Качество оценивания математического ожидания

Качество статистического оценивания математического ожидания при заданном объёме n выборки определяется доверительным интервалом

(5.1.12)

и доверительной вероятностью

. (5.1.13)

Как указывалось в § 3.2, процедура построения доверительного интервала зависит, с одной стороны, от характера распределения наблюдаемого признака и, как следствие, от распределения оценки , а с другой – от объёма n случайной выборки . Кроме того, и в первую очередь, она зависит от типа статистики , используемой в качестве оценки математического ожидания. В п.п. 5.1.1 и 5.1.2 применялись линейные статистики в виде средневзвешенного элементов выборки.

В случае равноточных независимых наблюдений наилучшей (по трём критериям, см. § 3.1) оценкой математического ожидания является статистическое математическое ожидание (5.1.1). При этом, если наблюдаемая случайная величина подчинена нормальному закону распределения, то при любом n оценка будет иметь нормальное распределение с параметрами

(5.1.14)

Наряду с этим оценка асимптотически нормальна, т.е. при n ® ¥ для любого распределения признака распределение оценки приближается к нормальному с параметрами, определяемыми равенствами (5.1.14). Данное утверждение вытекает из предельной теоремы Ляпунова.

Тогда доверительная вероятность (5.1.13) будет определяться отношением

(5.1.15)

Первое приближённое равенство в (5.1.15) обусловлено отличием закона распределения признака от нормального, а второе – заменой неизвестного его оценкой . При нормальном распределении и известном соотношение (5.1.15) становится точным.

Разрешив (5.1.15) относительно e, получим

, (5.1.16)

откуда находим интервал (5.1.12):

(5.1.17)

Из соотношения (5.1.17) видно, что при большом объёме выборки доверительный интервал для симметричен и полностью определяется его оценкой и максимальной с вероятностью b абсолютной погрешностью e_b,n. На рис.5.1 дана геометрическая интерпретация соотношения (5.1.17).

Из уравнения (5.1.16) выражаем n, при этом будем иметь

. (5.1.18)

Формулой (5.1.18) определяется потребный объём выборки для оценивания математического ожидания случайной величины .