VIVOS VOCO: В.И. Арнольд, "АНТИНАУЧНАЯ РЕВОЛЮЦИЯ И МАТЕМАТИКА"

ВЕСТНИК РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК том 69, № 6, с. 553-558, 1999 г.

От редакции "Вестника":

Изменение представлений о природе на закате тысячелетия - это тема сессии Папской академии наук, проходившей в октябре 1998 г. в Ватикане. На ней обсуждались и такие вопросы: нужно ли учить детей складывать дроби? сменится ли век расцвета науки веком невежества и обскурантизма? не пора ли реабилитировать Джордано Бруно? является ли дискриминация российских ученых политически корректной? Ниже публикуется статья, в основу которой положен доклад, прочитанный на этой сессии президентом Московского математического общества и вице-президентом Международного математического союза академиком В.И. Арнольдом, а также его ответы на вопросы анкеты Европейского математического общества об изменениях в науке стран Восточной Европы за последние 10 лет.

© В.И. Арнольд АНТИНАУЧНАЯ РЕВОЛЮЦИЯ И МАТЕМАТИКА В.И. Арнольд Арнольд Владимир Игоревич - академик, главный научный сотрудник Математического института им. В.А. Стеклова РАН

 

Начну с примера математической теории, которую легко объяснить нематематикам; затем обсужу причины отвращения, испытываемого обществом по отношению к математике, а закончу несколькими замечаниями о специфических проблемах российской математики.

МАТЕМАТИКА И ПЕРЕДЕЛ МИРА

Неравномерное распределение первых цифр наблюдается и во многих других случаях. Например, первые цифры численности населения стран мира… В последовательности первых цифр степеней двойки: 1,2,4,8,1,3,6,1,2,5,1,2,4..,

АНТИНАУЧНАЯ РЕВОЛЮЦИЯ

Лиз - студентка, изучающая историю искусств в Гарварде. На уроке французского языка ее спросили, была ли она во Франции - "Да", в Париже

РОССИЯ КАК ЗАПОВЕДНИК НАУКИ

Нынешняя позорная дискриминация российских (а равно индийских, китайских и т.д.) ученых западным научным сообществом наносит мировой науке очевидный… В столетней давности энциклопедическом словаре Брокгауза и Ефрона требование… Английское консульство в Париже недавно выдало мне список требований для получения визы, необходимой для поездки в…

Ответы академика В.И. Арнольда на вопросы анкеты Европейского математического общества об изменениях в Восточной Европе за последние 10 лет.

Ощущаете ли вы влияние изменений политической ситуации в вашей стране за последние 10 лет на науку и на математику?

Тот факт, что мы все еще имеем активно работающих математиков, отчасти объясняется традиционным для российской интеллигенции идеализмом (с точки… Интересно отметить, что независимая оценка профессионализма примерно 6 тыс.…

Как вы расцениваете роль "утечки умов" для развития математики: как естественное, прискорбное или положительное явление?

П.Л. Чебышев, проводивший много времени за границей, находился в дружеских личных отношениях с рядом иностранных математиков, но никогда не обсуждал… Значение российской математической школы для мировой математики всегда…

Каковы первоочередные проблемы при любой попытке поддержать математические традиции в вашей стране?

Какой может быть роль Европейского математического общества и других международных математических организаций в деле поддержания математической культуры в вашей стране?

Конечно, даже относительно скромная помощь библиотекам и фондам, предоставление стипендий и приглашения на полставки были бы чрезвычайно полезны.

Работая в Париже часть года, я могу приглашать ежегодно несколько человек на деньги своего личного гранта Университетского института Франции. Сделать это было бы гораздо труднее, если бы я воспользовался возможностями, предоставляемыми университетами или Национальным центром научных исследований Франции, и совершенно невозможно в рамках европейской системы (которую во французских газетах за это называли "нацистской"), сколько бы лет я ни платил французские налоги, поскольку я не рожден во Франции.

Международные математические организации должны были бы остановить позорную дискриминацию российских (а равно и других незападных - украинских, китайских, индийских и т.д.) ученых или должны были бы хотя бы протестовать против такой дискриминации. Думаю, что большинство моих западных коллег просто не в состоянии представить себе степень унижения, через которую мы должны пройти в их консульствах и полицейских учреждениях, чтобы побывать на их конференциях, школах и т.п.

Мне кажется, западная (французская?) идея прав человека - эта идея прав западного (французского?) человека. Обсуждение этнического происхождения кандидата в качестве мотива для голосования "за" или "против" него было (и, надеюсь, останется) невозможным в Российской академии наук: даже в самые мрачные годы наши антисемиты должны были придумывать "научные" доводы. Члены Французской академии наук возражали против избрания кандидата на том основании, что он "француз только по паспорту".

