Основы русской геометрии

 

Черняев А.Ф.

 

Основы

русской

геометрии

 

 

Москва 2004

 

ББК 87

ББК 22,632

УДК 524,8

 

Черняев А.Ф. Основы русской геометрии

 

В работе вводятся понятия целого и отдельного как доли целого и показано, что «отдельное» является базой возникновения математического качества, основой счисления. Проводится диалектический анализ математических понятий и делается вывод о том, что разделы математики в целом являются и качественными и количественными науками. Показано применение законов диалектики в математике и пространственной бесконечности как бесконечного – безначального. Отмечено, что ряды Фибоначчи вырождаются в геометрические прогрессии, которые обобщаются в класс русских матриц, являющихся основой теории физической размерности. Русские матрицы обладают высшей степенью гармонии и обусловливают степенную комбинаторику своих членов.

Изложены основы статико-динамической и физической (динамической) геометрии, приведена иерархия геометрий, включающая физическую геометрию, статико-динамическую и статическую геометрии. Статико-динамическая и физическая геометрии составляют русскую геометрию. Показана физическая и геометрическая сущность деления отрезка в крайнем и среднем отношении и инвариантные отношения статико-динамической геометрии. Определены скрытые фигуры золотого сечения в статико-динамической геометрии. Общий вывод: в природе наблюдаются только закономерности физической геометрии. Другие геометрии есть производные от физической геометрии

ББК 87

ББК 22,632

УДК 524,8

 

© А.Ф. Черняев, 2004.

 

Преамбула

 

Настоящая работа, посвященная диалектическому обоснованию нового математического направления - «физической геометрии», является попыткой объединения нескольких геометрических идей, высказанных автором в последнем десятилетии ХХ века. Идеи эти, хотя и базировались на законах диалектики, и относились к одному разделу математики, были разрозненными, отрывочными, и потому довольно сложными для понимания. Диалектическое обоснование их проводилось недостаточно убедительно, да и отношение математиков (как и физиков) к диалектике, оставляет желать лучшего.

Математики,похоже, уверены в том, что законы диалектики неприменимы к математике, поскольку математика наука абстрактная и количественная, имеющая дело с обезличенными числами, а диалектика основывается на качественных категориях. Математика оказывается единственной наукой, в которой категория «качество» практически отсутствует. Считается, что все математические операции (включая движение) есть числовые бескачественные преобразования, не изменяющие качества чисел и безотносительные к ним. Сама же математика - формальная наука о количественном изменении числовых величин, не содержащих в себе никакого качества. А потому диалектика не вхожа в апартаменты, в которых властвует математика. Получается так, что для философов математика чужой монастырь. Не случайно диалектики в течение тысячелетий стараются обходить стороной его укрепления, разражаясь, время от времени, тирадами гносеологических залпов, стремящихся доказать «подчиненность» математики законам диалектики. Эта боязнь математического формализма и обусловила математике особый статус абстрактной, не зависимой от философии науки. Даже Гегель, понимая математику как науку о количественных величинах и числах, не заметил в количественных закономерностях математики внутренней диалектики ее качественных основ и надолго «законопатил» философам вход в храм математики, охарактеризовав бесконечную последовательность натурального числового ряда «дурной бесконечностью».

И эта бесконечность будет оставаться «дурной» до тех пор, пока мы не увидим за каждым математическим числом, понятием или аксиомой их качественную составляющую. То есть то, что и является основой диалектического анализа, то, без чего любая наука, включая математику, остается гносеологически запутанной, внесистемной и поверхностной регистрацией отдельных количественных или качественных проявлений, не сводимых к одной системе взаимосвязанных знаний.

Особенность русской (динамической) геометрии и заключается в том, что она, на наш взгляд, первая из математических наук, основывающаяся на диалектических законах и развивающаяся не как абстрактная дисциплина, а как дисциплина, полностью базирующаяся на практике. Более того, у нее отсутствуют даже предпосылки возможного «отдаления» от практики, поскольку она опирается на динамику реальных физических процессов.

Однако история показывает, что и существующие статические геометрии имели своим основанием именно практику измерения предметов и земельных участков. Но уже в Древнем Египте и, особенно в Древней Греции, геометрия превратилась в «дедуктивную» науку, основывающуюся на нескольких простейших аксиомах, не требующих доказательства. Аксиомы и эмпирические элементы определили в конечном итоге статическую форму отображения геометрией количественных отношений окружающих реальных предметов. Что и стало в последующем атрибутом всех геометрических построений.

Работа начинается с возвращения в математику понятий – «целое», «отдельное» и «безначальное», с последующим рассмотрением диалектических основ современной математики в применении к математическим и геометрическим понятиям и в частности с анализа некоторых принципов и аксиом, на которых основываются геометрии Евклида, Лобачевского и Римана.

Известно, что геометрия как наука была обобщена Евклидом, и его сочинения, включающие 13 томов под названием «Начала», содержали интегрированное изложение всех знаний о геометрии, наработанных античной наукой. Однако смысл «Начал» заключается не только в изложении аксиом и вытекающих из них теорем. «Начала» содержат в неявном виде подход к учению о статической или актуальной бесконечности, с преобладающей опорой на ее статичность.

Статичность актуальной бесконечности, с блеском изложенная Евклидом, на тысячелетия постулировала самой геометрии статичность, полностью исключила даже возможность представления о геометрии как о предмете, изучающем динамическое пространство, застопорила изучение потенциальной бесконечности, стала тормозом в понимании диалектики природы. Она породила другие начала - «Математические начала натуральной философии» И. Ньютона.

«Начала…» Ньютона блестяще развили и закрепили в классической механике принципиальные положения евклидовых «Начал», убрав из механики ее основу, - взаимодействие движущихся тел с пространством, а, следовательно, и само пространство.

Поэтому, когда обнаружилась тройственность аксиомы о параллельных (формулировки Евклида, Лобачевского, Римана), не было сделано предположения о том, что эта тройственность не случайна, а следствие отдельных прорывов в динамику пространства. В пространство движения как взаимодействия вещественных тел с вещественным пространством. И хотя термин «динамика» прижился как раздел механики, изучающей движение тел в зависимости от действующих на них сил, он имеет и другой смысл - подвижности, изменчивости, действенности, напряженности. В последнем смысле термин «динамика» и употребляется в настоящей работе.

Поскольку динамическое пространство имеет отношение к изучению движения и взаимосвязи пространственных свойств и тел в условиях потенциальной бесконечности, то его описание производится путем сопоставления со статическими структурами актуальной бесконечности.

Следует отметить, что и понятие актуальной бесконечности и понятие потенциальной бесконечности есть субъективизация существующей природной бесконечности. О свойствах и движении этой бесконечности нам ничего не известно, но без отображения этих свойств наши теории обходиться не могут.

Другой особенностью русской геометрии является опора в формализации взаимосвязи природных свойств на золотые пропорции. Изучение золотых чисел и золотых пропорций становится модным научным направлением. Однако в этом направлении основным остается изучение взаимосвязей между золотыми числами и описание явлений, в которых встречаются золотые пропорции. Ответов на вопросы: «Какие физические факторы описываются золотыми пропорциями? О чем свидетельствует деление отрезка в крайнем и среднем отношении?» и т.д. еще нет. Поэтому золотые пропорции остаются экзотическим прибавлением к науке и еще не находят широкого применения ни в математике, ни в физике.

Русская геометрия полностью построена на золотых пропорциях. Сама система золотых чисел сведена в матрицы, названные классом русских матриц, взаимозависимость между числами которых оказывается основой теории физической размерности. При этом выяснилось, что все физические свойства тел обладают особыми качественными параметрами числового поля русской матрицы, названные коэффициентами физической размерности, связывающие их в единую систему и обусловливающие формализацию физических уравнений. Последнее обстоятельство коренным образом меняет представление о взаимосвязи физических свойств и формирует единый математический аппарат описания взаимодействия природных свойств во всех разделах физики.

Открытие физической геометрии показало, что существует иерархия геометрий по возможности отображения ими природных процессов. Геометрии в этой иерархии делятся на три предмета:

Физическая (динамическая) геометрия.

Статико-динамическая (полудинамическая) геометрия.

Статические геометрии.

Оказалось также, что статико-динамические геометрии хорошо известны и давно изучаются. Но изучаются как проективные разделы статической геометрии. В них был упущен элемент кадрированного времени, следствием чего и стало одностороннее рассмотрение предмета проективной геометрии.

Работа включает пять глав.

Глава I: Диалектика математики.

Глава II: Динамические свойства геометрии.

Глава III: Золотые пропорции геометрии

Глава IV: Статико-динамическая проективная геометрия.

Глава V: Элементы физической геометрии.

 

 

Глава I

Диалектика математики

 

1.1. Целое и отдельное в познании

 

Наше понимание целого соответствует пониманию его, изложенному в сутре из «Ишавасья — упанишады»:

«Ом. То есть целое, это тоже целое.

Ибо только целое рождается из целого:

и когда целое отнимается от целого,

смотрите, остаток есть целое.

Ом Шанти, Шанти, Шанти!»

Для дальнейшего понимания наиболее существенным будет:

1. все названные далее целые есть аналоги целого;

2. отсутствие в целом отношений, рождающих как качество-свойство, так и множественность.

Человек пытается познать целое, превращая его в единое путем разделения на познающего и познаваемое. Этим движением создается такое качество-свойство, как отношение. А поскольку исходное отношение – это отношение двух (субъект и объект), то возникает и количество (два) при качественном звучании одного (два рождают одного). В этом мистика чисел у Пифагора и их абсолютизация в современной математике.

Создание отношений всего и со всем есть основной способ познания и основное качество-свойство человеческого ума.

Понятие «целое», является основой науки так же, как и основой религии, но в таком значении в настоящее время практически не осознается. Оно отображает в себе все то, что содержат в неразрывном виде материальный и духовный миры. В этом значении «целое» принадлежит к основаниям философии.

Наука, как и ее отдельные дисциплины, исходит из реальности материального мира, представляющего собой целое другого качества, поскольку исключает духовный мир. Различные направления науки исследуют случайно выделенные свойства-качества, «превращая» целое в единое. Математика изучает количественные аспекты свойств, упуская из внимания единое.

Так что же представляет собой «единое» с позиций современной науки?

Единое − это самодвижимое совокупное всех свойств, не имеющее ни начала, ни конца. Это взаимосвязь бесчисленного количества свойств, образующих многоуровневую субстанцию – материю.

Материя — это целое, «доля» общего, проявившее себя через чувственно воспринимаемое движение. То есть единственным независимым от субъекта (наблюдателя) качеством проявленного единого является чувственно воспринимаемое движение. Остальные качества материи определяются как результат отношения, возникающего при взаимодействии двух тел. Здесь тело при отсутствии отношений есть целое в понимании Вед: отдельное как отношение, и единое как объект познания. Материя, для своего проявления, должна обладать постоянным самодвижением типа пульсации. Самодвижение является атрибутом единого. Отсюда, движением, не требующим двух, может быть только пульсация каждого (любых) из материальных тел.

Пульсация как процесс, через расширение и сжатие носит диалектический характер. Такое движение как неизбежность при смене цикла проходит через прекращение движения (через неподвижность). Неподвижность — это непроявленное единое, которое недостижимо для его проявленного состояния. Тело как совокупность проявленного и непроявленного возникает в момент перехода материального тела через неподвижное состояние при пульсации.

Поэтому понимание телесности (вещественности, материальности) дополняется еще одним представлением субстанции, а именно:

Любое тело это целое, такое же целое, как и весь мир. Отдельность ему создает способ существования, который носит самопринудительный характер и определяется тем, что каждое тело в одном цикле проходит процесс возникновения и исчезновения.

Покажем качественно на примере Земли (рис. 1) точки диапазона существования тела в процессе пульсации. В самом первом приближении Земля пульсирует примерно так же, как и резиновый шар, в котором искусственно и попеременно изменяется давление. В такт изменению давления происходит периодическое увеличение и уменьшение радиуса шара. И так же как у шара, в процессе пульсации Земли возникают две точки останова пульсации: в тот момент, когда радиус шара становится наибольшим 1 и наименьшим 2.

 

Рис. 1

В момент «останова» материальная поверхность Земли как бы «исчезает», поскольку материя без движения не существует. И всякий останов есть момент «несуществования» материи, т.е. поверхности земного шара (поскольку все полностью остановившееся ни с чем не взаимодействует, ничем не отображается и, следовательно, отсутствует для всего). Все, что имеется в природе и на Земле, приспособлено к этому многоуровневому процессу. В такт пульсации Земли всё обитающее на ней также «ныряет» в небытие (в ничто), изменяясь с возникновением (с началом нового цикла пульсации), и, следовательно, обеспечивая свое материальное бытие. Этим «нырянием» снимается «напряжение», возникающее во всех телах за счет их эволюции (роста, пульсации, расширения), так как эволюция требует изменения материи, а пространства для изменения нет, и потому изменяться и расти некуда. И для того, чтобы процесс эволюции происходил, необходимо всему «встряхнуться», «расшириться», точнее частично «разуплотниться», обусловливая развивающимся (разрастающимся) телам возможность раздвижения разуплотнившейся материи и образования условий дальнейшего роста. И это все также входит в понятие целого. Отметим, что в мире отдельного (в мире тел), статика отсутствует, а все, что ощущается как статика, есть еще не осознанная динамика.

Человек, - мыслящее живое существо, являясь двойственным образованием (тело + душа), подчиняется законам как проявленного, так и непроявленного целого.

Отметим, что основу мышления человека составляет язык, базирующийся на определенных понятиях и словарном запасе, которые дискретны. Эта структура и определяет дискретность нашего мышления. Обучение ребенка языку одновременно становится «дискретизацией» мира, утверждением как бы отдельности всех тел, предметов и явлений путем их языковой символизации. Поэтому реальный мир с детства закрепляется в мышлении как состоящий из отдельных частей и событий, т.е. становится изначально дискретным. Последующие попытки осознания (представления) этого мира как целого оказываются возможными только посредством «сдвигания» вместе отдельных тел, предметов, событий (как частей мира). И в нашем осознанном представлении и даже в интуитивном ощущении возникает понимание целостности как совокупности частей, «склеенных» туманным понятием «связи». «Связи» и обусловливают искусственно сформированному миру иллюзию целого.

Для понимания последующего необходимо применять как самостоятельные следующие понятия: целое, отдельное, единое.

Где:

целое — это то, что не имеет частей и отношений;

отдельное — это отдельные предметы или объекты, тоже целое внутри, а снаружи поверхность как отношение.

единое — это совокупность частей или целых, обладающих качеством и количеством.

Метаморфоза, переводящая материальное целое в отдельное и далее в единое, состоящее из частей, свойств, отношений происходит в момент, когда человек фиксирует что-либо (тело, предмет и т.д.), отличая его от окружающего фона — целого. Эта фиксация состоит из нескольких последовательных операций:

а) выделение тела из фона (целого) как отдельного созданием отношения;

б) узнавание отдельного методом аналогии;

в) наименование (обозначение словом — символом), превращение в единое;

г) наделение целевым признаком, полезным для человека.

Например, геолог в движении фиксирует световую вспышку. Оборачивается и различает блестящее тело (а), приближается к нему и видит камень (б), который определяет как кварц (в). Он знает, что кварц — минерал, который можно использовать в производстве (г).

.

1.2. Отдельное как целое

 

Являясь целым, человек, единственное из существ, населяющих Землю, потерял ощущение целостности себя и, как результат, не в состоянии воспринимать целостность мира.

Парадокс человеческого мышления заключается в том, что человек пытается примыслить невозможное двойственное:

- отделить себя целиком от всего остального, не замечая, что тем самым переходит в качество дискретности − отдельного;

- сохранить свою целостность со всем остальным, т.е. находиться в качестве сплошности.

Потеря ощущения целостности мира человеком есть следствие его становления как личности, его выделения из природы, его эго. Дуализм субъективного восприятия себя человек целиком переносит на Мир, навязывая ему свои собственные ощущения и представления.

Покажем примерную схему того, как это происходит.

Все психологи знают, что взросление человека носит не столько физиологический характер, сколько психологический и в сущности своей заканчивается как процесс вместе с осознанием себя личностью, т.е. в неявном противопоставлении своего Я всему остальному миру: Я существую как отдельность, и следствие этой отдельности - возникновение антропоцентризма:

Я есть мера всех вещей.

Существую Я и окружающий мир.

Было время, когда меня не было, и будет время, когда Я исчезну.

И т.д. и т.п. …

Отсюда перенос на мир:

Мир состоит из отдельных вещей (тел, объектов).

Каждое тело отделено от другого тела. (Имеет свою форму, свои свойства и т.д.).

Каждое тело когда-то возникло и когда-то исчезнет.

Все в жизни подчинено времени, которое однонаправлено.

И т.д. Каждый может продолжить с любой строчки.

Отсюда, первым телесным качеством становится отдельность. Отдельность (дискретность) нашего мира есть результат внутренней проекции нашего ума. Это не более чем перенос на внешнее (внешний мир) момента осознания своего Я. Не мир изначально состоит из отдельностей, а возникновение внутренней отдельности переносит это ощущение на внешний мир. Поэтому, чтобы получить принципиально другую картину мира, нужно эту проекцию убрать. Психологически в обыденности это трудно, но именно на дискретности (отдельности) основывается вся система математического научного мышления. Оно заменяет «отдельность» как телесное качество безразмерностной категорией «количество», не имеющей никакого отношения к реальности, обусловливая возможность создания таких мыслительных конструкций, которые ничего общего не имеют с реальностью. Субъекты от науки не понимают, что в силу отсутствия диалектических знаний они, своими конструкциями, максимально отображают свое Я. Причем независимо от желания. И в такой хитрой форме, что мир исчезает, а Я остается, и это Я творит, творит то, чему нет никакого соответствия вне Я. То есть Я творит одно из проявлений собственного Я. Но, психологически, Я может сотворить только 1 и/или 2 и их комбинации. Эти цифры и оказываются в основаниях арифметики. Именно поэтому математики со времен Пифагора базировались на цифре 1, не осознавая, что фактически исходят из цифры 2, которая и делает мир дискретным.

Вместе с тем, в математике числа как голой абстракции быть не может уже потому, что число востребуется как элемент объединения разного отдельного по одному качеству – отдельного, и это качество есть конкретное, обособленное и единое для всех предметов, то, что может быть выражено посредством числа или другого знака. То есть:

1 = 1 - если это отдельность или качество, в том числе и формальное (тело, метр, кг, рубль и т.д.)

Теперь, определившись с появлением двух первых чисел арифметического счета, можно поставить вопрос: какая операция является исходной при построении здания арифметики?

Ответ: деление, - потому, что в делении наличествует ликвидация сплошности и абсолютизация дискретности.

«Я» всегда остается в своем мышлении целым (неделимым, монолитным), а все остальное не воспринимается таковым, т.е. является разделенным и, более того, может подвергаться дальнейшему разделению.

Последовательность «разделения»:

Ситуация А

Рис. 2

В ситуации А объект и Я = 1, как отдельные. И по этому качеству и только по этому качеству их можно приравнять 1 = 1. В этом приравнивании отображается их равноправность, равнозначимость т.к. они определяются одним качеством «отдельностью». Но если Я целое и неделимое, то внешний объект таковым не является, поскольку его можно разделить на две части, что показано на рис. 3, где из объекта на рис. 2 получены объекты X и Y.

Ситуация Б

Рис. 3

Только в ситуации Б возникает количество, поскольку приравнивание 1(Я) = 1(объект) в ситуации А есть мистическая абсолютизация единицы как неделимого целого. Поэтому, появившись, объект X = 1 и объект Y = 1 уже несут в себе память о предшествующем разделении, что позволяет нам делать операцию сложения 1 + 1 = 2, которая невозможна для ситуации А. И эта память растет с каждым последующим делением как количество.

Отметим, что дробление одного целого на бесчисленные «доли» - новые целые не изменяет количества свойств у новых целых. Они тоже целые, но другие - новые целые, включающие те же свойства, которыми обладало первичное целое, но с иной численной величиной этих свойств и, следовательно, целые другого качества.

Все операции дробления Объекта X и/или Объекта Y можно строго и последовательно повторять еще и еще раз, получая в каждом случае новые объекты, качественно одинаковые по одному признаку - отдельности. И в этой процедуре неявно, как бы аксиоматически, утверждается очевидная для большинства людей (и математиков тоже), но не доказанная вещь, а именно то, что всегда и во всех ситуациях существует равенство: 1 = 1, что далеко не очевидно.

Теперь, разобравшись немного с операцией дробления, мы получили возможность последовательного дробления объекта на части в виде (рис. 4), где повсюду 1 º 1 º 1 º 1… по качеству отдельности:

Рис.4.

Попробуем перейти к другой операции, к операции слияния (сложения), предварительно отметив,что деление объекта (дробление) может производиться в любой пропорции (рис. 5), а не только пополам.

Из наших рассуждений мы получили определенный класс объектов, которые равны и равноправны (равнозначны) по одному фундаментальному признаку - по признаку отдельности. Если требование отдельности наложить на реально воспринимаемый нами

 

Рис. 5

мир (он визуально состоит из отдельных объектов), то сразу получаем чрезвычайно интересный вывод:

В мире отдельных вещей отсутствуют неделимые объекты (более определенно, отсутствуют неделимые кирпичики), и процесс деления любого тела (отдельности) никогда не прекратится (первокирпичик не встретится).

Отметим: данный диалектический анализ проводится для выделения некоторых математических понятий, базирующихся на отдельных природных качествах. Если же рассматривать процесс дробления объектов на отдельности в целом, то следует учитывать и то обстоятельство, что каждая образующаяся отдельность является одновременно и качественно новой отдельностью, отличающейся от остальных численной величиной всех своих качеств и памятью. По этому признаку она всегда является индивидуальностью, не тождественной ни с одной другой индивидуальностью. Если же эти обстоятельства учитывать, то математика как наука никогда бы не возникла.

Как следствие отсутствия первокирпичиков мир отдельных вещей никогда не будет познан. Ибо на каждой ступени концентрации усилий по изучению любой его доли (нового целого) будет сохраняться тождество отдельности: 1 º 1 º 1 º 1 …, то есть будет происходить автоматический откат к исходной отдельности.

Последовательность разделения состоит из нескольких неявных стадий:

Исходное состояние (рис. 6).

Внимание

Рис. 6

Субъект выделяет (обращает внимание) на объект Б, если объектов много, или сразу начинает движение к Б.

Промежуточное состояние (сближение) рис. 7: Действие рис. 8:

 

Рис. 7 Рис. 8

И результат рис. 9.

Рис. 9

Эта процедура разделения обусловлена еще одним диалектическим обстоятельством: разделение происходит в силу невозможности слияния, поскольку в ситуации А (рис. 2.) Я – неделимое целое, а объект Б этим качеством не обладает. Пока рассматриваемый мир не наделен возможностью слияния, он не диалектичен, односторонен и принципиально невозможен как мир, как совокупность единого. Отсюда и возникает необходимость введения в этот мир процесса слияния (соединения) объекта, обратного разделению (разъединению).

Но понимание «простого» слияния скрывает небольшой нюанс, до сих пор явственно не отмеченный в математике. Операция разделения сопровождается образованием отдельностей другого качества. Другое качество отдельностей препятствует их слиянию и «восстановлению» прежнего целого. Получение прежнего целого обусловлено созданием новых условий слияния, и может оказаться так, что не найдется технологии восстановления прежнего целого.

Вернемся к рис.4 и выясним, возможен ли обратный процесс, который переводит его в состояние, отображаемое рис. 2. Логически это сделать нетрудно в следующей последовательности (последовательность действий показана на рис. 10 стрелками).

Рис. 10

То, что сделано, называется сближением или рядом расположением. Соединение, а тем более слияние, отсутствует по той причине, оно еще не введено в конструкцию. Вводя слияние как противоположность разделению, возвращаемся к конструкции рис 2 (рис. 11).

Рис. 11

Из рассмотрения вышеизложенного получаем следствие: Мир, который видится дискретным, состоящим из отдельных тел, таковым не является. В нем присутствует еще одно качество, противоположное дискретности - сплошность. Причем роль этих качеств различна:

дискретность делает мир узнаваемым, позволяя в определенной степени вычленять из мира тела и рассматривать их как отдельные объекты и, прежде всего, вычленять из мира себя (Я и все остальное).

сплошность делает мир целым, телесным, обеспечивая его существование, как и всего, что есть, так и того, чего нет, т.е. нам неизвестного. И, следовательно, никак не может быть воспринят дискретным (отдельным). В сплошности (непрерывности) «отдельное» отсутствует.

Самое поразительное, что сплошность мира люди, особенно связанные с наукой, воспринимают как пустоту, как отсутствие всего, то есть бестелесное, что объяснимо, т.к. диалектические понятия «все» и «ничто» равнозначны (равноправны).

 

1.3. Введение в диалектику математических

понятий

Рассмотрим понятия, связанные с геометрией. Самое распространенное определение понятия «геометрия» приводится в [1]:

«… часть математики, изучающая пространственные отношения и формы, а также другие отношения и формы, схожие с пространственными по своей структуре».

В этой формулировке объект «геометрия» обобщается словами «пространственные отношения и формы». Начнем с формы.

Форма как наружный вид, внешние очертания или конфигурация доступна всем, поскольку отождествляется с поверхностью тела. Последняя, в свою очередь, является границей, позволяющей увидеть или иным образом ощутить отдельность тела. Например, выражение «тело по форме напоминающее шар» понятно всем как название сферически замкнутой поверхности. Тело, отображаемое в своей форме, может двигаться (нефиксируемое самодвижение), либо покоиться (оставаться относительно неподвижным), либо изменяться (деформироваться). Самодвижение и механическое изменение формы всегда связано с взаимодействием и движением. Таким образом, геометрия, изучая форму предметов, помимо статики неявным образом соприкасается не только с математическим, но и с механическим движением, т.е. с физикой. Другое дело, понимают ли это математики или наличие фактора движения в геометрии ускользает от их внимания.

Очень существенно для понимания то, что форма это не самостоятельное качество тел, а следствие отдельности, ее проявление. Отдельность, в свою очередь, следствие всеобщей дискретности, которая фиксируется в нашем мире. В то же время отдельность (единичность) это отношение двух: субъекта и объекта, которое в совокупности образует еще одно качество - пространственность (как протяженность). И потому: не может быть такого начального состояния, как наличие пустого пространства (пустоты) и тела (безразлично субъекта или объекта). Субъект ощущает и осознает свою отдельность, если его органы чувств зафиксируют что-то, что не является им (не принадлежит ему), т.е. отделено от него некоторым расстоянием - пространством. (Существование пространства - есть отрицание тела, есть признак его формальной конечности, есть переход от тела к его противоположности, к телесности другого качества.)

