ДИНАМИКА

ДИНАМИКА

Лекция 1

Краткое содержание: Введение в динамику. Аксиомы классической механики. Системы единиц. Дифференциальные уравнения движения точки. Основные задачи динамики. Основные виды прямолинейного движения точки.

 

Введение

В динамике изучаются механические движения материальных объектов под действием сил. Простейшим материальным объектом является материальная точка.

Материальная точка это модель материального тела любой формы, размерами которого можно пренебречь и принять за геометрическую точку, имеющую определенную массу.

Более сложные материальные объекты – механические системы и твердые тела, состоят из набора материальных точек.

Движение материальных объектов всегда происходит в пространстве относительно определенной системы отсчета и во времени. Пространство считается трехмерным эвклидовым пространством, свойства которого не зависят от движущихся в нем материальных объектов.

Время в классической механике не связано с пространством и движением материальных объектов. Во всех системах отсчета движущихся друг относительно друга оно протекает одинаково.

 

Аксиомы классической механики

Первая аксиома или закон инерции. Материальная точка, на которую не действуют силы или действует равновесная система сил, обладает способностью сохранять свое состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения относительно инерциальной системы отсчета.

Материальная точка, на которую действует равновесная система сил, называется изолированной материальной точкой.

Равномерное и прямолинейное движение точки называется движением по инерции.

Вторая аксиома или основной закон динамики. Ускорение материальной точки относительно инерционной системы отсчета пропорционально приложенной к точке силе и направлено по этой силе.

Положительный коэффициент пропорциональности m, характеризует инертные свойства материальной точки и называется массой точки.

 

 

Рис. 1-1

Масса не зависит от характеристик движения точки и от природы сил. Масса считается постоянной величиной и зависит только от самой материальной точки.

Сила, приложенная к материальной точке, всегда имеет материальный источник в виде других материальных тел, которые действуют на точку путем контакта при непосредственном соприкосновении с ней или на расстоянии через посредство силовых полей.

Третья аксиома или закон о равенстве сил действия и противодействия. Силы взаимодействия двух материальных точек равны по величине и противоположны по направлению.

 

 

Рис. 1-2

 

Четвертая аксиома или закон независимого действия сил. При одновременном действии на материальную точку нескольких сил ускорение точки относительно инерционной системы отсчета от действия каждой отдельной силы не зависит от наличия других, приложенных к точке, сил и полное ускорение равно векторной сумме ускорений от действия отдельных сил.

Аксиомы классической механики хорошо согласуются с результатами опытов.

Системы единиц

1 кГ = 9.8 Н, 36 км/час = 10 м/сек, 1 Т.е.м. = 9.8 кг

Дифференциальные уравнения движения точки.

можно записать так или так Проецируя уравнение на оси координат получаем

Основные задачи динамики

Известна масса точки и закон ее движения, необходимо найти действующую на точку силу. m Вычисляем вторые производные по времени от координат точки, умножаем их на массу и получаем проекции силы на оси…

Основные виды прямолинейного движения точки

Дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки вдоль оси Оx имеет вид:

, Начальные условия , .

Наиболее важные случаи.

Имеем равнопеременное движение (движение с постоянным ускорением) 2. Сила зависит от времени.

ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ

Для решения многих задач динамики вместо непосредственного интегрирования дифференциальных уравнений движения оказывается более эффективным пользоваться так называемыми общими теоремами, которые являются следствием основного закона динамики.

Количество движения точки

Количество движения точки в физике часто называютимпульсом материальной точки. Проекции количества движения точки на прямоугольные декартовы оси координат… , ,

Элементарный и полный импульс силы.

Полный импульс силы за время , или импульс силы , определяется по формуле . (Полный интеграл за время от элементарного импульса). В частном случае, если сила постоянна и по величине , и по направлению (), . … Проекции импульса силы на прямоугольные декартовы оси координат равны:

Теорема об изменении количества движения точки.

Запишем основной закон динамики в виде . Так как масса постоянна, то внесем ее под знак производной. Тогда , (*) что и требовалось доказать.

Момент количества движения точки.

Моментом количеством движения материальной точки относительно некоторого центра О называется вектор, определяемый равенством Момент количества движения точки называют также кинетическим моментом. Момент количества движения относительно какой-либо оси , проходящий через центр О, равен проекции вектора количества…

Теорема об изменении момента количества движения точки.

Доказательство: Продифференцируем момент количества движения по времени , , следовательно , (*)

Работа силы. Мощность.

Элементарная работа силы скалярная величина равная произведению элементарного перемещения на проекцию силы на это перемещение. . ,

Пример 1. Работа силы тяжести.

Пусть точка М, на которую действует сила тяжести Р, перемещается из положения в положение . Выберем оси координат так, чтобы ось была направлена вертикально вверх.

Тогда, , , и

 

Работа силы тяжести равна взятому со знаком плюс или минус произведению модуля силы на вертикальное перемещение точки ее приложения. Работа положительна, если начальная точка выше конечной, и отрицательна, если начальная точка ниже конечной.

 

Пример 2. Работа силы упругости.

Рассмотрим материальную точку закрепленную на упругом элементе жесткости с, которая совершает колебания вдоль оси х. Сила упругости (или восстанавливающая сила) . Пусть точка М, на которую действует только сила упругости, перемещается из положения в положение . (, ).

Работа силы упругости равна половине произведения жесткости упругого элемента на разность квадратов начального и конечного удлинения (или сжатия) упругого элемента.

Работа силы упругости равна площади фигуры (трапеции) расположенной под кривой .

 

Пример 3. Работа и мощность пары сил.

 

Пусть пара сил приложена к вращающемуся вокруг неподвижной оси телу. Элементарная работа пары сил равна . Полная работа пары сил равна

- угол поворота тела, - момент пары сил.

Мощность пары сил равна

 

 

Кинетическая энергия точки

Кинетической энергией материальной точки (или ее живой силой) называют половину произведения массы точки на квадрат ее скорости.

 

Теорема об изменении кинетической энергии точки.

Доказательство: Основной закон динамики . Умножим левую и правую части уравнения скалярно на справа, получаем . - элементарная работа.

Принцип Даламбера для материальной точки

, - равнодействующая активных сил, - равнодействующая сил реакции связей. Силой инерции материальной точки называют произведение массы точки на вектор ускорения, взятое с обратным знаком, т.е.…

Динамика несвободной материальной точки

Тела, ограничивающие свободу движения точки, называются связями. Пусть связь представляет собой поверхность какого-либо тела, по которой…

Принцип освобождаемости от связей

Связь можно отбросить заменив действие связи силой реакции связи.

.

В проекциях на оси декартовой системы координат это будет выглядеть так:

,

,

.

 

Относительное движение материальной точки

Получим дифференциальные уравнения движения материальной точки относительно подвижной системы отсчета. - инерциальная система отсчета. - подвижная система отсчета.

Частные случаи относительного движения

Если материальная точка движется относительно подвижной системы отсчета прямолинейно и равномерно, то такое движение называется относительным… , , следовательно

.

Подвижная система отсчета тоже инерциальна.

 

 

Пример 1

Лифт движется вверх с ускорением

 

Пример 2

 

 

Лекция 5

Краткое содержание: Внутренние и внешние силы. Центр масс. Моменты инерции относительно точки и осей. Теорема Штейнера.

 

Введение в динамику системы

Механической системой называется любая система материальных точек и тел.

Внешними силами механической системы называются силы, с которыми на точки и тела механической системы действуют точки и тела не входящие в рассматриваемую систему.

Равнодействующая всех внешних сил приложенных к точке обозначается (от латинского exterior - внешний).

Внутренними силами механической системы называются силы взаимодействия между точками и телами рассматриваемой системы.

Равнодействующая всех внутренних сил приложенных к точке обозначается (от латинского interior - внутренний).

Это разделение является условным и зависит от того, какая механическая система рассматривается.

Внутренние силы системы обладают следующими свойствами:

Теорема. Главный вектор всех внутренних сил системы (векторная сумма) равен нулю при любом состоянии системы. .

Доказательство: Согласно одной из аксиом динамики, любые две точки системы действуют друг на друга с равными по величине, но противоположно направленными силами. Векторная сумма этих сил равна нулю. Все внутренние силы являются большим количеством таких парных сил. Поэтому сумма всех внутренних сил равна нулю.

 

Теорема. Главный момент всех внутренних сил системы (векторная сумма) относительно любой точки или оси равен нулю при любом состоянии системы. или .

Доказательство: Любые две точки системы действуют друг на друга с равными по величине, но противоположно направленными силами. Сумма моментов этих сил относительно любой точки или оси равна нулю. Все внутренние силы являются большим количеством таких парных сил. Поэтому сумма моментов всех внутренних сил относительно любой точки или оси равна нулю.

 

Дифференциальные уравнения системы в векторной форме:

,

Геометрия масс

Центром массмеханической системы называется геометрическая точка С, радиус-вектор которой определяется выражением где - масса системы.

Моменты инерции

Момент инерции относительно точки Скалярная величина или

Моменты инерции простейших тел

1. Однородный стержень   2. Прямоугольная пластина

Общие теоремы динамики системы и твердого тела

Количество движения системы.

Единицей измерения количества движения в СИ является – Количество движения системы можно выразить через массу системы и скорость центра масс.

Теорема об изменении количества движения системы.

Теорема. Производная по времени от количества движения системы равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на систему. , (6.1) Доказательство: Теорема об изменении количества движения для точки имеет вид:

Законы сохранения количества движения.

2. Если проекция главного вектора всех внешних сил системы на какую-либо ось равна нулю (), то проекция количества движения системы на эту ось…  

Теорема о движении центра масс.

, следовательно  

Момент количества движения системы.

Моментом количества движения системы материальных точек относительно какой-либо оси , проходящей через центр , называется проекция вектора…  

Момент количества движения твердого тела относительно оси вращения при вращательном движении твердого тела.

Теорема об изменении момента количества движения системы.

(6.3) Доказательство: Теорема об изменении момента количества движения для точки… ,

Законы сохранения момента количества движения.

2. Если сумма моментов всех внешних сил системы относительно какой-либо оси равна нулю (), то момент количества движения системы относительно этой…  

Кинетическая энергия системы.

Теорема Кенига. Кинетическая энергия системы в абсолютном движении…

Кинетическая энергия твердого тела.

Кинетическая энергия твердого тела при поступательном движении вычисляется так же, как и для одной точки, у которой масса равна массе этого тела. … , - скорость любой точки твердого тела 2. Вращение тела вокруг неподвижной оси.

Теорема об изменении кинетической энергии системы.

Теорема. Дифференциал кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему. Доказательство: Теорема об изменении кинетической энергии для точки имеет вид: