Простота основных принципов

Колебания и волны.

 

Введение.

Вряд ли есть необходимость специально обосновывать важное значение колебательных процессов в современной физики и технике. Можно без преувеличения сказать, что почти нет области в этих науках, в которой колебания не играли бы той или иной роли, не говоря уже о том, что ряд областей физики и техники всецело базируются на колебательных явлениях. Достаточно, например, указать область электромагнитных колебаний, включающую в себя и оптику, на учение о звуке, на радиотехнику и прикладную акустику, вибрации машин, автоколебания в системах регулирования и следящих системах. Все эти, казалось бы, различные и непохожие друг на друга колебательные процессы объединяются методами математической физики в одно общее учение о колебаниях.

Общность колебательных процессов, их разнообразие и в тоже время их специфическое своеобразие, играют существенную роль в установлении внутренних связей между весьма разнообразными, на первый взгляд, явлениями. Этим обстоятельством, как мне кажется, и обусловливается, главным образом, принципиальное значение и важность интересующей нас области.

Весьма существенно следующее: в области колебаний особенно объективно выступает взаимодействие между физикой и математикой, влияние потребностей физики на развитие математических методов и обратное влияние математики на физические знания.

В качестве оного из примеров можно взять машиностроение. Еще не так давно изучение колебаний здесь не придавалось особого значения, и расчеты на прочность велись на основе статических представлений о зависимости деформаций от нагрузок. Однако вместе со стремлением к увеличению числа оборотов и уменьшению габаритов при переходе к скоростному машиностроению пренебрегать ролью колебаний стало уже невозможно. Многочисленные аварии, связанные с увеличением фактических нагрузок из-за возбуждения колебаний, сделали необходимым для конструкторов и инженеров тщательное исследование возможных вибраций узлов машин и оценку их интенсивности. С развитием физики и математики большую роль теория колебаний сыграла в авиации (эффекты шимми), космонавтики и т.д.

Истоки современного учения о колебаниях мы можем заметить в классической механике времен Галилея, Гюйгенса, Ньютона в задачах о движении маятника. В трудах Лагранжа имеется уже сформировавшаяся теория малых колебаний. При дальнейшем развитии она получила название теории линейных колебаний, т.е. колебаний, характеризуемых линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами как однородных, так и со свободными членами, являющимися известными функциями времени.

В трудах ряда ученых линейные дифференциальные уравнения стали мощным орудием исследования. Так А.М. Крылов и его ученики, развивавшие теорию линейных колебаний, с успехом применяли ее к проблемам о качке корабля, к теории гироскопа, к задачам артиллерии.

Простота основных принципов, теории линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами обусловила большую разработанность теории линейных колебаний, общность формулировок ее законов и их физическую наглядность. Свойство линейности дифференциальных операторов, интерпретируемое как принцип суперпозиции колебаний, позволили сводить исследование влияния произвольных приложенных сил на линейную колебательную систему к исследованию влияния сил простейшего типа, гармонически зависящих от времени. Тем самым выработался «спектральный» подход к колебательным процессам, получившим громадное значение и вне теории колебаний в собственном смысле.

Лишь после 20-х годов настоящего столетия, после работ Карсона, Дейча, Бромвича и др., математическая сторона символического метода начала существенно проясняться, связываясь с преобразованием Лапласа и мощными методами теории функций комплексного переменного. Вопросам теории и приложения символических методов в настоящее время посвящена обширная литература

Ввиду того, что теория линейных колебаний по указанным выше причинам разработана весьма детально, и ее математический аппарат действует, можно сказать почти автоматически, исследователи стремились изучаемые ими колебания подводить под линейные схемы, отбрасывая часто без должного обоснования нелинейные члены. При этом иногда совершенно упускалось из виду, что такая «линейная» трактовка может привести к существенным ошибкам не толь количественного, но и принципиально качественного характера.

Наш курс будет ориентирован на исследование колебательных процессов в различных радиотехнических системах. В прошлых семестрах вы изучали в основном линейные инвариантные системы, линейные системы с распределенными элементами и в меньшей степени нелинейные системы. На самом деле все процессы, происходящие в природе, если подходить более строго к моделям описывающих их, относятся к нелинейным процессам. Только лишь нелинейные системы позволяют получить все интересные устройства в радиотехнике, такие как детекторы, модуляторы, генераторы, пере множители, стабилизаторы и многие другие. Поэтому в курсе, который вы будете изучать, в этом семестре будут, представлены методы позволяющие, проанализировать процессы, происходящие в таких системах.

 

Классификация колебательных систем.

В соответствии, с изложенным выше все колебательные системы можно делить на линейные, параметрические и нелинейные.

Линейные цели описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Для линейных систем выполняется принцип суперпозиции, т.е. отклик системы на сложное воздействие, равняется сумме откликов на каждое воздействие в отдельности. В линейных инвариантных цепях происходит лишь деформация спектра, т.е. спектральные составляющие входного сигнала изменяют лишь свою амплитуду и новых спектральных составляющих не возникает.

Параметрические системы описываются линейными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами, т.е. коэффициентами, зависящими от аргумента (времени).

Нелинейные системы описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, т.е. уравнениями с коэффициентами, зависящими от функции (тока, напряжения). Для нелинейных систем принцип суперпозиции не выполняется. В параметрических и нелинейных системах происходит деформация спектра входного сигнала.

Кроме такой классификации колебательные системы можно разделить на дискретные (с сосредоточенными параметрами) и сплошные (с распределенными параметрами).

Дальнейшая классификация может идти по числу степеней свободы или по порядку степени дифференциального уравнения, описывающего систему. Известно, что формально число степеней свободы колебательной системы равно половине порядка ее дифференциального уравнения. Поэтому дискретные системы можно классифицировать на системы с нулевой, полу целой, одной и т.д. степенями свободы (из механики известно, что количество степеней свободы – это количество независимых переменных необходимых для полного описания движения системы).

Кроме того, колебательные системы могут быть консервативными и неконсервативными; автономными и неавтономными и т.д.

 

Глава 1.

Свободные и вынужденные колебания в линейных инвариантных динамических системах.

 

§1.1.Преобразование Лапласа и его основные свойства.

В технических науках, в особенности в теории линейных электрических цепей, технической кибернетики и др., широко используется преобразование Лапласа. Это интегральное преобразование, которое определенным функциям f(t) действительного переменного t, называемым оригиналами, по формуле

 

F(p)=(1.1)

ставит в соответствие функции F(p) комплексного переменного p=δ+iωназываемые изображениями. Для связи f(t) и F(p)вместо (1.1) используют различные обозначения, в том числе F(p)=[f(t)] или f(t)F(p), где - оператор прямого преобразования Лапласа.

Обычно к классу функций – оригиналов относят «классические» функции ограниченного роста, удовлетворяющие условиям Дирихле и отличные от нуля при t≥0. Однако для ряда важных приложений удобно класс оригиналов расширить, включив в него обобщенные функции – импульсную функцию Дирака δ(t) и ее производные. Правомерность такого расширения обоснована в теории обобщенных функций.

Найдем изображение некоторых важных для практики функций:

а) Изображение единичной ступенчатой функции

 

σ(t)═{[σ(t)]==.(1.2)

 

б) Изображение экспоненциальной функции

 

f(t)={= e F(p)= =.(1.3)

 

в) Изображение импульсной функции Дирака

 

[δ(t)== e^-p0 = 1. (1.4)

Следующие свойства преобразования Лапласа являются основными для его широкой применимости. Они соответствуют операциям, которые выполняются над функциями-оригиналами, причем каждый раз функция, являющаяся результатом той или иной операции, должна принадлежать к классу функций – оригиналов. Во всех свойствах F(p) – изображение исходной функции – оригинала, подвергаемой операциям.

 

1. Линейность преобразования:

 

[] = .(1.5)

1. Изображение производной:

 

[] = pⁿ. (1.6)

1. Изображение интеграла:

 

[]=. (1.7)

1. Изображение функции с запаздывающим аргументом:

 

[f(t-θ)] = e^-pF(p)(1.8)

5. Изображение функции с экспоненциальным сомножителем:

 

[f(t)e^at]=F(p-a). (1.9)

1. Изображение свертки функций:

 

[dτ]=F₁(p)F₂(p).(1.10)

7. Изображение функции с измененным масштабом:

[f(аt)]=F(). (1.11)

 

1. Изображение функции с сомножителем tⁿ:

[tⁿ f(t)]=(-1)ⁿF⁽ⁿ⁾(p). (1.12)

1. Изображение функции с сомножителем :

[f(t)]=. (1.13)

1. Изображение произведения функций:

 

[f₁(t)f(t)]= (1.14)

 

Зачастую изображения можно находить без сложного вычисления интеграла Лапласа, а лишь путем использования перечисленных свойств.

Пример: а) Изображение косинусоидальной функции:

Acosω₀tσ(t)=½A(e^iωt + e^-iωt)½A()=. (1.15)

б) Изображение прямоугольного импульса:

П(t)=A[σ(t) - σ(t-θ)](1 - e^{-p θ)}. (1.16)

в) Изображение косинусоидальной функции с изменяющейся амплитудой:

σ(t)A(t)cosωt=½A(t)(e^iωt + e^-iωt)σ(t)½[A(p-iω) + A(p+iω)]. (1.17)

Обратное преобразование Лапласа, однозначно восстанавливающее оригинал по своему изображению, определяется интегралом:

f(t)= [F(p)]= (1.18)

Особую значимость для приложений имеет обратное преобразование дробно-рациональных функций F(p)=.Такую функциюдостаточно разложить на элементарные дроби и, воспользовавшись свойством линейности ограничиться преобразованием дробей

F(p)= (t≥0). (1.19)

 

§ 1.2. Применение операторного метода для анализа процессов в цепях сосредоточенными элементами.

Процессы в электрических цепях с сосредоточенными элементами носят колебательный характер и описываются электрическими колебаниями напряжений и токов в различных частях цепи. Эти колебания описывают скалярными функциями времени (t) и обозначают: u(t) – мгновенное значение напряжения, i(t) –мгновенное значение некоторого электрического колебания вообще.

Задача анализа процессов в цепи сводится к задачи Коши, т.е. к решению системы интегро-дифференциальных уравнений с заданными начальных условиями Для линейной цепи, составленной из постоянных элементов, система уравнений является линейной с постоянными коэффициентами.

При исследовании процессов свободных колебаний в цепях, а также исследовании вынужденных колебаний, решение системы уравнений удобно находить операторным методом, т.к. функции описывающие источники колебательного процесса – воздействия, а, следовательно, и функции, описывающие возникающие колебания – отклики, преобразуемы по Лапласу.

При использовании операторного метода для решения задач теории цепей удобно осуществить преобразование Лапласа для основных соотношений, составляющих аксиоматику теории цепей. Это позволяет миновать этап составления интегро-дифференциальных уравнений.

Пусть функции, описывающие источники колебательного процесса преобразуемы по Лапласу. Обозначим изображения напряжений в цепи U(p)=[u(t)],изображения токов I(p)=[i(t)].Назовем их в дальнейшем операторными напряжениями и операторными токами. Осуществим преобразование Лапласа для выражений, характеризующих основные идеальные элементы цепей (см. Таблицы 1). Введем понятие: операторное задающее напряжение E(p)=[e(t)]; операторный задающий ток I(p)=[i(t)]; операторные сопротивления Z(p)и операторные проводимости Y(p)основных элементов и двухполюсников вообще. Условимся описывать ненулевые начальные условия для элементов индуктивности и емкости источниками напряжения или тока с соответствующими операторными задающими характеристиками (см. Таблицу 1). Тогда для любых линейных цепей с помощью метода контурных токов или метода узловых напряжений можно записать систему уравнений в операторной форме:

 

- система контурных уравнений

или

- система узловых напряжений

 

Составленные системы уравнений являются алгебраическими, причем их правыечасти и содержат как изображение возбуждающих источников (или ), так и изображения ненулевых начальных условий (или ). При этом , а .

В теории цепей с сосредоточенными элементами выделяют две ключевые задачи анализа: исследование свободных колебаний в цепи и исследование прохождения сигнала через цепь. Важным частным случаем этих задач является исследование переходных процессов в цепи. В более общих случаях решение представлятся линейной комбинацией решений ключевых задач.

 

Таблица 1

Основные идеальные элементы цепей	Их операторные характеристики
Источник тока i(t)= j(t) j(t) i(t)	I(p)=J(p) I(p) J(p)
Активное сопротивление U(t)=Ri(t) I(t)=Gu(t) u(t)   R i(t)	U(p)=RI(p); I(p)=GU(p); ZR(p)=R; YR(p)=G; ZR(p)=R I(p)   U(p)
Индуктивность U(t)=L i(t)=+i(0) L i(t)	Нулевые начальные условия U(p)=pLI(p); I(p)=U(p); Zp(p)=pL; Yp(p)=; Zp(p)=pL I(p)   U(p)	Ненулевые начальные условия U(p)=pLI(p)-Li(0); Zp(p)=pL E(p)= =Li(0) I(p) U(p) I(p)=U(p)+ J0(p)= I(p)
Емкость i(t)=C; u(t)=;   C i(t)   U(t)	Нулевые начальные условия I(p)=pCU(p); U(p)= Zc(p)=; Yc(p)=pC;   ZC(p)=; I(p)   U(p)	Ненулевые начальные условия I(p)=pCU(p)-Cu(0); J(p)+Cu(0) I(p) YC(p)=pC     U(p) U(p)=;     U(p)

§1.3 Общий вид решения задачи анализа свободных колебаний в линейных цепях.

