Качество оценивания числовых характеристик случайных функций

Известно, что сечения случайной функции представляют собой обычные случайные величины, а совокупности сечений – случайные векторы, вероятностные характеристики которых (законы и параметры распределения) зависят от значений t_j, параметра t.

Выше отмечалось, что формально случайная функция может интерпретироваться как обобщение понятия случайного вектора на случай бесконечного множества его компонентов. Однако на практике используются законы распределения случайных величин ограниченного и, как правило, невысокого порядка. Такая постановка эквивалентна моделированию случайной функции случайным вектором

. (5.4.13)

Таким образом, в основе подходов к оцениванию числовых характеристик случайных функций лежат методы оценивания числовых характеристик случайных величин и векторов, рассмотренные ранее. Поэтому ниже рассматриваются лишь некоторые особенности, присущие только случайным функциям.

Таблица 5.12

Расчётная таблица оценок числовых характеристик стационарной эргодичной случайной функции

j	u(tj)
l
	4,0	2,0	4,00	4,20	3,60	0,00	–2,00	–4,60	–4,40	–2,00	3,00	1,00	1,20
	4,1	2,1	4,41	3,78	0,00	–2,10	–4,83	–4,62	–2,10	3,15	1,05	1,26	0,00
	3,8	1,8	3,24	0,00	–1,80	–4,14	–3,96	–1,80	2,70	0,90	1,08	0,00	–2,52
	2,0	0,0	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00
	1,0	–1,0	1,00	2,30	2,20	1,00	–1,50	–0,50	–0,60	0,00	1,40	–0,50	–1,30
	–0,3	–2,3	5,29	5,06	2,30	–3,45	–1,15	–1,38	0,00	3,22	–1,15	–2,99	–4,14
	–0,2	–2,2	4,84	2,20	–3,30	–1,10	–1,32	0,00	3,08	–1,10	–2,86	–3,96	1,76
	1,0	–1,0	1,00	–1,50	–0,50	–0,60	0,00	1,40	–0,50	–1,30	–1,80	0,80	1,50
	3,5	1,5	2,25	0,75	0,90	0,00	–2,10	0,75	1,95	2,70	–1,20	–2,25	–3,75
	2,5	0,5	0,25	0,30	0,00	–0,70	0,25	0,65	0,90	–0,40	–0,75	–1,25	–0,75
	2,6	0,6	0,36	0,00	–0,84	0,30	0,78	1,08	–0,48	–0,90	–1,50	–0,90	0,72
	2,0	0,0	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	1,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00
	0,6	–1.4	1,96	–0,70	–1,82	–2,52	1,12	2,10	3,50	2,10	–1,68	–2,80	–0,42
	2,5	0,5	0,25	0,65	0,90	–0,40	-0,75	–1,25	–0,75	0,60	1,00	0,15	–0,75
	3,3	1,3	1,69	2,34	–1,04	–1,95	–3,25	–1,95	1,56	2,60	0,39	–1,95	0,52
	3,8	1,8	3,24	–1,44	–2,70	–4,50	–2,70	2,16	3,60	0,54	–2,70	0,72	2,16
	1,2	–0,8	0,64	1,20	2,00	1,20	–0,96	–1,60	–0,24	1,20	–0,32	–0,96	0,00
	0,5	–1,5	2,25	3,75	2,25	–1,80	–3,00	–0,45	2,25	–0,60	–1,80	0,00	2,25
	–0,5	–2,5	6,25	3,75	–3,00	–5,00	–0,75	3,75	–1,00	–3,00	0,00	3,75	–
	0,5	–1,5	2,25	–1,80	–3,00	–0,45	2,25	–0,60	–1,80	0,00	2,25	–	–
	3,2	1,2	1,44	2,40	0,36	–1,80	0,48	1,44	0,00	–1,80	–	–	–
	4,0	2,0	4,00	0,60	–3,00	0,80	2,40	0,00	–3,00	–	–	–	–
	2,3	0,3	0,09	–0,45	0,12	0,36	0,00	–0,045	–	–	–	–	–
	0,5	–1,5	2,25	–0,60	–1,80	0,00	2,25	–	–	–	–	–	–
	2,4	0,4	0,16	0,48	0,00	–0,60	–	–	–	–	–	–	–
	3,2	1,2	1,44	0,00	–1,80	–	–	–	–	–	–	–	–
	2,0	0,0	0,00	0,00	–	–	–	–	–	–	–	–	–
	0,5	–1,5	2,25	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–
S		0,0	56,80	27,27	–9,97	–27,45	–18,74	–4,87	4,67	5,91	–5,59	–9,88	–3,52
	m–l
	2,03	1,01	–0,38	–1,10	–0,78	–0,21	0,21	0,28	–0,28	–0,52	–0,19

 

Числовые характеристики , , случайной функции зависят от параметра t, следовательно, от него зависят как оценки , , , так и характеристики их качества – доверительные интервалы:

; (5.4.14)

; (5.4.15)

, (5.4.16)

а также доверительные вероятности:

; (5.4.17)

; (5.4.18)

, (5.4.19)

Во всех приведённых выражениях n – это число наблюдаемых реализаций случайной функции . Если случайная функция стационарна, то выражения (5.4.14)–(5.4.19) упрощаются и принимают следующий вид:

;

;

,

;

;

,

где T – продолжительность наблюдения случайной функции .

5.4.4. Потребный объём наблюдений

При оценивании числовых характеристик нестационарной случайной функции задача состоит в определении потребного числа n её реализаций x_i(t), . Поскольку все числовые характеристики случайной функции, а также характеристики (5.4.14) – (5.4.19) качества оценивания зависят от параметра t, то от него будет зависеть и потребный объём n выборки реализаций:

; (5.4.20)

; (5.4.21)

. (5.4.22)

Выражениями (5.4.20)–(5.4.22) определяется потребный объём реализаций случайной функции для оценки соответственно математического ожидания, дисперсии и корреляционной функции. Из данных выражений следует, что оценивание числовых характеристик случайной функции для различных её сечений может потребовать различного числа реализаций. Такое требование практически неосуществимо. Поэтому требуемый объём n_k, k = 1, 2, 3 определяется как , соответствующий минимуму дисперсии оценки k-й числовой характеристики случайной функции:

;

;

.

При оценивании числовых характеристик стационарной случайной функции наблюдается всего одна её реализация u(t). Поэтому здесь возникает вопрос о длительности наблюдения T, потребной для оценивания характеристик случайной функции с заданной точностью I или e и надёжностью b.

Поскольку случайная функция стационарна, то все её сечения распределены одинаково. По этой причине последовательность значений u(t_j), наблюдаемой реализации u(t) случайной функции может интерпретироваться как однородная выборка u(t₁), u(t₂),…, u(t_m), элементы которой принадлежат одной и той же генеральной совокупности. Теперь задача состоит в определении потребного объёма n этой выборки.

По методикам, изложенным в §§ 5.1 – 5.3, получим соотношения:

;

;

.

Так как наблюдается всего одна реализация случайной функции, то потребное число n её измерений определяется следующим соотношением:

n = max{n₁; n₂; n₃}. (5.4.23)

Поскольку регистрация значений реализации u(t) стационарной случайной функции обычно производится через равные промежутки времени длительностью h, то потребная длительность наблюдения реализации определяется равенством

T = nh,

где n находится из соотношения (5.4.23).