Ответы на экзаменационные вопросы по векторной алебре

Ответы на экзаменационные вопросы по векторной алебре

Определение геометрического вектора. Линейные операции(сложение, умножение на число) над векторами и их свойства.

Вектор представляет собой геометрический объект, характеризуемый длиной и направлением.

• Сложение векторов

Пусть даны два вектора и . Приложим вектор к точке (концу вектора ) и получим вектор ( здесь и далее равные векторы отмечены одинаковыми засечками). Вектор называется суммой векторов

• Вычитание векторов

Вектор называется противоположным вектору , если их сумма равна нулевому вектору: . Противоположный вектор имеет длину , коллинеарен и противоположно направлен вектору . Нулевой вектор является противоположным самому себе.

• Умножение вектора на число

Произведением ненулевого вектора на действительное число называется вектор , удовлетворяющий условиям:

1) длина вектора равна , т.е. ;

2) векторы и коллинеарные ;

3) векторы и одинаково направлены, если , и противоположно направлены, если .

Произведение нулевого вектора на любое число считается (по определению) нулевым вектором: ; произведение любого вектора на число нуль также считается нулевым вектором: . Из определения произведения следует, что:

а) при умножении на единицу вектор не изменяется: ;

б) при умножении вектора на получается противоположный вектор: ;

в) деление вектора на отличное от нуля число сводится к его умножению на число , обратное .

г) при делении ненулевого вектора на его длину, т.е. при умножении на число получаем единичный вектор, одинаково направленный с вектором .

Действительно, длина вектора равна единице: .

Вектор коллинеарен и одинаково направлен с вектором , так как;

д) при умножении единичного вектора на число получаем коллинеарный ему вектор, длина которого равна .

• Свойства линейных операций над векторами

Линейные комбинации векторов. Коллинеарность двух векторов. Компланарность трех векторов. Линейная зависимость компланарных векторов. Линейная зависимость четырех векторов в пространстве.

Линейные комбинации векторов

Вектор называется линейной комбинацией векторов , если он может быть представлен в виде где — некоторые числа. В этом случае говорят, что вектор разложен по векторам , а числа называют коэффициентами…

Коллинеарность

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой

Компланарность

Три вектора (или большее число) называются компланарными, если они, будучи приведенными к общему началу, лежат в одной плоскости

Скалярное произведение векторов, его свойства.

Скалярное произведение векторов и :   где - угол между векторами и ; если либо , то

Базис векторов на плоскости и в пространстве. Ортонормированный базис.

Числа x и y называются координатами вектора. Векторы и называются базисом… Базисом в пространстве называются три некомпланарных вектора , взятые в определённом порядке (рис.1.32). Эти векторы…

Проекция вектора на направление другого вектора

. В координатной форме формула для проекции примет вид .

7)

Определители 2-го и 3-го порядка. Их определение и вычисление. Правило Саррюса

(1). Число называется определителем второго порядка, соответствующего таблице (1).… .

Векторное произведение векторов. Определение и свойства. Линейность векторного произведения по сомножителям. Векторное произведение в декартовых прямоугольных координатах. Вычисление площади параллелограмма

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор, обозначаемый символом и определяемый следующими тремя условиями:

1). Модуль вектора равен , где - угол между векторами и ;

2). Вектор перпендикулярен к каждому из вектора и ;

3). Направление вектора соответствует «правилу правой руки». Это означает, что если векторы , и приведены к общему началу, то вектор должен быть направлен так, как направлен средний палец правой руки, больой палец которой направлен по первому сомножителю (то есть по вектору ), а указательный - по второму (то есть по вектору ).

Векторное произведение зависит от порядка сомножителей, именно:

.

Модуль векторного произведения равен площади S параллелограмма, построенного на векторах и :

.

Само векторное произведение может быть выражено формулой

,

где - орт векторного произведения.

Векторное произведение обращается в нуль тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны. В частности, .

Если система координатных осей правая и векторы и заданы в этой системе своими координатами:

, ,

то векторное произведение вектора на вектор определяется формулой

,

или

.

Смешанное произведение векторов. Определение, свойства и вычисление. Вычисление объема тетраэдра

Тройка некомпланарных векторов , , называется правой, если составляющие ее векторы, будучи приведены к общему началу, располагаются в порядке… Смешанным произведенем трех векторов , , называется число, равное векторному… Имеет место тождество, ввиду чего для обозначения смешанного произведения употребляется более простой символ . Таким…