Пространственные отношения даже по своему характеру предполагают как наличие движения (поскольку для определения расстояния необходимы эталоны и движение), так и пропорциональность отношений изменяемых форм. Движение обусловливается следующими факторами - свойствами пространства:

пространство это то, что обеспечивает возможность перемещения тел (механического движения любого вида, включая пульсацию);

отношение всегда есть взаимодействие как минимум двух объектов и, следовательно, пространственные отношения, по сути, есть отношения тел посредством своих параметров. Поэтому, исследуя пространство, мы неизбежно и тоже в неявной форме вводим в него тела, и потому пространство становится промежутком между телами. И только игнорирование движения в мысленном представлении пространства обусловливает свойству «пространство» качества субстанции равнозначной материи.

Само наличие пространства фиксируется только путем движения тел и, следовательно, где нет движения, там нет и пространства, как нет и самой материи. Так в полной темноте, прежде чем сделать шаг, человек протягивает вперед руку (вводит тело в пространство), убеждается в присутствии оного, а затем вводит в него и свое тело. Далее операция повторяется, пока рука не упирается в стенку (отсутствие пространства). Таким образом, возникает понятие размеров пространства (количество шагов). Находясь в неподвижности и в полной темноте, нельзя ничего сказать о пространстве ни как о пустоте, ни как об отношении.

Возникает вопрос: что же такое пространство? Вот возможные варианты ответов:

Ответ А: Это ничем не заполненная пустота (пустой ящик без стенок). То есть тождеством:

пространство = пустота = отсутствие всего,

постулируется превращение пространства в непознаваемое. В вещь в себе. Появление в таком мысленном пространстве субъекта невозможно по определению, а без субъекта кто будет познавать? Да и познавать-то нечего (ничего нет).

Ответ Б: Пространство есть то, что окружает каждое тело как повторение его твердой формы (скажем как воздушная оболочка Земли) и не обладает твердостью, препятствующей сближению тел. Этот ответ переводит пространство в объект изучения физики.

Ответ В: Пространство есть телесная протяженность между макротелами, образованная протяженностью микротел (эфиром), который обусловливает макрообъектам возможность движения, сохраняя при этом видимость их отдельности. Этот ответ образует мостик между физикой и геометрией. Физики, изучая тела и их свойства, будут учитывать закономерности вещественного пространства (эфира), а математики, работая с кажущейся пустотой, помнят, что она имеет протяженность и телесность.

Резюме: Современная геометрия, изучающая формы тел, всегда имеет дело со статикой (неподвижными поверхностями тел). Можно представить, как геометры «ползают» по поверхности, оставляя следы: как точки (когда они стоят); как линии (когда они измеряют поверхность); как плоскости (когда они рисуют «карты» этих поверхностей). Для понимания предмета геометрии это очень существенно, поскольку все операции на плоскости требуют неявного нахождения на ней и геометра, хотя бы в виде точки, обладающей способностью двигаться.

Когда начинается процесс изменения формы (поверхности), геометры убегают (улетают) «во избежание» и возвращаются на плоскость лишь тогда, когда процесс деформации закончен, т.е. в статику. Это суть статической геометрии. Чтобы знать, как изменяется форма, т.е. видеть процесс, геометр должен, хотя бы в воображении стать участником процесса, точнее, его исполнителем, и учитывать вещественность процесса, что невозможно в статической геометрии. В этом случае геометр (исполнитель) всегда центр, а инструмент (мысль) исполняет роль измерителя, фиксирующего процесс, и геометрия выходит за рамки статики. Но продолжим определения [1]:

2) «Первоначальные понятия геометрии возникли в результате отвлечения от всяких свойств и отношений тел, кроме взаимного расположения и величины. Первое выражается в прикосновении или прилегании тел друг к другу, в том, что одно тело есть часть другого, в расположении «между», «внутри» и т.п. Второе встречается в понятиях «больше», «меньше», в понятии о «равенстве тел».

3) «Геометрическое тело есть абстракция, в которой сохраняются лишь форма и размеры в полном отвлечении от всех других свойств».

В формулировках 2 и 3 имеются определенные недоговоренности, если не сказать большего:

а) Отвлечение от всяких свойств и отношений полностью отрывает геометрические тела от реальных объектов, не оставляя им никаких природных качеств и тем самым превращая их в пустую абстракцию, ничем не связанную с реальностью;

б) Обсуждаются и определяются только тела, в том числе вводится и понятие «геометрическое тело». Все это - рассмотрение формы. А между тем и в этом, и в других определениях исчезает представление о пространстве, которое геометрия обязуется изучать по определению.

в) Строго подходя к определению, понятие «геометрическое тело» получено посредством разделения формы и содержания, тогда как ранее отмечалось, что форма есть лишь проявление содержания, т.е. материальности тела. Аналогом такой абстракции может служить мир мыльных пузырей, где то, что находится вне пузырей и внутри их, тождественно (однородно).

г) Введение в первоначальное понятие количества, даже в простейшей форме (больше, меньше), равнозначно присутствию «независимого» наблюдателя, который и являет собой эталон и ∕или эквивалентно нанесению на пространство жесткой координатной (размерной) сетки.

д) Вместе с тем термин «пространственные отношения» есть недоговоренность, т.к. под отношениями подразумевают отношение тел.

Таким образом, предметом геометрии являются формы, абстрагированные от объектов окружающего мира, в том числе и от пространства и, следовательно, в статической геометрии пространство отсутствует по определению.

Остановимся на некоторых гносеологических аспектах этого абстрагирования, которые в той или другой мере находят отображение в математике и в частности в геометрии. Начнем с простейших количественных и качественных операций, поскольку «качество» неотъемлемая категория любой науки и в том числе математики. Рассмотрим задачку, которую психиатры предлагают иногда детям младшего школьного возраста для определения их способности мыслить абстрактно:

«Сколько будет если к одной корове прибавить одну лошадь?»

Считается, что правильный ответ - два животных, и делается вывод, что ребенок может мыслить абстрактно (может обобщать понятия). Но так ли это?

Посмотрим, какая логика определяет этот ответ:

а) предполагается

1 корова = 1 животное,

1 лошадь = 1 животное,

отсюда 1 корова = 1 лошади и, складывая, получаем

1 лошадь + 1 корова = 2 животных.

Кому как, а для нас эта операция непостижима. Непостижима потому, что складываются не корова и лошадь, а формальные классы, не представляющие определенного качества, сложение которых является полной бессмыслицей и для математики, и для практики. (Дети это прекрасно чувствуют и потому стесняются получать тот ответ, который устраивает психологов.)

Рассуждать приходится по иному.

Понятие «корова» индивидуальность (тело), понятие «лошадь» тоже индивидуальность (тоже тело). И чтобы их сложить необходимо индивидуальности обезличить, превратить в бескачественные, но существующие телесные объекты, в мысленные конструкции.

Следовательно, абстрагирование как переход к другому качеству заключается не в том, что вводится понятие, отвлеченное от реальности, а в том, что результат абстрагирования отрицает существование прежнего качества объекта, ненадобность этого качества для данной формализации. Происходит подмена объекта в мышлении его «потребительским» качеством. Сам объект при этом остается неизменным, используется только другая его данность. Это очень важная формальная операция. Абстрагирование от объекта не производит замены объекта его схематическим отображением, а изменяет качественную составляющую данного объекта, концентрирует внимание на другом качестве, которое становится основным при проведении некоторой формальной (например, математической) операции, и поэтому математика становится не столько количественной, сколько качественной наукой. Однако эта качественность математического знания на сегодня не замечается.

б) пусть удалось выполнить операцию а), т.е. реальные объекты (живые существа) превратить в одинаковые мысленные конструкции, именуемые Y, тогда:

Вариант 1 Þ 1Y + 1Y = Y(1 + 1) = 2Y - это одна возможность,

Вариант 2 Þ Y + Y = YY - это другая возможность.

Вариант 2 можно записать иначе, если «слить» YY в единое ψ «вдвое» большее прежнего:

Y + Y = ψ .

В варианте 2 наличествуют только абстрактные объекты Y (символы объектов – отдельности), знак + это разместить рядом, сохранив тем самым различие не только в памяти, но и визуально. Операция рядом расположения не является математической операцией. Изображение ψ - уже математическая операция, обусловливающая в результате сложения возникновение нового качества.

Появление ψ приводит к исчезновению Y и Y, а в варианте 1 отпадает необходимость в качестве Y, которое, можно сократить, подразумевая при этом, что складываются не голые числа, а отображения одинаковых качеств этих чисел:

1Y + 1Y = Y(1 + 1) = 2Y

1 + 1 = 2 .

Сокращение Y как бы вообще убирает в уравнении качественную составляющую (животное) и отображает его уже не как животное, а как тело, т.е. как целое. И каждая цифра в последнем уравнении является нерасчленимым, отдельным целым. И в данном примере наличествует не абстрагирование от объекта к количественной величине, а наоборот, сохранение каждого объекта (как целого с качествами определенной, но формальной отдельности). Неосознанно мы, как детишки дошкольники, говорим в уме: одно тело и одно тело равно двум телам, то есть двум целым.

Можно рассматривать знак + как способ слияния и тогда:

+ = = - а это один объект

Т. е. при слиянии 1 + 1 = 1 - как единое целое возник новый объект, а старые объекты как целое исчезли, хотя они и присутствуют в уравнении и в нашей памяти. Это фиксация в нашей памяти и в уравнении предшествующего момента (левой части), которая уже «отмерла», уже отсутствует и потому небытийная. Фактически, с появлением правой части, левая часть исчезает. Она свою роль выполнила, и для нее уже нет места в новом времени и пространстве. Этого требует сама природа, поскольку в реальном мире все места заняты и появление нового возможно только при исчезновении старого.

Данное положение диалектики слабо усваивается не только математиками, но и философами. Хотя в быту каждый из нас с такими процессами сталкивается повседневно. Например: в сосуд с водой можно влить молоко, только вылив воду. И когда эта операция проделана, то каждый вновь вошедший в помещение (не видевший процесса выливания воды и наливания молока) увидит сосуд с молоком, и только субъект, проделавший эту операцию, будет помнить, что перед тем в нем была вода. Именно аналогичная память и сохраняется в левой части рассмотренных уравнений. Своего рода «замороженная» память.

Итак, все замыкается на человеческом мышлении, на абстрагировании и одновременно на памяти о предшествующем. Память - попытка превратить дискретное в непрерывное, то есть вернуться в реальность, как в последовательную череду событий. Любое природное явление (событие) протекающее во времени для памяти - это своеобразный кинопроектор, движущийся с регулируемой скоростью ленты. Медленно - и мы видим прерывистость, быстро - и все плавно и непрерывно. Если же посмотреть кадры на пленке - так движение вообще отсутствует. И в этой картине мы упираемся в очень интересную двойственность, имеющую место и в математике: в движение и покой.

На бытовом уровне мы фиксируем движение как перемещение относительно некоторого неподвижного объекта и легко находим как то, так и другое. И если выдвигается положение о том, что движение является атрибутом материи, без наличия которого материя не может существовать, то существование такого атрибута должно обусловливать и наличие противоположного качества - неподвижности и как следствие существования этого качества - отсутствие материи, отображаемое словом «ничто». И это диалектично, так как только ничто может уравновесить все и в единстве обеспечивать существование того явления, которое и называется словом - целое.

Но не будем отвлекаться и вернемся к основам геометрии, вернемся к форме.

Так что же такое форма? Форма - отграниченность, создающая отдельность. Это качество, позволяющее нам увидеть (выделить из мира) любой объект (тело, предмет, вещь и т.д.). Например, мы смотрим в ясный летний день на небо, на котором нет ни одного облачка. И что же мы видим? Мы видим чистое небо. Как приходит такое понимание? Оно обуславливается границей. Вот поверхность Земли, а дальше воздух, который невидим, но его толща, освещаемая Солнцем, приобретает голубоватый оттенок, и эту голубизну воздуха мы называем небом. Что еще можно увидеть на небе? Ничего, пока не появятся облака, которые видны через отграниченность белого от голубого. Ответ становится неоднозначным:

а) Я вижу небо с облаками.

б) Я вижу облака на небе.

в) Я вижу небо между облаками.

Из этого примера можно сделать вывод, что изучение пространственных форм − это изучение качественных характеристик. Снова получается, что статическая геометрия это не только количественная, но и качественная наука, и по этому признаку родственна физике. Отличие же состоит в том, что статическая геометрия оперирует одним природным свойством-качеством - протяженностью (остальные свойства являются для нее формальными свойствами), физика же охватывает всю совокупность природных качеств, хотя использовать в практике может только их мизерную часть.

Что же такое количество? Количество это отношение, создаваемое нашим мышлением, это больше или меньше, это появление эталона, который служит мерилом отношения. Без этого отношения не может быть и счета.

Можно проследить следующую последовательность появления цифр (счета). В сущности рис. 12. есть грубая аналогия мистического представления о возникновении Мира. (рис. 12):

Совершенно самостоятельно существует 1 и 1. А единственно по отношению к Б и наоборот (рис. 12.). Но это отношение не создает количества, т.к. А и Б есть демонстрация того факта, что единственность, как понимание, возникает из двойственности.

Если А субъект, то А может сказать, что видит Б как отдельность (объект, тело), имеющую форму (границы). Отдельность Б является полной, если А и Б не имеют ни одной «точки» соприкосновения. То, что находится между А и Б, не имеет формы и не может быть

1. Исходное = ничто = все.

2. Следующее = целое в потенции с внутренней границей

3. Разделение двух на отдельности и осознание единственности как первого отношения.

Рис. 12.

зафиксировано как отдельность. Это побочный результат разделения. Назовем эту «бесформенность» пространством и будем всегда помнить, что это не пустота, не изначальное ничто, в котором «плавало» целое, а результат разделения. Поэтому с точки зрения статической геометрии объем, образуемый телом, не является пространством, поскольку объем - конечная величина, легко определяемая через поверхность (внешнюю границу) тела, если исходить из внешнего измерителя. Пространство, образующееся при дроблении тела, не может быть измерено, так как каждый цикл (дробление пополам) будет автоматически создавать и свой эталон размера.

Итак, разделение потенциальных 2-х на отдельности позволяет А понять (осознать), что появление новых (других) объектов возможно путем деления Б на отдельности. И А совершает эту операцию (практически так же, как в случаях рис. 7 ¸9) для чего:

а) приближается к Б (перемещается в пространстве),

б) нарушает границу (разрушает) Б, сохраняя свою целостность, но изменяя форму (становясь клином) и раздвигает Б, превращая его в Б₁ и Б₂. Разделение на Б₁ и Б₂ создает между ними пространство, которое является другим по отношению к прежнему, так как оно создается уже тремя телами А, Б₁, Б₂. И это новое пространство позволяет А остаться между Б₁ и Б₂. Интуитивно мы осознаем, − это А уже не прежнее А, но оно может этого даже не «предполагать». Об этом знаем мы, так как автоматически отодвинули себя на безопасное расстояние, чем превратили А в тело аналогичное Б, т.е. из субъекта сделали объект А (колун). Отодвинув себя и сохранив А как телесность, мы зафиксировали чрезвычайно интересное явление, а именно:

Сознание имеет тенденцию не участвовать в материальных процессах, а лишь наблюдать за ними. Тем самым создавая эталон, как память о предшествующем состоянии. Использование памяти-эталона и есть рождение количества. Только память на рис. 3 или 4 знает, что конечный объект равен 1 по количеству отдельности есть половина и четверть предшествующего по размеру (объему). Но память – это прошлое. Здесь другая интуитивная догадка, что процесс разделения контролирует мысль, которая материальна по отношению к сознанию и практически бестелесна по отношению к нашему физическому миру [2]. Контрольная функция мысли в физическом процессе создает его количественные характеристики и, прежде всего, другое название отдельности. Появление А¢, Б₁, Б₂ все оставляет по-прежнему, то есть 1 = отдельность А¢ «смотрит» на себя, на Б₁ и Б₂ и констатирует, что существуют А¢ = 1; Б₁ = 1; Б₂ = 1 и по качеству отдельности (тело, вещь, объект) они все равны, то есть 1 = 1 = 1 и А¢ = Б₁ = Б₂. В статике, визуально (через пространство) А¢ фиксирует, что все тела

разные по форме: А¢ ¹ Б₁, А¢ ¹ Б₂, Б₁ ¹ Б₂,

разные по объему: - « - - « - - « - -,

разные по цвету: - « - - « - - « - и т.д.

Как результат: Все тела в дискретном мире равны (одинаковы) только по одному качеству - отдельности и это единственное качество, которое позволяет оперировать безразмерностными цифрами числового ряда как абстракциями. Поэтому постулирования типа «между любыми двумя цифрами натурального числового ряда можно поместить бесконечное количество дробных, иррациональных и т.д. чисел» является неправомерным, поскольку пространство между числами одного качества заполняется числами другого качества (качество - «целое число», качество -«дробное число») и вызвано неосознанным стремлением человеческого мышления к превращению дискретного в континуум.

Считается, что математика является только абстрактной, количественной наукой, и все ее свойства, числа, индексы, геометрические фигуры являются формальными отображениями либо некоторых количественных величин, либо схематического изображения реальных тел. А потому никакие качественные характеристики не могут быть присущи формальным количественным величинам.

Однако сами же числа не согласуются с такими предпосылками. Математические величины - числа, не являются единообразными. Они делятся на отдельности: числа целые, дробные, иррациональные, мнимые, комплексные, гиперкомплексные и т.д. И, как будет показано далее, это деление не случайно. Оно следствие диалектичности самих математических величин, их своеобразной «формально-качественной» отдельности, и требует создания качественно различных правил для проведения математических операций с полным набором этих чисел. И потому, само существование целых чисел натурального ряда как отдельностей не допускает возможности нахождения между ними дробных или других чисел, не относящихся к натуральному ряду, как принадлежащих к другому качеству, к другой численной отдельности.

Еще раз подчеркнем, что в арифметике каждое число из ряда натуральных чисел является целым по качеству отдельного, и промежутки между этими числами (целыми) не могут быть заполнены никакими дробными величинами, поскольку дробные величины есть отдельное другого численного качества. В природе же дробное - всегда отображение не целого (отдельного), а численной величины качества. Разница же в том, что целое (отдельное) не имеет размерности и по этому свойству сопоставимо только с другим целым (с другим отдельным), а природное качество всегда величина размерная, всегда изменяемая и сопоставима с аналогичным и только с аналогичным изменяемым качеством.

Вклинивание иного качественного в ряды отдельного означает подмену понятий. Постулирование существования в одной форме разных качеств обусловливает нарушение качественной структуры арифметики. Оно вносит элемент противоречия во «взаимоотношениях» между различными качествами числовых составляющих и обусловливает логическую неопределенность основаниям арифметики.

К тому же промежуток между арифметическими числами (или символ промежутка, например, пробел, «,», «;» и т.д.) отображает геометрическую составляющую арифметики - пространство (рис. 13). То самое истинно пустое математическое пространство, которое отделяет одно число от другого. (Пробел - формальная математическая «пустота». Он фиксирует отсутствие символов между цифрами или числами. Единственно допустимая в естественных науках пустота.)

Пространство Простр. »_-_» и т.д.

Рис. 13

Наличие в арифметике геометрической составляющей до сих пор математически не осознано. И, потому, в арифметику, минуя понимание математиков, незаметно и как бы противозаконно «влезает» геометрия, обусловливая существование отдельных чисел. Геометрия, которую уже невозможно выделить из арифметики.

Рисунок 13 можно представить и в другой форме (рис. 14):

И т.д.

Рис. 14

Изменение расположения тел, изменило пространство - промежуток, образуемый отдельностями - телами. Попытки перевести дискретный мир в сплошной противозаконны, пока сохраняются качества отдельности. (А такая попытка, например, наличествует даже в определении пространства Риманом [4]: «Пространство - непрерывная совокупность однородных объектов или явлений».) Отсюда выражения: «рассмотрим множество целых чисел» или «рассмотрим пустое множество» логически противоречивы, так как мысленный эксперимент, абстрагированный якобы от реального опыта, не опирается на этот самый опыт. Например, берем «мешок» (пустое множество). Засыпаем в него просо, песок и т.д. (числа, неопределенные отдельности разного качества) и, приравнивая, получаем винегрет качественности и бескачественности:

Объем = пространство = пустота.

Повторимся:

объем - отдельность, внешняя характеристика границ тела и он образуется телом. Тело всюду «тащит» за собой свой объем и никому его не отдаст. Без объема нет тела и нет объема без тела (трехмерное понятие);

пространство - размерностное качество (промежуток между отдельностями, одномерное понятие), возникающее при взаимодействии тел. Следовательно, «мешок» возникает только при наличии тел. Нет тел, - нет и «мешка».

пустота - отсутствие отдельности и качеств. Как отсутствие всего она равнозначна такому целому, с которым человеческое мышление, будучи дискретным, не имеет ничего общего, и постигнуть ее, а, следовательно, и использовать где бы то ни было невозможно.

Как можно говорить об абстрагировании до признания качества пустоты, если не осознается такой простой факт, что в пустоте нет и не может быть ничего по определению. В пустоту невозможно «всунуть» никакое тело, а также поля, числа или пространства. Есть тело, нет пустоты. Откуда возьмусь там Я да еще с мешком, из которого всегда достану все, что только смогу вообразить?

Наличие логической путаницы в основаниях математики, в ее понятиях и качествах, игнорирование диалектичности Мира являются постоянными предпосылками возникновения неопределенности в ее структурах. Эти предпосылки расшатывают ее фундамент, предопределяя ненадежность тех логических построений, на которых зиждется все ажурное здание современной математики. Они обусловливают перманентный кризис в различных разделах математического мышления, который уже перерос в процесс, создающий угрозу всему развитию математики, в кризис, существование которого не отрицают и сами математики.

Глубочайший кризис, охвативший всю математику, и описанный М. Клайном в книге [3], в этом крике души исстрадавшегося математика, обусловлен также и тем, что основания современной математики представляют собой логический винегрет путаницы количественных и качественных категорий (причем в неявном виде) при почти полном отсутствии диалектики. Кризис будет продолжаться до тех пор, пока математики не «почистят» свои основания диалектикой.

 

1.4. Математические иллюзии

 

Начнем с геометрического пространства. Понятие «геометрическое пространство» зародилось еще в древнейшие времена и с одной стороны до сих пор не имеет однозначного определения, а с другой, оставаясь основным геометрическим понятием, вообще не может являться элементом статической геометрии. Однако все остальные математические понятия и принципы статической геометрии имеются, существуя как бы независимо от пространства.

По-видимому, по этой причине понятие - «пространство» не было востребовано при аксиоматическом построении геометрии, хотя Риман и упоминает, «геометрия предполагает заданным заранее как понятие пространство…». Но заданное понятие «пространство» не является каким-то второстепенным понятием. Оно мыслится как основа любой геометрии, оно первично ко всем фигурам, включаемым в пространство, и отсутствие его в структуре геометрических понятий может свидетельствовать о том, что построение геометрии, не связанной с реальным пространством, совершенно некорректно, или о том, что это понятие не включается в соответствующую геометрию.

Первичность пространства ко всем геометрическим фигурам предполагала, что определение этого понятия следовало производить абстрагированием или другим способом от существующего физического пространства еще до того, как началось формирование первых геометрических аксиом, свойства которых «вытекали» бы из свойства пространства и тел, находящихся в нем. Однако определялось пространство постулированием отдельных не связанных между собой свойств. В результате было получено не пространство, а те разрозненные требования к свойствам пространства (о них далее), которые бы удовлетворяли механическому пониманию бескачественного пустого вместилища. Вместилища, способного «нести» формальные функции пространства, достаточные для статической геометризации объектов природы, но не для отображения реального пространства.

Аксиомы и постулаты, обосновывающие отдельные фигуры - вторичны частности по отношению к пространству уже потому, что аксиоматизируемые фигуры могут «располагаться» только в определенном пространстве, которое обладает конкретными свойствами, и свойства образуемых фигур должны быть подобны свойствам пространства. То обстоятельство, что все современные геометрии начинаются с нахождения абстрактных аксиом, не сохраняющих ни одного природного свойства, из которых структурируется определенная геометрия в неопределенном пространстве, есть поразительнейший нонсенс, обусловивший сначала геометрии, а затем и всей математике, статус «продукта человеческого разума».

Современные геометрии строятся аксиоматически аналогично статической геометрии Евклида, в которой между фигурами и их элементами отсутствуют качественные связи, и потому эти элементы при построении «прилепляются» к фигурам случайным образом по далеко не научному методу: «куда кривая выведет». Причем, «прилепляются» в движении с нарушением законов статической геометрии, запрещающей механическое движение. И уже после построения новой геометрии определяется вид, к которому она якобы относится, но не определяется, в каком же пространстве находятся фигуры «новой неевклидовой» геометрии.

То есть все геометрические построения, вопреки утверждениям математиков, проводятся индуктивным методом от частного к общему. А поскольку в творчестве аксиом не ограничен ни один математик, то их можно наплодить великое множество, а вместе с ними, вероятно, и геометрий, причем ничем между собой не связанных и, возможно, противоречивых (как, например, геометрии Лобачевского и Римана). К тому же движение от частного к общему (от аксиом к геометриям как к абстракциям пространства природы) совершалось не в классической форме. Происходило не отвлечение от природных свойств, а направленный выбор тех из них, которые обеспечивали построение некоторой геометрии. Поскольку результат абстрагирования оставался неизвестным даже после построения геометрии, то невозможно было ответить на вопрос: «Разворачиваются» ли все получаемые геометрии в одном пространстве или каждая из них имеет собственное пространство. И если «собственные» пространства имеются, то чем они различаются между собой?

Геометры оказались в положении того незадачливого механика, который взялся собирать большегрузную машину, имея в избытке все необходимые детали: двигатели, колеса, всевозможные трансмиссии, кузова, электрооборудование и т.д. от различных механизмов, кроме рамы. О необходимости которой он даже не имеет представления (она-то и обусловливает пространственную структуру тяжелого автомобиля). Конечно, он сможет собрать десятки различных агрегатов: рычащих, гудящих, крутящихся и даже движущихся, некоторые из которых, не исключено, и приспособить можно будет к каким-то полезным работам, но он никогда не построит большегрузный автомобиль (если, конечно, не изобретет рамы).

