Равноточные наблюдения

Статистическое (выборочное) среднее или статистическое математическое ожидание случайной величины находится по формуле

. (5.1.1)

Поскольку наблюдения равноточны, то случайные величины по существу представляют собой «экземпляры» одной и той же случайной величины и, следовательно, имеют один и тот же закон распределения с числовыми характеристиками:

; , .

Покажем, что оценка удовлетворяет всем трём общим требованиям.

1. Из выражения (5.1.1) следует, что

.

Таким образом, является несмещённой оценкой параметра .

2. Согласно теореме Чебышева среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины сходится по вероятности к её математическому ожиданию

.

Следовательно, статистическое среднее есть состоятельная оценка параметра .

3. Согласно выражению (5.1.1) дисперсия статистического среднего

(5.1.2)

с ростом объёма n выборки неограниченно убывает и, следовательно, асимптотически эффективная оценка . Доказано, что если случайная величина подчинена нормальному закону распределения, то при любых n дисперсия (5.1.2) будет минимально возможной. В таком случае является эффективной оценкой математического ожидания .

Следовательно, – это подходящее значение :

. (5.1.3)

П р и м е р 5.1. В условиях примера 4.1 найти оценку математического ожидания случайной величины .

▼ Согласно формуле (5.1.3)

Случайная выборка, приведённая в табл.4.3, была получена при наблюдении случайной величины , математическое ожидание которой Сравнительно невысокая точность полученной оценки обусловлена малым объёмом выборки, но ни в коей мере не способом её вычисления. ▲

Если объём n выборки достаточно велик, то вычисления по формуле (5.1.3) оказываются громоздкими. Задачу можно упростить, если использовать данные интервального вариационного ряда, т.е. полагать

, (5.1.4)

где – представитель (середина) l-го разряда вариационного ряда; – частота попадания вариантов x_i случайной величины в l-й разряд.

Значение оценки , определяемое по формуле (5.1.4), оказывается приближённым, однако с ростом n (а, следовательно, и r) точность данной формулы возрастает.

П р и м е р 5.2. В условиях примера 4.2 найти приближённое значение оценки математического ожидания случайной величины .

▼ Используем данные табл.4.7. По формуле (5.1.4) получим

,

▲

Следует обратить внимание на то, что выборка, приведённая в табл.4.7, принадлежит той же генеральной совокупности, что и в табл.4.3. Однако, как видно из решений примеров 5.1 и 5.2, в последнем случае даже приближённое значение оценки меньше отличается от истинного значения параметра = 100 ч. Это объясняется бо́льшим объёмом n и, следовательно, большей информативностью выборки, приведённой в табл.4.7.