Отображения в пространстве R(p1,p2)

А 1 - аффинная прямая. Отнесем прямую А 1 к подвижному реперу r = {a, ` e}, где а и ` e соответственно точка и вектор.Деривационные формулы репера r имеют вид: d a= q ` e , d ` e= W ` e (1), причем формы Пфаффа q и W подчиняются уравнениям структуры 1-мерного аффинного пространства : D q = q Ù W , DW=W Ù W=0. Пусть e* - относительная длина вектора e* = ` e + d ` e + 1/2d 2 ` e + 1/6d 3 ` e + по отношению к вектору ` е. Тогда ` e* =e* ` e. Из (1) получаем :e* =1+W+ Таким образом, форма Пфаффа W является дифференциалом относительной длины вектора ` e* , близкого к ` e , по отношению к ` e. Пусть R(p 1 ,p 2 ) – пространство всех пар (p 1 ,p 2 ) точек p 1 ,p 2 прямой А 1. Поместим начало а репера r в середину Q отрезка р 1 р 2 , а конец вектора ` е – в точку р 1 ; при этом р 2 совместится с концом вектора - ` е. Условия стационарности точек р 1 и р 2 в таком репере имеют соответственно вид: W+ q =0, -W+ q =0. Таким образом , в репере r структурными формами пространства R(р 1 ,р 2 ) являются формы Пфаффа : W+ q , -W+ q . Очевидно, что dim R(p 1 ,p 2 ) =2. Заметим ,что в репере r форма 2 W является дифференциалом относительной длины отрезка р 1 *р 2 * , близкого к р 1 р 2 ,по отношению к р 1 р 2 . § 2. Отображение f. А 2 – аффинная плоскость , отнесенная к подвижному реперу R ={ p, ` e j }. Деривационные формулы репера R и уравнения структуры плоскости А 2 имеют соответственно вид : dp = W j e j ; d ` e j = W j k ; DW j = W k ^ W k j ; DW j = W j y ^ W y k . Рассмотрим локальное дифференцируемое отображение f плоскости А 2 в пространстве R(p 1 ,p 2 ):f:A 2 ® R(p 1 ,p 2 ). Будем считать , что в каждой точке области определения отображения f выполняется : rang f =2 (1) Поместим начало Р репера R в точку f -1 (p 1 ,p 2 ) . Тогда дифференциальные уравнения отображения f запишутся в виде : Q + W= l j W j ; Q-W= m j W j (2) Из (1) вытекает , что существует локальное дифференцируемое отображение f -1 : R(p 1 ,p 2 ) ® A 2 обратное к f .В указанных реперах дифференциальные уравнения отображения f -1 имеют вид : W j = l j (Q+W)+ m j (Q-W) (3) Из (2) и (3) получаем : l k l j + m k m j = d j k l j l j =1 m j m j =1 (*) l j m j =0 m j l j =0 Указанную пару { r;R } реперов пространств А 1 и А 2 будем называть репером нулевого порядка отображения f . §3.Фундаментальные геометрические объекты отображения f. Осуществим продолжение системы (2) дифференциального уравнений отображения f. D(λ j W j -W-Q)=0 , получаем : dλ j =λ k W j k +14(λ j μ k -λ k μ j )W k +λ jk W k D(μ j W j +W-Q)=0 получаем : dμ j =μ k W j k +14(λ j μ k -λ k μ j )W k +μ jk W k Итак, продолженная система дифференциальных уравнений отображения f имеет вид: Q+W=λ j W j Q-W=μ j W j dλ j =λ k W j k +14(λ j μ k -λ k μ j )W k +λ jk W k dμ j =μ k W j k +14(λ j μ k -λ k μ j )W k +μ jk W j Из этих уравнений вытекает, что система величин Г 1 = {λ j ,μ j } является геометрическим объектом.

Он называется фундаментальным геометрическим объектом первого порядка отображения f. Осуществим второе продолжение системы (2) : dλ k ^W j k +λ k dW j k +14(λjμ k -λ k μ j )^W k +14(λ j μ k -λ k μ j )dW k +dλ jk ^W k +λ jk dW k =0 . получим: (dλ jt -λ kt W j k -λ jk W t k +14(λ k μ jt -μ k λ jk )W k +116λ t μ k (λ j -μ j )W k )^W t =0 dμ k ^W j k +μ k dW j k +14d(λ j μ k -λ k μ j )^W k +14(λ j μ k -λ k μ j )dW k +dμ jk ^W k +μ jk dW k =0 получим: (dμ jt -μ kt W j k -μ jt W t k +14(λ k μ jt -μ k λ jt )W k +116λ t μ k (λ j -μ j )W k )^W t =0 обозначим: λ j =dλ j -λ t W j t μ j =dμ j -μ t W j t λ jk =dλ jk -λ tk W k t -λ jt W k t μ jk =dμ tk W j t -μ jt W k t Тогда дважды продолженная система дифференциальных уравнений отображения f примет вид: Q+W=λ j W j Q-W=μ j W j dλ j =λ k W j k +14(λ j μ k -λ k μ j )W k +λ jk W k dμ j =μ k W j k +14(λ j μ k -λ k μ j )W k +μ jk W k (4) λ jk =(14(μ α λ jk -λ α μ jk )+116λ k μ α (μ j -λ j )+λ jkα )W α μ jk =(14(μ α λ jk -λ α μ jk )+116λ k μ α (μ j -λ j )+& #956; jkα )W α Из уравнений (4) вытекает, что система величин Г 2 = {λ j ,μ j ,λ jk ,μ jk } образует геометрический объект.

Он называется фундаментальным геометрическим объектом второго порядка отображения f. Дальнейшее продолжение системы (2) приведет к фундаментальному геометрическому объекту Г Р порядка р : Г Р = {λ j ,μ j ,λ j1j2 ,μ j1j2 λ j1j2 jp ,μ j1j2 jp }. § 4. Векторы и ковекторы первого порядка.

Из системы дифференциальных уравнений (5) вытекает, что система величин {λ j },{μ j } образует подобъекты геометрического объекта Г 1 . Будем называть их основными ковекторами 1-го порядка.

Основные ковекторы определяют для каждой точки P две инвариантные прямые: λ j X j =1 ; μ j X j =1 (6) не инцидентные точке Р . Из условия rang f=2 и уравнения (2) вытекает, что прямые (6) не параллельны.

Условия (*) показывают, что величины {λ j ,μ j } являются компонентами матрицы ,обратной к матрице, составленной из координат основных ковекторов.

Таким образом , величины {λ j ,μ j } охватываются объектом Г 1 . Из (*) получаем: dλ j =-λ k W k j -14(λ j +μ j )μ t W t -λ kt λ k λ t W t -μ kt W t ^λ k μ j dμ j =-μ k W k j -λ kt μ k λ j W t -μ kt μ k μ j W t +14λ t (λ j +μ j )W t Таким образом , система величин и образуют геометрические объекты, охваченные объектом Г 1 . Будем называть их основными векторами 1-го порядка.

Предположение 1.Конец вектора v 1 =λ j e j (вектора v 2 =μ j e j ) лежит на прямой (6) . Доказательство вытекает из формул (*),(2) . Прямые, параллельные прямым (6) , инцидентные точке Р , определяются соответственно уравнениями: λ j X j =0 , μ j X j = 0 (7). Предположение 2. Основные векторы {λ j } и {μ j } параллельны прямым (6) соответственно.

Доказательство вытекает из формул (*) и (7) . Взаимное расположение рассмотренных векторов и прямых представлено на рисунке: λ j X j =1 V 2 V 1 μ j X j =1 Система величин ρ j =λ j -μ j образует ковектор: dρ j =ρ k W j k +(μ jk -λ jk )W k . Определяемая им прямая ρ j X j =0 (8) проходит через точку Р и точку пересечения прямых (6) . Пусть W -однородное подмногообразие в R(p 1 ,p 2 ) содержащее элементы (р 1 ,р 2 ) определяемое условием: (р 1 * ,р 2 * )∈W& #8596;p 1 * p 2 * =p 1 p 2 . Теорема 1.Прямая (8) является касательной в точке Р к прообразу f -1 (W) многообразия W при отображении f . Доказательство: ] (p 1 * ,p 2 * )∈W и p 1 * =p 1 +dp 1 +12d 2 p 1 + , p 2 * =p 2 +dp 2 +12d 2 p 2 + . Тогда в репере Г: p 1 * p 2 * =e p 1 p 2 , где e=1+2W+ является относительной длиной отрезка р 1 * р 2 * по отношению к р 1 р 2 . Таким образом, (р 1 * р 1 * )∈W↔W=0 . Из (2) получим: W=ρ 1 W j Следовательно, (р 1 * р 2 * )∈W равносильно ρ j W j =0 (9) Из (8) и (9) вытекает доказательство утверждения.

При фиксации элемента (р 1 ,р 2 )∈R(p 1 p 2 ) определяется функция h : (p 1 * p 2 * )∈h(p 1 p 2 )→e∈R , так, что р 1 * р 2 * =е р 1 р 2 В дальнейшем эту функцию будем называть относительной длиной. Т.о линия f -1 (W) является линией уровня функции h . Заметим, что (9) является дифференциальным уравнением линии f -1 (W) . ]W 1 ,W 2 - одномерные многообразия в R(p 1 p 2 ) , содержащие элемент (р 1 р 2 ) и определяемые соответственно уравнениями: (p 1 * ,p 2 * )єW 1 ↔p 2 * =p 2 . (p 1 * ,p 2 * )єW 2 ↔p 1 * =p 1 . Следующая теорема доказывается аналогично теореме 1. Теорема 2. Прямая (7) является касательной в точке P к прообразу многообразия W 2 (многообразия W 1 ) при отображении f . Дифференциальные уравнения линии f -1 (W 1 ) и f -1 (W 2 ) имеют соответственно вид: λ j W j =0 μ j W j =0 . Пусть W 0 - одномерное подмногообразие в R(p 1 p 2 ) , содержащее (р 1 р 2 ) и определяемое условием: (p 1 * p 2 * )єW 0 ↔Q*=Q ,где Q* – середина отрезка р 1 * р 2 * . Следующее утверждение доказывается аналогично теореме 1. Предложение 3. Прямая (λ j +μ j )X -j =0 (10) является касательной в точке Р к прообразу f -1 (W 0 ) многообразия W 0 при отображении f . Дифференциальное уравнение линии f -1 (W 0 ) имеет вид: (λ j +μ j )W j =0 . Теорема 3.Прямые, касательные в точке Р к многообразиям f -1 (W 1 ), f -1 (W 2 ) , f -1 (W), f -1 (W 0 ) составляют гармоническую четверку.

Доказательство вытекает из (7),(8),(10). §5. Точечные отображения, индуцируемые отображением f. Рассмотрим отображения: П 1 : (р 1 ,р 2 )&#8714;R(p 1 ,p 2 )&#8594;p 1 &#8714;A 1 (5.1) П 2 : (р 1 ,р 2 )&#8714;R(p 1 ,p 2 )&#8594;p 2 &#8714;A 1 (5.2) Отображение f: A 2 &#8594;R(p 1 ,p 2 ) порождает точечные отображения: &#966; 1 =П 1 &#8728;f: A 2 &#8594;A 1 (5.3) &#966; 2 =П 2 &#8728;f: A 2 &#8594;A 1 (5.4) В репере нулевого порядка дифференциальные уравнения отображений &#966; 1 и &#966; 2 меют соответственно вид (2.5 а) и (2.5 б) . Подобъекты Г 1,2 ={ &#955; j ,&#955; jk } и Г 2,2 = {&#956; j ,&#956; jk } объекта Г 2 являются фундаментальными объектами второго порядка отображений &#966; 1 и &#966; 2 . В работе <4> доказано, что разложение в ряд Тейлора отображений имеет соответственно вид:.