Качество оценивания дисперсии

Качество оценивания дисперсии характеризуется доверительным интервалом

и доверительной вероятностью

.

При оценивании дисперсии различают случаи известного и неизвестного математического ожидания (см. пп. 5.2.1, 5.2.2). Рассмотрим второй, наиболее распространённый случай. При неизвестном состоятельная, несмещённая и асимптотически эффективная оценка дисперсии определяется равенством (5.2.9).

При достаточно большом объёме выборки распределение оценки (5.2.9) будет близким к нормальному с параметрами (5.2.10). Следовательно, доверительная вероятность для дисперсии будет приближённо определяться соотношением

, (5.2.15)

где e = e_b,n – максимальная с вероятностью b абсолютная погрешность оценки дисперсии .

Выражаем e из уравнения (5.2.15) и в результате получим

, (5.2.16)

откуда доверительный интервал

. (5.2.17)

Выражения (5.2.15) – (5.2.17) были получены в предположении, что дисперсия известна. В действительности известна лишь её оценка , которая только и может фигурировать в этих формулах. С учётом сказанного будем иметь

; (5.2.18)

; (5.2.19)

. (5.2.20)

Как видно из выражения (5.2.20), доверительный интервал для дисперсии оказывается симметричным относительно оценки . При этом его ширина зависит от значения (рис.5.2).

Рис.5.2. Доверительный интервал для дисперсии

Потребный объём экспериментальных данных для оценивания дисперсии с заданными точностью и надёжностью получим, если выразить n из уравнения (5.2.15):

, (5.2.21)

Следует отметить, что n определяется, когда дисперсия ещё только подлежит оцениванию. Но значения и вероятностные характеристики оценки , входящей в выражение (5.2.21), зависят от объёма выборки. Поэтому объём n определяется методом последовательных приближений. В первом приближении задаются некоторым ориентировочным значением n₀, при котором вычисляется приближение оценки . Затем оно уточняется в последующих циклах вычислений. Очевидно, что если n₀ превышает найденное по формуле (5.2.21) значение n, то принимается n = n₀. В данном случае оценка = уже удовлетворяет требованиям по точности и надёжности.

П р и м е р 5.8. В условиях примера 5.6:

1) найти приближённое значение числовых характеристик дисперсии случайной величины ;

2) построить 80-процентный доверительный интервал для дисперсии;

3) определить доверительную вероятность b для дисперсии, если максимальная с вероятностью b погрешность e_b = 0,02.

▼ 1. По формулам (5.2.10) получаем:

; ;

.

2. Используем выражение (5.2.19):

.

Доверительный интервал для дисперсии в соответствии с (5.2.20):

.

3. По формуле (5.2.18)

.

Значение F₀(x) найдено в приложении 2.

▲