Геометры тоже «наизобретали», на основе аксиом, десятки противоречивых геометрий (их может несколько успокаивать только то обстоятельство, что в других разделах математики «наизобретали» не меньше). И сейчас усиленно разбираются, вместе с физиками (последние виноваты только в том, что поверили математикам на слово) - какая же из них соответствует природе (аналог у механика - какой же из агрегатов соответствует грузовику?). Вроде бы, у каждой из них есть некоторые свойства аналогичные природным, но в таком случае, почему их много и они между собой не связаны, более того, противоречат друг другу? Ведь не может же быть такого, чтобы в одном пространстве природы «работало» сразу несколько логически противоречивых геометрий. И, главное: В каком же пространстве они «находятся»? Вопрос, на который ответа еще не находится.

Считается, что математика является абстрактной наукой. Напомним, понятие «абстракция» включает два представления:

научное - отвлечение в процессе познания от несущественных сторон рассматриваемого явления с целью раскрытия существенных черт (выше была приведена несколько иная форма представления об абстрагировании);

метафизическое - рассматривающее свойства и отношения в отрыве от материального носителя.

Однако, начиная свои построения с аксиом (не от целого, а от частностей) и не только геометрических, математики ни от чего не отвлекаются (абстрагируются), (то есть не производят действия, предусмотренного первым пунктом определения абстракции). Они определяют правила получения аксиом, формы их взаимосвязей и выводят теоремы, логически подтверждающие эти взаимосвязи. Абстракция во всех этих построениях не просматривается, поскольку не выявлен предмет - целое, от которого следует абстрагироваться (то же пространство, например), и, следовательно, нет основания считать геометрию (раздел математики, а может быть и всю математику) абстрактной наукой. Здесь что-то в понимании математики как абстрактного предмета не вяжется со словом «абстракция».

Но математики абсолютно уверены, что математические методы, и в частности геометрические, есть абстрагирование от природных свойств, что они работают дедуктивными методами и частные положения и понятия, выводятся ими из общих положений и понятий (из аксиом, постулатов, правил, законов). (Получается, что пространство - частное понятие, и потому его до сих пор не определили даже аксиоматически.) Однако ни аксиома, ни закон и даже ни правило, не являются пространством и тем более природой или целым. Они суть некоторые представления, полученные при изучении природы путем разложения единой природы (целого) на отдельные элементы, понятия или определения, а потому отсутствующие в природе, но присутствующие в головах людей.

Эти удивительные «дедуктивные» представления просто ничем невозможно объяснить. Перепутать индукцию и дедукцию (все равно, что поставить телегу впереди лошади) можно было, только повинуясь многовековой традиции освященной авторитетом гениев. И гениями были древние греки - Платон и Аристотель, особенно последний, развивший и обосновавший логические и аксиоматические методы.

Именно с логического обоснования аксиом начинается геометрия Евклида. И начинается с ясного понимания того, что принципы и понятия геометрии являются абстракциями от реального мира и потому применимы и к реальному миру, и к миру геометрии, поскольку охватывают, в абстрактном представлении, основные черты реальных природных предметов. То есть, по предположению греков, обладают определенной степенью общности и первичности, как в геометрии, так и в реальном мире.

К абстрактному отображению элементов внешней реальности древние греки относили такие первичные (основные) геометрически неопределяемые (?) понятия, как точка, прямая, число. Они оставались неопределяемыми логическими методами постольку, как отмечал Аристотель, поскольку для основных понятий не существует исходных посылок. И потому обоснование основных первичных понятий начиналось с аксиом - со столь понятных и очевидных истин, что справедливость их не вызывала и до сих пор не вызывает никакого сомнения. Другие понятия - фигуры; треугольник, квадрат, куб, окружность и т.д. определялись посредством первичных понятий.

Имелись только некоторые разногласия относительно того, откуда человек получает эти исходные представления, формулируя свои аксиомы. Исходными носителями этих разногласий были те же Платон и Аристотель. Для Платона геометрические аксиомы – истинное воплощение идей. Вот что он пишет о геометрах в «Государстве» [3]:

«Разве ты не знаешь, что, хотя они и используют видимые формы и рассуждают о них, мыслят они не о самих формах, а об идеалах, с которыми не имеют сходства; не о фигурах, которые они чертят, а об абсолютном квадрате, и абсолютном диаметре… и что в действительности геометры стремятся постичь то, что открыто лишь мысленному взору?»

Для Аристотеля истина познается безошибочной интуицией, а аксиомы отображают эту истину и являются основой для рассуждений доказательств и математических выводов. Методология логических взаимосвязей, тоже обоснованная Аристотелем, позволяла получать, путем логичных рассуждений, отталкиваясь от первичных понятий правильные заключения о предмете рассуждения: по дедукции, по индукции, по аналогии и т.д. Отметим: дедукция - логическое умозаключение от общего к частному, от общих суждений к частным или другим общим выводам. Индукция - умозаключение от частных, единичных случаев к общему выводу, от отдельных фактов к обобщениям [5]. Причем, единственный из этих методов – рассуждение по дедукции - гарантировал получение заключения такой же надежности, как и используемые посылки. Эта истина, как полагают, и была положена в основу построения геометрии. А поскольку аксиомы, по определению, оказывались общими и по отношению к природе, и по отношению к геометрии, то именно они и становились той отправной точкой, которая использовалась для «дедуктивного» построения основ как геометрии, так и других разделов математики.

Итак, перед нами действительно абстрактный метод. Но не тот научный метод, о котором говорилось выше, а иллюзия абстрактного метода. Вымышленная абстракция начинается с бескачественного определения простых, основных «абстрактных» и потому отсутствующих в природе явлений: точка, прямая, плоскость и т.д. и предписывания их природе. С простых и столь очевидных истин, что ни у кого даже не возникает вопроса: А нужны ли геометрии такие посылки и аксиомы? И абстрагированы ли они от природных свойств?

Однако, с позиций логики, в справедливости их невозможно усомниться. Эти понятия, как уже говорилось, по мнению древних греков, одинаково употребимы как в пространстве реальном, так и в пространстве геометрическом. (Свойства которого никому не известны, но известно, что геометрические фигуры можно, с одинаковым успехом, строить как в голове, так и на листе бумаги, и на поверхности Земли, что и обусловливает им воображаемую общность.) И потому аксиомы как бы становятся общими для обоих пространств и, следовательно, посылками для «дедуктивного доказательства». Именно такая «дедукция» от частностей - аксиом, отображающих одно, или ни одного, качества к общему - геометриям и обусловила появление множества взаимно противоречивых и несводимых к одной геометрий. Именно она и не позволила получить единое представление о качествах как реального, так и геометрического пространства и все дюжины геометрий, полученные методом «дедукции», до сих пор подвешены в воздухе, точнее в координатных системах бескачественных пространств, и таких же геометрий, ибо получить качественные представления из бескачественных посылок просто невозможно.

Здесь следует отметить, что не только в математике господствует метод индуктивного мышления. Практически вся современная европеизированная наука, изучающая естествознание, не имеет в своем арсенале понятия «целого» и потому базируется на том же методе индуктивного мышления. Она зарождалась с описательно – наблюдательного рассмотрения явлений окружающего мира, с эмпирического исследования его отдельных частей, с определения аксиом и постулатов, некоторым образом характеризующих эти явления или части, позволяя в какой-то мере объяснять их. Таким образом, естественные науки развивались от частного (индукция) к общему (целому). «Искали», опираясь на категории механистической философии, общие закономерности природы, представляя реальность некоторым «большим» логически связанным механизмом. И потеряли цель изучения, получив что-то «громадное», неопределенное, не имеющее никакого отношения к природе и, следовательно, к целому. Поэтому понятие целое в современной науке не наличествует. И как следствие этого отсутствия, потеряно представление о наличии качеств в математике.

Отсюда, из понимания наличия или отсутствия качеств в математике и в частности в геометрии, и вытекает вторая большая математическая иллюзия. Иллюзия того, что математика является только количественной наукой.

Удивительно, но взгляд на математику как на количественную науку, порожденный 2500 лет назад пифагорейской школой в Кратоне на юге Италии, не просто ни разу не пересматривался, но и до сих пор не подвергается никакому сомнению. Даже Клайн, критически анализируя все аспекты возможных ошибок и противоречий в основаниях математики в работе [3], совершенно не обратил внимание на бескачественный аппарат математики. Единицы математиков замечают противоречия в определениях математических понятий, в количественных математических операциях, наличие несоответствий и ошибок в проведении некоторых расчетов, и то, что почти все математические операции проводятся не с бескачественными «голыми» числами (разве что в первом классе, да и там опосредованно), а с определенными предметами или свойствами. То есть имеют явное качественное сопровождение. И, похоже, даже не возникает вопросов: А имеются ли в математике «голые» числа? Не обладает ли числовое поле особыми, не вещественными свойствами?

Пифагорейцы, наблюдая природу, отмечали, что самые различные качественные взаимосвязи и явления природы проявляют одинаковые математические свойства, и, опираясь на эти наблюдения, пришли к выводу о том, что именно математические свойства отображают сущность явлений и эта сущность скрывается в числе и числовых отношениях. А потому «голое» число у них стало началом всего, «единицей бытия». А все «тела» стали составляться из этих фундаментальных бескачественных единиц, образующих, в различных комбинациях, всевозможные геометрические фигуры. И потому, развиваясь в своей совокупности, «единицы бытия» и стали представлять в математике материальные объекты. А само бескачественное число приобрело статус «материи» (субстанции, не имеющей качеств, такой же бескачественной, как и окружающее геометрическое пространство). И как констатирует М. Клайн [3]: « …пифагорейцы, развив и усовершенствовав свои учения, начали рассматривать числа как абстрактные понятия, а объекты как конкретные реализации чисел».

Клайн противопоставляет наше понимание чисел пониманию пифагорейцев: «Учение пифагорейцев может показаться нам странным, потому что для нас числа абстрактные понятия, а вещи, физические или материальные объекты. Нам привычное понятие «число» возникло в результате абстрагирования, а ранним пифагорейцам эта абстракция была чужда. Для них числа были точками или частицами» (т.е. предметами и, следовательно, они абстрагировались от реальности. – Авт.).

Из этого абзаца не становится понятным, что же странного в понимании чисел пифагорейцами, и в чем же отличие нашего абстрагирования от абстрагирования пифагорейцев. И пифагорейцы абстрагировались (иначе они не пришли бы к числу) и мы, как нам кажется, абстрагируемся от природы (какова методология абстрагирования, в общем-то, несущественно, главное - какой получается результат). И пифагорейцы и мы видим за числами физические объекты. И пифагорейцы и мы отображаем эти объекты в «голых» числах и, следовательно, и их и наши отображения не несут в себе никаких качественных показателей, и эти числа каждый понимает так, как ему хочется: и фигурами, и точками, и частицами, и звездами, и даже Вселенной.

Главное, что не просто объединяет, а является основой понимания числа нами и пифагорейцами, заключается в том, что эти числа не несут в математике никакой качественной нагрузки. Они безразмерностны и обезличены. Они отображают только количественные величины и сами по себе (и в математике), как полагают даже философы, являются абсолютными абстракциями, а математика становится как бы наукой, оперирующей только с количественными отношениями абстрактных чисел. И это обстоятельство закреплено в определении математики как «науки, изучающей количественные отношения и пространственные формы» [6].

Отметим, что литературы, посвященной анализу качественного аспекта математической размерности, почти не встречается. Большинство математиков даже не подозревают о существовании такой проблемы. И весьма отрадно, что еще в 1996 г. в издательстве «Транспорт» вышла небольшая, но очень изящная и насыщенная монография «О взаимодействии размерностей в математических преобразованиях» А.Н. Митрохина, которую математики, похоже, не заметили [6].

Автор, исследуя проблему количественных и качественных взаимосвязей в математике, констатирует: «...математика является в настоящее время одной из самых неточных наук. Не в том смысле, что с ее помощью невозможно до какого угодно знака вычислить физическую константу p, или определить любую степень числа, или решить другие, более сложные количественные задачи, а в том, что она через свои понятия, определения и структуры объективно формирует в человеческом сознании искаженное миросозерцание, касающееся сферы взаимоотношений количественной и качественной категорий. Причиной такого положения является то, что сама математика как наука поставлена человеком на ложное основание, покоящееся на догме, идущей из глубины веков и состоящей в том, что количественная категория (число) может быть отделена от качественной и может самостоятельно развиваться. (п/ж курсив везде наш. – Авт.)

Одним из доказательств несостоятельности такой постановки вопроса может служить непонимание и неразрешимость в ее рамках «радианной» проблемы. А в целом в математике и смежных с ней точных науках существует целый букет противоречий и неувязок, образовавшихся в результате утверждения этой догмы в качестве аксиомы в науке. По этой причине, как это ни парадоксально, математика в научном мире зачастую воспринимается как «доктрина, в которой мы не знаем, ни о чем говорим, ни верно ли то, что мы говорим» или «…как наука о хитроумных операциях, производимых по специально разработанным правилам над специально придуманными понятиями», т.е. математические знания и результаты математических преобразований в среде ученых ставятся под сомнение и это находит отражение в отдельных трудах, посвященных взаимодействию математики и тесно связанных с ней прикладных наук, когда математические расчеты предлагается проверять на здравый смысл, в том числе в отдельных случаях это представлено в анекдотичной форме.

Апофеозом научного заблуждения при этом можно считать слова, приведенные, например, в работе Г.А. Аракеляна: «… когда физика как наука о природе достигает уровня, при котором основными ее инвариантными конструктами выступают голые числа, а не размерные величины, начинает явственно ощущаться и осознаваться единство физической и математической науки». Вся трагедия этого высказывания состоит в том, что автор, без сомнения обладающий большим багажом современных научных знаний, несмотря на правильный вывод приведенного суждения, способен воспринимать математические и физические величины, физические константы не как размерностные понятия, а как «голые» числа. И он не одинок в своем заблуждении, так как приведенное высказывание не осуждается в научном мире, а воспринимается как нормальное явление. Все имеющиеся факты свидетельствуют о том, что «голые» числа в настоящее время прочно занимают свое место в науке, и ученые, стоящие во главе крупных научных школ, без тени сомнения пользуются такими понятиями, как «безразмерная переменная».

Гипотеза о единстве, на основе которой органически решаются многие выявленные проблемы точных наук, показывает, что «голые» числа сами по себе ничего не могут выразить в законченном виде. Числа, несомненно, могут существовать в нашем сознании как самостоятельная количественная категория, однако любое математическое преобразование требует обязательного осмысления взаимодействия качественных частей математических величин, т.е. анализа размерностей. Количественная категория вторична, она в образе пустого числа не имеет самостоятельного значения и не может участвовать в математических операциях отдельно от качественного содержания, которое может быть выражено как очень конкретно, так и абстрактно в самом общем виде. Тот факт, что на каком-то отрезке изучения математической проблемы можно оперировать только количественной частью математических величин, например, заучивать или переписывать таблицу умножения без анализа качественного содержания сомножителей и произведения, не дает основания принимать это в целом как аксиому или некий всеобщий закон. Для полного и правильного восприятия количественной операции следует ясно представлять себе, каким образом данная математическая процедура согласуется с взаимодействием качественных частей математических величин, т.е. взаимодействием размерностей.

Отнесение физических констант, включая p, а также различного рода коэффициентов к «голым» числам является глубочайшим заблуждением современной науки».

Автор работы [6] не ограничился констатацией некорректности использования в математике голых чисел, но и, что более важно, предложил и обосновал гипотезу о единстве количественных и качественных категорий во всех разделах математики. Мы согласны с А. Митрохиным в необходимости единства качества и количества в математике, но не будем перелагать его гипотезу, ограничившись отсылкой читателей к первоисточнику, отметив только, что ни в одном разделе математики невозможно корректное производство математических операций без участия в математических преобразованиях качественных составляющих. Поскольку работа А. Митрохина существенно расширяет знание области неопределенности и заблуждений в математике, полагаем необходимым привести, с небольшими сокращениями, в нашей работе в приложении №1 «Заключение», которое было получено им в результате исследования и которое само по себе достаточно полно отражает как гипотезу, так и итоги проделанного исследования.

Отметим, что единство количественного и качественного в математических преобразованиях, за использование которого в полном объеме ратует А. Митрохин, не надуманная проблема, а является следствием логического абстрагирования от качественных категорий реального мира (наибольшей общности) к математике. Однако во времена оные абстрагирование от качества было проведено таким образом, что качественные категории, сопровождающие математические потребности, и обуславливающие появление соответствующих чисел, оказались отброшенными не только мысленно, но и практически. И эта, достаточно простая операция, необходимая как частность узкого круга практических потребностей («голые» числа почти не применяются в практике, за ними всегда стоят либо предметы, либо качества) была распространена на весь математический аппарат, что и послужило основанием считать математику только количественной наукой. Подходит пора возвращения к истокам, пора возвращения качества в математику.

Мы не приводим еще ряда других заблуждений, которые будут затрагиваться по мере изложения материала, но убеждены, что и ими перечень некорректных представлений в математике не ограничивается. Появление некорректностей - естественное следствие поэтапного, от частного к общему, изучения человеком природных явлений, но их виртуальное наличие в теории оказывает постоянное негативное воздействие на адекватное восприятие законов природы и на развитие самой математики, и тех наук, в которых она находит применение.

Эти заблуждения особенно наглядно проявляются в теории чисел. Той самой теории, которая считается «продуктом чистого разума», и с которой начинается отрицание возможности применения в математике законов диалектики. Посмотрим, имеются ли хоть какие то основания для такого отрицания.

 

1.5. Диалектические законы в математике

 

Появление диалектического мышления, так же, как и математического, было невозможно до такого периода развития общества, на котором оно достигает способности абстрактного восприятия действительности. Причем развитие математического аппарата, вызываемое практикой, могло значительно опережать познание диалектики и, соответственно, оказывать существенное воздействие на постижение ее законов и категорий. Можно полагать, что именно математика (арифметика и геометрия) породила диалектическое мышление. Диалектика же как наука, развившись и охватив своим влиянием все остальные науки (кроме математики), позабыла о своих «родителях». Иначе чем объяснить, что современная математика оперирует, как полагают, обезличенными числами, абсолютно абстрактными количественными отношениями, и числа сами по себе не несут в математике никакой качественной нагрузки и не «подчиняются» законам диалектики.

Отметим, что все эти уверения в бескачественности и обезличенности чисел не очень-то соответствуют истине. На самом деле в математике нет ни одного самого по себе бескачественного или обезличенного числа. Подчеркнем - ни одного! И это утверждение касается не качественного сопровождения чисел, а непосредственно самих «голых» чисел.

Да, действительно, математические числа, сами по себе, не обладают ни одним природным свойством и выраженной не численной индивидуальностью. Только с этой точки зрения они бескачественны и обезличенны. Однако числа обладают так называемыми формальными свойствами, которые не являются качественными, соответствующими природным свойствам, и потому не имеют размерности, а, следовательно, и не различаются между собой. Это обстоятельство как бы тоже свидетельствует о том, что числа - продукты творчества свободного ума, отказавшего числам в качественной размерности, и как вывод - безразмерностные числа не могут описывать диалектику природных процессов.

Но сами для себя и того множества, в которое эти числа входят, они обладают и качеством и, как уже упоминалось, индивидуальностью (иначе не видать бы им этого множества) будучи даже безразмерностными. Только их качественность имеет характер формального группового различия и не сразу определяется. К тому же количественная величина числа не считается индивидуальностью, поскольку можно написать бесчисленное множество чисел тождественных по количественной величине. (Например, в квантовой механике постулируется тождественность всех фотонов и электронов. Однако это не мешает физикам считать, к примеру, электрон не формальным образованием, а частицей, то есть индивидуальностью. Тем не менее, формальное тождество количественных величин многих чисел лишает на сегодня данные числа индивидуальности.)

Познакомимся с «обезличенными» числами бесконечного натурального ряда, названного Гегелем «дурным» за его «кажущуюся» бескачественность. Основное свойство чисел натурального ряда заключается в том, что операции сложения, вычитания и умножения с ними обусловливают появление тоже целых чисел. Рассмотрим элементы этого ряда и выясним, являются ли его члены качественными или бескачественными числами:

0; 1; 2; 3; 4; 5; … …25; 26; …

или

0 1 2 3 4… …25 26 …

Прежде всего, фиксируется то обстоятельство, что каждое число - целое, отделенное от другого целого точкой с запятой, запятой или некоторым пространственным промежутком. Это настолько привычно, что не вызывает никаких вопросов. А между тем вопрос присутствует: Зачем отделять числа друг от друга, если они и количественно, и качественно обезличены?

Оказывается если их не отделять, то бесконечного ряда просто не будет. Появляется не ряд, а что-то бесформенное и неопределенное. Поняв это, делаем первый вывод: чтобы иметь дело с определенными числами необходимо нужное количество цифр некоторым образом отделять от другого количества цифр (т.е. использовать геометрию). Эта известная всем с первого класса немудрящая процедура в диалектике является процессом наделения тела-целого качеством отдельного. По аналогии с выделением отдельного из целого констатируем: каждое математическое число само по себе обладает формальным качеством отдельного и уравнивается этим качеством со всеми другими числами. И как отдельное оно не имеет размерности.

Данное отдельное становится хотя и формальным (не имеющим размерности), но действенным качеством, объединяющим каждое число со всеми остальными числами. Каждое число - математическое целое. Такое же целое в математике, как материальное тело целое в природе. В нем неявно заложены свойства всех чисел математики. Оно, данное число, - «срез» в определенном месте бесконечного числового поля, представление чисел данного места. Вместилище всего множества чисел, проявленное через одно число. Оно математическое целое, выраженное посредством цифр или определенных знаков. Количество этих цифр и их численные величины - индивидуальность числа, его количественное свойство.

Отдельность - единое свойство всех абстрактных математических чисел. Через него у множества чисел появляется общее качество - отдельное, превращающее каждое число в математическое целое. А само число становится отдельным числом только тогда, когда оно отделено от другого числа некоторым подобием пространства или знаком, отображающим пространственность (прослеживается аналогия с разделением тел), и имеет свою индивидуальную численную величину.

Надо полагать, что математическое целое не то же самое, что телесное целое. Оно есть формальное «образование» и определяет только отдельность формы числа (поскольку не имеет размерности), можно сказать формальную отдельность одного, составленного из цифр числа, от другого. В этом случае, численная величина отдельности становится ее другой качественной определенностью, оставаясь также и ее индивидуальной величиной. И потому уже невозможно считать численную величину одной отдельности бескачественной относительно численной величины другой отдельности. Отсюда следует второй вывод: формальное безразмерностное количество приобретает в отдельном своеобразное значение качества, то есть, образует единое для всех чисел количественное (численное) качество, оставаясь индивидуальным для данной отдельности, для данного числа. Рассуждая онтологически, перед нами элемент своеобразного «превращения» численной (количественной) величины числа в его качественную составляющую, ту самую составляющую, которая и обусловливает существование закона перехода количественных изменений в качественные. Именно единое для всех чисел качество - «количественная величина числа» и определяет возможность проведения различных математических операций с числами.

Проведем еще одну операцию с рядом натуральных чисел. Не будем убирать точку с запятой, а уберем через число одну точку сверху. Например:

0,1; 2,3; 4,5; …; 25,26; … ® ¥ .

Получается осмысленный ряд. Но это уже не ряд целых чисел, а ряд чисел дробных. Причем в данном ряду не окажется ни одного целого числа. Однако все числа ряда обладают качеством отдельного и по этому качеству едины сами по себе и с целыми числами. Но у них появилось и новое качество, - качество дробности. И это новое качество делает целые и дробные отдельности качественно несопоставимыми между собой. Качественно различными числами по формальной количественной качественности.

Если качество целого единственно (в том смысле, что ряд заполнен только целыми числами), то качество дробного количества - множественно (дробные числа проявляют множество различных, формальных качеств). Но именно целые числа «порождают» большое разнообразие чисел дробных. И потому, без целого не получается дробного.

Целые числа тоже образуют множество. Например, множество различных, последовательных чисел натурального ряда, проявляющихся в процессе добавления к величине предыдущего числа количественной единицы. Процесс добавления единицы нарушает качественную однородность натурального ряда, образуя два новых качественно различных вида чисел:

- четные числа;

- нечетные числа.

Это хорошо известное качественное разделение целых чисел в арифметике и заложено в основу одного важнейшего гносеологического понятия - «противоположности». Обратим внимание: понятия «четное» и «нечетное» не несут никакого противоречия. Они противоположности, понимаемые как:

- четное одно количество,

- нечетное другое количество.

И ничего более. Это не логические противоположности типа да - нет, или «+», и «-», обусловливающие возникновение именно логического противоречия, хотя они по внутреннему смыслу тоже не противоречивы. Это те количественные противоположности, которые составляют сущность диалектического закона противоположностей. В таком понимании противоположности отсутствует даже намек на противоречия. Противоположностью оказывается различие чисел по численной величине, по количественному качеству. И только.

Без чисел, входящих в натуральный ряд, невозможно представить никаких целых чисел. При этом их разнородность начинается не с четных и нечетных чисел, а с первых двух цифр ряда 0 и 1, значительно отличающихся по своим свойствам от других чисел ряда.

Нуль и «ничто», и «все». Нуль - число особого качества. Единственное число в натуральном ряду, обусловливающее проведение таких математических операций, которые не могут проводиться ни с одним другим числом. Оно не относится ни к четным, ни к нечетным числам. Оно само по себе число.

Единица тоже качественно особое число и как начало счета натурального ряда чисел, и как число, не подвергающееся степенному «воздействию», и как делитель или сомножитель других чисел и т.д. Оно целое, основа качественного отдельного всех чисел. Предтеча различия целых, дробных и других «необычных» чисел.

Однако в математике на сегодня понятия о качественном различии между целыми и дробными числами отсутствует. И потому последовательный натуральный ряд целых чисел не считается полным, поскольку между любой парой целых чисел как бы можно расположить сколь угодно большое количество чисел дробных.

Эта удивительная логика почему-то забывает, что в промежутке между любыми двумя целыми числами находится не только множество простых дробных чисел, но и не меньшее количество тоже дробных иррациональных чисел. И стоит оказаться в этом промежутке хотя бы одному иррациональному числу, то его будет достаточно, чтобы прервать последовательность любой пары чисел, демонстрируя тем самым качественное отличие дробных чисел от целых, и бессмысленность утверждения о возможности существования между целыми числами даже одного дробного числа. Новое качество - свойство иррациональности, обусловливает невозможность завершения вычисления чисел и требует, как будет показано далее, осмысленного использования их в уравнениях, особенно при возможности сокращения на иррациональные числа.

Данный пример демонстрирует нахождение среди конечных, дробных чисел (дробление которых заканчивается на некоторой операции), чисел иного качества, вычисление точной величины которых не заканчивается за бесконечный промежуток времени. Да и сами целые числа легко и незаметно включаются в состав дробных простым добавлением «бесконечного» количества нулей после запятой или делением целого числа на единицу. Например, 25/1. (Это обстоятельство и спровоцировало представление о возможности расположения между целыми числами бесчисленного количества дробных чисел.) Каждое дробное число, как и целое, является индивидуальным по своему количественному качеству и единым со всеми другими числами по качеству «отдельного».

Но качественное разнообразие математических величин не заканчивается делением их на четные и нечетные, целые и дробные. Вслед за ними появляются числа соизмеримые и несоизмеримые, иррациональные и трансцендентные, мнимые и комплексные, гиперкомплексные и … т.д., демонстрируя формальную многокачественность самих математических величин. И, следовательно, возможность проведения математических операций с ними не только по качеству отдельного (которое у некоторых видов чисел может, по-видимому, оказаться несколько иным), но и по другим качествам.

Таким образом, каждое математическое число обладает, по меньшей мере, двумя формальными диалектическими свойствами-качествами (формальными, поскольку они не имеют размерности и качественно не связаны между собой), превращающими их в отдельности и индивидуальности:

Качественное свойство, - отображающее отдельное;

Количественное свойство, - индивидуальная величина числа.

Убедившись в том, что в математике отсутствуют «голые» числа, познакомимся в самой общей форме с теми процессами, которые носят название математические операции.

Математические операции с числами - это всегда качественные процессы даже тогда, когда они проводятся с «бескачественными» числами. И они протекают, как это показано выше, в полном соответствии с законом отрицания отрицания. Но те же самые процессы являются одновременно и процессами перехода количественных изменений в качественные. Покажем это на примере простого сложения:

2 + 2 = 4.

Два тождественных однокачественных по отдельности и по численной качественности целых числа при сложении образовали целое, отдельное того же качества, но другой по признаку отдельности численной величины, количественной качественности. Новую отдельность, не равную ни одной из двух слагаемых отдельностей, и ничем не напоминающую эти отдельности. И, следовательно, количественно иную отдельность. Отдельность иного количественного качества. То, что она имеет иное качество, нам не заметно уже потому, что мы не считаем количественную величину качественным показателем, поскольку считаем ее обезличенной безразмерностной и не обладающей вещественным качеством. Но обезличенность не может являться основанием для постулирования отсутствия качеств. Математические качества хотя и имеют формальный характер, но их формальность не противоречит диалектическим законам, и более того обуславливает математическим операциям возможность строгого соблюдения законов диалектики. И уже поэтому изменение количественной величины любого числа само обусловливает изменение того или иного качества. Особенно это заметно на операциях со степенями. Возьмем, например, целое число 2 и извлечем из него квадратный корень.

Ö2 = 1,414213562… .

До извлечения квадратного корня имелось два формальных качества: целое - как отдельность и целое число - как количество. В результате извлечения корня получили: сохранение одного качества - целого, как отдельности. И появление другого количественного качества - дробности. Но эта дробность, как бы не является «правильной» дробностью, она несоизмерима ни с другими дробями, ни с другими числами, поскольку обладает еще одним дополнительным, формальным качеством - иррациональностью. Данное качество выделяет иррациональные числа не только из целых чисел, но и из дробных. Оно обуславливает им свойство численной нескончаемости, а, следовательно, и невозможность проведения точных математических операций ни с целыми, ни с дробными, ни с иррациональными числами.

Получение новой количественной величины при извлечении квадратного корня из числа 2, породило новое формальное качество, отличающееся от всех остальных математических качеств. И так же, в полном соответствии с законами диалектики, проявлялись другие формальные математические качества, вызывая изумление своей «несуразностью» и, понятной всем математикам, ненадобностью. И математики, начиная с Пифагора, прилагали массу усилий для борьбы, в течение десятилетий и столетий, с этими «несуразностями», не замечая, что противоборствуют законам диалектики.

Представление о том, как с древнейших времен кардинально решаются проблемы осознания новых открытий в науке, и в частности в математике, дает нахождение иррациональных чисел пифагорейцами, описанное в [3]: «Открытие несоизмеримых соотношений легенда приписывает Гиппазию из Метапонта (V век до н.э.). По преданию, в тот момент, когда Гиппазий пришел к этому открытию, пифагорейцы находились в открытом море, - и они выбросили Гиппазия за борт, обвинив его в том, что он привнес в мироздание элемент, противоречивший пифагорейскому учению о сводимости всех явлений природы к целым числам или их отношениям».

Если даже этот случай является легендой, то это очень показательная легенда, демонстрирующая наглядно, как тяжело воспринимается учеными все то, что вносит элемент нового в уже устоявшуюся научную парадигму.

Естественно, что закон перехода количественных изменений в качественные действует во всей математике включая геометрию. Покажем это на простом геометрическом примере. Допустим, на плоскости проведена прямая А (рис. 15), и нам неизвестно какими свойствами обладает пространство этой плоскости. Пока прямая одна, никаких вопросов не возникает. Прямая А – одно, пока неизвестное качество. Проведем еще одну прямую Б. Две прямые – это уже другое качество. Нам еще неизвестно, что это за качество и как оно связано с прямыми А и Б. Чтобы определить новое качество, необходимо определиться с постановкой задачи. Говорить о постановке задачи без представления о том, какая и для чего нужна определенность, бессмысленно, поскольку у предмета бесчисленное количество качеств. Определенность сводит их к нескольким или даже к одному. Определенность достигается изменением количества рассматриваемых качеств.

Так вот, две прямые на плоскости (в зависимости от их взаимного расположения и пространства, в котором они находятся) могут оказаться параллельными либо в статической геометрии, либо в геометрии динамической. Определенность – это и есть условие проявления того качества, к которому относится рассматриваемое

 

Рис.15.

явление (фигура), а параллельность то новое качество, которое проявилось при добавлении на плоскости к одной прямой другой. Добавление нового количества в материальном мире принципиально, и всегда вызывает изменение качества.

Другое дело, заметно ли нам изменение или незаметно. Но оно всегда есть и всегда определяет нарождающееся новое качество предмета.

Перейдем к еще одному закону диалектики, закону единства противоположностей. Его очень часто и, похоже, ошибочно называют законом единства и борьбы противоположностей. Ошибка начинается с понимания термина «противоположность». Самое распространенное понимание термина включает понятия: контраст, антитеза, полярность и даже антипод, т.е. как бы в определенной степени противоречие. Но в математике не встречаются антиподы. В математике имеются числа и действия, которые хотя и противоположны по своему характеру, но определяются без всякого противоречия как одно и другое. Например, «+» и «-» : одно это плюс, другое это минус. Логические «да» или «нет» тоже обладают таким же качеством: да - это одно, нет - это другое.

Наконец, как было показано выше, последовательные четные и нечетные числа натурального ряда, которые естественно не являются противоположностями, и различаются только на единицу, тем не менее, определяются логически как противоположности. И можно сделать вывод, что противоположность это не противоречие, а две стороны одного и того же количественного качества: одно и другое.

Противоположность это не противоречие, а другое. То же самое, но другое. То же самое по качеству отдельности, но другое по количественному качеству. Математическая противоположность это численное отличие одной отдельности от другой. Количественная характеристика отдельного, или его другое качество. То самое, что отличает по величине одно число от другого. Противоположность это то, что исключает тождественность. Противоположность это изменение.

Понимание противоположности как существования полюсов у отдельного и их резкого противостояния вплоть до противоречия это не диалектика, это покушение на диалектику. Противоположность, понимаемая как противостояние, как противоборство, между качествами «отдельностей», отсутствует и не может возникнуть. Ибо это не количественное качество. Оно безразмерностная отдельность, подобная всем другим отдельностям и не изменяющаяся до определенного состояния с изменением своей количественной величины. Противоположности одной отдельности в математике не антагонистичны, они одно и то же, но разного численного количества.

Что-то приближающееся к противоречию, а скорее к безразличию, по-видимому, возникает в математике при неодинаковом изменении количественной величины каждой отдельности. Например, числа 4 и 3 - отдельности, сопоставимые между собой по количественному качеству. Допустим, число 3 возрастает и достигает величины 3×10⁷ или другой величины. Оно становится несопоставимым с числом 4, хотя оба они продолжают обладать одинаковым качеством отдельности, и никакого противоречия между ними не возникает. Дальнейшее возрастание числа 3×10⁷ переводит, его по количественной величине, в ранг бесконечности ¥. Число 3×10⁷ в новом ранге ¥, становится неопределенным по численной величине и, следовательно, хотя и остается той же самой отдельностью, переходит в новое количественное качество. Качество, полностью несопоставимое с числом 4 и потому ему не противоположное, а безразличное, поскольку ни в одной математической операции они

совместно уже не могут быть задействованы. И невозможно определить, противоречит ли отдельность бесконечного количества отдельности количественной величины числа 4. В математике, похоже, такое противоречие не возникает, поскольку, в отличие от природных качеств, формальные математические качества не обладают всеобщими взаимосвязями.

В вещественной природе, в отличие от математики, все качества взаимосвязаны. Однако, качество отдельного не является свойством или составной частью остальных качеств тел и не взаимосвязано с ними. Оно отображает только телесную безразмерностную самость - целое. Сами качества вещественных тел остаются неизменными до тех пор, пока существует сложившаяся взаимосвязь между ними. При изменении условий существования вещественных систем, так же как и в математике, происходит изменение численной величины каждого их свойства, постепенно перестраивающее эти взаимосвязи. Поскольку перестройка взаимосвязей происходит в условиях нелинейного изменения численных величин всех свойств (нелинейная деформация свойств), то наступает момент, когда некоторое свойство (свойства) разрушается, вызывая перестройку связей между всеми остальными свойствами. Происходит качественный скачок, количество переходит в качество. И возникает другое целое, другое вещество, имеющее другую количественную величину параметров и иную форму взаимосвязи всех свойств, иное качество. Вещество с иной численной величиной качеств, и может оказаться противоположным ранее существовавшему, возможно даже «антагонистичным» ему.

Таким образом, состояние, сопоставимое по одному качеству в формальной системе качеств, не может привести к противоречию, а только к противоположности. Противоречие возникает при несопоставимых численных величинах различных материальных качеств. Противоречия всегда вызываются разными величинами качеств. Противоположности - одинаковые качества, но разные численные количества свойств тел. Отсюда в материальной природе не может быть тождественных элементов. Постоянное численное изменение отдельного свойства тела (системы) - путь к противоречию.

Качество противоположности даже в математике может обусловливать стремление к изменению. Допустим, что имеется два последовательных числа 4 и 5. С первого же взгляда ясно, что это последовательные числа натурального ряда. В то же время они различны между собой количественно и как бы противополагаются друг другу (четное и нечетное), представляя собой количественные противоположности. Однако эти противоположности вызывают не противопоставления или противоборство, а понуждение к развитию ряда. И мы, интуитивно, не задумываясь, представляем, что слева от 4 может находиться только 3, а справа от 5 только 6. И понимаем, что этими, еще отсутствующими числами, ряд не заканчивается. Числовой путь только начинается и конца ему не предвидится. Это числовое единство отдельного, противоположного только по количественной величине, и вызывает внутреннее побуждение к развитию и к движению.

И можно констатировать: законы диалектики не нарушаются ни в одном разделе математики. Именно это обстоятельство и обусловливает математике поражающую всех универсальность и точность при использовании ее в естественных науках.

А теперь, переходя от математики чисел к геометрии, рассмотрим понятие «бесконечность» как то, что определяет пространственную протяженность (распространенность) природы и входит в качестве одной из базовых составляющих в геометрию.

 

1.6. Идеология пространственной

бесконечности.

 

Понятие «бесконечность» - ¥ - зародилось, скорее всего, при осмысливании последовательности натурального числового ряда. Последовательность натурального числового ряда – очень интересная вещь. Слово «по… следовать», или следовать ПО чему либо, недвусмысленно указывает на движение. Скажем, я двигаюсь по поверхности Земли и втыкаю колышки с табличкой (рис. 16).

Здесь колышки (цифры) неподвижны, а я двигаюсь с мешком колышков. Так вот, то, что воткнуто, пребывает неподвижным, а то, что в мешке, двигается со мной. В сущности, числовой ряд – это процесс, который начинается от точки, в которой мы в данный момент находимся. Все поставленные цифры - колышки относятся к другому классу – к классу неподвижных объектов. И поэтому никакой бесконечности ни дурной, ни хорошей нет. Есть две вещи:

а) ограниченное и точно известное число неподвижных объектов (мы их поставили);

б) есть процесс, который конечен в силу дискретности, создаваемой колышком «n» и колышком «n+1».

Рис. 16

Строго говоря, идея бесконечности возникает в уме, который не фиксирует, что фактически совершаются два маятникоподобных движения, а именно: «рывками» движение в сторону возрастания ряда и быстрое и непрерывное мысленное возвращение в начальную точку 1. Последнее позволяет сохранить и возобновить в памяти начало процесса, ибо только начало обеспечивает бесконечность движения от него. Иначе мы в любой отрезок времени (через час, через год, через миллион лет) будем иметь дело с двумя колышками n и n +1.

Общий вывод: Дискретное, то есть конечное (отграниченное) по определению, никогда не образует бесконечность – ни как движение, ни как процесс, ни как нахождение рядом, ни как отображение пространства.

Бесконечность возникает лишь как обратная сторона безначальности, о которой мы ничего сказать не можем, так как все, с чем мы имеем дело, конечно (дискретно, отдельно), а, следовательно, начально. Безначальное – это непознаваемое целое.

Вся наша космогония, да и все остальное, использующее понятие ¥ в физике и математике, – есть не более чем игра ума, построенная на иллюзии, что конечное отличается от бесконечного только тем, что в одном случае мы видим границу, а во втором она скрыта во мраке. И здесь забывается, что конечное это одно качество, бесконечное – другое, к тому же неизвестное, качество. А потому некорректно говорить о бесконечности природы или мира. Мир безграничен (т.е. и безначален и бесконечен одновременно) – поэтому нет никаких оснований для переноса любых умственных (или наблюдаемых в опытах) построений с граничными (дискретными, отдельными, конечными) объектами на него. Отсюда и все математические трюки с Вселенной, которая становится хоть и бесконечной, но ограниченной.

Для демонстрации непонимания бесконечности приведем пример о возрасте Вселенной из Клайна [3]:

«Начиная с Аристотеля, математики проводили различия между актуальной бесконечностью объектов и потенциальной бесконечностью. Чтобы пояснить эти понятия, рассмотрим возраст Вселенной. Если предположить, что Вселенная возникла в какой-то момент времени, в далеком прошлом, и будет существовать вечно, то ее возраст потенциально бесконечен: в любой момент времени возраст Вселенной конечен, но он продолжает возрастать и, в конце концов, превзойдет любое число лет. Множество (положительных) целых чисел также потенциально бесконечно: оборвав счет, например, на миллионе, мы всегда можем затем прибавить к нему 1, 2, и т.д. Но если Вселенная существовала в прошлом всегда, то ее возраст в любой момент времени актуально бесконечен. Аналогично множество целых чисел, рассматриваемое в «готовом виде» как существующая совокупность, актуально бесконечно».

Этот пример очень показательно демонстрирует непонимание качества бесконечности:

- Если Вселенная возникла, то она не может существовать вечно, так как вечно – это существовать всегда.

- Если же Вселенная существует всегда, то она не имеет возраста, так как растет только то, что ранее возникло, то есть, что движется от … к … , и, следовательно, конечно.

Отсюда бесконечное множество целых чисел в «готовом» виде существовать не может даже мысленно, поскольку для своего существования оно требует числа, с которого начинается отсчет. То есть наличия границы.

Поскольку бесконечное как безграничное качественно отличается от конечного, и неизвестно в чем заключается это отличие, математические операции с бесконечностью по правилам логики неправомерны. Единственное качество, которое известно о бесконечности, это безграничность, одновременное существование бесконечности и безначальности (полностью отсутствуют колышки, как и числа). Но если сущность бесконечного – безграничность, то ставится под сомнение корректность целого сонма математических теорем и даже разделов, например, теории бесконечных множеств Кантора, и, в частности, идеи взаимно однозначного соответствия между множествами. Взаимно однозначное соответствие предполагает, что на всем протяжении безграничного числового поля качество определяемого пространства и чисел, его заполняющих, остается неизменным. То есть опирается на формальную бескачественность чисел самих по себе. Покажем это еще на одном примере из того же Клайна [3]:

«Основная идея сводилась к установлению взаимно однозначного соответствия между множествами. Так, 5 книгам и 5 шарам можно сопоставить одно и то же число 5 потому, что книги и шары можно разбить на пары, каждая из которых содержит по одной и только по одной книге и по одному и только по одному, шару. Аналогичное разбиение на пары Кантор применил, устанавливая взаимно однозначное соответствие между элементами бесконечных множеств. Например, взаимно однозначное соответствие между положительными целыми числами и четными числами можно установить, объединив те и другие в пары:

1 2 3 4 5 …

2 4 6 8 10 …

Каждому целому числу при этом соответствует ровно одно четное число (равное удвоенному целому), а каждому четному числу соответствует ровно одно целое число (равное половине четного). Следовательно, в каждом из двух бесконечных множеств - целых чисел и множества четных чисел – элементов столько же, сколько и в другом множестве. Установленное соответствие (то, что все множество целых чисел можно поставить во взаимно однозначное соответствие с частью этого множества) казалось неразумным предшественникам Кантора и заставляло их отвергать все попытки рассмотрения бесконечных множеств. Но это не испугало Кантора».

Предшественники Кантора интуитивно чувствовали, что за понятием бесконечности, может оказаться нечто неопределенное и неизвестное, что и заставляло их сомневаться в возможности объединения бесконечного множества чисел в единое множество даже во взаимно однозначном соответствии. Но объединение оказывается невозможным в первую очередь потому, что сами числа обладают формальными качествами. Мы об этом можем и не догадываться, но числа-то этого никогда «не забывают». И в указанном примере во взаимно однозначное соответствие ставятся цифры числовой последовательности натурального ряда, не имеющие качества (смешаны четные и нечетные числа), числам четным, то есть имеющим одинаковое качество, и получаем сапоги всмятку. Это одно. Другое же заключатся в том, что в безначальности-бесконечности мы произвольным образом устанавливаем начало – 1 в первом ряду и 2 во втором, что несопоставимо, поскольку неизвестно, к какой отдельности принадлежит первое нечетное число и второе – четное число. А это уже совсем иное «взаимно однозначное» соответствие, не имеющее никакого отношения к бесконечным множествам. И получается, что «бесконечное множество» Кантора очередная иллюзия, мешок, в отверстие которого сыплется все, что попало (в основном цифры как значки или числа как величины). Возможны два варианта:

1. Мешок не имеет дна (не является множеством как объектом) и как был пустым, так пустым и остается в любой момент «заполнения»

2. Мешка нет вообще, – есть только воображаемое отверстие и «вещественные числа», которые берутся снизу и суются в отверстие сверху.

И то и другое не имеет отношения к понятию бесконечности.

Опираясь на бескачественность математических понятий, Кантор установил невозможное - взаимно однозначное соответствие между точками прямой, плоскости и n-мерного пространства. При этом игнорировалось, что каждый из этих протяженных объектов обладает самостоятельным качеством, различной размерностью и потому не может находиться во взаимно однозначном соответствии друг другу. А их качественное различие, как и качественное различие целых и дробных чисел, не может образовывать взаимно однозначного соответствия.

Но вернемся к математике и вспомним, что понятие бесконечности в современной науке в первую очередь является понятием математическим. По-видимому, исторически свое начало оно ведет из древних Индии, Египта и Греции. Мыслилось оно и как реальное вещественное пространство, бесконечное вширь (в смысле отсутствия внешних границ, безграничное наружу). И как пространство каждого места, бесконечное «вглубь» (в смысле бесконечной делимости, безграничное внутрь). В свою очередь качественная бесконечность мыслилась двояко: как движение, нескончаемый процесс, постоянное становление (потенциальная бесконечность) или как нечто мысленно данное, имеющееся пустое бытие (актуальная бесконечность). Опуская иные определения бесконечности из-за их недостаточной диалектической обоснованности, рассмотрим оставшееся в науке деление, опять же на две части, понятия «бесконечность». И эта своего рода дихотомия тоже не является случайностью. Она - следствие диалектического обобщения категорий покоя и движения и распространение этого обобщения за границы окружающего мира. При этом потенциальная вещественная бесконечность (протяженность) символизирует непрерывность движения, его постоянную незавершенность, неопределенность и неисчерпаемость в любой области пространства как вглубь, так и наружу. Бесконечность же актуальная в свою очередь мыслится (именно мыслится, поскольку не имеет никакого отношения к реальной бесконечности) как пустота с плавающими в ней отдельными телами, как статическая данность, существующая повсеместно в виде некоторых структур и проявляющаяся в самых различных, вещественных объектах в безграничной области пустого пространства. Но проявляющаяся не как всеобщая, зримая субстанция, не как взаимосвязанная с пространством сущность, а как вкрапинки единой картины, как элементы неподвижной мозаики, выхваченные без связей из общей системы актуальной бесконечности, представители единой, мыслимой абсолютно абстрактной структуры мира (основа абстрактной статической геометрии).

Можно предполагать, что отображение и актуальной, и потенциальной бесконечности в геометрии есть следствие, с одной стороны логики отображаемого предмета и своеобразия реального мира, а с другой - влияние на восприятие этого мира особенностей ощущения человека. Поэтому при рассмотрении геометрической бесконечности приходится интегрировать эти области на актуальные и на потенциальные аспекты проблемы. Попробуем определить диалектику качеств, которые следует ожидать и в актуальной мыслимой, и в потенциальной бесконечности. Рассмотрение начнем с достаточно изученной, но это не значит, что с более понятной, не имеющей четких границ в математике, актуальной бесконечности.

Актуальная геометрическая бесконечность - метрическое трехмерное пустое (следовательно, только мыслимое), изотропное, однородное пространство - понимается как самостоятельная субстанция, наполненная статической (тоже мыслимой) материей - точками, структурированной по иерархии равнозначных бесконечностей. Она воспринимается внешним наблюдателем как фон, как метрическое, трехмерное изотропное пространство. Пространство как субстанция точек и фигур безгранично, непрерывно и бесконечно по длине, но не обладает протяженностью, образует однородную и изотропную нематериальную систему (пустую вместимость). Время, как и пространство, самостоятельная субстанция, а потому в актуальной геометрической бесконечности отсутствует. При теоретическом описании предметов актуальной бесконечности материальные объекты заменяются точками, связи иногда линиями, а чаще опускаются, что может приводить к распадению взаимосвязей системы. Прямые и точки равнозначны и взаимообратимы во всем бесконечном пространстве. Движение точек фиктивно, мыслимо, нереально и как бы воспроизводит (проявляет) элементы уже наличествующей структуры, но воспроизводит не как результат движения, а как проявление уже имеющихся, но скрытых в этой области данных фигур и элементов. Движения, как изменения положения точки (фигуры) относительно пространства или других фигур, в актуальной геометрии не существует. Проявление, отображаясь траекториями, происходит без взаимодействия с пространством, т.е. по инерции.

Актуальная бесконечность геометрически представляется как вневременной набор в определенном порядке некоторого множества протяженных (безграничных) равнозначных и непрерывных структур, не имеющих конца и как бы налагающихся друг на друга. Качественные различия между структурами отсутствуют. Переход от одной бесконечности к другой осуществляется скачком (и трудно представим). Метричность (при ее использовании) ни в фиктивном (мыслимом) движении, ни в переходе по количественной величине не меняется. Реальное движение в актуальной бесконечности неосуществимо. Каждая из «возникающих» в ней геометрий описывает параметры одной или нескольких структур.

Отсутствие качественных свойств и связей между геометрическими структурами обусловливает возможность теоретического рассмотрения четырех и более мерных, актуальных бесконечностей, хотя эмпирического подтверждения этому не наблюдается, и нет ясности в понимании того, что же определяет пространственную мерность, так же как и нет подтверждения замкнутости или искривленности пространства. Фиктивная замкнутость или искривленность - следствие теоретического применения методов определения кривизны Гаусса и варьирования граничными условиями, предполагает возможность существования безграничного, но конечного пространства, и не является элементом актуальной бесконечности, а некорректным смешиванием плоскостности (одного качества) с протяженностью (другого качества), к тому же относящегося не к актуальному, а к потенциальному пространству.

Здесь следует отметить ошибочность введения в геометрию Риманом понятия «безграничного» пространства как некоторого аналога понятию «бесконечного». Безграничное, по Риману, понимается не как поверхность некоторой ничем не ограниченной бесконечной протяженности, а как поверхность конечной протяженности, не имеющей границ. В качестве примера указывается на поверхность сферы, которая не имеет границ, но, тем не менее, конечна по численной величине. Здесь имеет место путаница в понятиях. Она вызвана отсутствием в современной геометрии понятия «качество» и игнорированием протяженности как качественного свойства. Понятие протяженность предполагает одним из своих свойств, структурную безграничность во всех направлениях от любого центра или рассматриваемой точки. Т.е. то качество, которым не может обладать сферическая плоскость - другое качество. И потому понятие сферическая безграничность не является аналогом понятия бесконечность. Оно всегда отграничение одного объема от другого. Всегда конечное для определенного направления протяженности, кроме параллельного. (Для сферы - ограничение протяженности во всех направлениях, если исходить из ее центра, т.е. ограничение бесконечности.)

Введение в некоторое геометрическое пространство актуальной бесконечности несобственных точек, прямых и абсолюта, нарушает равнозначность геометрических элементов, деформирует актуальность и привносит в данные статические геометрии отдельные качества потенциальной бесконечности. И это вполне естественно. Актуальная и потенциальная геометрии, похоже, неразрывны в формальном мышлении и в своих отображениях, но не в природе.

Все геометрии, кроме статической геометрии Евклида, как и возможно вся математика, построены с использованием как свойств актуальной, так и потенциальной бесконечности. Однако в них значительно преобладают свойства актуальной бесконечности. Изучение свойств потенциальной бесконечности только начинается и потому охарактеризовать их значительно сложнее, да и геометрия, имеющая своим базисом потенциальную бесконечность, только создается. Рассмотрим некоторые из свойств, которые проявляются в потенциальной бесконечности.

