К механизму электропроводности магнитной жидкости с графитовым наполнителем

К МЕХАНИЗМУ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ МАГНИТНОЙ ЖИДКОСТИ С ГРАФИТОВЫМ НАПОЛНИТЕЛЕМ Р.Г. Закинян, Ю.Л. Смерек, А.Р. Закинян. Введение. В работе [1] экспериментально исследовалась зависимость электропроводности магнитной жидкости с графитовым наполнителем от на-правления магнитного поля. Было установлено, что при направлении маг-нитного поля, совпадающем с направлением электрического поля, электри-ческая проводимость магнитной жидкости увеличивается.Если же магнитное поле перпендикулярно электрическому полю, то электрическая проводи-мость уменьшается.

Это объясняется тем, что частички графита можно рас-сматривать как «магнитные дырки», которые в магнитном поле ориентиру-ются вдоль силовых линий магнитного поля. Возникающая анизотропия маг-нитной жидкости с графитовым наполнителем является причиной зависимо-сти электрической проводимости от направления магнитного поля. В работе [2] была предложена теория, объясняющая наблюдаемую за-висимость электрической проводимости от направления магнитного поля. Суть теории [2] заключается в следующем.

Предполагается, что в магнитной жидкости всегда имеются примесные ионы, которые в результате адсорбции с частицами магнетита заряжают их. Поэтому электрический ток обусловлен движением заряженных частиц магнетита.Частицы же графита, помещенные в магнитную жидкость, оказывают сопротивление движению частиц магне-тита. Если представить частицы графита в виде вытянутых эллипсоидов, то в результате ориентации в магнитном поле, частота столкновений частиц маг-нетита с частицами графита будет зависеть от направления магнитного поля. Это приводит к зависимости сопротивления (соответственно, проводимости) магнитной жидкости от направления магнитного поля. Полученные в работе [2] зависимости электрической проводимости от направления магнитного поля давали несколько завышенные результаты по сравнению с экспериментом [1]. Поэтому сделан вывод, что предлагаемый в работе [2] механизм не полностью объясняет наблюдаемую в эксперименте зависимость.

В работе [3] был предложен новый механизм, объясняющий за-висимость проводимости магнитной жидкости с графитовым наполнителем от направления магнитного поля. Суть нового механизма заключалась в сле-дующем.

Так как частицы магнетита являются проводящими, то в электри-ческом поле на них должен индуцироваться заряд противоположного знака. А это приведет к тому, что заряженные частицы магнетита будут притяги-ваться к частицам графита, компенсируя образовавшийся заряд.Таким обра-зом, число частиц магнетита, обусловливающих электрический ток, умень-шается.

Но степень этого уменьшения будет зависеть от ориентации частиц графита.Если частицы графита в целом электронейтральны, то электриче-ское поле около незаряженной частицы графита будет иметь симметричный вид, изображенный на рис. 1. Рис. 1. Искажение электрического поля около незаряженной частицы графита. Симметричное распределение силовых линий электрического поля есть следствие теоремы Гаусса (заряд равен нулю, поэтому число силовых линий подходящих к частице равно числу силовых линий исходящих из частицы). Но если частицы магнетита заряжены, то они будут стремиться при-соединиться к противоположно заряженным сторонам частицы графиты.

В результате этого частица графита заряжается.Поэтому согласно теореме Га-усса, электрическое поле около заряженной частицы графита принимает не-симметричный вид, изображенный на рисунке 2. Рис. 2. Искажение электрического поля около заряженной частицы графита. Если предположить, что частицы графита могут принимать заряды раз-ных знаков, то картина, изображенная на рисунке 2 не будет иметь места.

Действительно, если представить магнитную жидкость в целом электроней-тральной, то в ней объемный заряд равен нулю. То есть число положительно заряженных и отрицательно заряженных частиц магнетита одинаково.И бу-дет иметь место картина, изображенная на рис. 1. Поэтому картина на рисун-ке 2 может возникнуть только лишь при униполярном заряжении частиц гра-фита, то есть при наличии объемного заряда того или иного знака. Далее для определенности будем говорить об объемном заряде положительного знака.

Частицы графита, помещенные в магнитную жидкость, представляют собой «магнитные дырки», обладающие магнитным моментом, направлен-ным против внешнего поля. При изменении магнитного поля частицы графи-та будут ориентироваться вдоль поля. Но если представить частицы графита в виде идеальных сфер, то, очевидно, что никакой анизотропии возникнуть не может.

Поэтому анизотропию электрических свойств магнитной жидкости с графитовым наполнителем, можно объяснить, только если предположить, что частицы графита имеют эллипсоидальную форму (или произвольную вы-тянутую форму). В работе [3] при определении предельного заряда, который образуется на частице графита в результате адсорбции заряженных частиц магнетита, форма частиц графита считалась сферической.Целью настоящей статьи яв-ляется – развить количественную теорию описанного выше механизма для частиц графита эллипсоидальной формы. 1. Магнитное поле параллельно электрическому полю. Предельный заряд, накапливающийся на частице графита, найдем из теоремы Гаусса [4]: , (1) где - поток вектора электрической напряженности; Е – результирующее поле, обусловленное суперпозицией Е1 внешнего поля вблизи частицы гра-фита и отталкивающего поля Е2, обусловленного накапливающими на части-це графита зарядами; – площадь поверхности графита (рис. 3). На рис. 3 - напряженность невозмущенного электрического поля. Рис. 3. К результирующему потоку вектора напряженности электриче-ского поля. Напряженность электрического поля Е1 вблизи поверхности проводя-щего эллипсоида, помещенного первоначально в однородное электрическое поле, определяется выражением [5] , (2) где – полуоси эллипсоида, причем полуось направлена вдоль оси ; – декартовы координаты поверхности эллипсоида; – коэффициент деполяризации, определяемый для вытянутого эллипсоида вращения ( ) с эксцентриситетом, выражением [5] , (3) где – обратный гиперболический тангенс:. Из (3) следует, что , (4) то есть для проводящей сферы формула (2) принимает вид , (5) где - радиус сферы.

Если же сфера является диэлектриком, то в этом слу-чае формула (5) имеет вид [5] , (6) где – относительная диэлектрическая проницаемость сферы. При из (6) получается выражение (5) для проводящей сферы.

Поэтому предлагаемый ниже механизм электропроводности можно применить и для случая с ди-электрическим наполнителем эллипсоидальной формы.

Накапливающиеся на проводящем эллипсоиде заряды порождают от-талкивающее поле, препятствующее приходу новых заряженных частиц маг-нетита.

Отталкивающее поле вблизи эллипсоида задается формулой [5] , (7) где – заряд, накапливающийся на поверхности эллипсоида; – число заряженных частиц магнетита, несущих элементарный заряд . Для случая сферы формула (7) принимает вид . (8) В результате суперпозиции получим результирующее поле, направлен-ное перпендикулярно поверхности эллипсоида.

Результирующее поле равно . (9) Причем при . (10) Так как в формуле (2) выражение под корнем есть медленно меняю-щаяся функция, то можно ее приблизительно заменить средним значением: . (11) Тогда выражения для и можно приближенно записать в виде , (12) . (13) Тогда для результирующего поля запишем . (14) Для нахождения потока вектора напряженности электрического поля по формуле (1), нам необходимо знать выражение для элемента площади по-верхности эллипсоида вращения, которое согласно [6] имеет вид . (15) С учетом (14) и (15) выражение (1) для потока вектора напряженности полу-чим . (16) Интегралы в формуле (16) элементарно интегрируются [7]: . (17) .(18) С учетом формул (17) и (18) выражение для потока вектора напряжен-ности примет вид . (19) Упростим выражение (19), принимая во внимание, что . . (20) Насыщение частицы графита зарядом произойдет, когда поток вектора напряженности станет равным нулю. То есть заряжение частиц графита будет происходить до тех пор, пока индуцированный заряд не будет ском- пенсирован.

Из условия найдем предельный заряд частицы графита для случая, когда магнитное поле параллельно электрическому полю: . (22) Предельное число заряженных частиц магнетита с элементарным зарядом e, отдающих заряд частице графита, в электрическом поле с напряженностью равно: . 2. Магнитное поле перпендикулярно электрическому полю. Рас-смотрим, что произойдет, если частица графита под действием магнитного поля будет ориентирована перпендикулярно электрическому полю. Как было отмечено выше, если частица графита представляет собой сферу, то никаких изменений не произойдет.

Если частица графита представляет собой вытяну-тый эллипсоид, то она большей полуосью, а значит, большей площадью по-перечного сечения, будет расположена перпендикулярно току. Пусть в результате такой ориентации полуось эллипсоида парал-лельна оси . В этом случае напряженность электрического поля Е1 вблизи поверхности проводящего эллипсоида определяется выражением (2), в кото-ром необходимо заменить на , (23) , . (24) Отталкивающее поле вблизи эллипсоида задастся формулой (7) . (25) Результирующее поле запишется в виде . (26) Из условия находим : . (27) Аналогично, запишем приближенные выражения для и в виде , (28) . (29) Для результирующего поля запишем . (30) Выражение для элемента площади поверхности эллипсоида вращения в этом случае имеет вид . (31) Поток вектора напряженности электрического поля в этом случае оп-ределится формулой . (32) Из условия найдем предельный заряд частицы графита для слу-чая, когда магнитное поле перпендикулярно электрическому полю: . (33) Введем следующие обозначения , , (34) которые назовем коэффициентами формы, соответственно, для эллипсоида, расположенного параллельно току, и перпендикулярно току. Тогда выраже-ния для предельных зарядов, соответственно, запишутся в виде , (35) . (36) Расчеты по формулам (35) и (36) показывают, что . Таким об-разом, частица графита ориентированная перпендикулярно электрическому полю заряжается больше, чем в случае, когда она ориентирована параллельно электрическому полю. Это приводит к уменьшению основного тока. 3. Удельная проводимость магнитной жидкости с графитовым на-полнителем.

Если бы описанный выше механизм не имел бы место, то не-возмущенный ток можно записать, согласно определению [4], в виде , (37) где – плотность невозмущенного тока; – площадь обкладок ячейки [1]. Плотность тока записывается в виде [4] , (38) где – концентрация заряженных частиц магнетита в невозмущенном пото-ке; – удельная проводимость магнитной жидкости при отсутствии частиц графита; – скорость упорядоченного движения заряженных частиц магне-тита. Отсюда удельную проводимость записывают в виде [4] , , (39) где – подвижность заряженных частиц магнетита; – объемный за-ряд невозмущенного потока. Концентрацию частиц графита обозначим . В выражении для плотно-сти тока необходимо учесть, что часть объемного заряда оседает на частицах графита и не участвует в токе. Поэтому для плотности тока, когда магнитное поле направлено параллельно электрическому полю, можно записать . (40) Отсюда для удельной проводимости получим . (41) Аналогично, получим выражение для удельной проводимости, когда магнит-ное поле направлено перпендикулярно току: . (42) Из (41) и (42) следует . (43) Учитывая, что , то (43) можно приближенно записать в виде . (44) Из (44) видно, что когда магнитное поле параллельно току, то удельная про-водимость больше, чем когда магнитное поле перпендикулярно току. Анало-гично, из (41) и (42) запишем выражения для удельных сопротивлений , , (45) где и – удельные сопротивления магнитной жидкости с графитовым наполнителем в магнитном поле, соответственно, параллельном электриче-скому полю и перпендикулярному электрическому полю; – удельное со-противление магнитной жидкости в отсутствии частиц графита.

В экспери-менте [1] измерялось сопротивление ячейки.

Соответственно, для сопротив-лений запишем выражения , , (46) где – сопротивление магнитной жидкости в отсутствии частиц графита.

Отсюда , (47) где . Откуда видно, что сопротивление ячейки в магнитном поле, параллельном электрическому полю, меньше, чем в магнитном поле, перпендикулярном электрическому полю. Сделанный вывод согласуются с данными экспериментальных иссле-дований, результаты которых приведены на рисунке.

Таким образом, из вышеизложенного следует, что проводимость маг-нитной жидкости с графитовым наполнителем изменяется в зависимости от направления магнитного поля. Проводимость магнитной жидкости с графи-товым наполнителем в магнитном поле, параллельном электрическому полю больше, чем в магнитном поле, перпендикулярном электрическому полю: . 4. Расчеты.

Из формулы (47) следует, что анизотропия электрических свойств магнитной жидкости с графитовым наполнителем будет существен-но зависеть от концентрации частиц графита, что действительно наблюда-лось в эксперименте [1]. При малых концентрациях частиц графита эффект не существенен.

Концентрацию частиц графита найдем по формуле [8], (48) где – объемная концентрация частиц графита.

В эксперименте [1] объ-емная концентрация была равна , а радиус частиц графита был поряд-ка мкм. Подставляя численные значения в (48), для полной концентра-ции частиц графита получим м-3. Примем мкм, мкм. Это соответствует эксцентриситетам и , соответственно, коэффициенты формы и . Примем . Объемный за-ряд, оседающий на частицах графита, равен Кл/м3. На частицу гра-фита, расположенную перпендикулярно току, оседает на заряженных частиц магнетита больше, чем на частицу, расположенную параллельно току. Согласно [9], объемный заряд можно оценить по формуле , (49) – постоянная Больцмана; – абсолютная температура.

В эксперименте [1] имело место отношение при напряженно-сти электрического поля В/м. Для этого значения напряженности электрического поля объемный заряд, согласно (49), равен Кл/м3, что соответствует концентрации заряженных частиц магнетита м-3. Размер частиц магнетита примем равным нм. Объемная концен-трация магнетита в эксперименте была . Тогда для концентрации частиц магнетита получим м-3. Отсюда видно, что не все частицы магнетита заряжены, что согласуется с результатами [9]. Подставляя числен-ные значения в (47), получим теоретическое значение отношения Как видно теоретическое значение отношения сопротивлений почти в два раза меньше экспериментально наблюдаемого.

Возможная причина расхож-дения теории с экспериментом может заключаться в полидисперсности час-тиц графита, применяемых в эксперименте.

Расчеты же велись в предполо-жении монодисперсности частиц графита.

Выводы.

Предложен механизм, объясняющий анизотропию электри-ческих свойств магнитной жидкости с графитовым наполнителем в магнит-ном поле. Думается, что имеют место оба механизма: и механизм, предло-женный в [2], и в настоящей работе.В дальнейшем предполагается построить общую теорию, опирающуюся на оба предложенных механизма.

В заключе-ние выражаем благодарность профессору Ю. И. Диканскому, под научным руководством которого была выполнена настоящая работа.Список литературы 1. Смерек Ю.Л. Электрическая проводимость магнитной жидкости с мелкодисперсным наполнителем в магнитном поле. //Вестник СГУ. 2001. – Вып. 28. С. 184 – 187. 2. Закинян Р.Г Смерек Ю.Л Закинян А.Р. Элементарная теория элек-тропроводности магнитной жидкости с графитовым наполнителем. Записки физико-математического факультета.

Выпуск 2. 3. Закинян Р.Г Смерек Ю.Л Закинян А.Р. Об одном механизме элек-тропроводности магнитной жидкости с графитовым наполнителем. // Проблемы физико-математических наук. Материалы 48 научно-методической конференции преподавателей и студентов. – Ставро-поль, 2003. – С. 29 – 32. 4. Калашников С.Г. Электричество. – М.: Наука, 1985. – 576 с. 5. Ландау Л.Д Лифшиц Е.М. Теоретическая физика.Электродинами-ка сплошных сред. Т. 8 М.: Наука, 1982 624 с. 6. Ильин В.А Позняк Э.Г. Основы математического анализа.

Часть 1. – М.: Наука, 1971. – 510 с. 7. Прудников А.П Брычков Ю.А Маричев О.И. Интегралы и ряды. – М.: Наука, 1981. – 799 с. 8. Фертман В.Е. Магнитные жидкости Минск: "Вышейшая школа", 1988 184 с. 9. Падалка В.В Закинян Р.Г Бондаренко Е.А. К вопросу об образова-нии объемного заряда в приэлектродном слое разбавленной маг-нитной жидкости. // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Ес-тественные науки, 2002 № 4. – С. 36 – 38.