Участвуя во многих международных комитетах, отбирающих приглашенных докладчиков на конгрессы и конференции или профессоров и заведующих кафедрами в университетах, я привык, что мои западные коллеги постоянно пользуются ненаучными аргументами для исключения из конкурса российских кандидатов (мотивируя это тем, что иначе русским досталось бы слишком много мест).

На Международном математическом конгрессе в Киото в 1990 г. было четыре российских приглашенных докладчика, в Цюрихе в 1994 г. - три. В 1998 г. в Берлине не было ни одного пленарного доклада, сделанного российским математиком (в этих подсчетах я не обращаю внимание на сегодняшнее место работы математика, считая, скажем, Ю.И. Манина и М.Л. Концевича россиянами). Не думаю, чтобы научный вес нашей математической школы мог упасть так быстро. Я объясняю результат дискриминацией того же рода, что я наблюдал в различных комитетах, в которых состою.

Недавно я направил в "Заметки Американского математического общества" письмо "Является ли дискриминация российских математиков политически корректной?". Редакция удалила опасное заглавие вместе с моей теорией, объясняющей дискриминацию первооткрывателей, воспроизведенной ниже:

"...имеется социологическая причина, по которой американское общество всегда поддерживает, скорее, рекламно-деловую активность, чем изобретения: обществу нужнее способствовать быстрому распространению идей, чем их созданию. Типична здесь история создания телефона (скорее всего, неизвестная читателю). Верховный суд США признал, что Белл использовал изобретение А. Меуччи, но только тогда, когда его приоритет уже не мог более иметь для изобретателя какого-либо практического значения".

Исключение дискриминации "незападных" ученых на правительственном уровне, вероятно, выходит за рамки возможностей математического сообщества. Однако стараться сделать националистические аргументы морально неприемлемыми во всех процедурах отбора математиков кажется мне разумной задачей.

P.S. Последние годы я замечаю некоторые признаки улучшения. Во время моей первой семестровой поездки во Францию я тратил больше времени на стояние в очередях в префектуре полиции, чем на чтение всех трех моих курсов лекций в Университете Париж-Дофин и в Высшей нормальной школе. Последний год я уже избавлен от необходимости испрашивать разрешение префектуры на каждое пересечение французской границы. Более того, я могу теперь свободно передвигаться почти что в пределах всего Третьего рейха.

Академик Владимир Игоревич Арнольд НУЖНА ЛИ В ШКОЛЕ МАТЕМАТИКА? Тезисы выступления на Всероссийском совещании "Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков" Дубна, сентябрь 2000 г. См. также интервью "Парламентской газете" (18.10.2000) "Россия станет Америкой, если забросит математику"

Французского школьника спросили: "Сколько будет 2+3?" Он ответил: "3+2, так как сложение коммутативно" (а сосчитать, что это 5, не мог). Основываясь на этом примере, министр науки и образования Франции хотел изгнать из школы математику.

Вот типичный пример задачи, с которой французские школьники легко справляются:

"Доказать, что все поезда RER на планете Марс красно-синего цвета".

Вот образец решения:

Обозначим через X_n(Y) множество всех поездов системы Y на планете номер n (считая от Солнца, если речь идет о солнечной системе). Согласно таблице, опубликованной CNRS там-то и тогда-то, планета Марс имеет в Солнечной системе номер 4. Множество X₄(RER) пусто. Согласно теореме 999-в из курса анализа все элементы пустого множества обладают всеми наперёд заданными свойствами. Следовательно, все поезда RER на планете Марс красно-синего цвета.

Обучение математике, как своеобразной юридической казуистике, основанной на произвольно выбранных законах, начинается с самого раннего возраста: французских школьников учат, что любое вещественное число больше самого себя, что 0 - натуральное число, что всё общее и абстрактное важнее частного, конкретного. Студент четвертого курса одного из лучших парижских университетов спросил меня на письменном экзамене по теории динамических систем: "4/7 больше или меньше единицы?"

Вопрос об асимптотике решения дифференциального уравнения, который он решал, сводился к исследованию сходимости интеграла, зависящей от показателя в асимптотической формуле для подынтегральной функции. В результате сложных рассуждений и вычислений студент правильно вычислил нужный показатель. Но вот простым дробям его учил не я, и здесь он оказался беспомощным (пользоваться компьютером запрещалось). Разрезание яблока или пирога при обучении дробям заменили кольцом Гротендика.

Спрашивать студентов-математиков парижской Эколь Нормаль, готовящей лучших французских учёных, как выглядит поверхность, заданная уравнением xy=z²(или плоская кривая, заданная параметрически формуламиx=t³-3t, y=t⁴-2t²) - безнадёжно. Лет сто или двести назад этому учили, но теперь подобные вопросы вызывали такое же затруднение, как сложение дробей или однозначных чисел. А учебники, где этому учили, выбросили из студенческой библиотеки на свалку (видимо, в процессе американизации обучения).