Прежде всего, потенциальная бесконечность предполагает материальность (телесность) пространства и его бесконечное самодвижение. Самодвижение как атрибут материи включает и движение тел относительно самих себя (пульсация) и перемещение их относительно друг друга и пространства. Именно повсеместное нескончаемое движение является символом потенциальной бесконечности. И его полностью отображает девиз, использованный капитаном Немо: «Подвижное в подвижном». Но не только движение.

Материальность и безграничность, понимаемые как бесконечность внутрь и наружу, предполагают наличие качественной иерархической, разграниченной между собой ранговой, ячеистой, взаимосвязанной структуры бесконечностей так, что каждый их уровень дискретен сам для себя и состоит из взаимосвязанных динамических ячеек. Но для «верхнего» ранга эта дискретность проявляется как непрерывность. То есть, как дискретность не различается. Эта непроявляемость дискретности - следствие несводимости одинаковых по мощности (одно качество), но различных по взаимодействию рангов (другое качество).

Пространство потенциальной бесконечности образуется определенным образом структурированной материей и обладает всеми свойствами материальных тел. Искривленность поверхности тел и пространства в смысле Римана, как и Эйнштейна, отсутствует. Свойства тел, включая время, бесчисленны, взаимосвязаны, взаимозависимы и принадлежат всем телам во всем бесконечном пространстве, как и самому пространству.

Тела движутся в вещественном пространстве, взаимодействуя с пространством и изменяя скорость в результате взаимодействия, с одновременным изменением количественных величин своих свойств. Само пространство повсюду неоднородно и анизотропно как вглубь, так и наружу. Его анизотропность проявляется в самодвижении, в существовании напряженностей различных полей, в наличии многоплотностных образований в каждой области пространства.

Потенциальная бесконечность многоплотностна (многомерна). Каждая мерность связана со всеми свойствами тел, образующих пространство, и обусловлена соответствующей плотностью. Введение методом Римана большого количества взаимно независимых мерностей возможно только мысленно и только в актуальном пространстве. Оно не отображает качественных различий в протяженностях и приводит к разрушению взаимосвязи между свойствами пространства.

При переходе к геометрии потенциальной бесконечности следует учитывать, что сложившееся понимание первичных элементов: точки, прямой, плоскости вряд ли применимо в рамках потенциальной бесконечности. Так, точка в потенциальной геометрии представляет собой бесконечную внутрь и отграниченную от внешнего пространства поверхностью сферу определенного ранга (короче - точка это сфера, не имеющая центра). Ее ранг не сопоставим с рангом окружающего пространства. Напряженные точки одного ранга при сближении «отталкиваются», а при раздвигании «притягиваются». То есть обладают физическими свойствами. Поэтому точки одного ранга не могут «выстраиваться» в линию «впритык». Обязательно между ними должно оставаться опять же несоизмеримое по рангу пространство, содержащее нейтральную зону одинаковой с другой точкой напряженности. Точки же различных рангов несовместимы и не могут «соседствовать» друг с другом. Движение точек (в смысле перемещения) сопровождается их качественным и количественным изменениями, а параметры движения определяются напряженностью внешнего поля. Метричность, в смысле существования жесткого неизменного во всех областях пространства единого эталонного метра, отсутствует (следствие анизотропности пространства). Движение твердого тела (метра) в любом направлении (кроме эквипотенциальной поверхности) сопровождается изменением его объема, и, следовательно, протяженности (конечно в сопоставлении со статическим состоянием). Геометрическая линия в потенциальном пространстве - условность. Она может быть проведена от поверхности одной точки до поверхности другой. За этой поверхностью линия стремится в бесконечность к недостижимому центру точки, и потому ее длина тоже бесконечна, а точка - всегда разрыв линии. Линией можно полагать след траектории движущейся точки. А поскольку точка в анизотропном пространстве не может двигаться с постоянной скоростью, то «искривление» линии и будет отражать эту реальность.

Движение и самодвижение тел-точек их силовая деформация (динамика) такая же равноправная категория геометрии, как и покой. Однако отображать движение в геометрии сложнее еще и потому, что именно покой как статичность - основная категория, определяющая структуру существующих геометрических соотношений (инвариантов) и одновременно динамичность как инвариантное отображение их бесконечности.

Таким образом, представление актуальной и потенциальной бесконечности имеет как общие свойства, связанные с самой бесконечностью, с ее неопределенностью, и безграничностью, так и различные свойства, характеризуемые для актуальности статичностью бесконечности, а для потенциальности - напряженностью, инвариантным «движением», становлением. Так, актуальную бесконечность наиболее полно отображает евклидова геометрия, а основные положения геометрии, отражающей потенциальную бесконечность, будут изложены ниже. Все остальные геометрии включают в себя в различных пропорциях свойства как актуальной, так и потенциальной бесконечности.

Однако оба вида бесконечности, - актуальная и потенциальная обладают одним общим качеством, которое, как это ни удивительно, до сих пор пропущено в философской литературе, делая ущербным и односторонним само понимание термина «бесконечность».

Рассмотрим, что же, в соответствии с диалектической логикой, означает само понятие «бесконечность», исходя не из понимания безграничной протяженности или пространственной распространенности, а из того, какой термин отображает противоположное понятие.

Общепринято и в учебниках по философии зафиксировано, что антиподом понятия «бесконечное» является понятие «конечное». Но понятие «конечное» предполагает существование у бесконечного «начала». Однако бесконечное потому и бесконечное, что не имеет ни начала, ни конца. Да и само «конечное» существует не потому, что имеется его «антипод» бесконечное, а потому, что существует более явный антипод «начальное». Понятие «конечное» антипод понятию «начальное», по структуре самой логики. Там, где появляется «конечное» почти всегда можно найти «начальное», но практически никогда «бесконечное», разве что в философской литературе. Так как «бесконечное» не имеет ни начала, ни конца, то и быть прямым антиподом конечного оно не может по определению. А поскольку в бесконечном «начало» и «конец» отсутствуют, то антиподом его может быть только термин «безначальное»

Понятие «бесконечное» по диалектике - это одновременно «безначальное».

Безначальное как антипод бесконечного логически отрицает существование конечного. Там где есть бесконечное, конечного быть не может.

По-другому говоря, у бесконечного ни в одной точке пространства не может быть начала. Бесконечный мир по определению не имеет ни конца, ни начала.

В сущности термин «бесконечное» это проявление антропоцентризма. Субъект всегда «движется» в бесконечность от себя, как от начала, как бы становясь центром мира. Не имея представления о безначальном, мы при бытийном логическом мышлении не можем выйти на понятие «конечное» и вынуждены вводить этот термин «руками», опираясь на эмпирику каждодневного и постоянного общения с конечными вещами. Вводить конечное, логически ошибочно понимаемое как противопоставление бесконечному. О понятии «конечное» философы уже были информированы хорошо, хотя и получили эту информацию, «перепрыгнув» через безначальное.

И, в общем-то, можно было бы и дальше обходиться без термина «безначальное». Но, не имея его, мы не в состоянии объяснить существование конечного в бесконечном. И более того, необъяснимым оказывается то обстоятельство, что бесконечное образуется вещами только конечными, поскольку у данных антиподов отсутствует переход от конечного к бесконечному. При наличии безначального возникает возможность такого перехода. И элементом перехода становится точка, тело другого ранга относительно бесконечного. То есть то, что по своему рангу не сопоставимо ни с чем и не имеет ни начала, ни конца (то, что ни начальное, ни конечное). Точка-тело, возникшая в бесконечности, сама по себе ни начало, ни конец и существует как бы как «неподвижное» образование. Но в природе неподвижность отсутствует и потому, пульсируя в унисон с окружающим пространством, точка приобретает движение. И в момент минимума и максимума пульсации у точки проявляются начало и конец. Безначальное становится начальным, а начальное, это то же, что и конечное. Так проявляет себя конечное в бесконечном. Так структура бесконечного образуется структурами конечными. Так может появляться выделенная точка на бесконечности в любой области этой самой бесконечности. Базисная точка, точка от которой начинается конечное в бесконечном.

Повторимся. Рассуждая о бесконечности и конечности на бытийно-логическом уровне, мы упираемся в скрытое противоречие отсутствия либо бесконечности, либо конечности вещей. Если у бесконечного отсутствует начало, то отсутствует и конец. Получается, что в природе нет ничего конечного. И, следовательно, нет никаких конечных вещей и нас с вами - конечных, рассуждающих о бесконечности. И снова перед нами антиномия и эта антиномия логически не преодолевается. Ее просто пропустили, постулировав самостоятельное существование конечного и бесконечного. Но мы-то существуем, доказывая это даже своими рассуждениями, и тем самым каким-то образом совершаем алогизм, разрешая противоречие. Каким же образом?

Мы уже констатировали, что бесконечное есть безначальное и вся природа не имеет ни начала, ни конца. Если этот тезис правомерен, то правомерен и противоположный тезис: каждая точка пространства есть начальная точка конечного, она же и конечная точка бесконечного. А из этой посылки вытекает одно из основных положений диалектики: Любая точка пространства и конечна, и бесконечна, и начальна, и безначальна. Все и конечно, и бесконечно. Каждая точка (тело) пространства индивидуальна. Тождественные точки (тела) в нем отсутствуют». Конечное и бесконечное в точке есть результат позиции наблюдателя (субъекта). Наблюдатель вне точки (тела) фиксирует ее конечность. «Переместившись» внутрь - фиксирует ее бесконечность.

Но, имея представление о безначальном и начальном, мы встаем перед проблемой: Как определиться в бесконечности с безначальной точкой? Иначе говоря, как выяснить в какой точке бесконечного пространства мы находимся? Ведь если каждая точка пространства индивидуальна, то мы, находясь на ней, должны всегда иметь возможность определить место своего нахождения, определиться с индивидуальностью этого места. Именно это и следует из диалектики начального и безначального. Естественно, что до постановки такого вопроса ответа на него не было. И современная математика такого ответа не дает. Поэтому оставим этот вопрос и перейдем к качественным аспектам математики.

 

1.7. Качественные аспекты математики

 

Природа, обозреваемая научными методами, состоит из отдельностей и потому главное внимание науки неявно и неосмысленно обращается на понятие «отдельного» и его отображение в основах математических символов, чисел, фигур.

В материальном мире отдельность это всегда тело, сохраняющее все материальные свойства (да иначе его невозможно и выделить из окружающего фона). Эта отдельность фиксируется мыслящим субъектом и бессознательно переносится на любое искусственное отображение и на объем, и на рисунок, и на индекс, и на букву, цифру или знак. Качество «отдельность» уравнивает в мышлении все окружающее: и предметы, и индексы, числа, знаки и становится основным отображением материальных предметов и их искусственных образов. Все, что не является отдельным, не воспринимается и потому не существует. Математики в своей индексации опираются именно на это главное для субъекта качество природы – отдельность. Все отграниченное от окружающей среды или фона, наделяется, в неявном виде, качеством отдельного. Операция перенесения свойства отдельного на все выделяемое и придает данному свойству всеобщий характер.

Таким образом, искусственные отображения предметов реального мира – индексы, символы, цифры и т.д. приобретают объективное содержание формального качества отдельного. Предметы и тела - естественные отдельности – целые. Индексы, числа, символы – «воображаемые» отдельности, символические отдельности. Без наличия качества «отдельность» появление математики было невозможным.Качество «отдельность» становится «проводником» исполнения законов диалектики в так называемых точных науках, становится первым и основным качеством отображения природы в мыслительном аппарате субъекта.

Отдельность не является абстракцией. Отдельность предметов и тел это внешнее отграничение формы от других отдельных в Целом, но не выделенных их из Целого. Это целое другого ранга. Оно носитель материального качества и как таковое обуславливает возможность логических операций с искусственными образованьями. Искусственные отдельности становятся как бы самостоятельными объектами, выделенными порождениями мышления (измышленными, потерявшими связь со свойствами природы), как бы априорными продуктами чистой человеческой логики. Именно это обстоятельство навело Канта, не имевшего представления об отдельном, на мысль, что «… все утверждения математики не являются неотъемлемыми признаками физического мира, а создаются человеческим разумом». И не только Канта, но и множество других философов и особенно математиков. Вот как сформулировал это кредо второй Ньютон Англии математик и физик Уильям Гамильтон: «Такие чисто математические науки, как алгебра и геометрия, являющиеся науками чистого разума, не подкрепляемые опытом и не получающие от него помощи, изолированными от всех внешних и случайных явлений…. Вместе с тем это идеи, рожденные внутри нас, обладание которыми в сколь нибудь ощутимой степени есть следствие нашей врожденной способности, проявление человеческого начала».

«Математик, – присоединяясь к ним, утверждает крупнейший математик Гильберт - творит понятия и аксиомы априорно» и «математика пользуется такими идеальными объектами, которые возникают при отвлечении от всех свойств материальных предметов, кроме количественных и им подобных отношений, пространственных и им подобных форм». Эти утверждения являются следствием отношения к математике как к умозрительной, количественной науке, не имеющей никаких связей с природными качествами. Существует, например, устоявшееся мнение, что «математика отвлекается от качественных особенностей объектов…». «Математика отвлекается …» не в большей мере, чем любая другая наука. Только количественное сопровождение математических операций, на которых концентрируется внимание в математике, вуалирует и отодвигает на второй план все те свойства, которые непосредственно не связаны с числами или индексами. И обусловлено это отсутствием представления о том, что все выделенные из окружающего фона природные и искусственные элементы обладают общим для всех их материальным качеством отдельного. Априорно ничего не творится. Утверждение об априорности математического творения игнорирует отдельность. Но без отдельности любое математическое понятие просто не существует. Математики всегда оперируют с отдельностями материального мира, с их свойствами, отличающимися от свойств окружающих тел только формальным характером (например, кажущейся безразмерностью) отображения отдельностей определенной формой символов или чисел. Качественные аспекты математики начинаются с понимания отдельного и его места в математических отношениях.

Отдельность и в математике не абстракция. Она отображает Целое в логических взаимосвязях индексов математики. И потому взаимосвязи искусственных отдельностей следуют законам существования Целого.

Ни одно искусственное понятие не может быть полной абстракцией, абстракцией в которой ничего нет из материального мира, поскольку в ней всегда отображается одно реальное природное свойство - отдельность. Привлечение в математическое понятие даже одного объективного свойства природы (точнее опора в любом понятии на свойство природы) а тем более на основное – отдельность, обусловливает математическим операциям с индексами и числами отображение определенной, скрытой от субъекта формы природных отношений. Отношений, обусловленных взаимодействием между телами. Другое дело, что это свойство методами аксиоматизации выхолащивается до полного исчезновения в понятийной форме. (Например, аксиоматика Гильберта, или, определение понятия «точка»: точка – тело не имеющее протяженности. Но и в этом случае сохраняется представление об отдельности точки.) Именно отдельность каждой фигуры или символа придает геометрии, как и всей математике, способность отображать формы реального мира. Отдельность это единственная природная форма, которая сохраняется при любых способах абстрагирования от реальности и потому остается в неявном виде во всех операциях математической логики, обусловливая возможность отображения реальных природных процессов. И как следствие, математические символы, сведенные в абстрактные уравнения различных разделов математики, всегда «помнят» по структурам этих уравнений о своей «принадлежности» тому или иному свойству или качеству материальных тел. Именно качество «отдельность», сохраняющее смысл целого и действующее как целое, обусловливает такую форму абстрактной памяти. А потому, подчастую, оказывается неожиданным появление в результате расчетов некоторых чисел или фигур, которые не закладывались и даже не предполагались в рассматриваемой системе уравнений.

Математик не воспринял первичности отдельности и перешел на логику бескачественного количества, не заметив, что вместе с количеством как отображением реальности в математическую логику вошло и формальное качество, качество самих формальных фигур, чисел, символов. Так математика превратилась в особую рассудочную науку, имеющую свой предмет, - число и фигуру. При этом не было замечено главное для этих предметов - отдельность. Забвение отдельности как целого, как основы всех предметов и обусловило появление аксиоматических методов сначала в математике, а затем и в других науках. Введение индексов, отвлекая от конкретного количественного содержания чисел, тем не менее, не отвлекает их от отдельности. Символ всегда сохраняет качество отдельности. Так незаметно произошел переход от предметов как отдельностей к классической концепции, забывающей об отдельности в математике и рассматривающей в качестве своего предмета числа и фигуры.

Символические отдельности не обладают всей гаммой свойств, присущих природным образованиям и потому несопоставимы как системы (они по совокупности свойств не равнозначны), но, будучи искусственно отделенными от среды и, обладая минимальным количеством природных свойств, символические отдельности становятся едиными понятиями с естественными отдельностями. Искусственное выделение обусловливает проявление в них свойств формальных, отображающих неявным образом некоторые аналоги природных свойств, позволяющих проводить с символами математики операции по законам диалектики.

Наличие отдельного как выражения целого в математических методах сопровождается порождением формальных свойств, отображающих иным образом те качества и свойства природы, которые наличествуют в отринутых природных качествах. Именно эти формальные свойства обусловливают процессам логического мышления и математическим операциям определенную адекватность процессам реального мира. Природные отношения реальности отображаются в математической логике как отношения между индексами отдельностей, но по логике природных процессов. Причем в статической математике неявно и схематично отображаются чаще всего непонимаемые, например, физические или биологические процессы. Непонимаемые постольку, поскольку за индексами и цифрами не видна физическая или биологическая сущность и механизм соответствующего процесса. И итогом математических выкладок подчастую становится не понимание происходящего процесса, а подгонка результатов под эмпирические факты, выработка определенной последовательности действий для перехода от одного процесса к другому иногда даже различными математическими методами. Вот почему основной продукцией теоретиков являются горы исписанной бумаги при минимуме результатов.

Отдельность – прародитель числа. Она, придавая искусственным индексам и числам качество равнозначности, обусловливает для них возможность установления взаимно – однозначного соответствия по единому для всей природы качеству отдельного. Последнее и становится основой, как для простейшего счета, так и для всех математических операций. Равнозначность отдельного в виде тела, вещи, предметов или искусственных символов, букв, чисел, индексов позволила Пифагору выразить ее краткой фразой: «Все вещи суть числа». Это утверждение напрямую придает числам телесную значимость, скрывая их основное качество – отдельность. Но телесная значимость есть комплекс взаимосвязанных природных свойств. Число же этими свойствами не обладает. Как искусственное преобразование телесного через отдельное число, индекс, символ отображает некое наличие телесного при отсутствии тел не через комплекс природных свойств, а через одно всеобщее свойство – отдельность.

Любое «безразмерностное» число или символ, рассматриваемое само по себе и для себя, то есть вне уравнения, ряда или матрицы, имеет единственное значение, которое мы себе представляем. Но за ним всегда скрываются некоторые математические структуры, о которых мы подчастую не имеем ни малейшего представления, но которые обеспечивают каждому числу внутреннюю сакральность. Сакральность числа – «свернутая» (по выражению Н. Кузанского [7]) количественная величина числа, знака или индекса, скрывающая те составляющие его отдельности, которые «всплывают» в зависимости от операций, производимых с числом. Число, являясь определенным качеством и количеством, содержит в себе в свернутом виде, множество других чисел.

Сакральность каждого числа – это также его память, его способность скрытого участия во многих математических операциях, способность «чувствовать» свое место в них. Свойства память числа и формы – определяются гармоничными связями внутри уравнений.Подчастую неизвестно, какая «количественная сущность» и какое качество представлено числом (символом) в любом уравнении, поскольку символические математические отдельности, в зависимости от граничных условий, могут отображать разные природные качества. Число как отдельность, всегда сложное не только количественное, но и качественное образование и может оказаться носителем двух, трех, четырех и более свойств:

Отдельность, – качество (например, ноль).

Отдельность, качество и количество (число целое, дробное, иррациональное и т.д.)

Отдельность, качество, количество и другое свойство (комплексные числа).

Отдельность, качество, количество, третье и т.д. свойства (например, кватернионы).

Математические операции с многокачественными числами должны проводиться таким образом, чтобы за числами сохранялись все обретаемые ими качества. Причем качества эти не всегда подлежат сокращению, поскольку сокращение качества подчастую меняет физический и математический смысл уравнения. Например, вряд ли подлежат сокращению члены уравнения, содержащие качество – отдельность, выраженную безразмерностным числом p, поскольку сокращение на него превращает уравнение окружности в уравнение некоей другой геометрической фигуры, т.е. меняет качество уравнения, а вместе с ним и смысл обретаемого решения. Похоже на то, что трансцендентные числа, как и числа иррациональные, являются своеобразными комплексными составляющими геометрических величин.

В структуре каждой математической операции основой являются качественные свойства тех числовых отдельностей, которые в ней используются. Качественные свойства математических отдельностей, хотя и имеют во многих случаях формальный характер, тем не менее являются некоторыми аналогами физических размерностей. Только их размерностью становится не символика свойств, как в физике, (например, см, сек, гр., и т.д.), а те признаки свойства, которые принадлежат элементам индексов, фигур, символов. Математические операции могут производиться только между подобными элементами. Включение в них неподобных, так называемых безразмерностных элементов изменяет структуру операции, переводя весь процесс из одного раздела математики в другой. (Например, сокращение размерности в см как качества отрезков, превращает геометрическую операцию в алгебраическую). Поэтому в геометрии невозможно сокращение размерностных индексов. Геометрия – качественная наука.

Математика – наука о качественных, количественных и пространственных формах действительного мира. Она оперирует с символами, числами и их индексами, и потому число как отдельность является базовым элементом математики. Отсутствие в современной философии всеобщих понятий «Целое» и «отдельное» привело к выводу об оторванности математических символов от материальных тел. К выводу об особенности восприятия понятия числа только как количественной величины, постижение которого, как полагают, связывалось, например, у первобытных людей с количеством пальцев. Кажущееся отсутствие явного прообраза понятия «числа» вне математики обусловило появление односторонних внутри математических определений данного понятия, как бы не связанного с реальным миром. Имеется несколько определений понятия «число», порожденных математическими образами, т.е. исходящими из потребностей математических операций. Ориентируясь на [8], кратко опишем некоторые определения числа, исходящие из математики. Одно из первых определений изложено в «Началах» Евклида:

Пусть

S = {1,1,1,…}

представляет собой бесконечное множество геометрических отрезков, называемых единицами. Тогда натуральное число N определяется следующим образом:

N = 1 + 1 + 1 + … + 1 (N раз).

Это определение является основой математических понятий простого и составного числа, делимости и сравнения, операций умножения и деления и т.д.

Известен подход к определению числа, названный «конструктивным». Согласно ему «конструктивное» действительное число А, являясь математическим объектом, задается следующей формулой:

A = åa_i2ⁱ , (а)

a_i Î {0,1} и i = 0, ±1, ±2, ±3, … .

Число определяется следующей интерпретацией. Пусть

В = {2ⁿ}, (в)

множество геометрических отрезков длины 2ⁿ (n = 0, ±1, ±2, ±3, … .). И «конструктивными» действительными числами становятся все математические объекты, представленные в виде конечной суммы геометрических отрезков из (в) в виде (а).

Можно привести определение действительного числа, данное И. Ньютоном:

«Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлеченное отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу».

И здесь мы имеем дело с определением действительного числа средствами математики. Из вышеперечисленных определений ни одно не обосновывает правомерность соответствия чисел тем предметам реальности, которые скрываются за ними. Такое соответствие может содержаться только с опорой на эти предметы.

Встречаются и «внешние» относительно математики определения. Пифагорейская математика, например, так определяла понятие «число»: «Число есть отражение количественных отношений между вещами». Напомним, что у пифагорейцев числа – самостоятельные идеальные сущности, от которых зависят предметы реального мира. Но это понятие можно высказать иначе: «Число – это выражение определенного количества» [9]. Или, «Число – отражение количественных отношений между вещами». Последнее ближе к истине, но неточно, скорее число – отражение количественных отношений между отдельностями. Или иначе – число – цифровой символ отдельного в математике. Это определение устанавливает взаимно однозначное соответствие между всеми вещественными и искусственными отдельностями, превращая их в равнозначные отдельности. Именно равнозначность отдельностей и обусловливает возможность проведения математических операций с самыми различными формами отдельностей.

Здесь надо отметить одну существенную особенность физических свойств, которые в принципе не могут быть отделены от тел, и, следовательно, формально не могут становиться отдельностями. Физические свойства не существуют самостоятельно. Как природные характеристики тела они не являются отдельностями, не являются выделенными, отграниченными от тел или от фона. Более того, свойства тел есть «ничто», но тела, ими образуемые, есть все. И это «ничто» одного тела взаимодействует с подобным «ничем» другого тела и изменения, обусловленные этими взаимодействиями, могут фиксироваться как визуально, так и приборно. Именно количественная характеристика качественных «составляющих» тел, имеющая внешнее отображение в образе размерности, становится признаком отдельности для физических свойств. Размерность обусловливает однозначное соответствие между различными свойствами тел как отдельностей и равнозначность всем другим отдельностям, в том числе и искусственным. Но, как было показано ранее, свойства имеют кроме размерности и еще одну количественную характеристику своей значимости у тел.

Счет, как и все математические операции, основан на установлении взаимно однозначного соответствия между различными отдельностями, между равнозначными отдельностями. Свойство отдельность придает искусственным образованиям (числам, индексам, символам, значкам) равнозначность, лишая их качественного различия и отрывая тем самым от реальности, превращая в «заместителей» реальных предметов, их процессов и свойств. При этом операции с индексами (сложение, вычитание, умножение и т.д.) становится математическим отображением «движения» отдельностей, моментом движения их в статической форме.

В природе не существует ни точек, ни прямых, ни плоскостей, ни других геометрических форм, изучаемых математикой, ни даже свойств, изучаемых физикой, химией и другими науками. В материальной природе существуют тела и телесные образования в виде отграниченных отдельностей, обладающих свойствами, и именно эти отдельности изучаются на своем языке различными науками. Наличие единого объекта изучения и обусловливает математике универсальность применения в различных науках, но формализованный абстрактный аппарат обусловливает ей наличие формализованной качественной структуры логического согласования количественных факторов. В этом случае абстрактные символы приобретают безразмерностные свойства, тем не менее, подобные природным размерностям. Они-то и обусловливают соблюдение законов природы в формальных количественных взаимосвязях, заменяя движение динамическое природное на движение статическое вневременное. Статическое «движение» – мгновенное движение. Мгновенье – это покой, а не движение. Система последовательных мгновений в математике – движение. Это и позволяет описывать эмпирическое движение абстрактными формами – математическими структурами.

Движение в статической математике скрыто за процессами суммирования, вычитания, дифференцирования, интегрирования и т.д. Всякое сложение двух или более чисел есть не просто получение их суммы и не всегда именно сумма определяет необходимый результат, хотя она и образуется, а объединение чисел в одном количестве (как бы объеме) слагаемых. Причем сами слагаемые остаются в неявной форме (скрытой за числами) в этом объеме отдельностями. Они не теряют своей численной индивидуальности, не «сливаются» с другими количествами (хотя и отображенные в одном числе, результате, кажутся слитыми, лишенными отдельности). Т.е. остаются самостями в новом количестве и качестве, и только по этой причине всегда могут быть «извлечены» из результирующего количества. Сами количества (числа) как отдельности, в свою очередь, представляют собой некое неявное объединение более «мелких» отдельностей (отдельностей либо другого ранга, либо другого качества), допуская по этой причине «свое» дробление на любое количество отдельностей по новым качественным признакам. Переход от ранга к рангу есть и количественное и качественное изменение. Например, дробление некоего количества по качеству целого отдельного, т.е. кратно единице, создает определенное число целых отдельностей. Но дробление того же количества по качеству дробного отдельного создает отдельные меньше единицы, но в большем количестве. И в случае разделения чисел по качеству дробного целые числа в ряду дробных не могут находиться. Даже будучи целыми, они должны иметь формы, отображающие их дробность, например 8/2; 33/11; 93/31 и т.д. Это создает и определяет единую систему отдельностей.

Процесс движения в статической математике происходит мгновенно, т.е. вне времени и без связи со временем. Но именно мгновенный процесс обусловливает получение результата. (Вне зависимости от естественного времени осуществления, например, складывать 2 + 2 – можно миллион лет, но результат сложения - 4 не зависит от этих лет. Он мгновенен.) Он есть следствие логического переформирования отдельностей, и это переформирование реализуется мгновенно. Понятие «мгновенно» не включает в себя никакого времени, но оно-то и обусловливает изменение форм отношения между любыми искусственными отдельностями. В сущности это отражение реального процесса «ныряния» в небытие, описанного в разделе 1.1. на примере пульсации Земли. Здесь 2 и 2 это прошлое; + − фиксация момента нырка; = момент выныривания, а 4 – это новое.

Математические операции не включают времени и не зависят от него. Они хотя и производятся в рамках времени и требуют для своего осуществления немалого его количества, сами по себе времени не знают (не «ощущают») и существуют виртуально еще до процесса своего проведения. Результаты всех математических операций существуют задолго до того, как будет поставлена задача об их нахождении. Они ровесники Вселенной и будут существовать, пока она существует.

В геометрии операция сложения в принципе невозможна, поскольку фигуры не могут складываться друг с другом, (отдельности не складываются), а только прикладываются друг к другу. Сложение в геометрии означает, что некоторые протяженные фигуры одной качественности прикладываются друг к другу и мысленно происходит как бы замена образовавшейся фигуры другой, целой фигурой, конгруэнтной образовавшейся. При этом допускается предположение о том, что произведенная замена не влияет на состояние фигур и их свойства.

Даже одно, не отмеченное формально качество, например, половинка отрезка (отрезок, пополам – половина отрезка) уже не может применяться в операции с целым отрезком, поскольку у отрезка другое формальное качество, а только с равным себе качеством (качествами). Например, отрезок с отрезком или пол отрезка с частью отрезка. Причем эти операции, будучи логически и математически правильными, тем не менее, не являются корректными физически. Две сложенные половинки от сложения не становятся целым. Они остаются половинками, но мы мысленно представляем их целыми и переносим это представление на образовавшуюся фигуру в дальнейшем оперируя ими как единым целым. Однако не исключено, что на какой-то операции такой «целый» отрезок покажет, что он не целый.

Все геометрические фигуры имеют как минимум два качества: отдельность и протяженность, которая может иметь или не иметь размерность. И степенные отношения при протяженности всегда изменение качества. В геометрии все операции проводятся по правилам физики только с размерностями природными или формальными.Природные размерностные свойства обладают вместе с количественными характеристиками свойств определенными качественными значениями в форме КФР на базе золотых чисел (об этом в пятой главе). Сокращение на иррациональное или трансцендентное число в каждом случае требует обоснования, поскольку оно меняет физическое качество исследуемого уравнения.

В алгебре индексы не имеют качества протяженности, а только качество отдельности и признак индекса. В алгебре имеется отдельное качественное отличие одного индекса от другого и знаки операций, обусловливающих «движение». Они-то и отображают диалектику движения.

Раз можно получить из одного уравнения алгебраическую и геометрическую формализацию, то перед нами явление «памяти форм и чисел», способное вмещать виртуальные члены, как бы не отображаемые членами, входящими в исходное уравнение или фигуру. Для уравнения деленияотрезка в крайнем и среднем отношении, например, проверка заключается в построении по алгебраическому решению уравнения геометрического, а результат должен «подчиняться» золотым критериям Фибоначчи.

Кроме статических геометрий существует геометрия физическая (динамическая), можно сказать внутри физическая геометрия. Физика, как и математика, изучает объекты – отдельности, но каждая из них различные аспекты этих объектов. Физика, как и другие науки, свойства и связи тел, математика – количественные отношения и связи отдельностей. Физическая (динамическая) геометрия строится не на аксиомах и теоремах, а на физических свойствах и инвариантах. Все фигуры этой геометрии подвижны и их движения происходят в пространстве и времени. Динамическая геометрия не является математической дисциплиной, поскольку имеет дело не с абстракциями, а с количественными и качественными величинами конкретных свойств. Она исходит не из аксиом и постулатов, а из взаимосвязей свойств. Развивается не доказательством теорем и непротиворечивых, независимых аксиом (которые в ней отсутствуют), а посредством решения инвариантных уравнений относительно бесконечной гомотетии движения физических тел. Ее динамичность включает не только само движение, но и напряженность, и деформации, и время в рассматриваемых системах. Динамическая геометрия есть математический аппарат физики и всего естествознания. Динамические фигуры могут «накладываться» своими элементами на конгруэнтные фигуры статических геометрий. Конгруэнтность в данном случае – следствие возможности «замораживания» элементов движения и приведение всей динамической фигуры или ее части в статическое состояние. Наложение конгруэнтно, когда основные динамические элементы частично совпадают со статическими элементами.

Отметим также, что движение есть всегда изменение качества, даже в том случае, когда оно отображает арифметические или алгебраические статические процессы. И это изменение качества может прослеживаться даже на простейших операциях математического сложения. Особенно наглядно и быстро изменения качества наблюдается в последовательном сложении пар чисел обнаруженных Фибоначчи еще 800 лет тому назад и названных рядами его имени. Этот вопрос будет рассмотрен в третьей главе, а сейчас вернемся к свойствам фигур классической геометрии.

 

1.8. Свойства фигур евклидовой геометрии

 

Основу статической метричности в геометрии составляют жесткие измерительные инструменты конечного размера, сохраняющие его в любой области пространства. Неизменность мерного инструмента, незримо наличествует, при определении основных свойств евклидова пространства, к которым в настоящее время относят:

- однородность и изотропность. Любые точки и области этого пространства эквивалентны, а потому и неразличимы;

- вневременность. Свойство времени не отражается на изображениях геометрических фигур (элементов) и не учитывается при перемещениях и вращении (статичность). Время как качественный фактор в статических геометриях отсутствует;

- равновеликость геометрически переносимых, вращаемых или преобразуемых фигур. Процесс преобразования, перемещения, движения - только мысленный. В геометрии всякое механическое движение отсутствует;

- координатность в ортогональных направлениях. Бесконечность во вне. Глобальность координатных систем;

- отсутствие качественных взаимосвязей между различными свойствами и метричностью;

- независимость и отграниченность от физических тел. Геометрия имеет дело только с неподвижными фигурными отображениями тел, с их «тенями».

Таким образом, статическая геометрия Евклида автономна и от окружающего пространства, и от физических тел, изучением которых она занимается, и определяется только логической взаимосвязью заложенных в ее основу аксиом. Что касается пространства, на котором базируется геометрия, то оно не определено, и, как видно из приведенного набора, определяется постулативно в виде отдельных взаимно не связанных формальных свойств.

Особо подчеркнем отсутствие механического движения в пространстве геометрии и вневременность всех ее фигур. Свойство времени не имеет никакой связи с метричностью. И если вводится, как например, в геометрии Минковского, то формально-постулативно, не отображающим физического времени и не обладающим качеством, равнозначным остальным геометрическим свойствам без всякой связи с пространством, и главное - не вносит в статическую геометрию нового качества. Статичность и вневременность структурных преобразований предполагают в качестве первого условия корректного формулирования основных аксиом геометрии определение их в терминах, исключающих всякое упоминание о движении и пространстве.

Сами геометрические построения являются, по определению, схематическим, а потому идеализированным отображением предметов и тел реального мира. Отображаемые фигуры не имеют ни свойств, ни размерности и представляют собой условные абстракции, призванные человеческим сознанием в качестве метода описания отношений между телами внешнего мира. Описание производится путем перенесения качественного отображения тел на абстрактные понятия «точки», «прямой», «плоскости», «угла» и т.д. Данные понятия, заменяя естественные тела, с ними никоим образом не связаны и являются внешним признаком их существования. Особо отметим, что понятия эти не возникают при абстрагировании от реальных объектов, а определяются аксиомами вне прямой связи с реальным пространством или телами. Это самая важная особенность геометрии, как, по-видимому, и всей математики. Абстрагирование производится не от реальных физических предметов, а от некоторого отображения их в головах исследователей. Образовавшиеся аксиомы, так же как и фигуры и теоремы, следующие из аксиом, не имеют отношения к тем законам природы, для математического описания которых они создавались.

Основное отличие статических построений евклидовой геометрии от отображаемых ими физических тел-систем заключается в том, что любая общность геометрических фигур в своей совокупности и количественном выражении остается схемой внешних объектов и не обладает качествами системы. Отдельные элементы общности (линии, точки, углы и т.д.) вместе или порознь ничем, кроме аксиоматической зависимости, между собой не связаны, друг другом не обусловлены и своим сосуществованием как вместе, так и порознь не изменяют своих качеств. Исчезновение геометрических элементов некоторой общности фигур ничего не изменяет в их отношениях. Меняется форма геометрических фигур, возможна потеря этими фигурами своей конфигурации и образование новой, или изменение их подобия другим фигурам, распадение фигуры на отдельные элементы и даже их самостоятельное, независимое друг от друга существование.

А потому в основу статической геометрии закладываются отвлеченные представления о некоем однородном бесконечном пространстве, некоторых первичных понятиях, отображающих предметы и тела реального мира, и ряд аксиом, обеспечивающих возможность совместного функционирования их в рамках формальной логики. Однако, как отмечал еще Риман[4], до сих пор остаются невыясненными взаимоотношения между этими понятиями, закономерности связей между ними, и существует ли принципиальная возможность отыскания этой связи.

Именно отсутствие представления о взаимосвязи свойств тел и возможности отображения этих связей в геометрическом описании и придает геометрии статический характер, одновременно порождая иллюзию независимости геометрических построений от свойств реального мира, и о возможности свободного выбора геометрии для описания физического пространства.

Отсутствие связей между геометрией и физикой достаточно наглядно демонстрирует А. Пуанкаре [10] следующим примером:

«… если бы все тела Вселенной начали одновременно и в одинаковой пропорции расширяться, то у нас не было бы никаких средств заметить это, потому, что все наши измерительные инструменты увеличивались бы вместе с самими предметами, для измерения которых они служат. После этого расширения мир продолжал бы свой ход, и ничего не говорило бы нам, что произошло столь важное событие»

Данный пример приводится не Пуанкаре физиком, а Пуанкаре - чистым математиком, который, мысля математическими категориями, помнит, что между геометрическими фигурами нет никакой связи, а потому автоматически приписывает отсутствие связей между свойствами тел и телами, ими обладающими так же, как, например и у тел с метрическими инструментами. Что с изменением размеров базисной системы тел линейно изменяются и численные величины всех их свойств, которые, поэтому, не могут быть зафиксированы наукой. Что тела и свойства взаимно не связаны, а сами свойства независимы от тел и от пространства, в котором они образованы. Что геометрия не фиксирует никаких закономерностей между параметрами тел и взаимосвязями их свойств.

В этом утверждении (к нему мы еще вернемся), хотя оно как бы не имеет отношения к математике, явно выражен характер статической геометрии, отображающий только однозначные, формальные, обособленные свойства образуемой ее элементами (фигурами). А в реальном мире, в мире диалектики, обособленные а, следовательно, взаимно не связанные свойства отсутствуют.

Рассмотрим, так ли однозначны и обособлены эти элементы и их взаимосвязи в геометрии. И как проявляет себя в геометрии диалектика. Иными словами, рассмотрим диалектику элементов статической геометрии.

 

1.9. Диалектика элементов геометрии

 

Формулирование первичных понятий и аксиом в различных граничных условиях привели к образованию наряду с геометрией Евклида целого ряда статических неевклидовых метрических и неметрических геометрий. И что самое неожиданное: опорными элементами становления этих, подчастую, взаимно противоречивых, но логически корректных, не сводимых друг к другу геометрий, послужили самые простые, лишенные реального содержания, абстрактные понятия «точка», «прямая», «плоскость» и в некоторой степени «объем» (пространство). И эти понятия - элементы евклидовой геометрии - не изменяются при переходе от одной геометрии к другой. Учитывая основательность и первичность этих элементарных понятий, проанализируем диалектику их образования, взаимосвязи и структуру вытекающих из них аксиом.

Этот анализ важен потому, что аксиоматическое абстрагирование геометрических элементов до первичных взаимно независимых фигур и последующее «воссоздание» из этих же элементов, как бы отображающих реальные явления, «абсолютно верных» геометрий, создают иллюзию того, что …«положения математики покоятся не на реальных объектах, а исключительно на объектах нашего воображения».Иначе говоря: «Математическая геометрия является теорией логической структуры. Она совершенно независима от естественно научных исследований и имеет дело только с логическими следствиями из данной системы аксиом» [11]. И возникает вопросы: «Почему возможно такое превосходное соответствие математики с реальными предметами и явлениями, если сама она является только произведением человеческой мысли, не связанной ни с каким опытом? Может ли человеческий разум без всякого опыта, путем одного размышления понять свойства реальных вещей?» [11].

Эти вопросы Эйнштейна с классической прямотой демонстрируют значимость понятий, которые кажутся сами по себе априорно очевидными без всякой связи с природными объектами и структурами. Проследуем по цепочке этих очевидностей. Начнем с «точки».

Существует множество геометрических определений понятия «точка». Вот некоторые из них: точка - геометрический объект (?) лишенный протяженности. След линии, входящей в плоскость. Геометрически не пересекающаяся сингулярность линий. Вырожденное состояние кривой. Плоскость, площадь которой устремлена к нулю и т.д. Таким образом, точка - это геометрическая фигура, не имеющая измерений и, следовательно, не имеющая ни геометрических, ни физических качеств и являющая собой неопределенное и неподвижное место на какой-то геометрической фигуре, а подчастую и сама являясь фигурой. Абстракция, призванная заменить физическое представление об очень малых или несопоставимых с параметрами объектах, своеобразным математическим аналогом тел.

Но вот что существенно. Определение понятия абстракции «точка», как понятия статического, оказывается невозможным без привлечения, в явном или скрытом виде, некоторой операции движения. Отметим эту особенность и как проявление дуализма в определении понятия «точка», и как отображение характера совершаемого действия над определенным и явно не геометрическим предметом.

Линия - множество точек на плоскости, слившееся в длину и не имеющее ширины. След траектории движущейся точки. Объект, характеризуемый длиной, но лишенный ширины. Геометрическая фигура, обладающая только одним качеством - протяженностью. След пересечения двух плоскостей и т.д.

И в этих определениях неявно нарушается статичность геометрии, поскольку присутствует двойственность покоя и движения. Линия неподвижна, а для ее распознавания приходится предполагать некоторое движение, либо приводить в движение точку, которая в свою очередь может быть выражена через линию. Да и сама прямая есть кривая, радиус кривизны которой устремляется (опять же движется) в бесконечность.

Понятие «плоскость», если не считать определением такую тавтологию, как «плоскость - след линии, движущейся на плоскости», определяется, чуть ли не единственным образом: Плоскость есть след линии, движущейся параллельно самой себе. Тут уже для явного движения привлекается понятие, которое само по себе определяется через движение. То есть наличествует двойная двойственность.

Таким образом, основные как бы априорные статические понятия геометрии включают в себя противоречивые противоположные качества: с одной стороны, покоя, а с другой - движения.

Противоречивая двойственность в определении первичных элементарных понятий постоянно вызывала головную боль лучших математических умов, вынуждая их бороться с этой двойственностью различными способами: от снятия противоречий соглашениями по Пуанкаре [10]до отбрасывания их по Гильберту. Приведем четкую, абсолютно абстрактную, логически однозначную формулировку первичных понятий, данную Гильбертом: «Мы мыслим три различные системы вещей: вещи первой системы называем точками и обозначаем А, В, С; вещи второй системы мы называем прямыми и обозначаем a, b, c: вещи третьей системы мы называем плоскостями и обозначаем a, b, g…».

Эта формализация качественных понятий геометрии как вещей (т.е. как тел) - классическое творение свободного ума, отвергающего всякую связь первичных понятий с внешней реальностью. В ней присутствует логическая четкость и однозначная априорность математической абстракции, превращающая всякую форму геометрического движения в неподвижность, покой, статичность. Движение и самодвижение реальных тел как атрибут, присущий всей материи, отвергается, и постулируется возможность существования отдельного самостоятельного покоя тел, который и призвана описывать геометрия. Постулируемая статичность первичных понятий и вызывает появление статических геометрий, обусловливая возможность механического (внесистемного) взаимно независимого соединения элементов геометрии в различные статические фигуры.

Постулируя существование абстрактных неподвижных «вещей», Гильберт автоматически отбрасывает единство связанной двойственности, которая отображает диалектику покоя и движения. Убрав двойственность, он одной операцией лишает геометрию движения, а следовательно и диалектики. Это достаточно небрежное обращение с диалектикой, немедленно отражается на математике, обеспечивая неопределенность ее основанию, превращая все создаваемые геометрические структуры из динамических в статические (превратив не абстрагированием, а постулированием) и рикошетом поражает физику, обеспечив ей в качестве математической основы описания природных явлений заведомо односторонние, а, следовательно, и недвижимые геометрические построения.

В «абстрагированных» Гильбертом понятиях все связи и свойства геометрических элементов растеряны. Неизвестны свойства пространства и неизвестно, осталось ли оно вообще и в каких параметрах соотносится с образуемыми геометрическими фигурам. Отсутствуют даже намеки на движение (но это не мешает геометрам совершать движения в виде математического преобразования в отсутствующем пространстве), и потому последующая интеграция геометрических элементов в новые системы и фигуры может осуществляться любым мыслимым или немыслимым образом только на основе аксиоматики и логики, но не диалектики. Это соединение не может происходить без постулирования способов взаимосвязи геометрических элементов между собой, без «соглашений» использования элементов в применении к природным явлениям.

К тому же полная статичность (самонеподвижность) гильбертова пространства и фигур, находящихся в нем, запрещает последним, какое бы то ни было движение (перемещение) и самих фигур, и их элементов как относительно друг друга, так и относительно пространства. Последний запрет - движение относительно пространства − обусловлен его пустотой, и потому не может быть связей, создающих ориентацию фигур в пустом пространстве. Пространство Гильберта - бескачественное формально – логическое образование, в котором недопустимо образование фигур и которое не имеет отношения к геометрическому пространству и тем более к движению, поскольку в нем протяженность в трех направлениях связана аксиоматически. Можно сказать, что пространство в аксиоматизации Гильберта отсутствует, поскольку не имеет никакой связи с фигурами, заключенными в нем.

Возможность полного абстрагирования первичных элементов от реальных объектов с потерей движения и связей, простым постулированием, создает впечатление независимости, априорности геометрических элементов и математических аксиом. Последующее воссоздание некоей новой неевклидовой или иной геометрии из априорных понятий, как бы из ничего становится «теоретическим» подтверждением этой априорности. К тому же многообразие геометрий требует ответа на возникающие вопросы: Содержит ли статическая геометрия в качестве своего основания некое геометрическое пространство? Существует ли единое для всех геометрий пространство? Или каждая из геометрий «обладает» своим пространством? И если последнее верно, то в чем различие между свойствами этих пространств? И т.д.

Природа и в макрокосме, и в микрокосме имеет одну, единую геометрию, нам неизвестную. И мы как бы свободны в выборе первичных элементов геометрии, т.е. в переходе, например, от конкретных тел к абстракции-точке (однако, чаще бывает по другому, сначала определяют понятие «точка», а уж от нее «абстрагируются» к телу или другим фигурам), но абстрагируясь одним из способов, мы либо сохраняем, либо аннулируем двойственность. А с ликвидацией двойственности разрывается и связь эмпирики с содержанием понятий и аксиом. Создав термин-понятие, имеющий односторонний смысл, мы фиксируем чистую и вроде бы не зависящую от внешнего мира абстракцию, которая уже по этой причине противоречива. Отсутствие двойственных связей или движения в формулировке аксиом и понятий приводит к проявлению двойственного в структуре создаваемых геометрий (например, геометрии Лобачевского и Римана). И хотя аксиоматизация и законы логики способствуют созданию достаточно обоснованных и логически корректных комбинаций из первичных элементов, они не только не гарантируют корректность их взаимосвязи между собой, но и вызывают структурный антагонизм. В результате единая физическая геометрия отграничивается от физики и разделяется на взаимно противоречивые, не сводимые друг к другу геометрии.

И не случайно М. Клайн констатирует [3]: «Математики с досадой и огорчением обнаружили, что несколько различных геометрий (п/ж курсив наш – Авт.) одинаково хорошо согласуются с наблюдательными данными о структуре пространства. Но эти геометрии противоречили одна другой, - следовательно, все они не могли быть одновременно истинными».

Отметим: геометрии не противоречат и не могут противоречить одна другой. В природе отсутствуют противоречия между свойствами. Аксиомы же, постулаты и граничные условия взаимосвязи элементов геометрий противоречить друг другу могут. Они-то и обусловливают противоречивость и образованным, на их основе геометриям. Добавим, априорно истинность формулируемых аксиом, в понимании адекватности природе, выяснить логически не представляется возможным.

Трудно предположить, что в определениях, максимально абстрагированных от природных процессов, но не порывающих с ними, наличие двойственности случайно. Скорее наоборот. Первичным геометрическим понятиям, следствием обобщения многовекового измерительного опыта присуща двойственность как отображение реальности. И эта двойственность не прихоть логики, не игра воображения и даже не мыслительные издержки, а требование диалектического закона единства противоположностей, по которому покой неотделим от движения (это и есть основа возникновения двойственности). Покой и движение, - внутренние атрибуты всех тел и, следовательно, пространства. Усекновение покоя или движения, ликвидация двойственности в определениях первичных понятий равнозначна умерщвлению природы геометрии. Позже мы покажем, куда завело геометрию абстрактное, удобное для применения, свободное от двойственности порождение чистой математической мысли.

Заканчивая изложение раздела, отметим еще раз, что исходным основанием для математики являются не числа, не аксиомы и постулаты, и не понятия, а те качественные свойства реального вещественного пространства (природы), которые изучаются конкретными науками, в первую очередь физикой и обобщаются диалектической философией. К сожалению физики и математики, постигая природу, опирались на философию механицизма, совершенно игнорируя диалектику. Это способствовало разделению современной физики на множество взаимно обособленных разделов, каждый из которых занимается изучением отдельных совокупностей природных свойств, при отсутствии связи между этими совокупностями. И природа видится сквозь такую физику в виде лоскутного одеяла, разделенной на целый ряд самостоятельных направлений, а по-крупному на макро- и микро миры, имеющие свои законы, свои принципы построения, свою математику, и ничего такого, что бы объединяло их. Уже по причине отсутствия диалектики в современной математике и физике сложившееся физическое мировоззрение более чем сомнительно. И потому следует вкратце познакомиться с материальным миром, от которого абстрагируется математика [2].

 

 

Глава II

Динамические свойства геометрии

2.1. Тело и его свойства

Поскольку основой математики является материальный мир, то необходимо определиться с исходными понятиями этого мира и в первую очередь с понятиями «тело» и «материя». По современным представлениям внешний мир постулируется материальным, т.е. телесным, и его образует материя. Однако такое представление, по меньшей мере, односторонне, поскольку отрицает наличие мира духовного, мира, образованного Богом, а вместе с ним и телесность духовного мира. Тела вещественные, представляют собой субстанцию, сущность материи, существование которой определяется миром духовным. В настоящей работе рассматривается только тела материального мира.

Субстанция «тело» - важнейшее материальное понятие механики, да и всех естественных наук изучающих материальную природу. И, тем не менее, его понятийное значение оказывается наименее отработанным среди других основных понятий. Отсутствие однозначного толкования понятия «тело» и характеристики его свойств приводит к тому, что тело в естествознании постоянно отождествляют с понятиями «материя», «вещество», «энергия», «масса» и т.д. Т.е. и с субстанцией и со свойствами. Причем, свойство - «масса» в физике, повсеместно подменяет субстанцию «тело». Но если «тело» есть совокупность взаимосвязанных свойств, образующих в данной количественной пропорции определенный природный объект, то «масса» - рядовое свойство любого тела. И подмена субстанции «тело» на свойство «масса», с одной стороны, создает иллюзию естественного описания физических явлений, с другой, образует предпосылки некорректного понимания природных процессов. Поэтому основным для понимания данных процессов становится определение признака, отграничивающего субстанцию «тело» от свойств, его образующих. И такой признак существует - это размерность.

Отсюда тело - совокупность свойств, не имеющая размерности. Единственное «самостоятельное» (в смысле отграниченное от других) природное образование, тождественные аналоги которого в природе отсутствуют. Система, взаимодействующая своими свойствами со всеми окружающими телами и вещественным пространством. Безразмерностность и обусловливает телу свойства субстанции. И как субстанция тело есть целое.