Рассмотрим цепь, в которой в момент времени t=0 возбуждаются свободные колебания. Они обусловлены напряжениями, до которых в момент t=0 заряжены емкости цепи – u_C(0) и токами протекающими в тот же момент через индуктивность – i_L(0). Совокупность значений u_C(0) и i_L(0)составляет начальные условия задачи, которые при записи системы уравнений в операторной форме определяет правые части уравнений. Видно, что определение свободных колебаний в цепи является по существу задачей Коши.

Пусть среди всех колебаний напряжений и токов в цепи нас интересует одно S_вых(t), находящееся, например, в k-й части цепи.Решая систему уравнений по правилу Крамера,получим решение для искомого изображения в виде

 

S_вых(p)= (1.29)

где ∆(p) и ∆_k(p) – определители системы, составленные по правилу Крамера; A(p) – сомножитель, присутствующий в тех случаях, когда размерность искомого колебания отлична от размерности функций, выбранных в качестве исходных при составлении системы уравнений. Выражение для S_вых(p) является дробно-рациональной функцией

 

, (1.30)

причем m≤n, b_k и a_k – действительные числа.

V(p) – характеристический многочлен электрической цепи. Его корни полностью определяют характер решения – собственные колебания. M(p) – многочлен, определяющий конкретное свободное колебания, порожденное конкретными начальники условиями.

Искомое свободное колебание S_вых(p) находим, осуществляя обратное преобразование Лапласа.

Ограничимся важным для практики случаем, когда корни характеристического многочлена V(p) не имеют кратных корней, иначе решение получается более громоздким, но не содержащим принципиально ничего нового по сравнению с рассматриваемым случаем. Поскольку коэффициенты a₁, a₂ … a_n, многочлена V(p) вещественны, его корни принимают действительные p_k и попарно комплексно-сопряженные и значения. Причем в случае пассивных устойчивых цепей действительные части корней многочлена являются отрицательными величинами ; ; . Тогда решение задачи, определяемое выражением

 

(t≥0), (1.31)

приводит к виду

 

соs(ω_lt+φ_l), (t≥0) (1.32)

 

где первая сумма соответствует действительным корням p_k= - δ_kи описывает экспоненциально убывающие составляющие свободных колебаний. Вторая сумма соответствует парам комплексно-сопряженных корней и описывает убывающие колебательные составляющие. , ψ_l=arg. Из полученного выражения видно, что свободные колебания в устойчивых цепях состоят из совокупности убывающих составляющих и в целом являются затухающими.

В случае кратных корней решение имеет более громоздкий вид, но ничего нового принципиально не содержит. Если характеристический полином V(p) имеет кратные нули, тогда S_вых(t) представляется следующей суммой

S_вых(t)=, (t ≥ 0),

где m_k – кратность k-го нуля,

A_kr = .

Каждому m - кратному нулю, лежащему на действительной оси, в этой сумме соответствует группа слагаемых вида

,

а каждой m – кратной паре комплексно-сопряженных нулей – группа слагаемых вида

2

 

Корни характеристического уравнения V(p) = 0 имеют отрицательные вещественные части тогда и только тогда, когда положительны все определители последовательности

В цепях составленных из элементов активного сопротивления, корни характеристического многочлена цепи V(p)являются чисто мнимыми p_l=iω_l. А свободные колебания описываются выражением

 

, (1.33)

которому соответствуют незатухающие стационарные колебания.

Если хоть у одной пары комплексно-сопряженных корней характеристического многочлена некоторой цепи V(p) действительная часть окажется положительной, p_{l =}+δ_l± iω_l, то в решении появится нарастающая колебательная составляющая S_le^δ_l^tcos(ω_lt+ψ_l). Цепи, для которых это имеет место, называют неустойчивыми. К их числу относятся всевозможные автогенераторы. В своем составе эти цепи обязательно должны иметь дополнительные источники энергии и электронные приборы (ЭП). Следует заметить, однако, что линейная теория неустойчивых цепей является верной, пока колебания в цепи настолько малы, что они не выходят за пределы линейных областей характеристик ЭП.

Одной из важнейших задач, возникающих при проектировании самых разнообразных цепей, является задача определения принадлежности цепи к устойчивым или неустойчивым цепям. Видно, что эта задача сводится к исследованию расположения корней характеристического многочлена цепи V(p) на комплексной плоскости. Если все корни V(p) располагаются в левой полуплоскости – цепь устойчива.

Методы, с помощью которых можно судить об устойчивости цепи не прибегая к вычислению корней ее характеристического многочлена, называется критериями устойчивости. Один из них – критерий устойчивости Раусса-Гурвица – формулируется следующим образом.

Корни характеристического уравнения V(p)=0 имеют отрицательные вещественные части тогда и только тогда, когда положительны все определители последовательности

 

Δ₁=a_1; Δ₂=; Δ₃₌; ; Δ_n=; (1.34)

 

Алгоритм решения задачи анализа свободных колебаний

· Анализируя состояние цепи в момент времени t=0 определяем начальные условия – совокупность значений величин u_c(0) и i_l(0).

· Составляем схему цепи в операторных величинах. Ненулевые начальные условия в схеме будут отражены источниками с соответствующими операторными задающими характеристиками.

· Выбираем метод и записываем систему уравнений (одно уравнение) в операторной форме.

· Находим решение уравнений и представляем изображение искомого колебания в виде отношения многочленов.

· Исследуем характеристический многочлен. При необходимости используем критерий устойчивости Раусса-Гурвица.

· На основании общего вида решения задачи анализа, в зависимости от расположения корней V(p), определяем структуру решения.

· Определяем коэффициенты решения и записываем его в окончательном виде. Строим график полученной функции.

· Анализируем полученный результат.

 

Примеры анализа свободного колебаний

 

Пример 1. Контур ударного возбуждения

 

Пусть в цепи рис.1 в момент времени t=0 электронный прибор, работающий в ключевом режиме, запирается управляющим сигналом. До запирания ток инжекторного электрода равен I₀. Пренебрегая влиянием разделительной емкости C_p (т.к. C_pC) найти выходное напряжение U_вых(t) при t0. E_п

1) Определяем начальные условия

к

S_упр у i_l(0)= I₀; u_c(0)= 0

 

и

I₀ C_p

L C R U_вых(t)

 

 

2) Составляем схему в операторных параметрах

pL R U(p) = U_вых(p)

 

3) Записываем узловое уравнение для изображений

 

(pC + G + 1pL ) U(p) = I₀ ⁄ p.

4) Записываем решение уравнения

U(p) =, где 0; >0.

5) Исследуем характеристический многочлен V(p)= p² + 2δp + . Его корни p_1,2 = -δ ± ±при условии (контур колебательный) являются парой комплексно-сопряженных величин p_1,2 = - , где = . Вещественная часть корней – отрицательная, следовательно цепь является устойчивой.

6) На основании общего решения задачи о свободных колебаниях записываем структуру решения

 

U_вых(t) = U₁e ^–δt cos (ω₁t + ψ₁ ) , (t 0).

 

7) Определяем коэффициенты решения U₁ и ψ₁

U₁ = 2= ; ψ₁ = arg = - .

 

8) Записываем решение в окончательном виде

U_вых = , (t0 ).

9) Анализируем полученный результат. Выходной сигнал U_вых(t) (рис. 2) представляет собой затухающее синусоидальное колебание начальная амплитуда которого, пропорциональна начальному току I₀, частота меньше резонансного значения ω₀; скорость убывания колебаний тем меньше, чем больше R (чем выше добротность колебательной системы) и т.д.

U_вых(t)

 

t

 

 

Рис. 2

Пример 2 НАЧАЛЬНАЯ СТАДИЯ РАЗВИТИЯ КОЛЕБАНИЙ В АВТОГЕНЕРАТОРЕ.

 

Данная цель – резонансный усилительный каскад с положительной обратной связью (рис.3.). Найти условия, при которых в цепи возникают автоколебания, и определить их характер.

 

1. Начальные условия – нулевые, но предположим,

к у что в момент времени t = 0 произошло очень малое

ЭП n изменение тока ЭП и, следовательно, тока индуктив-

. ности. Пусть изображение этой флуктуации J⁰(t).

и L C U_вых(t) 2. Составляем схему цепи в операторных параметрах

k n у

E_см E_пит - SU_у-n(p) .

U(p) R_ipL U_у-n(p)=

.

Рис. 3.

n

3. Записываем узловое уравнение

 

( pC + G_i + ) U(p) = nSU(p) + J⁰(p) .

 

Преобразуем его к виду

 

( pC + G_i ­- nS + ) U(p) = J⁰(p) .

4. Записываем решение уравнения

U(p) = , где 0; 0.

5. Исследуем характеристический многочлен V(p) = p² + 2δp + . Его корни

p_1,2 = -при условии (контур колебательный) являются парой комплексно сопряженных величин , где . При GnS действительная часть корней отрицательна и, следовательно, цепь устойчива. При GnS действительная часть корней положительна, цепь неустойчива, а свободные колебания описываются выражением

U(p) = U₁, (t 0).

6. Анализируем полученные результаты. Если GnS, то свободные колебания носят затухающий характер и цепь в этом случае является регенеративным усилителем. Если же GnS , то свободные колебания экспоненциально нарастают от сколь угодно малой величины, до значений, при которых наступает ограничение амплитуды колебаний, связанное с нелинейными областями ВАХ ЭП (рис.4.). Скорость нарастания колебаний тем больше, чем больше S и n, в этом случае цепь, является генератором гармонических колебаний частоты ω₀.

 

 

 

Рис.4

7. Анализируем полученный результат.

Сомножитель - есть не что иное, как коэффициент усиления на резонансной частоте.

Выходные колебания устанавливаются не сразу. Причем чем больше Q, тем меньше δ, тем медленнее происходит процесс установления выходных колебаний и т.п.

 

§1.4. Свободные колебания в динамических системах с распределенными элементами

 

В технике радиосвязи, радиолокации, в устройствах техники СВЧ, микроэлектроники и других широкое применение получили элементы, у которых размеры сравнимы или больше длины волны l>λ, К таким элементам относятся линии передачи энергии (двухпроводные, коаксиальные и микрополосковые линии, волноводы и др.).

Электрические цепи, для которых волновой характер процесса представляет основу используемых свойств цепи, а замена распреде­ленных элементов сосредоточенными приводит к утрате этих основ­ных свойств цепи, называют цепями с распределенными элементами. Токи и напряжения в таких цепях являются функциями координат сечения наблюдения цепи и времени t.

При составлении систем уравнений с распределенными элемен­тами возникают трудности: I) не выполняются законы Кирхгофа; 2) очень сложно произвести выбор реальной модели цепи с распре­деленными элементами; 3) напряжения и токи зависят не только от времени, но и от пространственных координат.

В связи с тем, что линии передачи сигналов являются состав­ной частью радиотехнической цепи, для анализа и синтеза которой необходимо знать напряжение и токи в линиях, широкое примене­ние получили методы теории электрических цепей. Возможность при­менения указанных методов основывается на представлении о линии в виде цепи с большим числом бесконечно малых по величине пассив­ных элементов или, иными словами, о линии как о цепи с распре­деленными (по ее длине) элементами. В соответствии с этим исполь­зуются понятия о так называемых погонных (распределенных) пара­метрах линии: резистивном сопротивлении R₀, индуктивности L₀ , емкости С₀ и проводимости G_o единицы длины линии. Их значения находят в общем случае методами теории электромаг­нитного поля.

Дифференциальные уравнения, связывающие в некоторый момент мгновенные значения токов и напряжений, имеют следующий вид:

и часто называются телеграфными уравнениями, что обусловлено исторически, когда впервые применили линии связи для передачи телеграфных сигналов. Совместное решение дифференциальных урав­нений в частных производных при заданных начальных и граничных условиях позволяет в каждом конкретном случае решить поставлен­ную задачу на отыскание мгновенных значений токов и напряжений в линии.

§1.4.1.Классификация длинных линий

Если погонные параметры линии R, L, С и G посто­янные во времени и пространстве величины, то такую линию назы­вают однородной в пространстве и инвариантной во времени линейной линией.

Если погонные параметры R, L, С и G зависят от времени, линия называется параметрической.

Если параметры R, L, С и G представляют собой функ­ции напряжения U и тока

i , то такая линия называется нели­нейной.

 

§1.4.2.Построение решений уравнений длинных линий (телеграфных уравнений) операторным методом

 

Несмотря на внешнюю простоту телеграфных уравнений, их ана­литическое решение для произвольных сопротивлений генератора и нагрузки и сигнала произвольной формы отсутствует. Применение операторного метода, как было показано ранее, позволяет суще­ственно упростить отыскание мгновенных значений напряжения U(x,t) и тока i (x,t ).

Ограничимся рассмотрением линейной, однородной, инвариант­ной во времени длинной линией. В этом случае уравнение будет иметь вид:

Напряжение U (x,t ) и токи i (x,t ) в длинной линии, а также источники, как и ранее удовлетворяют условию принадлежности к классу оригиналов.

В этом случае

Применяя преобразование Лапласа к системе уравнений, получим систему операторных уравнений в полных производных:

где Z=pL + R; Y=рC+G ; либо одно дифференциальное уравнение второго порядка:

где - операторная постоянная распространения волны; - функция начальных условий. Решение уравнения U (x_, p) состоит из общего решения однородного дифференциального уравнения и какого либо частного решения:

U(p,x)=A₁e^-γx+ A₂e^γx+U⁰.

Тогда из первого уравнения системы находим:

где - операторное волновое сопротивление; коэффициенты А₁(р) и A₂(р) определя­ются из граничных условий.

Решение операторной системы уравнений для изображения на­пряжения U(р,x) и тока I(р,x) найдено. Осуществив обратное преобразование Лапласа, восстанавливают оригиналы на­пряжения U( x, t) и тока I(х,t ). Однако решение в об­щем случае отыскать не удается. Рассмотрим некоторые частные случаи.

