Нестационарные случайные функции

Реализации x_i(t), случайной функции представляют собой неслучайные функции, значения которых x_i(t_j) в фиксированных точках t_j, j = 1,2,… являются реализациями x_ij случайных величин .

Пусть над случайной функцией произведено n независимых равноточных наблюдений (опытов), в результате которых получено n её реализаций x_i(t), (рис.5.3).

Рис.5.3. Реализации случайной функции

Требуется найти оценки числовых характеристик случайной функции: математического ожидания , дисперсии и корреляционной функции , удовлетворяющие требованиям состоятельности, несмещённости и эффективности (асимптотической эффективности).

В ряде сечений случайной функции, соответствующих моментам времени t₁, t₂,…, t_j,…,t_m, фиксируются значения, принятые реализациями x_i(t) функции в эти моменты. Поскольку наблюдалось n реализаций, то каждому из моментов t_j, будут соответствовать n значений, принятых случайной величиной . Указанная случайная величина является j-м сечением случайной функции . Расстояния

h = h_j = t_j+1 – t_j

между фиксируемыми сечениями случайной функции обычно берутся одинаковыми и назначаются так, чтобы последовательность x_i(t_j), позволяла восстановить основной характер зависимости x_i(t). Нередко в основу выбора кладётся теорема В.А. Котельникова, согласно которой для точного восстановления непрерывной функции достаточно её наблюдать в равноотстоящих дискретных точках с частотой, в два раза превышающей максимум её частотного спектра [2,13]. Бывает, что приведённые соображения являются излишними и расстояние задаётся темпом работы регистрирующей аппаратуры.

Для удобства последующей статистической обработки зарегистрированные данные сводятся в таблицу, строки которой соответствуют реализациям, а столбцы – сечениям случайной функции (табл.5.6).

Таблица 5.6

Зарегистрированные значения случайной функции

xi(t)	t
t1	t2	×××	tj	×××	tl	×××	tm
x1(t)	x1(t1)	x1(t2)	×××	x1(tj)	×××	x1(tl)	×××	x1(tm)
x2(t)	x2(t1)	x2(t2)	×××	x2(tj)	×××	x2(lj)	×××	x2(tm)
×××	×××	×××	×××	×××	×××	×××	×××	×××
xi(t)	xi(t1)	xi(t2)	×××	xi(tj)	×××	xi(tl)	×××	xi(tm)
×××	×××	×××	×××	×××	×××	×××	×××	×××
xn(t)	xn(t1)	xn(t2)	×××	xn(tj)	×××	xn(tl)	×××	xn(tm)

Приведённая в табл.5.6 совокупность значений случайной функции представляет собой результаты n наблюдений m-мерного случайного вектора

и обрабатывается по методике § 5.3.

Так, оценки математических ожиданий сечений случайной функции находятся по формулам

, . (5.4.1)

Соединяя точки отрезками прямых, можно построить приближённый график (рис.5.3) оценки математического ожидания случайной функции . Очевидно, что возможны и другие виды интерполяции, например, квадратичная.

Несмещенные оценки дисперсий и корреляционных моментов сечений определяются соответственно следующими соотношениями:

, . (5.4.2)

, . (5.4.3)

Легко заметить, что формула (5.4.2) может быть получена и из выражения (5.4.3) при l = j, поскольку .

В вычислительном отношении более удобны формулы, основанные на связи начальных и центральных моментов, т.е.

, . (5.4.4)

, . (5.4.5)

При практическом использовании формул (5.4.4) и (5.4.5) рекомендуется начало отсчёта значений случайной функции перенести ближе к её математическому ожиданию. Это позволит избежать вычислений разности близких чисел.

П р и м е р 5.11. Результаты наблюдения 11 реализаций случайной функции в момент времени приведены в табл.5.7.

Таблица 5.7

Реализации случайной функции

xi(t)	t
x1(t)	0,7	1,2	2,0	3,2	4,7	6,0	6,4	6,6	6,3	5,6	5,0
x2(t)	1,2	2,0	3,6	4,6	5,1	5,5	6,0	6,2	6,2	6,0	6,0
x3(t)	2,0	3,3	4,1	4,4	4,5	4,5	4,8	5,5	6,0	6,3	6,2
x4(t)	2,5	2,9	3,0	3,2	3,8	4,7	5,4	5,5	5,4	5,7	6,2
x5(t)	2,7	3,8	4,7	5,1	5,3	5,2	5,0	4,9	5,1	5,7	6,6
x6(t)	3,2	3,9	4,1	4,1	4,0	4,2	5,0	6,0	6,3	6,1	5,7
x7(t)	3,8	4,5	5,0	5,4	5,5	5,6	5,5	5,5	5,2	5,0	4,9
x8(t)	4,1	3,8	3,6	3,9	4,8	5,8	6,2	6,1	5,7	5,4	5,4
x9(t)	4,2	4,9	5,0	4,6	4,3	4,0	4,2	4,7	5,7	6,6	6,8
x10(t)	5,4	4,3	3,2	2,9	3,1	3,8	4,5	5,5	6,4	7,0	7,2
x11(t)	5,8	5,6	5,4	5,2	4,8	4,5	4,3	4,3	4,4	4,5	4,8

Требуется определить оценки числовых характеристик случайной функции .

▼ По формуле (5.4.1) вычисляются оценки и результаты сводятся в табл.5.8.

Таблица 5.8

Оценки математических ожиданий сечений случайной функции

tj
	3,2	3,7	4,0	4,2	4,5	4,9	5,2	5,5	5,7	5,8	5,9

По формуле (5.4.3) или (5.4.5) вычисляются оценки и результаты сводятся в табл.5.9, диагональные элементы которой представляют собой оценки дисперсий в сечениях случайной функции .

В рассмотренном примере пришлось 11 производить вычисления по формуле (5.4.1) и 66 раз – по формуле (5.4.3) или (5.4.5). Это свидетельствует о большой трудоёмкости задачи оценивания вероятностных характеристик нестационарных случайных функций.

Таблица 5.9

Корреляционные моменты случайной функции

tl	tj
	2,6	1,9	0,9	0,2	–0,3	–0,7	–0,8	–0,7	–0,4	–0,1	–0,1
		1,6	1,1	0,5	–0,07	–0,5	–0,7	–0,7	–0,5	–0,1	0,07
			1,0	0,7	0,3	–0,06	–0,5	–0,6	–0,4	–0,2	–0,05
				0,7	0,7	0,09	–0,2	–0,3	–0,3	–0,3	–0,2
					0,5	0,4	0,2	–0,03	–0,2	–0,3	–0,3
						0,6	0,5	0,3		–0,3	–0,4
							0,6	0,4	0,1	–0,1	–0,3
								0,5	0,3	–0,2	–0,4
									0,4	0,3	0,2
										0,5	0,5
											0,7

▲