Подчеркнем еще раз. Размерность есть главное отличие свойства от субстанции. А потому все физические параметры, имеющие размерность, являются свойствами и не обладают самостоятельностью от тел. Они - их атрибуты, взаимосвязанные составляющие определенного тела, которое зачастую мы даже не фиксируем как тело. Например, пространство окружающего нас космоса - свойство нашей Галактики, образованное четырьмя неравнозначными размерностными составляющими: «длиной», «шириной», «высотой», «глубиной». Иначе говоря: Галактика - тело. Она безразмерностна и по своему естественному положению в природе, будучи субстанцией, равнозначна всем телам (включая элементарные частицы) и Вселенной в целом. Таким же образом, и пространство, которое образует Солнечная система, тоже есть ее свойство. А свойство - "пространство" быть безразмерностным не может, следовательно, не существует пространства как самостоятельной субстанции, как некоего отдельного вместилища для материи (тел). И каждое тело образует свое пространство (объем).

Свойство - категория, характеризующая определенную, качественную сторону тела (объем, масса, сила, скорость... и т.д.), взаимосвязанная с другими свойствами того же тела, взаимодействующая с аналогичными свойствами других тел и имеющая размерность. Размерность может обозначаться отдельными элементами (например: г, с, см. ... и т.д.) или соотношениями качественных элементов (г/см, см/с...). Свойство, отображенное численной величиной, может называться параметром.

Подчеркнем, свойство это то, что самостоятельно не существует в природе. То, что невозможно отделить от тела, и, следовательно, то, что физически не может быть отдельным. То, что входит только в понятийный аппарат мыслящего существа, но отсутствует в природе как отдельность, являясь для природы ничем. Это полное ничто.В природе бесчисленное количество свойств (ничего).И это бесчисленное количество ничего (свойств) – «образует» тела. То есть «образует» то, что является всем, то, что является целым. Ничто не отделимо от всего. Гносеологически - ничто является всем. Без представления о свойствах как о понятиях, не существующих в реальном мире, но отражающих качественную составляющую тел, мыслящим существам понимать природу невозможно.

Все тела – целое, поскольку все они образуются одними и теми же бесчисленными свойствами. Каждое из них – отдельное целое. Их совокупность – единое многоуровневое целое. Как целое они равнозначны и, в совокупности, составляют единый абсолютный мир. Мир Господа, бесконечный как внутрь, так и наружу. Мир, состоящий из духовных (изначально и вечно живых) и материальных (неживых) тел. Отсюда: Жизнь есть способ существования духовных тел в материальном мире. И хотя свойства всех тел одни и те же, но количественные величины этих свойств (их числовые параметры) различны, что обусловливает качественную несопоставимость духовных и материальных тел, их принципиальное различие.

Все свойства тел являются имманентными, равнозначными, и мыслимое отсутствие любого из них у тела эквивалентно отсутствию тела, а потому в физических уравнениях, описывающих взаимосвязи свойств, не может быть параметров равных 0 или ¥. Таким образом, можно сформулировать абстрактное определение понятия «тело». Тело есть целое,- совокупность бесчисленного количества взаимосвязанных свойств. И, исходя из понятий физического мира, в материальной природе нет ничего, кроме тел, состоящих из совокупности свойств. (Здесь и далее, как уже упоминалось, не затрагиваются аспекты духовного мира.)

Способность материального тела и вещественного пространства отображать количественное изменение одного параметра системы соответствующим изменением остальных называется связью.

Одновременно тело есть система и как таковая имеет свое пространство и входит в систему других тел вещественного пространства, образуя с ними единую взаимосвязанную и взаимодействующую суперсистему. Всякое изменение положения тела в этом пространстве сопровождается изменением количественных параметров всех его свойств.

Из взаимосвязи параметров (свойств) следует, что количественное изменение одного параметра системы неизбежно вызывает линейные и нелинейные изменения всех остальных параметров данной системы.

Физическая система − материальное образование, внутренние и внешние параметры которого взаимосвязаны и взаимно уравновешены. Эти взаимосвязи свойств, при формализации, отображаются уравнениями.

Все окружающие нас тела - системы.

Все они обладают одними и теми же свойствами, которые имеют одни и те же связи, но количественная величина каждого свойства индивидуальна, и это обусловливает различие тел.

Поскольку понятие «тело» является первичным и основным для понимания физических процессов (и основой перехода к его математическому отображению), его следует определять, ориентируясь на реально существующий предмет, обобщая определение на все предметы.

За эталон тела может быть принят стальной шарик радиусом 1 см, образованный бесчисленным количеством свойств, к которым относятся: масса, объем, время, духовность, сила, скорость, ускорение, энергия, движение, отражение, «постоянная» тяготения... и т.д.

Все свойства абсолютны, анизотропны, качественно взаимосвязаны, для системы равнозначимы, количественно изменяемы, имеют определенную размерность и всегда принадлежат телу вне зависимости от того, обнаружили мы их или нет.

Сами по себе тела-субстанции размерности и размеров не имеют и соотносятся между собой сообразно взаимосвязям и количественной величине своих свойств.

Одинаковые (тождественные) тела (включая элементарные частицы) в природе отсутствуют. Их существование отрицается диалектическим принципом бесконечности материи.

Другие тела имеют то же бесчисленное количество свойств, отличающихся от параметров стального шарика только численными величинами. Совокупность численного отличия свойств и обусловливает качественное различие тел. Качественные зависимости и взаимосвязи свойств одинаковы у всех тел. Они-то и могут быть формализованы в виде физических законов, описывающих бескачественную инвариантную взаимосогласованность между ними.

Не может быть свойств, которые присутствовали бы у одних тел и отсутствовали у других, оставались всегда постоянными (например, «постоянная» тяготения, заряд и масса электрона и т.д.) или существовали самостоятельно (время, пространство...). Нет также отдельных, не связанных с другими конечных свойств (энергия, одон, хронон...), как и первичных неразложимых частиц (монады, ноль-частицы, кварки, глюоны, фридмоны...). Не существует одинаковых свойств одной размерности (например, нет двух масс, массы инертной и гравитационной) или различной размерности, как, например, постулируется в работе [12]:

«…масса m и энергия Е, по существу, одно и тоже; они представляют собой не что иное, как две различные формы существования материи».

Здесь в одной фразе не только утверждается взаимная адекватность двух различных свойств, с разной размерностью, но и оба свойства объявляются одной безразмерностной субстанцией.

Количественная величина свойств по объему тела меняется (следствие анизотропности), а с ними меняется само тело. Однакосистема взаимосвязи свойств остается инвариантной. Нарушение системы взаимосвязи внутренними или внешними силами приводит к различному изменению численной величины свойств, к перераспределению связей между ними - до разрушения одних тел и образования других с тем же набором свойств, но с иной численной величиной каждого свойства. Свойства- атрибут тела, и к ним неприменим «принцип дополнительности».

На основании вышеизложенного можно расширить определение понятия «тело». Тело - целое, конечная по объему, отграниченная эквипотенциальной поверхностью часть природы, обладающая бесчисленной совокупностью качественных свойств, образующих систему.

Аналогом понятия «тело» являются: вещь, предмет, иногда (в физике) объект, корпускула, частица, (включая элементарные частицы).

Понятие, абстрагированное от отдельных тел и обусловливающее представление о совокупности тел и их свойств, носит название вещество (среда), и изучается физикой.

Вся окружающая нас природа (включая космическое пространство, являющееся подвижным эфиром) - вещественна. И можно сказать, что вещество образует пространство или, гносеологически,материя образует пространствоматериального мира.

Вещество, а, следовательно, и всякое тело, имеет структурную иерархию и бесконечно вглубь и наружу.

Под бесконечностью вглубь понимается возможность бесконечного дробления (деления на части) тела, которое, хотя и будет вызывать численное изменение параметров свойств получаемых тел (частиц), сопровождаемое качественными изменениями самих тел, никогда не приведет к получению неделимых далее остатков и никогда не закончится. Отсюда возникает парадоксальное на первый взгляд следствие: конечные по объему тела образуются частицами с бесконечными радиусами (например, физический радиус Земли R = ¥).

Под бесконечностью наружу понимается бесконечность движения из любой области пространства в любую сторону, которое всегда будет происходить в веществе, меняющем свою структуру и количественную величину свойств (т.е. качество), но никогда не кончится. И не выйдет за пределы вещества в так называемую «полную» пустоту А. Эйнштейна (знаменитая древнегреческая аналогия − «полет копья»).

Похожая аналогия, порождающая геометрию, «в значительной степени отличную от нашей», приведена в работе А. Пуанкаре [10]:

«Вообразим, например, мир, заключенный внутри большой сферы и подчиненный следующим законам. Температура здесь неравномерна; она имеет наибольшее значение в центре и понижается по мере удаления от него, делаясь равной абсолютному нулю на шаровой поверхности, которая является границей этого мира.

Я определяю в точности даже закон, по которому изменяется эта температура. Пусть R будет радиус граничной поверхности, z − расстояние от центра сферы. Абсолютная температура пусть будет пропорциональна R + z.

Я предположу далее, что в этом мире все тела имеют один и тот же коэффициент расширения, именно такой, что длина какой-нибудь линейки пропорциональна абсолютной температуре.

Наконец я предположу, что предмет, принесенный из одной точки в другую, где температура иная, тотчас же приходит в состояние равновесия с новой средой. В этих допущениях нет ничего ни противоречивого, ни немыслимого.

В таком случае движущийся предмет будет уменьшаться по мере приближения к граничной сфере. Теперь заметим, что хотя этот мир ограничен с точки зрения нашей обычной геометрии, тем не менее, он будет казаться бесконечным для его обитателей (рис.17, а).

В самом деле, когда они пожелали бы приблизиться к граничной сфере, они охлаждались бы и становились все меньше и меньше. Поэтомушаги их постоянно укорачивались бы, и они никогда не смогли бы достигнуть граничной сферы.

Если для нас геометрия есть не что иное, как изучение законов, по которым движутся неизменные твердые тела (п ∕ж курсив везде наш − Авт.), то для этих воображаемых существ она была бы изучением законов, по которым движутся твердые тела, изменяющиеся вследствие тех различий в температуре(курсив А. Пуанкаре), о которых я только что говорил»..

Рис. 17

Рис. 1

Переходя в рассуждениях Пуанкаре от мыслимой сферы на окрестности Земли, можно по аналогии показать иное. Если бы обитатели сферы, жили на ее поверхности и вместо температурного изменения твердых тел имели бы аналогичные изменения как следствие изменения,например, напряженности гравитационного поля, то их движение к центру сферы-шара сопровождалось бы их уменьшением и никогда бы не кончилось (рис.17, б), − т.е.было бы бесконечным внутрь. Такое же движение от центра наружу сопровождалось бы увеличением линейных размеров и тоже никогда бы не кончилось, − было бы бесконечным наружу, т. е. оставалось полностью в рамках диалектики. Именно эти условия и обеспечивают существование человечества на планете Земля.

Наиболее широкое гносеологическое понятие, включающее все виды вещества, все движения и все свойства, полностью абстрагированное от вещественных объектов и отображающее реальную природу как таковую, как данную нам в ощущениях, как субстанцию, есть понятие «материя».

Это понятие, общее для нашего уровня, и его атрибуты изучаются философией. Разновидностей материи нет. Вид материи всегда вещество. И материя составной элемент всеобщей духовной субстанции.

Попытки подвести под понятие вида материи различные физические поля, предпринимаемые в физической и философской литературе, бессодержательны, поскольку одновременно отрицается вещественность полей. Материя кроме вещественности, ничего не представляет. Поскольку физические поля - это состояния вещества (материи) и отображают они свойства движения - в частности, эфира, то абстрагирование от свойств к фиктивной субстанции, не являющейся материей, логически некорректно.

Вернемся к движению как к свойству тела. В соответствии с гносеологическим определением материи, формой ее бытия является движение. Материи, а значит и вещества, без движения не существует и наоборот. Отходя от абстракции (материя) к объективной реальности (тело), следует предположить, что каждое тело, а с ним и вещество, имеет свойство постоянного движения. И это движение происходит относительно самого тела, т.е. является абсолютным самодвижением, не зависящим от движения других тел, но связанным с ними. При таком подходе к самодвижению каждого тела задачей становится отыскать движение, описываемое диалектическими законами. Им оказывается наиболее распространенное колебательное движение - пульсация.

Пульсация − единственное в природе движение тел относительно самих себя, пространства и других тел, их прирожденное свойство. Это третий и определяющий вид движения.

Известно, что в механике Ньютона утверждается существование лишь двух видов движения: линейного перемещения и поворота. Третье, обусловливающее существование двух первых на всех уровнях материи, не воспринимается, и как основное свойство самодвижения материи, вызывающее взаимодействие всех тел и все виды их перемещений, на сегодня не рассматривается.

Отметим, что явление «самопульсация» (самодвижение) - важнейшее понятие для представления сущности движения тела. Оно наблюдается у всех тел (галактик, звезд, молекул, атомов, элементарных частиц и т. д.). Но, тем не менее, в классической механике отрицается возможность существования этого явления у таких тел, как планеты, их спутники, небесные камни (кометы, астероиды, метеориты и т.д.), да и у тел на поверхности Земли. Отрицается по той простой причине, что люди никогда ни визуально, ни эмпирически не фиксировали аналогичного процесса на поверхности Земли.

К тому же систематическая самопульсация тел как бы требует для своего поддержания такой же систематической «подпитки» энергией. Поскольку подпитка еще не фиксируется современными методами и не отмечается даже намека на ее существовании (уже потому, что не предполагается), то в соответствии с физической логикой, не может быть и речи ни о какой самопульсации на макроуровне. Тем более, что самопульсацию звезд можно объяснить термоядерными процессами, якобы происходящими в них. Да и в существовании самопульсации элементарных частиц до сих пор физические науки не определились. Господствует мнение об их самонеподвижности, хотя и квантовая физика, и все теории элементарных частиц базируются на волновых процессах. Это привычно, а потому как бы понятно, хотя ответ на вопрос, откуда берется (и немалая по отношению к частицам) энергия для поддержания волновых процессов в микромире, тоже отсутствует.

Рассмотрение тела всегда начинается с изучения его свойств. Сколько их - нам неизвестно, но предполагаем, что очень много. Какие они? Как физически проявляются? Как свойства связаны между собою? - знаем достаточно неопределенно. И, естественно, что только малая часть из них нам известна и более или менее изучена (таких свойств около 200, и многие из них еще не удается связать друг с другом). И потому не спрашиваем о том, существуют ли, например, масса или объем у тела. Мы уверены, что существуют, мы с ними сталкиваемся постоянно, имея дело с тяжестью или набивая о внешние тела шишки. Но вот о пульсацию шишки не набьешь, и в соответствии с такой логикой она должна отсутствовать.

Само по себе понятие «пульсация» - тоже абстракция, включающая множество так называемых волновых свойств: частота, длина волны, волновой вектор, период колебания, амплитуда и др.

Взаимодействие всех тел происходит одинаково - либо путем прямого контакта, либо посредством передачи колебания вещественным пространством - эфиром (практически, тоже контактом, но на другом уровне). Колебания и воспринимаются нами как различного рода полевые взаимодействия.

Отметим еще раз, что всякое линейное движение (включая движение элементарных частиц), как и вращение, вызывается взаимодействием пульсирующего тела с пульсирующим пространством, более того, сама пульсация сопровождается спиновым вращением гравитационного поля каждого тела.

Перейдем к рассмотрению физического пространства. Известно, что в классической механике пространство есть абсолютное, неподвижное, однокачественное, независимое, самотождественное вместилище всего сущего, не взаимодействующее само с собой и с телами, в него помещенными.

В русской механике анизотропное, эфирное вещественное пространство есть интегральная сумма различных подвижных индивидуальных мест-тел (почти по Аристотелю), обладающих бесчисленным многообразием взаимообусловленных и взаимосвязанных качеств, взаимодействующее со всеми окружающими телами, входящими в данное пространство и равнозначными пространству. (Отсюда – объем тел является их пространством.)

Эфир как телесное пространство присутствовал в гипотезах о природе со времен Древней Греции. Однако с появлением общей теории относительности (ОТО) наука постулативно отказалась от эфира как от вещественной среды, превратив пространство в пустую емкость, не имеющую свойств. В мыслимую пустоту, свободную от любых материальных объектов. Однако в начале пятидесятых годов эксперименты начали фиксировать наличие у пустого пространства свойств физической среды. И вместо признания вещественного эфира было принято соломоново решение ввести понятие «пустой физический вакуум», − мыслимое пустое пространство, обладающее некоторыми телесными свойствами, но не являющееся вещественной средой. И хотя это понятие, сохраняя честь физического мундира, до сих пор остается в науке, все больше и больше исследователей уходят от него к различным вариантам вещественного эфира. Автор согласен с ними и предлагает свою версию эфирного пространства.

Эфир - изначальное состояние любой материи, самодвижущаяся (пульсирующая) анизотропная дисперсная среда, обладающая свойствами веществ, переносчик всех физических взаимодействий, включая гравитационные. В пределах поверхности Земли и в ее окрестностях эфир содержит состоящие из амеров самодвижущиеся частицы.

Собственные колебания атомов эфира - его самодвижение - и составляют нулевые колебания так называемого вакуума (последние сейчас отвергаются как колебания вещественные). Атомы эфира имеют, как и обычные тела, бесконечный набор взаимосвязанных свойств, т.е. одинаковую качественную зависимость свойств, но количественная величина каждого свойства у частичек эфира отличается от всех веществ.

Отличие самого эфира от весомого вещества состоит в том, что атом вещества имеет центральное ядро, соразмерное с ним в пределах пяти-восьми порядков и реагирующее на электромагнитные излучения. Центральное сгущение атома эфира и его ядро, по сопоставимой величине, на много порядков меньшее ядра атома. Последнее и обусловливает его прозрачность для всех видов известных науке излучений.

Притяжение между частицами и их взаимодействия друг с другом передаются как пульсирующее вещественное (эфирное) приталкивание от нейтральных зон каждого структурного уровня (о нейтральных зонах далее) внецентренно к сгущениям и фиксируются физически как виды полей, различные для каждой структуры.

Структура вещественного эфира, образующего все пространство, включая космическое, представляет собой иерархию взаимопульсирующих материальных образований ячеистого типа различного уровня. Каждый структурный уровень состоит из аналогичных по физическим параметрам ячеек и различается в такой последовательности: ...Вселенная, ...группа галактик, ...галактика, ...созвездие, ...звездные (солнечные) системы, небесные тела, молекулы, ...амеры, и т.д. с бесконечностью в обе стороны и с нейтральными слоями между ними.

Совокупность ячеек одного структурного уровня на большом, несопоставимом с их размерами расстоянии создает впечатление изотропности образуемого ими пространства. Это особенно заметно по расположению галактик и групп галактик, где каждая из них по отношению друг к другу представляет как бы ячейку.

Некоторая относительная соизмеримость элементов пространства может проявляться только в геометрической форме и только в нейтральной зоне. Всякое движение из нейтральной зоны внутрь ячейки или наружу деформирует геометрическую соизмеримость соседних ячеек, и сам измерительный инструмент.

Поскольку небесные тела − звезды мы отчетливо наблюдаем в основном в пределах нашей галактики, создается впечатление, что структура расположения этих звезд не соответствует структуре расположения галактик, во-первых, потому, что расстояния между звездами, как и их размеры, отличаются большим разнообразием, а во-вторых, якобы из-за отсутствия отграниченности звезд друг от друга. Это отсутствие отграниченности кажущееся, оно обусловлено только нашим субъективным восприятием межзвездных взаимодействий. Мы не видим в ближайшем окружении Солнца никаких границ между ним и планетами, и потому нам представляется, что переход в пространстве от одной звезды к другой или от звезды к планете не имеет никаких границ и происходит в невещественном пространстве.

На самом деле все небесные тела «обволакиваются» эфирным уплотнением - эфирной «шубой», пропорциональной вещественной плотности окружающего пространства и напряженности электрических и гравитационных полей. И между любыми небесными телами существует пограничная нейтральная зона из одинаковой плотности и напряженности смежных гравитационных полей. Это четко выраженная граница между небесными телами, которая определяет возможность гравитационного (волнового) воздействия поля одного тела на другое.

Размеры нейтральной зоны формируются параметрами каждого из тел и также обусловливают относительную неизменность и пропорциональность расстояния между телами. Если количественные величины параметров каждого приграничного тела сопоставимы физически, то для изменения расстояния между такими телами необходимо приложить внешнюю силу. Под действием собственной энергии они этого сделать не могут. Не позволяет нейтральная зона.

Следует особо подчеркнуть, что вещественность космического пространства предполагает существование общего для всех тел и в то же время индивидуального по количественной величине в любом месте свойства - удельной, плотности вещества - эфира, образующего данный объем. Изучать небесные тела, их параметры, движение или излучение без представления об эфирной плотности пространства, в котором они находятся, и без учета взаимодействия с этим пространством просто невозможно. Все полученные результаты окажутся некорректными.

Эфир как разновидность духовной телесности обладает бесконечным набором свойств, которым обладают все вещественные тела. Различие между ними состоит в том, что у атомов эфира количественные величины свойств значительно отличаются от аналогичных величин тел еще и тем, что они представляют по отношению к «осязаемой» нами и нашими приборами телам (материи) сплошную среду других рангов. Такую среду, в которой, например, практически плавают молекулы воздуха, почти не соприкасаясь друг с другом у поверхности Земли и испытывая взаимное прижатие только вследствие давления вышележащих молекул того же воздуха (атмосферное давление). Да и молекулы воды находятся достаточно далеко друг от друга.

Именно признак «сплошности» относительно молекулярного уровня и обусловливает эфиру, с одной стороны жесткое «образование» околоземного пространства, а с другой, необычайные свойства упругости, способствующие передаче поперечных колебаний в пространстве.

Сами атомы эфира в своем большинстве практически «неподвижны» (т.е. не меняют положение относительно пространства), создавая почти монолитную для себя структуру, отличающуюся тем, что элементы ее являются одновременно и элементами вещественной молекулярной структуры, образуя на ней (на электронах, протонах, фотонах и других элементарных частицах) «утолщения» − «шубы». Именно границы шубы оказываются тем «смазочным» материалом, который «ликвидирует» трение между физическими телами и обеспечивает им возможность «свободного» перемещения в эфире, так же как и эфиру «свободно» проникать в эти тела.

Другим важнейшим свойством эфира, как и всех вещественных тел, является его постоянная самопульсация, способность передавать на полевом уровне и практически без потерь множество колебательных (вибрационных) воздействий, воспринимаемых от самых разных осцилляторов. Самопульсация и вынужденная пульсация «монолитной» эфирной среды - основа передачи всех гравитационных и электромагнитных взаимодействий и одновременно та структура, которая обусловливает существование всех полей и возможность движения любых тел, от элементарных частиц до групп галактик и Вселенной.

Самопульсация и ее следствие − волновое распространение взаимодействий (сгущение и разряжение) в эфирной среде − основа давления и приталкивания тел, основа всех видов притяжения.

Вещественность эфирного пространства предполагает, как уже говорилось, в первую очередь подобие этого пространства любому вещественному телу. Ибо только подобие свойств эфирного пространства свойствам вещественных тел обусловливает возможность взаимодействия их друг с другом. В то же время количественная величина свойств эфирного пространства отличается от аналогичных свойств тел на такое количество порядков, которое приводит к невидимости (прозрачности) молекул «невесомого» эфира и полной видимости молекул весомых веществ. И эта невидимость - следствие того обстоятельства, что ядра молекул эфира на 5-8 порядков меньше ядер весомых веществ. Оно-то и определяет основные особенности эфирного пространства и движение в нем весомых тел.

Другое обстоятельство, способствующее прозрачности эфирных молекул, заключается в том, что нейтральные зоны напряженности эфирных межмолекулярных полей не влияют существенно на деформацию элементарных частиц (электронов, фотонов, протонов и т.д.) при прохождении ими нейтральных межмолекулярных зон. И прежде чем знакомиться с механикой движения в эфирном пространстве этих частиц, рассмотрим в самой общей форме структуру и назначение нейтральной зоны на примере гравитационной нейтральной зоны между Землей и Солнцем (которые аналогичны молекулярным нейтральным зонам), исходя из того, что количественные величины параметров, которыми обладают эти тела, действительно соответствуют ныне принятым величинам.

Прежде всего, отметим, что все околосолнечное пространство формируется удельной плотностью каждого элементарного объема (тела) и гравитационным полем Солнца, а все тела, двигаясь в этом пространстве, взаимодействуют с данным гравиполем. Напряженность гравиполя Солнца на его поверхности равна g = 27400 см/с² и изменяется к периферии по закону gR² - const, где R - расстояние от центра Солнца до той области пространства, в которой определяется g. При определении напряженности на поверхности вместо R подставляется радиус Солнца. (Принятая на сегодня величина радиуса Солнца − 695990±10 км [13] сомнительна. Известно, что траектория луча света от звезд, проходящая у Солнца, под действием его гравитационного поля искривляется на 1-2¢¢. Если это так, то лучи света, идущие от края солнечного диска к Земле, тоже искривляются на те же ~ 2¢¢. И результатом гравитационной рефракции становится уменьшение величины реального радиуса на ~ 1,5-2 тыс. км. Истинный радиус Солнца оказывается на те же 1,5-2 тыс. км больше. Т.е. находится в пределах 697-698 тыс. км.)

Отметим, что индивидуальные параметры имеют все небесные тела. И хотя величина поверхностной напряженности этих тел не совпадает с аналогичной напряженностью Солнца, должна существовать такая граница, где напряженность гравиполя тела, в частности планеты Земли и гравиполя Солнца, совпадают. Это совпадение напряженностей, на некотором удалении от поверхности, вокруг всего меньшего тела образует нейтральную зону между телом и Солнцем, а объем эфира от поверхности планеты до ее нейтральной зоны составляет «макропланету», своего рода макромолекулу, в которой планета является «солнечным электроном» или по аналогии для уровня элементарных частиц - эфирную «шубу» электрона.

Рассмотрим в качестве примера геометрические параметры нейтральной зоны между Солнцем и Землей [14].Отметим, что с изменением напряженности гравитационного поля находящиеся в нем тела деформируются, а свойства их меняются пропорционально этой деформации.

Подобный процесс сопровождает движение фотона в гравитационном поле, который изменяет не только свои размеры, но и частоту. Например, фотон или волна имеет на поверхности Земли длину l (рис. 18). При перемещении на высоту h длина волны изменится и станет равной l¢. Это изменение длины волны на величину Dl, (Dl = l - l¢) и фиксируется на высоте h как гравитационное красное смещение. Аналогично фотон или волна, идущая из космоса к Земле, имеет на высоте h длину волны l¢, и к поверхности она уменьшается по линейной зависимости до величины l. Спектроскоп же зафиксирует у этой волны фиолетовый сдвиг.