Линия без потерь

В этом случае R=G= 0 и . Тогда

Осуществляя обратное преобразование Лапласа, получим:

где

Следовательно, решение представляется в виде суммы прямой и обратной волны .

 

Линия без искажений

Изображение напряжения в линии есть

I||=||e*|| Это неоднородная система линейных интегро- дифференциаль-ных уравнений с переменными коэффициента-ми МУН ||Y|| ||U|| = ||j*|| ||Y(t)

U||=||j*||,   Записанные уравнения дополняются соответствующими начальными условиями. Уравнения длинных линий с переменными параметрами имеют вид: и дополняются соответствующими начальным и граничным условиями. Таким образом необходимо отметить, что колебания в параметрических устройствах, описываются параметрическими уравнениями, общего метода решения которых нет. Т.е. для линейных параметрических цепей нельзя построить в общем случае решение задачи анализа колебательного процесса. Решение построено только для частных случаев: 1. Цепь состоит только из резистивностей R, тогда уравнение описывающее колебания в такой системе: ||R(t)

I||=||e|| - система алгебраических уравнений. 2. В резистивной цепи имеется один энергоемкий элемент, тогда процесс описывается дифференциальным уравнением первого порядка (уравнение с полуцелой степенью свободы). Для таких систем разработан метод называемым методом Туркина. 3. Если колебательный процесс описывается дифференциальным уравнением второго порядка которое можно свести к какому-нибудь известному уравнению с переменными коэффициентами (уравнению Матье, Хилла, Бесселя и др.). 4. Параметры элементов цепи, изменяются значительно медленнее колебаний U и i (тогда применимы приближенные методы). Т.О. важно понимать, что с помощью переменных индуктивностей и емкостей можно изменять энергию системы, и, поэтому, характер свободных колебаний в параметрических системах может существенно отличаться от колебаний в системах с постоянными элементами. Следует также понимать, что для линейных параметрических систем применим принцип наложения и, следовательно, в задачах прохождения сигналов через устойчивые параметрические цепи решение может быть представлено в интегральном виде, например: либо либо где - параметрические функции цепей, отыскание которых встречает принципиальные трудности. Именно поэтому ключевыми задачами в теории параметрических систем являются задачи по определению отклика на гармоническое или импульсное воздействия. Важно понимать, что в отличие от линейных систем с постоянными параметрами при взаимодействии сигналов с параметрическими системами происходит обогащение спектра колебаний – возникают новые гармонические составляющие комбинационных частот. Так, например, уже в R – цепи с периодическим коэффициентом передачи возбуждаемой периодическим сигналом выходное колебание содержит гармонические составляющие комбинационных частот .   §2.3. Прохождение сигналов через параметрические R – цепи. Напомним, что процессы в параметрических R – цепях описываются алгебраическими уравнениями с переменными коэффициентами и прохождение сигналов через такие цепи выражается формулой: , где k(t) – параметрический коэффициент передачи, определяемый видом системы уравнений. В общем случае на основании правила Крамера коэффициент передачи можно получить в виде где - определитель системы уравнений, - соответствующее алгебраическое дополнение, А(t) – коэффициент, определяющий изменение размерности сигнала на каком-либо этапе решения задачи. Следует иметь в виду, что анализ спектрального состава отклика параметрической цепи требует использования аппарата двойных рядов Фурье. В некоторых случаях удается использовать общий ряд Фурье с последующим применением тригонометрических формул. Напомним основные формы представления функций с периодом рядами Фурье: , где ; n=0;1;2… ; n=0;1;2… где ; ; где . Проиллюстрируем анализ процессов в R – цепях примерами. Пример I. Определить коэффициент передачи параметрической R – цепи, представлено на рис.1.1       Рис.1.1 откуда Если - периодическая функция с периодом , (- круговая частота первой гармоники колебания параметра), то и его спектр определяется рядом Фурье, например, в такой форме , где Пример 2. Коэффициент передачи параметрической R – цепи периодически изменяется по закону, представленному на рис.1.2. Определить спектр К(t) в тригонометрическом базисе и построить график его амплитудной части.   Рис 1.2 Используя таблицу разложения функции в ряд Фурье находим: Для нечетной функции где   Пример 3. Ко входу параметрической R – цепи с коэффициентом передачи, рассмотренном в предыдущем примере, предложено гармоническое колебание             Рис.1.4   §2.4. Прохождение сигнала через параметрические цепи первого порядка. Напомним, что к параметрическим цепям первого порядка относятся цепи, содержащие один энергоемкий элемент (индуктивность или емкость) и резистивный элемент, причем хотя бы один из элементов цепи является параметрическим. Уравнения, описывающие процессы в такой параметрической цепи, сводятся к дифференциальным уравнениям первого порядка с переменными коэффициентами и имеют следующий вид   + a(t)*S = f(t)   Как известно, такие дифференциальные уравнения, как правило, допускают непосредственное интегрирование и их решение можно представить в квадратурах. Однако очень часто полученное решение нельзя выразить в известных функциях, кроме того, его форма может не соответствовать конечным целям исследования. Например, полученное выражение в замкнутом виде трудно поддается спектральному анализу, проверке на устойчивость и т.д. Общий подход к анализу параметрических цепей первого порядка основан на традиционных методах дифференциальных уравнений и заключается в том, что сначала ищется решение однородного уравнения     + a(t)*S = 0,   а затем произвольная постоянная С заменяется на С(t),которая определяется после подстановки решенияSсв(t) однородного уравнения в искомое (метод Лагранжа). Однако, так как получаемые этим методом решения не всегда удобны для анализа, в радиотехнике разработаны специальные приемы и методы решения указанных уравнений. Наибольший практический интерес представляет анализ параметрических цепей при постоянном и моно гармоническим воздействиям, так как все другие воздействия можно свести к суперпозиции этих воздействий.   Пример. В цепи изображенной на рис 2.14 генератор развивает напряжение e(t) = U0 eiωt; R(t) параметрическая емкость меняется по закону C(t) = , где μ – коэффициент e(t) R емкости. Найти закон изменения и определить     спектральный состав тока в цепи.     Уравнение для тока имеет вид R i + i(τ) dτ = e(t) . Для того, чтобы привести наше уравнение к дифференциальному уравнению первого порядка, запишем его относительно заряда, который связан с током по закону i(t) = . Кроме того, подставим выражения для C(t) и e(t): R + q = U0 eiωt,   где a = , b = , p = . Общее решение данного уравнения известно:   q= e - [ e dτ + C ] .   Интегралы в показателях экспоненты являются табличными   q = .   Оставшийся интеграл не берется в известных функциях. Воспользуемся следующим разложением   = . и, обозначив z = iaμ , перепишем последнее выражение в форме   q = J-n(z) e[b] =   = C + b Постоянная С определяется из начальных условий, первый член этого выражения сплывает свободный процесс, а два других – установившийся. Рассмотрим произведение рядов во втором члене: Обозначив перепишем общее решение в виде , а затем где : Функции Введены В.К.Туркиным и носят его имя; для этих функций составлены таблицы при различных значениях параметров . Для установившегося режима окончательное выражение, принимает вид: Свободный процесс описывается выражением где С определяется из условия qсв(0) = q0. Полученные выражения дают полное решение задачи для установившегося режима как при гармоническом воздействии вида cosω0t, sin ω0t, e±it, так и при постоянном воздействии U0 = 0, причем ответ выражается в виде суммы гармонических составляющих. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка с параметрическим коэффициентом изменение, которого представляется в самом общем виде Пусть , что допускает разложение в ряд Фурье пусть , тогда общее решение имеет вид Введем следующие обозначения а тогда получаем Т.к. и периодические функции, поэтому их можно разложить в ряд Фурье ; Тогда общий вид решения примет вид: где: , а Пример. Найти установившийся процесс в цепи, содержащей параметрический резистор и катушку индуктивности, у которой R(t) = ( 1 + sn Ωt ) , где sn Ωt – меандровая характеристика sn Ωt = , Ω = , и соответствующее дифференциальное уравнение имеет вид , где введено безразмерное время τ = Ωt, а разложение в обобщенный ряд Фурье В соответствии с общей методикой нужно найти вспомогательные формулы ; выполним вычисления , , Тогда комплексную амплитуду рядов Фурье получаем в виде: представленные интегралы здесь вычисляются и можно найти в любом справочнике Можно чтобы не вычислять интеграл для нахождения , получить формулы связи и В первом равенстве делаем замену переменных , тогда Принимая во внимание свойство «нечетных рядов» ; , а также то, что интеграл периодической функции, взятый по длине, равной периоду, не зависит от начала отсчета, получаем: , где для установившегося процесса получаем Суммы, входящие в последние выражения известны, поэтому путем простых преобразований, получаем:   , где Из последних выражений как частные случаи следуют решения ряда задач. Например, рассмотрим цепь, в которой резистор R2 выключается с частотой Ω. Пусть к цепи приложено постоянное напряжение Е. Необходимо найти ток протекающий по такой цепи. . В последних выражениях положим:     Тогда после простых преобразований   где . В последних выражениях положим: § 2.5. Процессы в параметрической колебательной системе с обной степенью свободы. Энергетическое рассотрение стационарных колебаний в системах с одной степенью свободы. § 2.5.1. Процессы в параметрической колебательной системе с обной степенью свободы. Рассмотрим задачу о качелях. Это так же параметрическая колебательная система. В крайнем положении, когда качели остановились, приседая мы увеличиваем расстояние до точки подвеса. В момент, когда качели набрали максимальную угловую скорость мы встаем, преодолевая кроме силы тяжести еще центробежную силу, поэтому расстояние уменьшается и из соотношения mR2(t)ω(t)=const следует что должна увеличиться угловая скорость ω(t). Это модель параметрической системы для механической колебательно системы. § 2.5.2. Энергетическое рассмотрение стационарных колебаний в системах с одной степенью свободы. Рассмотрим параметрический колебательный контур. Пусть у нас будет параметрически изменяющаяся емкость в колебательном контуре.     Если в некоторый момент времени, когда Uс максимальна, мы быстро уменьшим емкость, то это приведет к увеличению напряжение U(t). Это следует из формулы q(t)=C(t)U(t)=const, так как заряд быстро измениться не может (т.к. тогда бы ток равнялся бесконечно большой величине). Если в момент времени, когда U=0, мы снова увеличим емкость, то напряжение не изменится. Поэтому, изменяя емкость во времени (параметрически), мы можем добиться того, чтобы добавка энергии равнялась потерям в такой цепи, тогда у нас будут стационарные колебания (т.е. колебания с постоянной амплитудой). Если добавка энергии больше потерь, тогда можно добиться раскачки колебаний. Следовательно, когда ΔС<0 (т.е. отрицательное приращение емкости) этому соответствуем положительные приращения ΔU>0. Рассмотрим режим стационарных колебаний в параметрическом контуре при самом оптимальном параметрическом возбуждении. Пусть емкость изменяется по такому закону: ∆C С(t) =m – коэффициент модуляции параметра. C0 t Wc = = ; ΔWc – приращение энергии в системе за счет однократного изменения емкости.   ΔWc = = Пусть ΔС <<С0 (а так на практике и выполняется) тогда, ΔWc == m = 2m = 2Wcm Изменение энергии в параметрических системах пропорционально величине накопленной энергии. Это свойственно только параметрических систем. Предположим, что уменьшение емкости происходит в те моменты, когда величина заряда максимальная, а увеличение емкости когда q=0. Это можно делать два раза за период. Следовательно, приращение ΔWc(T) за период равняется ΔWст = 2m – эта энергия расходуется на активном сопротивлении. Вычислим ΔWR(T) для этого зададим закон изменения q(t) и i(t): q(t)=qm Sin ω0t i== q ω0 cos ω0t ΔWR(T) = = R qm2 ω02 =Rqm2ω02 =½Rqmω02T=; Приравняем энергию потерь к вносимой энергии параметрическим элементом ΔWС(Т)= ΔWR(T); тогда получаем: ; , где d – это затухание. Для контуров получить добротность равную 100 достаточно легко, поэтому mkp=0.015 d=1/Q=0.01 следовательно Т.е. модуляцию порядка не скольких %, можно осуществлять с помощью варикапа, который будет работать в линейной области своей характеристики. Рассматриваемый режим является оптимальным: 1) Накачка энергии в контур производится с максимальной частотой – 2 раза за период. 2) Изменение емкости происходит скачком – это самое выгодное изменение параметра. 3) Использован самый выгодный режим фазировки, когда уменьшение емкости происходит при максимуме заряда qm , а увеличение тогда когда qm=0. С помощью параметрической емкости можно как вносить энергию, так и отбирать её из колебательного контура.     § 2.5.Анализ процессов в параметрическом колебательном контуре на основе уравнения Матье. В предыдущем параграфе мы рассмотрели энергетический способ исследования параметрических систем. Данный L метод, позволил вывести формулы, определяющие значение коэффициента модуляции, при котором в колебательной системе возможно либо усиление колебаний, либо стационарный режим, либо нарастающие колебания. В данном параграфе рассматривается другой часто применяемый способ исследования колебаний в параметрических системах, описываемых дифференциальными уравнениями второго порядка: Анализ процесса в рассматриваемом параметрическом контуре, основан на сведение уравнений, описывающих колебания в контуре, к уравнению Матье: - уравнение Матье.   