опытах событие А - - выпадение цифры 4 — произойдет 2 раза. Очевидно,

Р3(2) = p2q + p2q + p2q = = [{А,А, );{А, ,А)( ,А,А}]=

3p2q =0,069.

Теорема 1.4. Если производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р, а вероятность его непоявления равна q = 1 — р, то вероятность того, что событие А произойдет т раз определяется формулой Бернулли

Pn(m)=×pm×qn-m, т=0,1,2,…,n. (1.32)

Вероятность одного сложного события, состоящего в том, что со­бытие А в п независимых опытах появится т раз в первых т опы­тах и не появится (n — т) раз в остальных опытах (это событие ) по теореме умножения вероятностей равна pmqn-m. Вероятность появления события А снова т раз, но в другом порядке (например, или Аи т. д.)

будет той же самой, т. е. pmqn-m.

Число таких сложных событий — в п опытах т раз встречается со­бытие А в различном порядке — равно числу сочетаний из п по m, т. е. . Так как все эти сложные события несовместны, то по теореме сло­жения вероятностей искомая вероятность равна сумме вероятностей всех возможных сложных событий, т. е.

Pn(m)= =×pm×qn-m, m =0, l,...,n.

Можно заметить, что вероятности Рп(т), m= 0,1,..., n являются коэффициентами при хm в разложении (q + рx)n по формуле бинома Ньютона:

(q+рх)п = qn + qn-1 px + qn-2 p2 x2 + ... + ×qn-m pm xm+ ... + pnxn.

Поэтому совокупность вероятностей Рп(т) называют биномиальным законом распределения вероятностей (см. п. 2.7), а функцию j(x) = (q + рх)п производящей функцией для последовательности неза­висимых опытов.

Если в каждом из независимых испытаний вероятности наступле­ния события A разные, то вероятность того, что событие А наступит т раз в п опытах, равна коэффициенту при m-й степени многочлена jn(z) = (q1 + p1x)( q2 + p2x) • ... • (qn + pnx), где jn(z) - производящая функция.

Если в серии из п независимых опытов, в каждом из которых может произойти одно и только одно из k событий А1, А2, … ,Аk с соответ­ствующими вероятностями p1, p2, ..., pk , то вероятность того, что в этих опытах событие А1 появится m1 раз, событие А2— m2 раз, ..., событие Аk — mk раз, равна

Pn(m1,m2,...,mk )= (1.33)

где m1+m2+...+mk = n. Вероятности (1.33) называются полиноми­альным распределением.

Пример 1.31. Производится 3 независимых выстрела по цели. Веро­ятности попадания при разных выстрелах одинаковы и равны р = 0,9. Какова вероятность: а) промаха; б) одного попадания; в) двух попаданий; г) трех попаданий? Решить задачу в случае, если вероятность попадания при разных выстрелах различны: p1 = 0,7, p2 = 0,8, p3 = 0,9

В данном случае n = 3, р = 0,9, q = 0,1. Пользуясь формулой Бернулли (1.32), находим:

а) Р3(0) = • 0,90 • 0,13 = 0,001 — вероятность трех промахов;

б) Р3(1) = 0,91 • 0,12 = 3 • 0,9 • 0,01 = 0.027 — вероятность однокй попадания;

в) Р3(2) = • 0,92 • 0,11 = 3 • 0,81 • 0,1 = 0,243 — вероятность двух попаданий;

г) Р3(3) = 0,93 • 0,10 = 0,93 = 0,729 — вероятность трех попаданий.

Эти результаты можно изобразить графически, отложив на оси Ох- значения m, на оси Оy — значения Рn(m) (рис. 14)

 

Рп(т)

Рис. 14

Ломаная, соединяющая точки (0; 0,001), (1; 0,027), (2; 0,243), (3; 0,729), называется многоугольником распределения вероятностей.

Если вероятности при разных выстрелах различны, то производящая функция имеет вид j3 (z) = (0,3 + 0,7z)(0,2 + 0,8z)(0,l + 0,9z) = 0,504z3 + 0,398z2 + 0,092z + 0,006. Откуда находим вероятность трех, двух, одного попаданий, промаха соответственно: Р3(3) = 0,504, Р3(2) = 0,398, Р3(1) = 0,092, Р3(0) = 0,006. (Контроль: 0,504 + 0,398 + 0,092 + 0,006 = 1.)

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Теория вероятности. Возникновение математики случайного

Теория вероятности как и другие науки возникла из потребностей практики Ее элементы были знакомы еще первобытным людям шансы убить зверя у двух.. Возникновение математики случайного относится к середине века и связано с.. Пример одной из ситуаций два игрока договорились играть в кости до тех пор пока одному не удастся выиграть три..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Формула Бернулли

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Предмет теории вероятности
Любая наука изучает не сами явления, протекающие в природе, в обществе, а их математические модели, т.е. описание явлений при помощи набора строго определенных символов и операций над ними.