Вместо простых и фундаментальных основ науки, французских студентов быстро специализируют, так что они становятся экспертами в какой-то узкой области своей науки, не зная ничего другого.

Уже Леонардо да Винчи отмечал, что любой тупица, занявшись исключительно одной узкой темой, поупражнявшись достаточно долго, достигнет в ней успеха. Он писал это в инструкции для художников, но сам занимался многими разными областями науки. Соседние разделы его записок содержали подробнейшие инструкции для подводных диверсантов (включающие как использование в подводных работах огня, так и рекомендации отравляющих веществ).

Немного позже (в 1588 году) Монтень описал два основных принципа французской науки. Во-первых, надо писать так, чтобы никто не мог понять ни слова (иначе скажут, что всё было известно раньше, и автор ничего не сделал). Во-вторых, вся терминология должна быть совершенно оригинальной, а ссылок на предшественников вообще не должно быть (особенно на предшественников-иностранцев).

Недавно министерство образования, науки и технологии Франции пригласило меня поучаствовать в работе их комиссии по "защите наследства французской науки от иностранцев".

Указанные Монтенем принципы вскоре после него детализировал Декарт, заложивший картезианские основы всей последующей науки Франции и систему образования.

Вот его основные идеи:

1. Не имеет никакого значения экспериментальная проверка первооснов науки - это просто произвольные утверждения, принимаемые без доказательства (аксиомы), верны они или нет - неважно.

2. Столь же малосущественно соответствие какой-либо реальности окончательных выводов теории - важно лишь дедуктивно-логически, без ошибок, выводить их из исходных аксиом, это и есть наука. Она подобна умножению многозначных чисел.

3. Чтобы превратить математику в науку, надо изгнать из геометрии чертежи - следы экспериментов, ненужных согласно первым двум принципам. Не надо размышлять над вещами, упражняющими воображение.

4. Основное преимущество нового метода в том, что, следуя этому методу дедукции, самые посредственные умы найдут те же истины, что и самые тонкие.

Например, Декарт "обнаружил", что скорость света в воде на 30% больше, чем в воздухе (в противоречии с принципом Ферма и с теорией огибающих волн Гюйгенса). Но на предшественников можно было не ссылаться.

Когда Паскаль сообщил Декарту о своих работах по гидростатике и о барометрических измерениях, основанных на экспериментах с торричеллиевой пустотой, Декарт презрительно выгнал молодого экспериментатора за незнание аксиомы Аристотеля ("природа не терпит пустоты") и за нарушение двух своих первых (антиэкспериментальных) принципов. Он написал по этому поводу президенту Академии наук Гюйгенсу: "лично я нигде в природе пустоты не вижу, разве в голове у Паскаля." Через полгода теория Паскаля стала общепринятой, и Декарт уже говорил, что Паскаль приходил к нему рассказывать её, но сам ничего тогда не понимал; а теперь, когда он, Декарт, всё ему объяснил, Паскаль рассказывает как свою, его, Декартову, теорию.

Интересно, что отношение Леонардо да Винчи к эксперименту было совсем иным: в своих гидродинамических исследованиях (где уже анализируется даже турбулентность) он настаивает на необходимости в этой области руководствоваться прежде всего экспериментами, а только потом рассуждениями. Вслед за чем он обсуждает законы подобия и автомодельности.

Точки зрения современных математиков на природу своей науки отражены в недавно вышедшей книге, изданной Международным математическим союзом в 2000 году "Математика: границы и перспективы". Один из самых знаменитых математиков объясняет там: математика - это раздел филологии, основанный на своеобразной грамматике (в которой, например 1+1=2, что составляет теорему 110.643 в "Принципах математики" Рассела и Уайтхеда - неудивительно, что французские школьники так далеко не забираются в дебри математики).

Далее, автор утверждает, что профессия математика позволяет выдавать за новые открытия результаты тождественных преобразований исходных аксиом, в которых все эти "открытия" уже заключались.

Окончательный же его вывод таков: математика - чрезвычайно полезная наука, ибо она даёт наибольший вклад в решение общей проблемы всех наук: эта проблема состоит вовсе не в том, чтобы способствовать так называемому "прогрессу" постиндустриального человечества, а в том, чтобы всемерно этому прогрессу препятствовать. Если бы умники занимались усовершенствованием самолётов и автомобилей, то они принесли бы условиям жизни человечества куда больше вреда, чем теперь, когда они доказывают теорему Ферма и отвлечены математикой от действительно опасных занятий.

Там можно прочесть и другие высказывания: например, один из крупнейших математиков Франции двадцатого века заявляет, что математика не имеет к физике никакого отношения. В то же время Гильберт ещё в 1930 году утверждал, что геометрия - часть физики. Друзья объяснили мне, что противоречие в высказываниях этих двух великих математиков - лишь кажущееся: всё объясняется тем, что для французского математика геометрия в математику не включается (здесь она и изгнана, в соответствии с идеями Декарта, из школьного образования).

