Оценивание дисперсии и среднего квадратического отклонения при известном математическом ожидании

Вводим случайную величину

, (5.2.1)

которая называется дисперсией случайной выборки или статистической, выборочной дисперсией. Установим некоторые из свойств случайной величины (5.2.1).

1. Преобразуем к виду

,

т.е. является линейной функцией от случайной величины , подчинённой хи-квадрат распределению (распределению К. Пирсона) с n степенями свободы. Следовательно

. (5.2.2)

Таким образом, – несмещённая оценка .

2. Поскольку

, (5.2.3)

то при n ® ¥ имеет место ® 0. Иначе, дисперсия случайной выборки асимптотически эффективная оценка .

3. Как следует из (5.2.2) и (5.2.3), случайная величина имеет числовые характеристики

.

Поскольку

,

то оценка является состоятельной.

Итак, при n ® ¥ дисперсия случайной выборки (5.2.1) представляет собой подходящее значение дисперсии случайной величины . При малых n она в общем случае не вполне эффективна.

П р и м е р 5.4. Полагая = 100 ч, в условиях примера 4.1 найти оценку дисперсии случайной величины .

▼ Используем данные табл.4.3 и по формуле (5.2.1) получаем

.

▲

Если объём n выборки достаточно велик, то для вычисления оценки можно пользоваться приближённой формулой

, (5.2.4)

где и имеют тот же смысл, что и в формуле (5.1.4).

П р и м е р 5.5. Полагая = 100 ч, в условиях примера 4.2 найти приближённое значение оценки дисперсии случайной величины .

▼ Используя табл.4.7, по формуле (5.2.4) получаем

.

▲

Теперь найдем оценку среднего квадратического отклонения . Формула для определения статистического среднего квадратического отклонения имеет вид

.

Требуется выявить основные свойства .

1. Из вышеизложенного следует, что является состоятельной и асимптотически эффективной оценкой .

2. Поскольку

,

то

,

где - гамма-функция (интеграл Эйлера 2 рода).

Полученное соотношение указывает на смещённость оценки среднего квадратического отклонения.

Если величину исправить, умножив её на коэффициент

,

то полученная в результате функция случайной выборки

(5.2.5)

будет состоятельной, несмещённой и асимптотически эффективной оценкой среднего квадратического отклонения случайной величины . В табл.5.1 приведены значения коэффициента k_n для некоторых n. Эти значения используются при вычислении оценки (5.2.5).

Таблица 5.1

Значения коэффициента k_n

n
kn	1,128	1,085	1,064	1,051	1,042	1,028	1,021	1,014	1,010

Из таблицы видно, что необходимость в исправлении оценки возникает лишь при малых объёмах выборки, так как с их увеличением коэффициент k_n достаточно быстро приближается к единице.