Неравноточные наблюдения

Пусть характеристики точности наблюдений от опыта к опыту изменяются так, что наблюдаемая в i-м опыте случайная величина имеет дисперсию

, .

При этом среднее значение случайной величины от опыта к опыту не изменяется:

, .

В данном случае оценка математического ожидания случайной величины по-прежнему будет являться функцией случайной выборки:

.

Необходимо так выбрать вид этой зависимости, чтобы оценка имела простое аналитическое выражение и была несмещённой, состоятельной и эффективной.

Так как наиболее простой функциональной зависимостью является линейная, то будем искать оценку в классе линейных функций:

. (5.1.5)

Очевидно, что теперь решение поставленной задачи состоит в отыскании значений коэффициентов c_i, линейной формы (5.1.5), при которых оценка будет удовлетворять всем трём указанным выше требованиям.

1. Чтобы оценка была несмещённой, должно выполняться равенство

.

Поскольку в этом случае

,

то коэффициенты c_i должны удовлетворять условию

.

2. Для того чтобы оценка была эффективной, её дисперсия

(5.1.6)

должна быть минимальной при условии, что

. (5.1.7)

Условный экстремум (минимум) функции (5.1.6) с переменными c₁, c₂,…, c_n отыскиваем методом неопределённых множителей Лагранжа. При этом учитываем, что должно выполняться равенство (5.1.7). Следовательно, исследуем на минимум вспомогательную функцию

,

где l – неопределённый множитель Лагранжа.

Решаем систему n уравнений

,

относительно переменных c₁, c₂,…, c_n и получаем

.

Таким образом, вес c_i, с которым должен входить результат i-го наблюдения в формулу для оценки , должен быть обратно пропорционален его дисперсии. Иными словами, чем точнее наблюдение, тем с бо́льшим весом необходимо учитывать его результат. Вывод, полученный формально, полностью согласуется с вербальными рассуждениями: чем точнее наблюдение, тем больше ему следует доверять.

Поскольку , то и, следовательно,

. (5.1.8)

Обозначим 1/D_i = d_i, тогда (5.1.8) представляется как и

, . (5.1.9)

Таким образом, выражение для оценки (5.1.5) будет иметь вид

. (5.1.10)

Оценка вида (5.1.10) является эффективной, так как получена на основе требования минимума дисперсии.

3. Минимальная дисперсия несмещённой оценки

, (5.1.11)

а её среднее квадратическое отклонение

.

Поскольку d_i = 1/D_i = const, , то из выражения (5.1.11) вытекает, что при неограниченном возрастании количества наблюдений l ® 0. Следовательно, сходится по вероятности к , т.е. является состоятельной оценкой математического ожидания .

Частный случай. Предположим, что все наблюдения равноточны. Это означает, что , , , и тогда

Получим результат как и в пп.5.1.1 – оценкой математического ожидания случайной величины является её статистическое среднее .

П р и м е р 5.3. Дальность до центра масс ракеты измеряется тремя методами, точность которых характеризуется средними квадратическими отклонениями = 0,2 км, = 0,5 км, = 1 км. Измерения дальности этими методами дали следующие результаты: x₁ = 10,0 км; x₂ = 9,5 км; x₃ = 10,8 км.

Найти оценку математического ожидания дальности и среднее квадратическое отклонение этой оценки.

▼ По условию задачи

, , .

Далее согласно равенствам (5.1.9)

, ,

По формуле (5.1.5) получаем

.

В соответствии с выражением (5.1.11)

км², .

▲