Впрочем, и в американский школьный тест десятилетиями входила задача: найти площадь прямоугольного треугольника с гипотенузой 10 дюймов и опущенной на неё высотой длиной 6 дюймов. Да минет нас чаша сия.

Вот ещё несколько цитат из старых источников, поясняющих, как сложилась нынешняя грустная ситуация в области образования и нынешняя безграмотность населения.

1. Руссо в "Исповеди" писал, что не верил доказанной им самим формуле "квадрат суммы равен сумме квадратов слагаемых с их удвоенным произведением" до тех пор, пока не нарисовал соответствующее разбиение квадрата на четыре прямоугольника.

2. Лейбниц объяснял королеве Софии-Шарлотте, желая спасти её от влияния безбожника Ньютона, что существование Бога легче всего доказывается наблюдением нашего собственного сознания. Ибо если бы наши знания происходили только от внешних событий, то мы никогда не смогли бы узнать универсальные и абсолютно необходимые истины. То, что мы их знаем - и этим выделены среди животных - доказывает, по мнению Лейбница, наше божественное происхождение.

Реформируя школьное образование, французы писали в 1880 г.: каждая вещь стоит столько, за сколько её продают. Какая же будет цена вашему бесплатному образованию?

Абель жаловался в 1820 г., что французские математики хотят только учить, но ничему не желают учиться. Позже они презрительно писали, что этот бедняк (сочинения которого Академия Наук потеряла) "возвращался из Парижа в свою часть Сибири, называемую Норвегией, пешком по льду."

Школьное обучение Абеля начал его отец, учивший сына, в частности, что 0+1=0. Французы и сейчас учат своих школьников и студентов, что каждое вещественное число больше самого себя и что 0 - натуральное число (согласно Бурбаки и Лейбницу, все общие понятия важнее частных).

Бальзак упоминает "длинный и очень узкий квадрат".

Согласно Марату, "лучшие из математиков - Лаплас, Монж и Кузен: своего рода автоматы, привыкшие следовать определенным формулам, применяя их вслепую". Впрочем, позже Наполеон сменил Лапласа на посту министра внутренних дел "за попытку ввести в администрирование дух бесконечно-малых" (я думаю, что Лаплас желал, чтобы счета сходились до копейки).

Американский президент Тафт заявил в 1912 году, что сферический треугольник с вершинами в Северном полюсе, в Южном полюсе и на Панамском канале равносторонний. Поскольку в вершинах развеваются американские флаги, он считал "всё полушарие, охваченное этим треугольником", своим.

А.Дюма-сын упоминает "странную архитектуру" домов, состоящих "наполовину из штукатурки, наполовину из кирпичей, наполовину из дерева" (1856). Впрочем, Парижская газета писала в 1911 году, что "пятая симфония Малера длится час с четвертью без перерыва, так что на третьей минуте слушатели смотрят на часы и говорят себе: ещё сто двенадцать минут!" Наверное, так и было.

Следующая история связана с Дубной. Два года назад Академия Линчей[Слово "Линчей" означает "Рысей": предполагалось, что участники обладают рысьей зоркостью и проницательностью. Галилей, помнится, расписался в толстенном фолианте, где регистрируются члены Академии Линчеи, шестым (номер Ньютона в фолианте Лондонского Королевского Общества гораздо больше).] в Риме отмечала память Бруно Понтекорво, жившего с 1950 года до своей смерти в 1996 г. то в Москве, то в Дубне. Лет за тридцать до смерти он рассказывал, что однажды заблудился (в окрестностях Дубны?) и добрался до дому, только подъехав на тракторе. Тракторист, желая быть любезным, спросил: "А чем вы там в Институте в Дубне занимаетесь?" Понтекорво честно ответил "нейтринной физикой".

Тракторист был очень доволен беседой, но заметил, похвалив русский язык иностранца: "Всё же у Вас сохраняется некоторый акцент: физика не нейтринная, а нейтронная!"

Рассказывая в Италии эту историю, Понтекорво добавил: "Я надеюсь дожить до того времени, когда уже никто не будет путать нейтрино с нейтронами!"

Докладчик в Академии Линчеи, в Трудах которой я прочёл всё вышеизложенное происшествие, комментирует это так: "Сейчас мы можем уже сказать, что предвидение Понтекорво исполнилось: теперь уже никто не знает не только что такое нейтрино, но и что такое нейтрон!"

Россия станет Америкой, если забросит математику

- Что вас беспокоит больше всего? - С математическим образованием в мире дела обстоят очень плохо. В России -… - Мы отвлеклись от министра...