Действия над событиями
Введем основные операции над событиями; они полностью соответ­ствуют основным операциям над множествами. Суммой событий А и В называется событие С = А +

Статистическое определение вероятности
Для математического изучения случайного события необходимо ввести какую-либо количественную оценку события. Понятно, что одни события имеют больше шансов («более вероятны») наступить, чем дру­гие.

Элементы комбинаторики
Согласно классическому определению подсчет вероятности собы­тия А сводится к подсчету числа благоприятствующих ему исходов. Делают это обычно комбинаторными методами. Комбин

Геометрическое определение вероятности
    Геометрическое определение вероятности прим

Аксиоматическое определение вероятности
Аксиоматическое построение теории вероятностей создано в начале 30-х годов академиком А. Н. Колмогоровым. Аксиомы теории вероят­ностей вводятся таким образом, чтобы вероятность события обладала осн

Свойства вероятностей
Приведем ряд свойств вероятности, являющихся следствием акси­ом Колмогорова. С1. Вероятность невозможного события равна нулю, т.е. Р(Æ) =0.

Конечное вероятностное пространство
Пусть производится некоторый опыт (эксперимент), который имеет конечное число возможных исходов w1, w2, w3,.., wn. В этом случае Ώ = {

Условные вероятности
Пусть А и В — два события, рассматриваемые в данном опыте. На­ступление одного события (скажем, А) может влиять на возможность наступления другого (В). Для характеристики зависимости одн

Независимость событий
Из определения условной вероятности (п. 1.14) следует, что Р(А×В) = Р(А)×Р(ВçА)=Р(В)-Р(АçВ), (1.22) т. е. вероятность произведения

Вероятность суммы событий
Как известно (п. 1.11), вероятность суммы двух несовместных событии определяется аксиомой A3: ({А + В) = Р(А) + Р(В), А×В = Æ Выведем формулу суммы вероятностей двух совместных с

Формула полной вероятности
Одним из следствий совместного применения теорем сложения умножения вероятностей являются формулы полнойвероятности и Байеса. Напомним, что события А1, А2, …

Формула Байеса (теорема гипотез)
Следствием формулы (1.30) является формула Байеса или теорема гипотез. Она позволяет переоценить вероятности гипотез Hi, принятых до опыта и называе

Понятие случайной величины. Закон распределения случайной величины
Одним из важнейших понятий теории вероятностей (наряду со слу­чайным событием и вероятностью) является понятие случайной вели­чины. Под случайной величиной понимают величину, которая в резул

Закон распределения дискретной случайной величины. Многоугольник распределения
Пусть X — д. с. в., которая принимает значения x1, x2, x3,…,xn,… (множество этих значений конечно или счетно) с некоторой вероят­ностью pi

Функция распределения и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины
Очевидно, ряд распределения с.в. может быть построен только для д.с. в.: для н. с. в. нельзя даже перечислить все ее возможные значения. Кроме того, как увидим позже (п. 2.3, 2.4), вероятность кажд

Математическое ожидание случайной величины
Математическим ожиданием (или средним значением) д. с. в. X, — имеющей закон распределения рi = Р{Х = xi}, i= 1,2, 3,... , n, назы­вается число, равное сумме произвед

Дисперсия
Дисперсией (рассеянием) с. в. X называется математическое ожи­дание квадрата ее отклонения от своего математического ожидания. Обозначается дисперсия через DX (или

Среднее квадратическое отклонение
Дисперсия DX имеет размерность квадрата св. X, что в сравни­тельных целях неудобно. Когда желательно, чтобы оценка разброса (рассеяния) имела размерность с.в., используют еще одну числовую характер

Мода и медиана. Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс. Квантили
Модой д. с. в. X называется ее значение, принимаемое с наибольшей вероятностью по сравнению с двумя соседними значениями, обознача­ется через M0X. Для н.с.b. M0X — точ

Предмет математической статистики
Математическая статистика — раздел математики, в котором изучаются методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений для выявления

Генеральная и выборочная совокупности
Пусть требуется изучить данную совокупность объектов относи­тельно некоторого признака. Например, рассматривая работу диспет­чера (продавца, парикмахера,...), можно исследовать: его загружен

Статистическое распределение выборки
Эмпирическая функция распределения/ Пусть изучается некоторая св. X. С этой целью над с. в. X про­изводится ряд независимых опытов (наблюдений). В каждом из этих опытов ве

Графическое изображение статистического распределения
Статистическое распределение изображается графически (для на­глядности) в виде так называемых полигона и гистограммы. Полигон, как правило, служит для изображения дискретного (т. е. варианты от­лич

Числовые характеристики статистического распределения
Для выборки можно определить ряд числовых характеристик, ана­логичным тем, что в теории вероятностей определялись для случайных величин (см. п. 2.5). Пусть статистическое распределение выб

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги