Качество оценивания числовых характеристик случайных векторов

Основные вероятностные свойства m-мерного случайного вектора

описываются m-мерным вектором математических ожиданий его компонент

.

и корреляционной матрицей m-го порядка

 

,

т.е. всего m + m² числовыми характеристиками. Поскольку корреляционная матрица симметрична, то число различных её элементов равно 0,5(m + m²). Таким образом, при оценивании числовых характеристик m-мерного случайного вектора необходимо вычислить 0,5(m² + 3m) оценок, из которых m оценок математических ожиданий , , такое же количество оценок дисперсий , и оценок корреляционных моментов , .

Задача анализа качества оценивания числовых характеристик случайного вектора заключается в построении для них 0,5(m²+3m) доверительных интервалов

, ,

, ,

, , j < l

и вычислении такого же числа доверительных вероятностей:

, ,

, ,

, , j < l.

Методики анализа точности и надёжности оценивания числовых характеристик положения (математических ожиданий и рассеяния (дисперсий и средних квадратических отклонений) были подробно рассмотрены в § 5.2. Поэтому здесь основное внимание будет уделено анализу качества оценивания числовых характеристик связи (корреляционных моментов и коэффициентов корреляции) компонент случайного вектора .

При k_n–1 » 1 точечные оценки и вычисляются соответственно по третьей формуле (5.3.6) и (5.3.7). Известно, что корреляционный момент кроме связи компонент случайного вектора характеризует и их рассеяние. Поэтому в качестве основной характеристики связи чаще всего используется коэффициент корреляции .

При вычислении доверительной вероятности b = b_{I, n} и построении доверительного интервала I = I_b,n для коэффициента корреляции необходимо знать закон распределения его оценки . Оказывается, что независимо от распределения случайного вектора при достаточно большом объёме n выборки (практически при n > 30) закон распределения оценки близок к нормальному [1] с параметрами

, ,

иначе

.

Поэтому доверительная вероятность

(5.3.8)

Выражая из уравнения (5.3.8) величину e, будем иметь

, (5.3.9)

откуда

(5.3.10)

Соотношением (5.3.10) описывается 100b-процентной доверительный интервал для коэффициента корреляции r.

Разрешив уравнение (5.3.9) относительно n, получим выражение для объёма выборки, потребного при оценивании r с точностью e (с абсолютной ошибкой, не превосходящей e) и надёжностью b (доверительной вероятностью b):

. (5.3.11)

Следует обратить внимание на то, что во всех выражениях (5.3.8)–(5.3.11) реальными являются лишь приближённые равенства, так как на этапе оценивания (как точечного, так и интервального) истинное значение коэффициента корреляции неизвестно. В связи с этим потребный объём выборки может быть определён лишь методом последовательных приближений. Сущность этого метода была раскрыта в п.п.5.2.3.

П р и м е р 5.10. Пусть , – координаты пробоины в мишени. Произведено 40 выстрелов. Коэффициент корреляции случайных величин и составил r = 0,605. Найти:

1) доверительную вероятность b для r, если максимальная с вероятностью b абсолютная погрешность оценки должна быть не более 0,1;

2) доверительный интервал для r при доверительной вероятности b = 0,85.

▼ 1. По формуле (5.3.8) находим

0,5704.

Значение функции F₀(x) – в приложении 2.

2. Для b = 0,85 в приложении 4 находим t_b = t_0,85 = 1,439.

Для вычисления погрешности e используем выражение (5.3.9):

.

В соответствии с выражением (5.3.10) доверительный интервал

I = I_{0,85; 40} = [0,605–0,181; 0,605+0,181] = [0,424; 0,786].

▲