Пусть параметрическая емкость колебательного контура изменяется по закону     Запишем с помощью МКТ дифференциальное уравнение параметрических колебаний:   Мы получили интегро-дифференциальное уравнение. Для того чтобы получить дифференциальное уравнение, сделаем замену переменных: , которое позволяет перейти к дифференциальному уравнению 2го порядка ( введем новые обозначения ), следующего вида:   , для того, чтобы   избавиться от производной 1го порядка, сделаем следующую замену переменных   ,   .   Подставляя найденные q(t), и в полученное дифференциальное уравнение, получаем         Введем безразмерное время:       У нас уравнение с периодическими коэффициентами, причем коэффициенты a и b – положительные величины. Кроме того, из вида a и b видно, что b<a, т.к. m<1. Решение уравнения Матье, строится с помощью теоремы Флоке, которая гласит, что для уравнений типа Хилла (у которого коэффициенты являются периодическими функциями), решение является почти периодическими функциями:   Отсюда следует, что функция удовлетворяет теореме Флоке, если φ(r) периодическая функция. Этому уравнению удовлетворяет и функция y2=e -μrφ(r).     Возникли периодические функции, которые называются функциями Матье: φ()=φ(,a,b). μ= μ(a,b) – некий коэффициент, зависящий от параметров a и b. Причем a и b – вещественные положительные числа.   может быть: а) если , то - описывает стационарные решения. б) если - вещественная величина, то решения расходятся, и следовательно они описывают нарастающие колебания. в) если - мнимая величина, то решения будут сходящимися, а колебания затухающими. Рассмотрим однородное уравнение Матье. , в котором устремим коэффициент b к нулю. Тогда уравнение примет вид: , решение, которого выражается через тригонометрические функции Вид решения для у(τ) не изменится (т.е. будет выполняться теорема Флоке), только если . Т.е. только в этом случае сдвиг фазы на приведёт к тому, что значение функции не изменится. Отыскание в общем случае проблема. Поэтому строятся диаграммы значений параметров а и в, при которых решение для у(τ) будет иметь различный характер поведения. μ   μ   Т.к. функции у1(τ) и у2(τ) удовлетворяют теореме Флоке, тогда решение уравнения Матье будет представляться как комбинация этих двух функций: В связи с тем, что , тогда коэффициент в мал, и можно предположить, что у(τ) не сильно отличается от тригонометрической функции (случай когда в=0): с учетом того, что тогда     Если частоты модуляции и накачки, а также параметр модуляции такие, что решения попадают в нижнюю часть зоны, то энергия отклика превышает начальную энергию. Т.е. у нас зона усиления регенеративного типа. Если попадает в верхнюю часть зоны, то эта зона где вносимая энергия превышает энергию потерь, и у нас возникнет режим автоколебаний. Для этих значений можно определить критическое значение параметра – mкр. Области помеченные звездочками, не имеют практического значения, т.к. там происходит еще большее затухание, т.т де регенерация. Выводы. Т.о. в целях получения параметрического усиления или возбуждения колебаний, следует использовать такое соотношение параметров а и в(т.е. ω0, λ и m), при котором решение соответствует областям неустойчивости. Если при этом коэффициент модуляции m меньше mкрn в системе можно осуществить регенеративное усиление. Если же m больше mкрn в системе происходит параметрическое возбуждение нарастающих колебаний, которые в дальнейшем ограничиваются какими-либо нелинейными элементами, которые неизбежно существуют в цепях.   2.6. Параметрическое усиление колебаний в одноконтурной системе.   Пусть у нас имеется источник внешнего сигнала - гармоническое колебание. В сопротивление входит сопротивление генератора и сопротивление катушки индуктивности. Источник сигнала: Пусть частота сигнала равна частоте резонанса контура   Будем считать, что параметры контура такие, что мы попадаем в первую зону неустойчивости, т.е. (1-я зона неустойчивости) , и пусть Пусть добротность велика, тогда отклики на входной сигнал, которые возникнут в параметрическом колебательном контуре, будут близкими к гармоническим колебаниям. Это позволяет нам для анализа колебаний использовать метод комплексных амплитуд МКА. Поэтому мы можем записать При резонансе напряжения на индуктивности в Q раз превышает напряжение источника . По определению - вносимое сопротивление, которое описывает энергию, вносимую в колебательный контур вследствие того, что ёмкость является параметрической. Первое слагаемое в этом соотношении – обычное емкостное слагаемое, свидетельствующее о том, что линейная постоянная емкость, запасает и расходует энергию. Второе – это слагаемое, аналогично мощности, вносимой в контур на каком –то постоянном сопротивлении. Вычислим среднюю мощность, вносимую в колебательный контур параметрической емкостью: . Для того, чтобы вычислить эту мощность, необходимо задаться законом изменения заряда q(t). В предыдущем параграфе мы нашли, что , здесь затухания нет, т.к. мы предполагаем определить коэффициент модуляции mкр, характеризующий стационарные колебания (т.е. колебания с постоянной амплитудой), тогда - эта величина имеет известный вид , характеризующую мощность, расходуемую на постоянном сопротивлении. Следовательно, можно всё, что стоит в скобках обозначить через вносимое сопротивление, т.е. энергию, вносимую параметрической ёмкостью, писать с помощью активного сопротивления (отрицательного по величине) и тогда схема колебательного контура, примет вид:     Мы получили колебательный контур с постоянными элементами, для которого можем записать, что ; причем мы определили из энергетического баланса, сравнив мощности вносимые в колебательный контур параметрической емкостью и мощность расходуемую активным постоянным сопротивлением. Тогда получаем: Величина - добротность контура, до момента времени, когда емкость С стала параметрической, т.е. при Когда , получаем максимальное значение для коэффициента передачи. Следовательно, при , т.е. при этих значениях фазы получается наилучшая фазировка. Если , то всё нормально, т.е принимает конечное значение. Если , то , и это говорит о том, что система стала неустойчивой. Следовательно, из равенства находим, что (- затухание, ) Ранее, когда мы рассматривали скачкообразное изменение ёмкости, значение для критического коэффициента модуляции принимало значение: В нашем случае, при гармоническом изменении емкости, величина для mкр=2d, т.е. больнее. Параметрическое усиление в системе достигается оптимальным образом при правильной фазировке входного сигнала и генератора накачки. Если фазировка не была произведена, то в такой системе можно наблюдать не только отсутствие усиления, но и ослабление входного сигнала. Необходимость жёсткой фазировки сигнала и генератора накачки является основным недостатком одноконтурного параметрического контура.     Для устранения этого недостатка иногда прибегают к параметрическому усилению расстроенным контуром. Если , тогда Тогда В этом случае возникает параметрическая модуляция, от которой можно избавиться, с помощью различных схемных решений, но при этом получить выигрыш в коэффициенте усиления. См. рис. §2.2.4 Параметрический генератор(параметрон). Схема параметрического генератора может быть осуществлена с параметрического усилителя.       Если соответствующей зоны неустойчивости, то в системе неизбежно возбудятся нарастающие колебания. Этот процесс носит название -параметрическое возбуждение колебаний. Наиболее распространённой является следующая схема параметрона (см.Рис.). Это балансная схема, одноконтурная. Варикапы за счёт смещения Есм находятся в закрытом состоянии. На них в закрытом состоянии синфазно подаётся ток накачки. Если мы подключаемся точно в середине, то магнитные потоки генератора накачки в катушке индуктивности компенсируются за счёт встречного направления включения варикапов. Если то . Частота резонанса такой системы , где - значение ёмкости покоя варикапа. Одновременно с накачкой подаётся сигнал. Пока он мал, происходит усиление сигнала, а когда он выходит в нелинейную область вольт кулоновской характеристики варикапа, происходит ограничение усиления. Параметрон – это устройство с двумя устойчивыми состояниями Параметрон можно использовать в качестве элемента памяти. Например, первое состояние , соответствует единице, второе - , нулевому значению. Если , то частота сигнала равна частоте выходного сигнала и нет ничего интересного. Если же , то т.е. можно получить параметрический умножитель частоты.   §2.2. Двухконтурные параметрические системы. Для одноконтурного параметрического усилителя, по материалам предыдущего параграфа, можно построить графики для спектров входного сигнала, генератора накачки и выходного колебания. спектр колебаний генератора накачки   Спектр входного сигнала     т.к. Т.к. частота , то появление двух спектральных линий на одной частоте будет вызывать различные случаи, поведения колебательной цепи. Когда частотные линии складываются синфазно –происходит усиление колебаний. В случае, когда спектральные линии складываются противофазно, происходит подавление колебаний сигнала. Т.о. нам необходимо разделить эти две линии. Это, возможно, выполнить с помощью 2-х контурного параметрического усилителя. Что при этом происходит? Рассмотрим 2х частотный, 3х контурный параметрический усилитель. Определим: будет ли в этом случае усиление сигнала? Теперь система должна быть 3-х частотной: Ответ на этот вопрос дает фундаментальная теорема Менли-Роу, доказанная около 50 лет назад (1956 г.). §2.2.1Теорема Менли-Роу. Эта теорема играет фундаментальную роль в радиофизике и радиотехнике и позволяет, оценит энергетические возможности нелинейных и параметрических систем. Проведём нестрогое рассмотрение теоремы Менли-Роу. Рассмотрим 3-х контурную систему, содержащую нелинейный реактивный элемент (например, ёмкость - варикап). Так как каждый контур настроен на определённую частоту, то контуры образованы отдельно друг от друга. Последний контур – это выходной контур. Так как у нас нелинейная ёмкость, то возникнут частоты равные , где Пусть . В этом случае возникнут колебания в третьем контуре. У него источником является нелинейная ёмкость. Пусть возник такой режим и установились стационарные колебания. Пусть - средняя мощность за большой момент времени (если например порядка гигагерц, то время за которое происходит установление колебаний может быть всего лишь около 1 сек). Так как за длительное время режим установился, тогда на ёмкости нет ни рассеяния энергии, ни накопления, и следовательно: - энергия колебаний за один период, соответствующие частоты колебаний. Тогда Следовательно Это равенство нулю не должно зависеть от частот , следовательно Следовательно, так как , получаем: - это соотношение и является результатом теоремы Менли-Роу, Для случая, когда количество контуров минимально (два). Рассмотрим 2-х контурный (3-х частотный) параметрический усилитель. I вариант В третьем контуре нет никаких источников, поэтому по отношению к нему, ёмкость вносит энергию в третий контур. Следовательно на третьем контуре ёмкость энергию расходует и поэтому . Следовательно из последней системы уравнений вытекает, что. Значит энергия, передаваемая в третий контур вносится и сигналом и накачкой. Кроме того мощности соотносятся прямо пропорционально частотам колебаний каждого из контуров. .   Нарисуем спектрограммы мощностей: - так как мощности пропорциональны частотам, тогда это можно представить графиком представленным на следующем Рис. Пусть / Коэффициент усиления по мощности - это мощность затраченная, а - усиленная мощность. Следовательно – это усилитель мощности не регенеративного типа, так как энергия передается из контура 1 в 3 и из 2 в 3, а из 2 в 3 нет. Это будет линейный усилитель, так как сигнал управляет уровнем отбора энергии от генератора накачки по линейному закону. Выводы: 1)Это усилитель не регенеративного типа (генератор накачки не увеличивает энергию сигнального контура) 2)Частота колебаний генератора накачки может быть как больше, так и меньше частоты сигнала. Но чем больше , тем большее значение принимает . 3)В таком усилителе происходит усиление с преобразованием частоты вверх. 4)Повышение значения частот создаёт технические трудности при использовании 2-х контурного параметрического усилителя в диапазоне СВЧ. II Вариант Необходимо, чтобы (Случай приведёт к тому, что ,, т.е. энергия будет отбираться из сигнального контура и вноситься в контур генератора накачки. Т.о. усилителя не будет.). По прежнему , т.к 3-й контур лишь потребляет энергию (это холостой контур). Тогда из теоремы Менли-Роу, следует, что В этом случае генератор накачки вносит энергию, как в контур нагрузки, так и в сигнальный контур. Поэтому если вносимая энергия превысит уровень потерь, то этот усилитель превратится в генератор. Следовательно, у нас регенеративное усиление и мощность можно снимать как с сигнального контура, так и с контура нагрузки. При этом P3=Pн это доля мощности внесенная в сигнальный контур, в отличии от первого рассмотренного варианта. Кроме того f 1 не может находится, слева от fc (m=1,n=-1), поэтому , т.к. полезную мощность можно снимать как с нагрузочного контура, так и с сигнального, следовательно для случая fн<2fc , т.к. Р3=Рх>Р2=Рс, усиленный сигнал выгодней снимать с холостого контура. Если же fн>2fc ,т.к. Р3=Рх<Р2=Рс, усиленный сигнал выгодней снимать с сигнального контура. Вывод: В рассмотренных случаях мощность генератора накачки вносится не только в третий контур (холостой), но и во второй (сигнальный), компенсируя при этом в нем потери. Следовательно, это усилитель регенеративного типа. И мощность генератора накачки в таком усилителе не должна превышать некоторый уровень, иначе усилитель превратится в автогенератор. В этом усилителе fн обязательно больше fс. Если она больше fс, но меньше чем 2 fс, то целесообразно выходной сигнал извлекать из сигнального контура. Если fн больше, чем 2 fс, то выгодней усиленное колебание извлекать из 3го контура. § 2.2.2 Параметрические умножение и деление частоты. В случае, когда частоты становятся порядка 1 Ггц, то транзисторы перестают работать и проблема умножения частоты на СВЧ диапазоне сильно усложняется. Хотя в СВЧ диапазоне транзисторы не работают, но диоды продолжают работают, Тогда включая диод между двумя резонаторами можно получить умножение частоты и причем коэффициент передачи будет , где n номер гармоники. В диапазоне, меньше чем СВЧ умножение частот осуществляется с использованием обычного резонансного усилителя, работающего в нелинейной области ВАХ транзистора. При этом можно получать умножение до 10 раз. С помощью параметрических систем можно осуществить умножение и деление частот с высоким коэффициентом деления (имеется в виду высоким kp=1) §2.3.Энергетическое рассмотрение 2-х контурного параметрического усилителя регенеративного типа. Определение критического коэффициента модуляции, вносимого сопротивления и коэффициента передачи на резонансной частоте.     ω1=ωс ω2=ωн-ω1 ; т.к. - считается заданным Первый контур имеет комплексное сопротивление Z1(ω) , а второй Z2(ω). Будем считать, что       Тогда   Последняя составляющая приведет к появлению напряжения на втором контуре, т.к. у него ω2 – резонансная частота. где За счет резонансных свойств, возникло напряжение U2 на сопротивлении второго контура, которое будет приложено к переменной емкости и Z1(ω), но и поэтому пренебрегаем по сравнению с     Z1(ω2) Z2(ω2) U2         Вводим настоящий ток, протекающий через емкость. В нашей системе отсчета он равен На частоте ω1 мы выделяем слагаемые с частотой ω1, их остается 2. Рассмотрим   L1 C0       На резонансной частоте ω1 у нас в Z1(ω1) присутствует только активное сопротивление, причем теперь мы можем сказать чему равна резонансная частота первого контура , а проводимость При m=mкр Для параллельного контура Отметим важную особенность: усилительные свойства 2х контурных параметрических усилителей в отличие от одноконтурных не зависят от сдвигов фаз между сигналом и накачкой.   §2.4. Некоторые приближенные методы исследования процессов в. параметрических системах §2.4.1. Метод «замороженного» параметра.   Применяются при очень медленном изменении параметров по сравнению с характерным периодом колебаний в системе.   Система уравнений Полагаем , т.е. полагаем значение элементов постоянными- «замороженными» и решаем полученную систему уравнений с постоянными коэффициентами. . Применим преобразование Лапласа к нашей системе уравнений, и получаем , откуда находим где b=b(R,G,L,C); a=a(R,G,L,C) рa=рa(R,G,L,C).   «Размораживаем» параметры, т.е. полагаем их функциями от параметра t, а следовательно коэффициенты становятся также функциями параметра t, т.е. b=b(t), a=a(t) и корни рk=рk(t). Поэтому окончательно получаем для Sвых: Sвых = Определяем импульсную функцию для случая m<n. , §2.4.1 Метод замороженного параметра.(второй вариант). В этой системе может существовать как свободные, так и вынужденные колебания. Система с переменными параметрами, но изменение параметров проходит очень медленно (за период колебания изменение параметров очень малое, аналогично и в длинных линиях изменение параметра малое на длинне волны) Считаем, что на протяжении какого- то малого промежутка времени в момент времени t0 они постоянные (замороженные) и тогда мы можем найти выходное колебание обычным операторным методом , а теперь размораживаем параметры и выходной сигнал становится зависимым от времени, и кроме того параметры также становятся зависимыми от t: Этим методом нельзя проанализировать параметрическое усиление генерацию, т.к. там частота накачки была выше изменения сигнала. а) Система с сосредоточенными параметрами (например радиотехническая цепь). Задача анализа свободных колебаний. Уравнение описывающее колебания в параметрической цепи, можно записать в виде системы интегро- дифференциальных уравнений (например, для МКТ) , в следующем виде: Пусть изменение параметров здесь намного меньше, чем период колебаний сигнала, тогда: . Здесь мы заморозили параметры, т.е. считаем, что они имеют постоянную величину, которую они имели в момент времени t=t0. Тогда все коэффициенты системы интегро-дифференциальных уравнений будут постоянными, поэтому для решения этой системы уравнений можно применить орераторный метод: , Мы получили систему алгебраических уравнений, из которой найдем выходное колебание . Размораживание можно сделать как сейчас, так и после обратного преобразования Лапласа. Мы получили, что выходное колебание зависит от явно содержащегося времени t, но и через параметры . б) Система с сосредоточенными параметрами (например, радиоцепь). Анализ происхождения сигнала. МКТ. в) Система с распределенными параметрами (например длинная линия,параметры которой медленно изменяются в пространстве,например, вдоль координаты x)   Пусть у нас погонные параметры зависят от координаты х:, тогда + начальные условия -нулевые, + граничные условия. Если параметры меняются медленно по сравнению с частотой изменения сигнала, тогда применим метод замороженного параметра. получим систему уравнений длинных линий с постоянными параметрами получили систему алгебраических уравнениенашли решение для операторного тока и напряжения ограничимся в дальнейшем линиями без потерь или без искаженийРешение в таких линиях имеет вид бегущих волнтогда решение имеет вид . Преобразование спектра здесь не произошло. г) Система с распределенными параметрами в длинных линиях, параметры которых изменяются во времене. Пусть у нас погонные параметры зависят от времени R(t),C(t),L(t),G(t) Все аналогично, как и предыдущем разделе, но мы получим теперь решение в виде бегущих волн:причем операторно-передаточная функция имеет вид , приводит к тому, что операторно-передаточная функция T(p,t) зависит тепер от р и t.Следовательно это приводит к появлению в спектре новых комбинационных частот. §2.4.2 Метод последовательных приближений. В системе могут рассматриваться как свободные, так и вынужденные колебания. Пусть колебания параметров происходят значительно медленнее по сравнению с характерными колебаниями напряжения или тока. Этот метод позволяет получить ряд последовательных поправок к методу замороженного параметра. Пусть у нас система с сосредоточенными параметрами (радиотехническая цепь). . Пусть можно представить матрицу в виде постоянной величины и медленно изменяющейся вокруг нее переменной части. Тогда - будем считать, что это известная функция времени. Осуществим преобразование Лапласа. Решение будем искать в виде , тогда На первом этапе пренебрегаем последним слагаемым. , после чего находим: - эти найденные контурные токи подставим в и получим известный столбец функций. Осуществим обратное преобразование Лапласа. Подставим это в . И найдем, теперь первую поправку. ………   §2.4.2. Метод последовательных приближений (второй вариант). Применяется при медленном изменении параметров по сравнению с характерным периодом. Как предыдущий этот период основан на преодр. Система уравнений цепи Пусть ;; Тогда еще ничего не изменилось. Обозначим - и рассматриваем как известные функции, тогда после применения преобразования Лапласа имеем - система алгебраических уравнений. Решения этой системы , где Ищем в виде ряда где , ( = () - решения, совпадающее с решением методом «замороженного» параметра. Эти решения подставляем после в уравнения и находим 2е слагаемое ряда и т. д. . . . . . . . . . . . . . Правомерность разложения, примененного в этом методе, доказывается путем перехода к интегральным уравнениям и использованием свойств последних. Наконец §2.4.3 Метод ВКБ. Этот прием связан с решение дифференциальных уравнений вида (или S(t)). Решение ищется в виде - связана со скоростью изменения функции на первом этапе малой величины теперь продифференцируем это еще раз и подставим в добавку. Если окажется, что , то можно ограничится этим шагом. Теперь   §2.4.3. Метод ВКБ (Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна)(второй вариант). Метод, предназначен для нахождения приближенных решений уравнений вида: - уравнение Хилла, причем на функцию F(t) накладывается ряд ограничений. При определенном подходе к анализу параметрических цепей, последние в ряде случаев, могут быть представлены соединением простых цепей, каждая из которых описывается дифференциальными уравнениями порядка не выше 2го. В общем случае такой цепью является одноконтурная цепь, содержащая все элементы с переменными характеристиками. Уравнение цепи запишем в виде , где или , где Используем замену , находим первую и вторую производные для q(t) После подстановки получим Решение неопределенного уравнения Хилла , находится с помощью, метода вариации постоянной составляющей решения однородного уравнения Хилла . Найдем с помощью метода ВКБ решение однородного уравнения Хилла. Для того чтобы возможно было применить метод ВКБ, функция F(t) должна удовлетворять следующему условию (медленное изменение F(t)) Пусть , т.у. F(t)>0 (это требование не обязательно в методе ВКБ). Ищем решение однородного уравнения Хилла в виде следующей функции . Тогда . Поэтому : Полученное уравнение является неоднородным, решить которое труднее чем исходное. Однако, если мало, можно использовать метод итераций . Пусть Тогда нулевое приближение находим из уравнения . Условие применимости нулевого приближения Подставим Ф0 в правую часть уравнения. , (использовано разложение в ряд Тейлора ) Откуда получаем 1е приближение Процесс итерации можно продолжить , но мы ограничимся первым приближением. Как видно решением уравнения Хилла являются две функции , . Следовательно, решением уравнения Хилла будет сумма: y(t)=U1y1(t) + U2y2(t). Решение неоднородного уравнения можно находить методом вариации произвольных постоянных. Поэтому решение ищем в виде , где и - некоторые неизвестные коэффициенты. Найдем 1ю производную . При произволе выбора коэффициентов потребуем, что бы , тогда вторая производная: . Подставим найденные первую и вторую производные в уравнение. Таким образом, имеем систему уравнений относительно откуда находим Пусть , тогда , тогда u1 и u2 а следовательно , возвращаясь к Напомним, что , тогда переход к постоянным значениям дает следующий результат: , а Глава 3. Анализ колебаний в нелинейных цепях. 3.1 Нелинейные элементы цепей 1. Нелинейный элемент активного сопротивления – идеализированное устройство, рассеивающее эл. энергию, характеризуемое ур. связи U=R(i)i; i=G(U)U R(i) Для анализа нелинейных цепей используют вольт-амперные характеристики нелинейных активных сопротивлений. Вольт- амперная характеристика элемента эквивалентна уравнению связи. U=f(i); i=φ(U)     i(u)     u   Отношение U/i=f(i)/i=R(i) называют статическим сопротивлением, которое обычно определяют для фиксированных значений i=I0 и U=U0 Отношение i/U=φ(U)/U=G(U) – статической проводимостью Рассматривая U(t)=f(i(t)) или i(t)=φ(U(t)) имеем для дифференциалов: и Для конечных приращений, в пределах которых вольт-амперную характеристику можно считать линейной, имеем: и где и - дифференциальные сопротивление и проводимость. В окрестности i=I0, u=U0 – это постоянные коэффициенты. Рассматривая конечные приращения в качестве колебаний можно для последних записать уравнения связи: и . Дифференциальные сопротивления (проводимости) могут принимать как положительные, так и отрицательные значения (смотри рис.)   характеристика туннельного диода характеристика ионного прибора хар-ка типа N (стабиловольта) характеристика типа S Нелинейные элементы активных сопротивлений являются, при определённых условиях, электровакуумных и п/п диодов, варисторов, стабиловольтов, баристоров и т.п. Для линейного постоянного активного сопротивления имеем: U=f(i)=Ri. Откуда из Rст=f(i)/i=R и Rдиф.=df(i)/di=R. Т.е. статическое и дифференциальное сопротивления линейного постоянного активного сопротивления совпадают и равны R.   2. Элемент нелинейной индуктивности – идеализированное устройство, способное запасать энергию в форме магнитного поля. Уравнение связи элемента имеет вид: L(i)   Уравнение связи можно представить в виде: ; - правая часть есть функция i(t). Следовательно, это уравнение не пригодно для составления системы уравнений с помощью метода узловых напряжений - МУН. Для анализа нелинейных цепей используют эквивалентную уравнению связи зависимость магнитного потока ψ(i) от тока i. Заметим, что ψ(i) =L(i)i. Отношение называют статической индуктивностью (определяемую, чаще всего для какого-то фиксированного I0).   Величина - называется дифференциальной индуктивностью. Для линейного постоянного элемента индуктивности значение Lстат и Lдиф совпадают. Вернёмся к уравнению связи. ; т.е. Следовательно, если величина колебаний тока настолько мала, что в пределе участка характеристики последний может считаться линейным, уравнение связи является линейным Элемент нелинейной индуктивности является хорошей моделью катушки индуктивности, имеющей магнитный сердечник с пренебрежимо узкой петлёй гистерезиса (гистерезис характеризует активные потери). В отличие от дифференциального активного сопротивления, которое может принимать как положительные тaк, и отрицательные значения, дифференциальная индуктивность принципиально не может быть отрицательной поскольку увеличение тока через L не может приводить к уменьшению магнитного потока, т.е. Lдиф>0   3. Элемент нелинейной ёмкости – идеализированное устройство, способное запасать энергию в форме электрического поля. Уравнение связи элемента имеет вид: Возможная форма уравнения связи: но она не пригодна для составления системы уравнений с помощью метода контурных токов – МКТ, т.к. правая часть в неявном виде содержит U(t). Для анализа нелинейных цепей используют эквивалентную уравнению связи - зависимость заряда q от напряжения U – вольт-амперную харектеристику.   Заметим, что q=c(u)u и следовательно можно записать отношение - называется статической ёмкостью. Эти характиристики чаще всего определяют для малой окрестности некоторого фиксированного значения U0. Для линейной постоянной ёмкости Сстат=Сдиф=С   Уравнение связи можно записать в форме: т.е. Если величина колебаний напряжений относительно U0 мала, то в пределах рабочего участка характеристики последняя может считаться линейной, что обуславливает линейность уравнения связи , откуда Как и Lдиф элемента индуктивности, Сдиф элемента ёмкости всегда положительна, Сдиф>0. Это обусловлено тем, что увеличение U на ёмкости не может приводить к уменьшению заряда.   4. Аппроксимация характеристик нелинейных элементов Как указывалось ранее удобными характеристиками нелинейных элементов являются не уравнения связи, а вольтамперная характеристика активного сопротивления или , или зависимость - для нелинейной индуктивности (ампер-веберная характеристика), или зависимость q(u) – для нелинейной емкости (вольт-кулонная характеристика). і(t) Ψ(t) q(t) Если любая из этих характеристик задана аналитическим выражением, то в окрестности рабочей точки, функция может быть представлена, разложением в ряд Тейлора (в окр. х0) или , где R – остаток разложения в ряд Тейлора. Если же характеристика задана графически, тогда аппроксимацию можно осуществить укороченным степенным рядом (полином), ограничивая его второй –пятой степенью. Составляем систему уравнений: Здесь yn, xn, x0 – известные величины, поэтому эту систему можно решить (по методу Крамера), относительно коэффициентов al. Если x=x0+S (х0 постоянное смещение, а s малый сигнал), то , где α – дифференциальный параметр нелинейного элемента. Иногда характеристики нелинейных элементов аппроксимируют трансцендентными функциями. Например     или . Широко применяется и кусочно-линейная аппроксимация I   u   Имеем . Пусть s(t)=s1(t)+s2(t) , если s2(t)=S2cosω2t s(t)=S1cosω1t + S2cosω2t Возводя двухчлен s(t)=s1(t) + s2(t) в nю степень и, группируя затем члены суммы можно убедиться, что в составе реакции y(t) имеются слагаемые частот ξω1±ηω2, где ξ и η – любые числа, не исключая нуль, т.е. спектр содержит слагаемые комбинационных частот, т.е. в нелинейных цепях возможны различные радиотехнические процессы ( стабилизация постоянного тока и напряжения, умножение, выпрямление, модуляция, детектирование и многое другое.   §3.2.Особенности задач анализа колебаний в нелинейных цепях. Анализ колебаний в нелинейных цепях представляет большие трудности. В настоящее время не существует единого математического метода, пригодного для исследования любых нелинейных цепей при произвольных режимах их работы. Каждый метод оказывается достаточно эффективным обычно лишь для одного или нескольких режимов работы того или иного класса нелинейных цепей. В нелинейной цепи по сравнению с линейной возможен дополнительный режим – автоколебания. Поэтому при анализе могут исследоваться: устойчивость цепи ( ее состояние покоя ), устойчивость автоколебаний, установившейся режим автоколебаний, процесс установления автоколебаний, процесс исчезновения автоколебаний, преобразование автоколебания в устойчивой нелинейной цепи, взаимодействие внешнего колебания с автоколебанием в нелинейной цепи и другие. Разновидности применяемых нелинейных цепей: - автогенераторы специальной и синусоидальной формы - умножители и делители частоты, т.е. преобразователи частот - ограничители - выпрямители - модуляторы и демодуляторы - электронные реле. Порядок дифференциального уравнения, описывающего колебания в нелинейной цепи, может быть различным до n=1020 и более. Соответственно многообразию видов нелинейных цепей, режимов их работы и поставленной задачи анализа в настоящее время известно несколько сотен различных методов исследования. Наиболее распространенные: 1) метод линеаризации 2) метод гармоничной линеаризации 3) методы малого параметра 4) метод усреднения 5) метод фазовой плоскости 6) метод интегральной аппроксимации 7) метод математического моделирования.   §3.3. Анализ колебаний в цепях, составленных из нелинейных активных сопротивлений.     Рассмотрим нелинейную электрическую цепь, составленную частично или полностью из элементов активного сопротивления, каждый их которых определен своими характеристиками U = fk(i) и i = φk(u). Рассмотрим одномерную задачу анализа. Используем для анализа метод трансформации. φрез(u) а) φ1(u) φ2(u)   i = i1+i2 = φ1(u)+φ2(u) = φрез   б) u = u1+u2 = f1(i)+f2(i) = f рез(i)     Первый этап: цепь сводится к одному нелинейному элементу и при этом определяется напряжение или ток в цепи. Второй этап: цепь разворачивается до искомого колебания.   Пример: 1й этап                                                     В нелинейной цепи, составленной из элементов R, происходит изменение спектра выходного колебания по сравнению со спектром входного колебания.   §3.4. Метод линеаризации.   Метод основан на предположении, что колебания, возбужденные в цепи, содержащей нелинейные элементы, являются настолько малыми, что участки характеристик нелинейных элементов, в пределах которых существуют колебания, могут считаться линейными. Метод используется: 1) для анализа малых вынужденных колебаний в устойчивых цепях с нелинейными элементами. 2) для исследования устойчивости цепи при малых отклонениях от состояния покоя. 3) для исследования устойчивости периодического автоколебания. Метод линеаризации использовался ранее при выводе схем замещения электронных приборов. Причем, параметры электронных ламп S = и , а также параметры транзисторов gвх, gобр, gi и S – являются дифференциальными параметрами, определенными для некоторой окрестности рабочей точки (рекомендованной). Как следствие этого обстоятельства, анализ всех схем, содержащих электронные приборы ( усилители разнообразного назначения ), был проведен ранее именно методом линеаризации. Алгоритм метода линеаризации для анализа вынужденных колебаний.     Рассмотрим применение этого метода для исследования устойчивости цепи при малых отклонениях от состояния покоя.   Цепь с нелинейным элементом и генератором постоянного тока Пусть некоторая цепь содержит нелинейные устройства, а также генераторы энергии в виде источников постоянного напряжения или тока. Если колебания в цепи отсутствуют, то ее состояние покоя характеризуется постоянными значениями токов I0 и напряжений U0 ветвей, которые могут быть определены анализом режима постоянного тока. Постоянные значения токов и напряжений нелинейных элементов определяют положения рабочих точек на их характеристиках. При возбуждении каким-либо образом цепи, колебаниями реакции будут отклонения ∆ U и ∆ i токов и напряжений от постоянных значений. Для анализа этих колебаний от схемы цепи переходят к схеме замещения для режима колебаний, причем нелинейные элементы заменяют линейными с параметрами, равными дифференциальными параметрам в определенной рабочей точке. Составляют систему уравнений для отклонений (колебаний). В операторной форме система имеет вид: или (справа в системе уравнений могут быть записаны изображения характеристических источников колебаний). Характер колебаний в цепи определяется расположением корней характеристического уравнения или pn+a1pn-1+a2pn-2+…+an=0. Если все корни характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части ( т.е. если они лежат в левой полуплоскости ), тогда цепь является устойчивой. Свободные колебания в этом случае носят затухающий характер. Если какие-либо корни характеристического уравнения имеют положительные вещественные числа, тогда в решении им будут соответствовать слагаемые вида: Se и Sncos(ωnt+ψn), которые являются расходящимися. Такая цепь является неустойчивой. Если характеристическое уравнение имеет порядок выше третьего, то корни не имеют аналитических выражений, связывающих их с коэффициентами ak. Для анализа устойчивости следует либо вычислить корни уравнения каким-либо численным методом, либо использовать одни из критериев устойчивости, определяющих требование, которым должны удовлетворять коэффициенты ak, для устойчивых цепей. Наиболее широкое распространение получили критерии Рауса – Гурвица, Михайлова и Найквиста. Критерий устойчивости Рауса – Гурвица является аналитическим. Критерий Михайлова и Найквиста – графоаналитические. Критерий Рауса-Гурвица предполагает рассмотрение главного определителя вида   Dn =   Из этого определителя выделяются: 1й определитель D1=a1; 2й определитель ; 3й определитель D3=и т.д. Критерий Рауса – Гурвица устанавливает, что при a0 > 0 все корни характеристического уравнения имеют положительные вещественные части, если все n определителя положительны. Для иллюстрации метода линеаризации и критерия Рауса – Гурвица рассмотрим схему с туннельным диодом, способную при определенных условиях усиливать или генерировать колебания. Моделирующая схема туннельного диода.     Эквивалентная схема режима постоянного тока имеет вид. Если (R2=Rд+Rн), то состояние цепи описывается уравнениями:   решение которых можно найти графическим методом. Выберем рабочую точку на падающем участке характеристики. Возможное расположение нагрузочных линий представлено на рисунке.   Для режима колебаний эквивалентная схема представлена на рисунке. Уравнение цепи имеет вид:     Характеристическое уравнение цепи определяется выражением   p2LC + p(LG1диф + R2C) + R2G1диф + 1=0 или ,   a0p2 + a1p + a2=0. Определитель Рауса–Гурвица имеет следующий вид: . Состояние цепи является устойчивым, если D1=a1>0 и D2=a1a2>0, т.е. если a1>0 и a2>0. Для коэффициента а2 имеем >0. Учтем, что рабочая точка расположена на падающем участке характеристики, т.е. R1диф<0 или . Тогда >0. Откуда для устойчивости рабочей точки по постоянному току имеем . Рассматривая коэффициент a1 получаем, что для того чтобы а1>0, необходимо чтобы ; т.е. ; . Учитывая, что - эквивалентное сопротивление параллельного контура при резонансе, условие устойчивости запишем в виде: . Если рассмотренную цепь использовать для усиления колебаний, необходимо обеспечить устойчивость: и положения рабочей точки и колебаний. i=φ(u)     Если цепь использовать для генерирования колебаний, необходимо обеспечить устойчивость рабочей точек (R2<|R1диф|) и неустойчивость колебаний (Rэ.р.>|R1диф|) i=φ(t)     Следует заметить, что оба режима использования схемы требуют выполнение условия R2<|R1диф| т.е. выполнение условия устойчивости положения рабочей   точки. Если это условие не выполнять, т.е. если R2>|R1диф|, нагрузочная линия пересекает вольтамперную характеристику в трех точках при этом состояние цепи в т.А не устойчиво. При малейшем колебании цепь перейдет в состояние определяемое точками т.В или т.С Метод линеаризации позволил выяснить условие, при котором в цепи могут возникнуть автоколебания, но этот метод не позволяет определить амплитуду установившихся колебаний. С этой задачей справится метод гармоничной линеаризации. §3.2. Метод гармонической линеаризации (МГЛ).   Метод МГЛ применим для исследования, как свободных, так и вынужденных колебаний в нелинейных цепях (системах).   нел. цепь Sвхcosω0t Sвыхcosω0t или Sвыхcosnω0t   Идея метода:если за счет фильтрующих свойств нелинейной системы, колебания в ней близки к гармоническим, то нелинейные элементы в такой системе можно заменить эквивалентными линейными элементами, с параметрами соответствующими данному режиму гармонических колебаний. Метод применим для исследования стационарных процессов близких к гармоническим в нелинейных системах с ярко выраженными резонансными свойствами. После замены нелинейных элементов линейными колебания в цепи могут исследоваться любым из методов линейной теории. §3.2.1. Эквивалентные параметры нелинейных элементов.   Рассмотрим нелинейный элемент – нелинейное сопротивление. Ток задан ВАХ нелинейного элемента. Пусть напряжение является гармоническим (в силу резонансных свойств внешней к нелинейному сопротивлению цепи). Gэкв i = φ(u) i(t)                             u(t) = Ucosω0t u(t) = Ucosω0t i(t) = φ(Ucosω0t) = cosnω0t; i(t) = GэквUcosω0t; где ; Если нелинейная система включает в себя резонансный контур, то за счет резонансных свойств контура из всех гармоник существенными будет лишь составляющая основной частоты ω0. Следовательно, ток i в нелинейном контуре есть   i(t) = (.   Сравнивнивая токи в нелинейном и эквивалентном ему линейном контурах получаем, что   Gэкв = . Аналогичным образом можно найти параметры Сэкв, Lэкв, Rэкв:     Rэкв = ;   Cэкв = ;   Lэкв = .   В выражения для эквивалентных параметров входят ВАХ нелинейных элементов. Определим эквивалентные параметры в двух случаях: полиномиальной и кусочно-линейной апраксимаций.   Полиномиальная аппроксимация.   В случае полиномиальной аппроксимации ВАХ нелинейных элементов могут быть представлены в виде   φ(U) = a0 + a1U + a2U2 + a3U3 + …   Так как закон изменения напряжения у нас гармонический, то u(t)=Ucosω0t и, следовательно φ(Ucosω0t) = a0 + a1Ucosω0t + a2U2cos2ω0t + a3U3cos3ω0t + … = (a0 + a2 + …) + (a1U + + a3U3 + a5U5 + …)cosω0t + ( a2U2 + … )cos2ω0t + … Подставляя найденное выражение для ВАХ в выражение для Gэкв получим   Gэкв = a1 + a3U2 + a5U4 + … Аналогично находим эквивалентные параметры нелинейных элементов в случае ампер-веберной и вольт-кулоновской характеристик. Выражение для любого эквивалентного элемента имеет вид   Пэкв = a1 + a3A2 + a5A4 + … , где А – это амплитуда напряжения U для Gэкв, Cэкв и амплитуда тока I для Rэкв , Lэкв соответственно. При кусочно-линейной аппроксимации вида i(t)   i(t) = 0 U0 u(t)   С учетом того, что угол отсечки определяется выражением cosθ = , находим i(t) =   Тогда, с учетом того, что воздействие есть гармоническая функция, раскладываем ток в ряд Фурье   i(t) = , где In = SUвх γ(θ), причем γ(θ) = - гамма функция, а θ = arccos .   Для иллюстрации МГЛ рассмотрим следующие упражнение. Упр.1. Рассмотреть автоколебания в автогенераторе в схеме на туннельном диоде, определить амплитуду установившихся (стационарных) колебаний. Определить устойчивость автоколебаний.     i L R2 i(t) ξ φ(t) C U Eп v                   U Представим аппроксимацию ВАХ туннельного диода с помощью полиномиальной аппроксимации. В координатах связанных с точкой покоя ВАХ туннельного диода имеет вид   ξ ξ = - k1v + k2v3, где k1 и k2 > 0.         Т.к. нелинейный элемент – туннельный диод подключен к внешней по отношению к нему резонансной цепи, то такой нелинейный элемент может быть заменен эквивалентной ему линейной проводимостью Gэкв. Эквивалентная схема такого генератора для режима колебаний имеет вид Тогда характеристический полином имеет вид  

Gэкв С L V(p) = p2 + ()p + (1 + R2Gэкв) = p2 + a1p + a2 .

 

C учетом представленной аппроксимации ВАХ нелинейного элемента полиномом третьей степени G_экв имеет вид

 

G_экв = - k₁ + k₂ U².

Корни характеристического уравнения имеют вид p_1,2 = -, причем для генератора гармонических колебаний (и корни имеют вид p_1,2 = -δ ± jω₁. Подставим выражение G_экв в выражение для коэффициента а₁, получим а₁ = . Поэтому т.к. коэффициент a₁= а₁(U) является функцией амплитуды U, то условием определения стационарной амплитуды гармонических колебаний есть равенство а₁(U_ст) = 0. Откуда находим, что

 

+ =0.

 

U_ст = .

Как уже отмечалось в методе линеаризации, для гарантированного получения генератора гармонических колебаний необходимо, чтобы R₂ = 0, следовательно

 

U_ст = .

 

Таким образом, стационарные колебания в автогенераторе гармонических колебаний имеют следующий вид

u(t) = U_стcos(ω₀t + φ) = 2cos(.

Стационарные колебания (найденные выше) являются устойчивыми. Для вывода условия устойчивости стационарных колебаний воспользуемся следующими рассуждениями. Если стационарные колебания устойчивы, то при отклонении амплитуды колебаний от стационарной, условие равенства коэффициента а₁(U) нулю не будет выполняться. Причем если (U_ст +∆U), то действительная часть корней характеристического полинома должна быть

 

 

положительной, чтобы решение S_вых = S₀ e^-δtcos(ω₁t + φ) стремилось вернуться к стационарному решению. А при (U_ст - ∆U) действительная часть корней характеристического полинома должна быть отрицательной, чтобы решение S_вых нарастало и стремилось вернуться к стационарному решению. Таким образом, условием устойчивости стационарной амплитуды гармонических колебаний есть условие

 

а₁(U ± ∆U) = ±A∆U, где коэффициент А>0.

Проверим устойчивость стационарной амплитуды гармонических колебаний

 

δ(U_ст + ∆U) = =

 

= = A∆U + ;

 

т.к. отклонения ∆U от стационарной амплитуды колебаний есть малая величина, то вторым слагаемым можно пренебречь. Т.о. стационарные колебаний в автогенераторе на туннельном диоде, являются устойчивыми.

График зависимости G_экв (U) представлен на рис. Значение U соответствующее G_экв=0 есть U_{ст .}

Итак в автооператоре на туннельном диоде состояние, когда колебания отсутствуют, является неустойчивым

Малейшая флуктуация обуславливает возрастание амплитуды колебаний. При этом пока колебания малы, их амплитуда возрастает пропорционально . По мере

увеличения интервала t от момента возникновения колебаний амплитуда колебаний увеличивается, стремясь в пределе и величине U_ст. В цепи устанавливается режим автоколебаний.

 

 

§3.3.Методы малого параметра. Метод последовательных приближений.

 

Уже в прошлом столетии существовал математический аппарат, который при надлежащем развитии и обобщении мог бы быть применим для исследования нелинейных колебаний, во всяком случае, для колебаний, достаточно близких к линейным. Достаточно близкими к линейным обычно называются колебания, для которых соответствующее дифференциальное уравнение хотя и является нелинейным, но содержит некоторый параметр ε, входящий в это уравнение так, что при равенстве нулю этого параметра, нелинейное дифференциальное уравнение, вырождается в линейное с постоянными коэффициентами. При этом предполагается, что параметр ε является «малым». Говоря о таком математическом аппарате, имелось в виду, прежде всего теория возмущений, разработанная для изучения движения планет.

Идея метода последовательных приближений заключается в представлении решения нелинейного уравнения, содержащего малый параметр ε в виде степенного ряда по малому параметру ε.

x(t) = x₀ + εx₁ + ε²x₂ + ε³x₃ + …

Причем быстро выяснилась существенная трудность, состоящая в невозможности использования полученных решений за достаточно длительный промежуток времени. Дело в том, что обычные разложения по степеням малого параметра приводят для искомых величин, характеризующих движение, к приближенным формулам, в которых наряду с членами, гармонически зависящих от времени, присутствуют еще и так называемые секулярные слагаемые вида

t^msinωt, t^mcosωt

в которых время t входит вне sin или cos. Вследствие этого область применимости получаемых приближенных формул ограниченна слишком коротким интервалом времени.

Рассмотрим конкретное уравнение

 

; где α>0 и γ>0. (1)

которое может интерпретироваться как уравнение незатухающих колебаний, некоторой массы m, притягиваемой к положению равновесия восстанавливающей упругой силой

p(x) = αx + γx³. (2)

Будем считать, что . Причем ε мало. Образуем приближенное решение с точностью до величин второго порядка малости

х(t) = x₀(t) + εx₁(t). (3)

Подставим (3) в (1) и, группируя слагаемые по степеням малого параметра ε находим

; (4)

; (5)

Из (4) находим х₀ = аcos(ωt + θ) (6)

и подставляя в правую часть уравнения (5), получаем

. (7)

Из математического анализа известно, что если правая часть линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид е^px(A₀x^s + A₁x^s-1 + … + A_s), то если р не является корнем характеристического уравнения, частное решение нужно искать в виде

Если же р является корнем характеристического уравнения кратности α (этот случай называется особым или резонансным), то частное решение надо искать в виде

 

Так как в нашем случае для уравнения (7) мы имеем резонансное решение, то после отыскания коэффициентов находим

x(t) = acos(ωt + θ) (9)

В найденном решении имеется секулярное слагаемое

и, следовательно, колебания представленные формулой (9), должны раскачиваться, а их амплитуда при неограниченном возрастании t должна неограниченно возрастать, что находится в явном противоречии с характером точного решения уравнения (1), которое выражается через элептические функции и имеет следующий вид:

x(t) = x_max cn, где cn, K обозначают соответственно элептический косинус и полный элиптический интеграл первого рода.

Ряд (9) из-за присутствия секулярных членов не пригоден не только для количественного, но и для качественного анализа поведения решения уравнения (1) на всей действительной оси. Заметим еще раз, что наличие в разложении (9) секулярных членов ни в коем случае не означает, что уравнение (10) вообще не имеет периодических решений. Это свидетельствует только о несоответствующем выборе разложения.

 

 

§3.4.Метод медленно меняющихся амплитуд (МММА).

Вывод укороченных уравнений.

МММА применяется для анализа нелинейных уравнений, достаточно близких к линейным. Достаточно близкими к линейным, обычно называются колебания, для которых соответствующие дифференциальные уравнения хотя и являются нелинейными, но содержат некоторый параметр ε, входящий в эти уравнения так, что при нулевом значении ε они вырождаются в линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. При этом предполагается, что параметр ε является «малым».

Представим себе, что система настолько близка к линейной, что колебания в течение одного периода имеют форму, весьма близкую к гармонической. Если рассматривать эти колебания на большом интервале времени, по сравнению с периодом колебания, то уже существенно будет проявляться влияние даже малых отклонений системы от линейной, выражающееся в наличии малых нелинейных слагаемых, в дифференциальных уравнениях. Таким образом, малые нелинейные члены могут оказывать как бы коммулятивное действие.

Совершенно естественно, что наиболее доступными для исследования являются колебания системы с малой нелинейностью, поскольку к ним в той или иной форме можно применять метод возмущений.

Исследование систем с большой нелинейностью является с математической точки зрения весьма трудной проблемой, требующей индивидуального подхода в каждом конкретном случае.

В настоящее время существует целый ряд методов позволяющих исследовать системы с одной степенью свободы при малых нелинейностях. В общем виде, такие системы описываются дифференциальными уравнениями следующего вида:

Если удается выделить малый параметр, то уравнение удается преобразовать к виду:

.

В теории колебаний используется ряд методов основанных на малом параметре при нелинейной части дифференциальных уравнений 2^го и более высоких порядков. Это метод возмещений Пуанкаре, метод медленно меняющихся амплитуд Ван-дер-Поля, метод амплитудной плоскости (метод Андронова-Витта), метод Боголюбова-Крылова, асимптотический метод Боголюбова-Митропольского и другие.

Рассмотрим один из них – МММА. Данный метод так же, как и МГЛ, применим в тех случаях, когда возникающее колебание близко по форме к гармоническому, что обычно имеет место при использовании в автогенераторах, контура с достаточно высокой избирательностью.

Уравнение, описывающее процессы в таких системах, может быть записано в виде:

, (1)

или в безразмерных переменных оно имеет вид:

переходя от анализа одного дифференциального уравнения относительно одной переменной, к анализу системы двух уравнений относительно двух переменных:

(2)

Если параметр ε равен 0, то решение уравнения (2) имеет вид:

(3)

где А и φ – произвольные постоянные.

В методе медленно меняющихся амплитуд решение системы уравнений (1) ищем в виде выражений, отличающихся от (3) тем, что амплитуда А и фаза φ считаются некоторыми функциями времени А(τ) и φ(τ). Тогда

(4)

Подставляя (3) и (4) в (2), получаем:

Решение этих уравнений относительно и дает:

(5)

Правые части этих уравнений являются функциями времени (α = τ – φ ), с периодом 2π, что позволяет разложить их в ряд Фурье:

(6)

Коэффициенты рядов Фурье оказываются функциями амплитуд А. Поскольку до сих пор никаких ограничений на зависимость А(τ) и φ(τ) не накладывалось, уравнения (5) являются столь же точными, как и (2) или (1). Теперь примем во внимание, что при наличии малого параметра амплитуда А и фаза φ могут изменяться только медленно, т.е. на малую величину за период 2π. Поэтому при этом можно принять, что в пределах одного периода изменения А и φ происходят с постоянными средними скоростями, соответствующими первым слагаемым рядов Фурье, стоящими в правых частях уравнений (6). Результаты такого усреднения правых частей уравнений (6) получаем в виде:

(7)

где: (8)

Уравнения (7) называются укороченными, т.к. они получаются в результате отбрасывания ряда слагаемых уравнения (6) или уравнениями медленно меняющихся амплитуд и фаз, поскольку они справедливы в тех случаях, когда А и φ медленно (мало) меняются за период колебаний. Из (7) следует, что в процессе установления колебаний, т.е. при изменении амплитуды А, происходит изменение и величины . Следовательно, во время этого процесса мгновенная частота колебаний ω^/ , определяемая как

 

ω^/ =

также меняется.

 

§3.5.Метод малого параметра. Исследование МММА колебаний в автогенераторе на туннельном диоде.

 

Среди нелинейных дифференциальных уравнений в теории колебаний особую роль играет уравнение Ван-дер-Поля

(9)

Это уравнение описывает широкий спектр колебаний в различного типа автогенераторах. Параметр ε изменяется в широких пределах от 10^-3 до 10⁴. Это уравнение описывает процесс развития и установления колебаний, как в автогенераторах гармонических колебаний (ε - малая величина ~ 10^-2 ÷ 10^-3 ), так и в генераторах релаксационных колебаний (ε - большая величина ~ 10² ÷ 10⁴). В автогенераторе R₂ можно положить равным 0.

 

Рабочую точку на ВАХ туннельного диода для автогенераторов выбирают на середине отрицательного участка ВАХ туннельного диода. Т.к. R₂ = 0, то нагрузочная линия пройдет перпендикулярно к оси абсцисс.

Аппроксимируем ВАХ полиномом третьей степени φ(V)= - k₁V + k₂ V³ (укороченным полиномом).

k₁ = | G_д | - туннельного диода.

Методы применяются и для анализа вынужденных колебаний и для анализа процессов установления автоколебаний.

Основная идея, метода малого параметра, заключается в следующем - пусть дифференциальное уравнение (или система уравнений), описывающие поведение колебаний в цепи удается представить в таком виде, что его правую часть входит малый параметр ε. Например,

(1)

Если решение при известно и равно, например, S₀(t), тогда при решение S(t) ищется в виде ряда по степеням малого параметра

(2)

Максимальная величина степени ε в решении определяет степень приближения. Путем подстановки решения вида (2) в исходное уравнение (1) и выполнения ряда преобразований можно получить уравнение для определения поправок приближений S_ν(t). Обычно 1^е приближение находится легко, 2^е находится значительно труднее 1^го, 3^е еще труднее и т.д. Однако, часто удовлетворительным оказывается уже 1^е или 2^е приближение.

Быстро и правильно выбрать порождающее решение S₀(t) и определить, что следует использовать в качестве малого параметра ε, удается только для уравнений 2го порядка.

Существуют различные разновидности методов малого параметра. Наиболее строгим является асимптотический метод Крылова-Боголюбова.

Рассмотрим подробно один из методов малого параметра – метод медленно меняющегося амплитуд анализируя с его помощью установление колебаний в автогенераторе на туннельном диоде.

В методе медленного меняющегося амплитуд предполагается, что кроме условия малости параметра ε <<1, выполняется условие малости относительного изменения амплитуды А за период Т, т. е. .

Схема автогенератора на туннельном диоде представлена уравнение, описывающее колебание в цепи можно составить используя

1 закон Кирхгофа (МУН) после дифференцирования получим . Полное напряжение Un содержит постоянную составляющую Е₀ и переменную U, (U_n=E₀+U).

Для переменной составляющей дифференциальное уравнение принимает вид

Используя для аппроксимацию полиномом 3й степени, разложения в ряд Тейлора функции .

Окончательно получим уравнение вида

называемое уравнением Ван-дер-Поля

Уравнение Ван-дер-Поля описывает колебательные процессы в большом классе разнообразных нелинейных цепей. Параметр может принимать значение от долей д сотен если <<1, то уравнение Ван-дер-Поля описывает колебательный процесс близкий к гармоническому, если >>1 – то оно описывает релаксационный колебательный процесс.

Пусть в нашем случае

Пусть .

Имеем решение в виде , (при , имеем , поэтому при малых решение должно незначительно отличаться от . Найдем производные и подставим результат в Ур-е Ван-дер-Поля.

Подставляя имеем

Если разделить уравнение на А. и так как sin=0 получим

или . Для установившихся, т.е для смежнопарных колебаний . Следовательно 4А²=А⁴, откуда А=2

Таким образом . Учитывая получаем этот рядок был получен при использовании метода гармонической линеаризации.

Возвращаясь к уравнению описывающему амплитуды колебаний в автогенераторе . Заменим , тогда откуда

Разделяем переменные и интегрируем ,

а) замечаем, что по мере увеличения , (это было найдено ранее, и является признаком правильности)

б) при малых, а также при малой амплитуде А₀<<1, имеем ,

Получен знакомый по методу линеаризации результат – экспоненциальное нарастание амплитуды пока колебания малы. Т.е. метод медленно меняющихся амплитуд объединил результаты методов линеаризации и метода гармонической линеаризации и позволил кроме того определить характер установления колебаний.

§3.6.Метод фазовой плоскости.

Метод фазовой плоскости – графический метод, позволяющий качественно исследовать колебания в цепях, описываемые дифференциальными уравнениями 2^го порядка. Существует несколько вариантов методов фазовой плоскости, применяемые в зависимости от постановки задачи. Обобщением методом фазовой плоскости для случаев, когда колебания описываются уравнениями более высокого порядка (n › 2) является методом фазового пространства (n – мерного). Термин «фаза» в названии метода имеет смысл ″состояние″. Если дифференциальное уравнение имеет порядок n, тогда для определения конкретного решения кроме общего вида решения необходимо также располагать n начальными условиями, например f(t₀), f⁽¹⁾(t₀), f⁽²⁾(t₀), … f⁽ⁿ⁾(t₀). Эти величины можно рассматривать в качестве n – координат фазового пространства. Начальные значения координат, т.е. условия для t = t₀ определяют в фазовом пространстве точку. При изменении t от t₀ значения всех величин – координат изменяются, т.е. во времени изменяется положение точки, описывающей состояние колебательного процесса (в соответствии с общим решением дифференциального уравнения).

Метод фазовой плоскости (пространства) применяется для качественного анализа процессов установления колебаний в автогенераторе, а также для анализа вынужденных колебаний в нелинейных цепях.

В тех случаях, когда неприменимы ни один из рассмотренных методов, а также другие количественные методы, единственным, позволяющим провести качественный анализ, является метод фазовой плоскости (пространства).

Основные определения:фазовой плоскостью называется координатная плоскость, на которой откладывается, по оси абсцисс – мгновенные значения самой функции, описывающей колебания, а по оси ординат – мгновенные значения производной той же функции (например, q(t) и i(t) = или i(t) и и т.д.).

Поскольку в реальных цепях не существует колебаний, достигающих бесконечно больших величин, все возможные состояния колебаний на фазовой плоскости располагаются в обозримой области при любых значениях t от t₀ до .

Изображающей точкой М(х,у) называется точка фазовой плоскости, координаты которой определяют состояние колебательного процесса, мгновенные значения s(t) и .

Фазовой траекторией – называется путь движения изображающей точки по фазовой плоскости. Фазовая плоскость, заполненная фазовыми траекториями, определяющими поведение системы при любых начальных условиях, называется – фазовым портретом. Скорость перемещения изображающей точки по фазовой траектории – называется фазовой скоростью. В любой точке фазовой плоскости – эта скорость направлена по касательной к фазовой траектории, а величина её выражается через скорость изменения координат

v_x = vv_ф = .

Обычной точкой фазовой плоскости – называется точка, через которую проходит одна фазовая траектория. Простой особой точкой – называется точка, через которую проходит несколько траекторий, либо не проходит ни одна. Этим точкам соответствуют равновесные состояния цепей (систем). В этих точках и одновременно. Количество особых точек, их расположение на фазовой плоскости и характер фазовых траекторий в их окрестностях определяют характер колебательных процессов.

Кроме особых точек существенными для определения характера процесса, являются особые линии фазовой плоскости – предельные циклы и сепаратриссы.

Предельным циклом называется замкнутая фазовая траектория к которой в пределе при t → ± ∞ стремится некоторое множество фазовых траекторий.

Сепаратриссы – линии, разделяющие фазовую плоскость на области притяжения к особым точкам.

Исследование колебаний в цепи методом фазовой плоскости сводится к построению фазовой траектории, соответствующей определенным начальным условиям. По фазовой траектории можно определить вид функции (график) описывающей колебательный процесс. Рассмотрим метод фазовой плоскости применительно к анализу колебаний в автогенераторе, описываемых уравнением

. (1)

Преобразуем это уравнение заменой в систему уравнений

, (2)

и иключая время t, получим ; (3)

перейдем к уравнению, которое можно анализировать методом фазовой плоскости.

В самом общем виде нелинейные колебания определяются двумя уравнениями 1^го порядка

, (4)

Причем, описание нелинейных колебаний в виде системы уравнений (4) более обще, чем с помощью одного уравнения (1).

 

1.Метод изоклин.

 

Поскольку последнее уравнение, так же как и предыдущее не удается решить аналитически, прибегают к построению фазовых траекторий методом изоклин. Для этого полагают, что , и задавая различные значения одной из величин x или y можно рассчитать и построить на фазовой плоскости график функции , называемой изоклиной, т.к. она определяет линии проходящие через интегральные кривые в точках с одинаковым углом наклона = tg α .

Изменяя значения соnst (от - ∞ до + ∞ ) можно построить поле изоклин, а после этого построить фазовый портрет. Например, для уравнения Ван-дер-Поля

Рис. 1. поле изоклин и фазовые портреты имеют вид.

 

2.Особые точки.

Заполнение фазовой плоскости полем направлений – трудоемкий процесс. Поэтому, часто для определения характера фазовых траекторий, используют метод, основанный на построении особых точек и особых линий. Общее количество особых точек невелико, характер фазовых траекторий вблизи них хорошо изучен. Если еще удается построить предельные циклы и сепаратриссы, что является очень трудоемкой задачей, то вид фазовых траекторий на плоскости удается установить без построения изоклин. ″До сих пор не существует достаточно общих теоретических методов для решения вопроса о существовании предельных циклов и определения места их расположения, за исключением случая систем, близких к линейным (ε « 1)″. (Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. «Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний»).

Для определения координат особых точек вспомним определение, что через эту точку проходит либо много фазовых траекторий, либо ни одной. Это значит, что в этой точке не определена фазовая скорость v_ф = , а это возможно если одновременно равняется нулю и . Тогда для определения координат особых точек на фазовой плоскости необходимо решить систему уравнений:

для случая, когда колебания задаются одним уравнением 2^го порядка (1) и

для случая, когда колебания задаются системой уравнений (4).

Если рассматривать малые области отклонения колебаний вокруг особых точек, то уравнения описывающие колебания, можно линеаризовать, и по полученному виду определить характер особой точки. После линеаризации дифференциальное уравнение (1) принимает вид

. (5)

Т.к. это уравнение линейное, то для его анализа можно применять любой из методов теории линейных цепей, например, операторный метод. Тогда характеристическое уравнение для уравнения (5) имеет вид: p² + a₁ p + a₂ = 0. Корни характеристического уравнения (5) равняются: p_1,2 = – - могут принимать различные значения в зависимости от знаков и величин коэффициентов а₁ и а₂ .

1). а₁ = 0; а₂ › 0.

 

Тогда p_1,2 = ± j ω; ( где ω = ), а колебания переменных имеют вид

.

Тогда исключая из уравнений явно содержащееся время t, получим уравнение относительно переменных y(x): , которое описывает в качестве фазовых траекторий вложенные в друг друга эллипсы (замкнутые траектории, т.е периодические колебания).

 

 

Особая точка типа центр

 

 

Рис.2.

 

 

2).а₁ › 0; а₂ › 0; а₂ › ()² . Корни характеристического полинома для этого случая равны:

p_1,2 = . В этом случае решение для переменных представляет собой экспоненциально затухающие гармонические колебания:

, тогда для случая ω » δ,

, вводя полярные координаты и вводя обозначение получаем уравнение траекторий колебаний на фазовой плоскости в полярных координатах ρ = ω А , т.е. накручивающуюся на особую точку спираль.

 

Особая точка – устойчивый фокус.

 

 

Рис. 3.

3). а_{1 <} 0; а₂ > 0; а₂ > ()². Корни характеристического полинома для этого случая равны:

p_1,2 = . В этом случае решение для переменных представляет собой экспоненциально нарастающие гармонические колебания:

, тогда для случая ω » δ,

, вводя полярные координаты и вводя обозначение получаем уравнение траекторий колебаний на фазовой плоскости в полярных координатах ρ = ω А , т.е. раскручивающуюся от особой точки спираль.

Особая точка – не устойчивый фокус.

 

Рис.4.

 

4). а₁< 0; а₂ > 0; а₂ > ()² . Корни характеристического полинома для этого случая равны:

p₁ = - δ₁ и p₂ = - δ₂ . В этом случае решение для переменных представляет собой экспоненциально убывающие апериодические колебания

1).

Особая точка – устойчивый узел.

 

2).

 

 

Рис.6. Рис.5.

 

5). а₁ > 0; а₂ > 0; а₂ < ()² . Корни характеристического полинома для этого случая равны:

p₁ = + δ₁ и p₂ = + δ₂ . В этом случае решение для переменных представляет собой экспоненциально нарастающие апериодические колебания:

 

 

y(t)

2). 1 2

2

Особая точка – не устойчивый узел

 

 

x(t)

1).

 

Рис.8. Рис.7.

 

6). а₂ < 0, тогда p₁ = + δ₁ и p₂ = - δ₂ .

1

Особая точка – седло.

Прямые линии – называются сепаратриссами. Они

разделяют фазовую плоскость на области притяжения к двум устойчивым особым точкам 1 и 2.

2 Рис.9.

 

На плоскости значений коэффициентов а₁ и а₂, принадлежность особых точек, какому- то типу может быть представлена в виде следующего графика

 

Рис.10.

 

или таблицы:

а1   а2	а1 > 0	а1= 0	а1< 0
а2 < ()2	а2 > ()2	----	а2 < ()2	а2 > ()2
уст. узел	Уст. фокус	центр	не уст. узел	не уст. фокус
а2 < 0	седло

 

Проиллюстрируем один из вариантов метода фазовой плоскости на примере анализа цепи с туннельным диодом.

Система уравнений имеет вид

(для контура 1)

(для узла 1)

Подставляя второе уравнение в первое получим

Аппроксимируем φ(u) рядом

Пусть рабочая точка на характеристике выбрана на середине падающего участка, а U₀ –постоянная составляющая, соответствующая выбранной рабочей точке. Обозначим -переменную составляющую.

Тогда . Учитывая, что и обозначая запишем уравнение цепи в виде

Введем безразмерное время τ: и приведём уравнение к виду

Перейдём к уравнениям, позволяющим определить координаты особых точек. Обозначим

, тогда из последнего уравнения получаем:

Делим второе уравнение на первое и тогда получим уравнение вида

которое описывает все интегральные кривые на фазовой плоскости величин и y.

Особые точки на фазовой плоскости удовлетворяют уравнениям

(т.е все особые точки в рассматриваемом случае располагаются на оси абсцисс )

,

откуда с учётом того, что y=0, получаем

или

Т.е. одна особая точка располагает в начале системы координат y₁=0; =0. Для определения координат остальных особых точек следует решить уравнение вида

Пусть, например ,

тогда - (знакомый по предыдущим параграфам вид аппроксимирующего полинома)

Следовательно, уравнение для координат особых точек примет вид

Откуда находим, что , причём для существования этих особых точек необходимо, чтобы >0.

 

Фазовые портреты для случая <0 и >0

 

Таким образам на фазовой плоскости имеются три особые точки. Первая с координатами существует при любых параметрах цепи, вторая и третья с координатами и существуют при условии, что >0, т.е. R₂ > R_1диф.

 

На следующем этапе необходимо определить типы найденных особых точек.

Пренебрегая слагаемыми 2^ого порядка малости в окрестности первой особой точки (в окрестности 0) запишем уравнение ( ) в виде

Если эта особая точка единственная, т.е. <0, тогда >0 и точка является: либо центром , либо устойчивым фокусом или узлом (>), либо неустойчивым фокусом или узлом(<). В последнем случае для неустойчивой особой точки на фазовой плоскости обязан существовать предельный цикл, поскольку вследствие конечности энергии источника амплитуда колебаний не может достигать бесконечно больших значений.

 

Фазовый портрет для этого случая представлен на рисунке. Именно этот случай рассматривался в предыдущих трёх параграфах. Причём раскачке колебаний соответствует область вблизи 0, установившимся колебаниям соответствует предельный цикл, который будет устойчивым.

Возвращаясь к исходному уравнению

Рассмотрим интегральных кривых в окрестностях и особых точек

;

Положим и получим

Учитывая, что получаем

 

Замечаем ,что по условию существования корней

Следовательно первая особая точка обязательно седло, вторая и точки третья особые точки обязательно не седла. При это устойчивый фокус или узел. Сепаратрисса, порожденная седлом, разделяет фазовую плоскость на 2 области притяжения к устойчивым особым точкам 2 и 3.

В этих точках дифференциальное сопротивление отрицательно и следовательно может быть < 0.

 

 

Сравним полученные результаты с результатами полученными ранее:

а) В методе линеаризации мы получили, что рабочая точка по постоянному току устойчива когда . Замечая ,что , обнаруживаем совпадение критериев устойчивости. Причем метод фазовой плоскости указывает, что произойдет в цепи при выполнение условия

б) В методе линеаризации было получено условие устойчивости колебаний в окрестности устойчивой рабочей точки >. В методе фазовой плоскости с учётом , условие устойчивости >, совпадает с >.

в) Методом гармонической линеаризации были рассмотрены стационарные колебания (для случая ). На фазовой плоскости этим колебаниям соответствует предельный цикл.

 

 

г) Метод медленно меняющихся амплитуд позволил получить решение, включавшее в себя результаты как МЛ так и МГЛ внутри цикла.