Получается примерно следующая качественная картина: световая волна, сжимаясь, как бы немного деформирует гравиполя эфирных молекул, обусловливая их суперпозицию, вызывая изменение энергии волны, и внешне проявляясь как ее преломление. Суперпозиция обеспечивает проникновение волны через поле. Параметры движения волны зависят от плотности окружающего пространства.

Используя линейную зависимость длины волны от напряженности гравитационного поля, рассмотрим движение светового луча с длиной волны А = 4000 А° от Солнца к поверхности Земли. Поскольку излучение движется в пространстве с изменяемой напряженностью гравитационного поля, то длина волны возрастает до той нейтральной зоны АВ (рис. 19), в которой напряженность гравиполя Солнца - g_o сравнивается с напряженностью гравиполя Земли - g; g_o = g.

В районе АВ длина волны l¢, а следовательно, и красное смещение, достигают максимальной на расстоянии между Солнцем и Землей величины, и при дальнейшем движении под воздействием возрастающей напряженности гравиполя волна начинает сжиматься таким образом, что ее длина на поверхности Земли становится равной l¢ = 4,000003 х 10^{-5 см} [15]. Зная длину исходящей l и получаемой l¢ волны, находим расстояние от Земли Х и Солнца U до нейтральной зоны АВ:

l¢/R = l₁/Х; l/R = l₁/U; (2.1)

X + Y = R₁, (2.2) (2.2)

где r - радиус Земли; R - радиус Солнца; R₁ - расстояние от Земли до Солнца.

Решая уравнение (2.1) и подставляя результат в (2.2) определяем расстояние от Земли до нейтральной зоны:

X = 1,356∙10¹¹ см и Y = 1,4824∙10¹³ см.

Нейтральная зона образует вокруг Земли некую сферу единой напряженности, строго пропорциональную радиусам Земли и Солнца. Так, на расстоянии Х откладывается ~ 213 радиусов Земли, а на расстоянии U ~ 213 радиусов Солнца. Со стороны, противоположной Солнцу, расстояние от Земли до нейтральной зоны А'В', Z = 1,382х10¹¹ см и на нем укладывается 217 радиусов Земли, а на суммарном расстоянии Z + R₁ = 1,5098х10¹³ см укладывается также 217 радиусов Солнца. Если же рассчитать расстояние до нейтральной зоны вдоль орбиты по движению планеты и против него, то оно в обоих направлениях составит около 1,37 х 10¹¹ см.

Нейтральная зона образует на значительном расстоянии от Земли своего рода большую несколько деформированную сферу - супермолекулу, центр которой, находясь в постоянном движении, располагается в среднем на 200-300 км под поверхностью Земли с противоположной от Солнца стороны. Земная супермолекула плотно «сидит» в сфере притяжения Солнца, а внешнее воздействие поля Солнца (приталкивание), «сплачивает» ее молекулы, образуя для каждого элемента Земли свою твердость и прочность. Эфир, образующий супермолекулу, «сопровождает» в движении по орбите свое ядро − Землю.

Таким образом, нейтральная зона тела в каждом структурном эфирном образовании (от амера до вселенной) обусловливает его существование как отграниченной взаимосвязанной системы того пространства, в котором оно находится.

Супермолекула - очень характерное образование. Эту структуру повторяют молекулы всех без исключения тел вселенной (как макромира, начиная с галактик, так и микромира). В нейтральной зоне, где удельная плотность единицы пространства от планеты и Солнца одинакова, напряженность гравиполя Солнца «плавно» переходит в напряженность гравиполя Земли. Обеспечивая ей, как и всем остальным планетам и телам, жесткое закрепление в данной области солнечного пространства и, следовательно, отпадает вопрос об «устойчивости» как Солнечной системы, так и ее планетарных образований.

Само же расстояние от центрального тела до нейтральной зоны обусловливается его энергетическими возможностями. И потому изменение расстояния от Солнца до Земли возможно только при изменении собственной энергии одной из них (например, Земли) или обоих. Изменение напряженности гравиполя Земли будет сопровождаться «расширением» или «сужением» расстояния от центра тела до его нейтральной зоны.

Нейтральная зона − основной конструктивный элемент любого тела. Именно она образует молекулы конкретного индивидуального вещества − тела. Именно она «выстраивает» структуру и определяет свойства и область нахождения молекул в теле, планет, звезд, галактик и т.д. Именно она противодействует возможности "схлопывания" вещества и «запрещает» существование так называемых «черных» дыр. Именно от ее плотности зависят химические и физические свойства всех веществ. И повторимся − структура элементов этих веществ, например молекул тел, или галактик, аналогична структуре супермолекулы планеты Земля. Тогда как основой сплошных весомых тел на поверхностях планет становится именно отсутствие за границами тел собственных нейтральных зон.

Самопульсация ядра (например, Земли) передается молекулам эфира, образующим пространство в форме эфирных волн от ее поверхности к сферической, нейтральной зоне, в том числе и в направлении Солнца. С другой стороны, от пульсирующего Солнца к той же нейтральной зоне приходят аналогичные волны. Самопульсация и другие движения тел обусловлены также вращением относительно объемов их гравитационных полей и собственной гравитационной деформации от внешних гравиполей. Вращающееся поле тела поляризует его объем и «укладывает» все насыщающие его тела в свой объем в соответствии со сложившейся поляризацией. Похоже, что поляризация достаточно заметна и на Земле, например, по структуре она - поляризованный кристалл.

Чем ближе такая супермолекула к нейтральной зоне между Солнцем и окружающими звездами, тем неопределеннее ее движение, тем более она подвержена воздействию различных сил, тем больше она напоминает молекулу.

Весомые тела, находящиеся, например, на поверхности Земли, образуются молекулами, имеющими ту же структуру, что и супермолекула. Но в отличие от нее такие молекулы не вращаются по орбите, а соприкасаются своими нейтральными зонами (как, например, и «молекулы» образующие околозвездное пространство), что и обусловливает существование твердого тела. Молекулы газообразных тел в естественных условиях не соприкасаются нейтральными зонами, а жидкие, как, например, вода имеют подвижное соприкосновение - эфирную прослойку в нейтральной зоне. Соприкосновение молекул нейтральными зонами лишает их возможности достаточно быстрого пространственного перемещения относительно друг друга, и оставляют им одну форму внутреннего движения - самопульсацию. Все молекулы объема тела пульсируют синхронно, обусловливая синтезирующим взаимодействием определенную ритмику пульсации всему телу, которое вследствие этого тоже пульсирует, но на другом уровне. И потому нейтральная зона не есть жесткое неподвижное образование, а своего рода подвижная сферическая мембрана, отграничивающая, но не отторгающая молекулы друг от друга.

Между обособленными телами на поверхности Земли нейтральная зона отсутствует, поскольку их собственная энергия так мала, что силовое воздействие гравиполя Земли «загоняет» нейтральную гравитационную зону вглубь объема самого тела, тем самым, ослабляя его структуру, и позволяя различным телам соединяться своими поверхностями. И только значительная гравидеформация тела, вызванная, например, его движением над поверхностью Земли с первой орбитальной скоростью или опусканием его вглубь Земли, приводит к возрастанию энергии тела, к перемещению нейтральной зоны к его поверхности и, наконец, к «отрыву» от поверхности и образованию общей нейтральной зоны с Землей. Именно образование общей нейтральной зоны приводит к «всплыванию» тела над поверхностью Земли. Тело обретает новое качество и становится спутником или, если их много на орбите, образует кольцо (например, кольца Сатурна).

Соприкасаясь своими нейтральными зонами, молекулы на границе создают электромагнитные эквипотенциальные поверхности, те самые, которые «обволакивают» граничные молекулы тела, образуя эквипотенциальную зону, сжимающую, за счет внешнего приталкивания, внутренние поверхности молекул, не позволяя им «оторваться» от тела. Твердость тела всегда обусловлена приталкиванием его молекул друг к другу внешним, по отношению к ним, эфиром. Таким образом, тело из молекул получает над внешней нейтральной поверхностью пульсирующую эквипотенциальную сферу стоячих волн, в узлах которой и могут вращаться электроны, «выдавленные» из тела. Некоторые выводы из вышеизложенного:

- вещественное пространство анизотропно во всех направлениях;

- пространство образуется частицами эфира (или другими телами определенной структуры), отграниченными нейтральными зонами и обладающими самодвижением - пульсацией;

- основным структурообразующим фактором пространства является самопульсация тел и спиновое вращение их гравиполя;

- пульсация частиц передается до нейтральной зоны и либрационных точек на орбите, где может происходить ее фазовая компенсация. Нейтральные зоны отграничивают элементы пространства, квантуя его на ячейки;

- структурные свойства данной области пространства сохраняются либо за счет самоотталкивания тех из ее тел, которые имеют параметры колебания, не совпадающие по фазе, либо притяжением при совпадении фазы с пульсацией пространства;

- плотностность каждой области пространства определяется пульсацией ее центрального тела и другими окрестными телами, пульсирующими в унисон с центральным телом.

− Каждая область пространства (тела) имеет многоплотностную структуру.

 

2.2. Геометрическое понятие - «пространство»

 

Ранее, при кратком обзоре элементов геометрий отмечалось отсутствие пространства в статической геометрии. И хотя понятие «пространство», на интуитивном уровне, очевидно не только математикам, но и каждому человеку, гносеологически оно достаточно неопределенно, поскольку предполагает несколько вариантов его обоснования. Неопределенность эта обусловливает геометрам возможность различного подхода к формулированию понятия «геометрическое пространство».

Для любого жителя Земли пространство - реальный (существующий вне нас и наших ощущений, хотя и в них тоже), телесный объем или протяженность - «длина, ширина, высота и глубина»[16]. Причем, во всех направлениях, этому объему нет конца, то есть он бесконечен вдаль и вглубь. Различие же заключается в том, что большая часть людей полагает пространство очень большим пустым вместилищем («ящиком без стенок»), в котором на значительном расстоянии друг от друга «плавают» тела различного размера. Т.е. пространство является самодостаточной субстанцией, равнозначной материи (в этом представлении присутствует противоречие; раз в пространстве наличествуют тела, оно не является пустым). Значительно меньше людей придерживается мнения Аристотеля о том, что пространство является свойством природных тел-вещей - протяженностью, и потому не может быть пустым.

Геометрическое понятие «пространство» в евклидовой геометрии явно не выражено, но неявно предполагается как размеры тех линий и фигур, которые образуются аксиоматически, и расстояний между ними, а, следовательно, как протяженность отсутствует. Неявность понятия пространства у Евклида также обусловливает возможность его различного толкования и более того не исключает предположения об отсутствии пространства в статической геометрии, что получается из определения. Однако математики психологически не могли допустить отсутствия пространства в геометрии и потому искусственно наделяли несуществующее в статике пространство теми качествами, которые им казались соответствующими реальному пространству. Поскольку само понятие «пространство» является важнейшим понятием математической дисциплины - геометрии и потому должно обладать единым определением, кажется естественным, что именно с него и должно начинаться первое знакомство с предметом «Геометрия». Однако на практике это далеко не так.

Геометрию начинают изучать еще в средней школе. И естественно, что там же ученики знакомятся с искусственным геометрическим пространством. Потому у нас и возник вопрос: А как же формулируется определение понятия «пространство» в учебниках (кстати, имеющих немалую толщину). В учебниках семидесятых - восьмидесятых годов авторского коллектива А. Колмогорова [17] изучение геометрии начиналось с понятий «фигура» (предполагается, что с точкой ученики уже знакомы). От фигуры переходят к следующей формулировке понятия пространство:

«В геометрии множество всех точек называется пространством» и далее - «Каждая фигура есть подмножество пространства»

Мы так и не сумели, по этой формулировке, понять как из множества точек, из одного качества, не имеющих длины и объема, т.е. не обладающих свойством протяженности и не связанных между собой можно получить пространство − другое качество, «ящик без стенок», обладающий протяженностью. На «счастье» учеников в девяностых годах и сейчас в школах учат уже не по учебнику А. Колмогорова, а по учебнику А. Погорелова [18], занявшего призовое место на конкурсе учебников по математике, и мы с удивлением обнаружили, что в нем вообще отсутствует понятие «пространство», так же, как и понятие «свойство». А изложение начинается с определения науки «Геометрия»: «Геометрия - это наука о свойствах геометрических фигур». И далее следует изложение свойств этих самых фигур. Похоже, учителя полагают, что понятия «пространство» и «свойство» ученикам хорошо известны.

В справочнике М. Выгодского [19]предмет геометрии определяется следующим образом: «Геометрия изучает пространственные свойства предметов, оставляя в стороне все остальные их признаки». Отдельное определение понятия «пространство» отсутствует и далее оказывается выраженным в неявной форме: «Предмет, от которого мысленно отняты все его свойства кроме пространственных, называется геометрическим телом».

Здесь четко фиксируется исходный признак начала геометрии - предмет (конечно, если под предметом понимать тело, имеющее объем, а под свойствами - свойства тел), а, следовательно, и объем (пространство), которое это тело образует. (Пояснение, что объем тела есть пространство - отсутствует. Справочник М. Выгодского, похоже, единственный справочник, из известных нам, в котором объем тела является пространством.).

Но существует и другой подход к пониманию пространства. Этот подход предполагает возможность «извлечения» свойств пространства в виде продукта собственного ума. Таким образом, понятие «пространство» вводили многие геометры: и Б. Риман, и В. Клиффорд, и А. Пуанкаре, и Д. Гильберт, и др. Особое мнение из корифеев математики имели, похоже, только К. Гаусс, Н. Лобачевский и И. Вейль. Вот как высказывал свои убеждения Гаусс в письме к Бесселю [3]: «Мы должны смиренно признать, что, хотя число и есть продукт нашего ума (эта констатация более чем сомнительна. - Авт.), пространство есть реальность и вне нашего ума, которой мы не можем всецело приписать закона a priori».

Именно с понятия “пространство” начинает свой знаменитый формуляр, “О гипотезах лежащих в основаниях геометрии”, выдающийся немецкий математик Б. Риман [4]:

«Общеизвестно, что геометрия предполагает заданными заранее как понятие пространства, так и первые основные понятия, которые нужны для выполнения пространственных построений (п/ж курсив везде наш. – Авт.). Она дает номинальное определение понятий, тогда как существенные свойства определяемых объектов входят в форме аксиом. При этом взаимоотношение между этими предпосылками остается невыясненным: не видно, является ли, и в какой степени, связь между ними необходимой; не видно также a priori, возможна ли такая связь…

Причина этому обстоятельству, как я полагаю, заключается в том, что общая концепция многократно протяженных величин, к которым относятся пространственные величины, оставалась вовсе не разработанной. В связи с этим я поставил перед собой задачу, - исходя из общего понятия о величине, сконструировать понятие многократно протяженной величины. Мы придем к заключению, что в многократно протяженной величине возможны различные мероопределения и что пространство есть не что иное, как частный случай трижды протяженной величины. Необходимым следствием отсюда явится то, что предложения геометрии не выводятся из общих свойств протяженных величин и что, напротив, те свойства, которые выделяют пространство из других мыслимых трижды протяженных величин, могут быть почерпнуты не иначе как из опыта. В таком случае возникает задача установить, из каких простейших допущений вытекают метрические свойства пространства…».

Из этого отрывка следует, что протяженность не является основанием для выявлении сути понятия «пространство». Пространство существует как одно из рядовых свойств, не отображающих конструкцию пространства, и остается неявным геометрическим свойством (просим читателя обратить на это особое внимание), не влияющим на фигуры в ней, к тому же не зависящую качественно от того, сколько и в каких направлениях этих протяженностей находится. Именно постулируемая независимость протяженностей от пространства по разным направлениям и становится основой метричности римановой геометрии. Метричность, в свою очередь, оказывается формальным геометрическим обстоятельством, призванным искусственно объединить эти направления в пространство. А поскольку протяженность признавалась второстепенным понятием, становилось возможным обойтись при «конструировании» пространства n – кратно протяженной величины простой заменой протяженности длиной (направлением перемещения).

Если исходная посылка Римана предполагает заданным заранее (кем или чем?) понятие пространства и «предложения геометрии не выводятся из общих свойств протяженных величин» (т.е. из свойств тел). А «пространство есть не что иное, как частный случай трижды протяженной величины», то никакой связи математического предмета «геометрия» с реальным окружающим нас пространством не просматривается. (Это становится особенно заметно при рассмотрении пространства Пуанкаре). Ибо из всех геометрических свойств, которые сами по себе в природе отсутствуют и действительно формализуются в голове исследователя природы, только протяженность является свойством, характеризующим параметры природы, отображающим основное пространственное качество физических тел. Все остальные фигуры геометрии есть форма осмысления исследователем тех предметов опыта, которые поставляют ему его ощущения.

Протяженность в ее общеупотребительном понимании не есть длина, а только может употребляться в значении длины. Протяженность это понятие многофакторное, могущее, в зависимости от смысла, выражать соответственно и длину, и высоту, и ширину и даже пространственную плотность. То есть отображать в едином понятии телесность и размеры определяемого предмета. Предмет, имеющий протяженность, вне зависимости от того упоминается об одной или трех из них, - телесен, а значит, сам по себе имеет их более трех. И эта телесность есть первичное, главное свойство протяженности, отображаемое в научных исследованиях размерностью, не зависящей от метричности. Метричность может обозначаться в метрах, футах, локтях или лаптях, что второстепенно и отразится только на изменении наименований понятия определенной размерности. Размерность же есть качество (свойство) предмета и потому за любой размерностью всегда стоит определенный объект-тело. Первичное, - то с чего должно начинаться изучение геометрии. Но Риман изложил свое представление о протяженности, как о второстепенном, несущественном свойстве, и последователи незамедлительно довели его мысль до конца. Следующим логическим шагом стало избавления от протяженности, как от основного качества пространства и формальной замены его длинами геометрических фигур. (Основанием для «избавления» стала евклидова геометрия, в которой отсутствует понятие «протяженность».) И, похоже, первым на это обстоятельство риманова формуляра обратил внимание В. Клиффорд. В небольшой статье-резюме «О пространственной теории материи» он пишет [20], уже не упоминая о протяженности:

«Риман показал, что, как существуют разного рода линии и поверхности, так существуют и разного рода пространства трех измерений и что мы можем лишь опытным путем установить, какого рода то пространство, в котором мы живем. В частности в рамках опытов на поверхности листа бумаги верны аксиомы геометрии на плоскости, но мы знаем, что в действительности лист испещрен множеством малых рубчиков и бороздок, на которых (поскольку полная кривизна не равна нулю) эти аксиомы несправедливы».

И хотя в названии статьи звучит слово «материя», в содержании ее материя уже отсутствует (если не считать не имеющие отношения к геометрии и сбивающие с толку «малые рубчики и бороздки»), поскольку обсуждаются только соотношения элементов геометрических фигур, не имеющих никакого отношения к материи, а не принципы их построения. А само понятие «протяженность», основное геометрическое свойство материи, уже благополучно выпало из набора геометрических свойств. И выпало не случайно.

Великий французский математик начала ХХ века А. Пуанкаре немало времени посвятил обоснованию гносеологических основ математических наук и изложению их в достаточно популярной форме. Его работа «Наука и гипотеза» специально посвящена рассмотрению философских оснований математики, а один из разделов книги так и называется «Пространство» [10]. Поскольку выводы, изложенные в данном разделе, наиболее полно отображают математические представления пространства и остаются достаточно актуальными для современного понимания этой проблемы, познакомимся с набором свойств, определяющих понятие «геометрическое пространство».

Начнем с того, что математика для А. Пуанкаре «продукт свободной деятельности нашего ума», который, при описании мира, «налагает на него два граничных понятия»:

- первое - понятие математической величины;

- второе - понятие пространства».

Отсюда следует, что понятие «пространство» - основное понятие математики. И далее он задается вопросами о происхождении геометрии и отвечает на них. Коротко процитируем это место:

«Откуда происходят первоначальные принципы геометрии? Предписываются ли они логикой? Лобачевский, создав неевклидовы геометрии, показал, что нет. Не открываем ли мы пространство при помощи наших чувств? Тоже нет, так как то пространство, которому могут научить нас наши чувства, абсолютно отлично от пространства геометра. Проистекает ли вообще геометрия из опыта? Глубокое исследование показывает нам, что нет.(?? - Авт.) Мы заключаем отсюда, что принципы суть положения условные: но они не произвольны, и если бы мы были перенесены в другой мир (я называю его неевклидовым миром и стараюсь изобразить его), то мы остановились бы на других положениях». (п/ж курсив наш. – Авт.).

Отметим, что опыт у Пуанкаре (как и у Римана и у Клиффорда) есть ощущения и потому реальное пространство для него отсутствует, но существует «чисто визуальное пространство» и образуемое человеческими ощущениями «пространство представления». Опустив из рассмотрения математические величины и «пространство представлений», остановимся на понимании им свойств геометрического пространства, тем более, что это понимание, в общем, сохраняется в математике до настоящего времени.

Вот некоторые из наиболее существенных его свойств:

- Оно непрерывно.

- Оно бесконечно.

- Оно имеет три измерения. (Добавим. Независимые измерения, по Риману это не протяженности, а длины, основа метричности. - Авт.)

- Оно однородно, т.е. все его точки тождественны между собой.

- Оно изотропно, т.е. все прямые, которые проходят через одну и ту же точку, тождественны между собой.

(Известно, что тела не обладают однородностью и изотропностью. Эти свойства можно примыслить только пустоте и, следовательно, пространство не телесно, а потому пусто. Последнее, по-видимому, для Пуанкаре было неприемлемо. Уйти от пустоты можно только в релятивизм, и, как будет показано далее, он это и делает. – Авт.). Все перечисленные свойства (кроме третьего), предписываемые пространству, отсутствуют у физических тел, и потому их объемы не считаются некоторыми пространствами.

Пуанкаре не доводит определение свойств до качественного вывода видимо потому, что вывод этот противоречит набору указанных свойств и отрицает наличие аналогичного геометрического пространства. Приведем и его:

- Оно пусто, невещественно, поскольку не является телом, а потому не имеет протяженности (бескачественно) и, следовательно, его аналоги отсутствуют в природе.

Само же противоречивое, пустое геометрическое пространство Пуанкаре становится, по этим свойствам, субстанцией, равной материи по своей значимости, но не подобной ей, ничем с ней не связанной, не зависящей от нее и не отображающей ни одно (кроме формальной геометрической длины - бескачественной бесконечности) из ее свойств. То есть таким пространством, которое ни в природе, ни в геометрии не существует.

Но и это не все. Следует добавить, что три независимых измерения обусловливают отсутствие взаимосвязи между элементами фигур, измышляемых в данной геометрии, определяют статический характер всего пространства, отсутствие в нем общей метричности, времени, невозможность никакого движения, никаких перемещений. Они запрещены статичностью образовавшегося «пространства» и отсутствием времени.

Поскольку А. Пуанкаре постулирует, что эти пять плюс одно свойств принадлежат именно евклидовой геометрии, а математики убеждены (Пуанкаре же это прямо утверждает), что люди проживают именно в евклидовом пространстве, то, зная данные свойства, мы должны усомниться не только в возможности проживания в нем, или в возможности простого перемещения тел или фигур в этом пространстве, но даже в существовании такого пространства.

Противоречивость геометрического пространства Пуанкаре на этом не заканчивается. Мир его ощущений играет с ним злую шутку, превращая реальное вещественное и, следовательно, абсолютное пространство - абсолютный мир, в мир относительный, в мир несуществующий, в мир теней собственных ощущений. (Напомним, что для И. Ньютона пространство абсолютно и для него вопрос об относительном или абсолютном пространстве есть не частный математический или механический вопрос, а принципиальный вопрос, определяющий базу всей механики и геометрии как наук о свойствах природы.) И что удивительно, совершая при этом недопустимые даже для школьника, физические ошибки. Еще более удивительно то, что ни один математик (это понятно), и ни один физик (а это уже непонятно), даже в почтительнейшей форме (во всяком случае, нам не встречались), не отметил их наличие у мэтра. (Последнее свидетельствует о том, что сказанное им, для физиков, истина, не подлежащая обсуждению. В конце работы[10]три известных советских физика разбирают идеалистические ошибки, допущенные автором, но даже не заикаются о, вызванных философской позицией Пуанкаре, физических ошибках, а, следовательно, и они разделяют с ним эти ошибки. Для них он тоже мэтр.)

Работа Пуанкаре «Наука и метод» появилась в 1908 году, в том же году, когда была опубликована книга В.И. Ленина [21] критикующая этот метод. И следует отметить, что эта критика полностью справедлива, разве что полемически резковата. Ничего лучшего по гносеологическому обоснованию физических явлений до сего времени ни у одного философа или физика нам не встречалось. А теперь вернемся к Пуанкаре:

Глава I книги II работы [10]озаглавлена «Относительность пространства». Приведем из нее достаточно большую цитату:

«Совершенно невозможно представить себе пространство пустым. (Понятно. Пространство вещественно, поскольку не пусто. Не пустое пространство абсолютно. Перед нами чистейший материализм, если, конечно, ограничиться рассмотрением одной этой фразы. Но далее, через одно предложение следует совершенно иное. – Авт.) Все наши усилия представить себе чистое пространство, из которого были бы исключены изменчивые образы материальных предметов, могут заканчиваться только тем, что мы составляем себе, например, представление, в котором сильно окрашенные поверхности заменены линиями со слабой окраской; и идти в этом направлении до конца нет возможности без того, чтобы все не уничтожалось, не свелось на нет. Отсюда и возникает неустранимая относительность пространства. (А это уже идеализм. Материя сведена на нет. Осталась одна пустота. Пространство стало относительным. Мы пришли к релятивизму. Но продолжим цитату. – Авт.)

Если кто говорит об абсолютном пространстве, то он употребляет слово, лишенное смысла. Эту истину высказывали уже давно все, кто размышлял по этому вопросу, но ее слишком часто забывают и по сей день.

Я нахожусь в определенной точке Парижа, скажем на площади Пантеона, и говорю: «я возвращусь сюда завтра». Если меня спросить: «разумеете ли вы, что возвратитесь в ту же точку пространства», то я буду, склонен ответить «да!»; и все же я буду не прав, ибо в течение этого времени Земля будет двигаться, унося с собой и площадь Пантеона, которая пробежит, таким образом, свыше двух миллионов километров. Если же я пожелал бы учесть это обстоятельство и выразиться точнее, то это все-таки ни к чему бы не привело; в самом деле, эти два миллиона километров Земля пробежала относительно Солнца (и здесь можно уточнить: не относительно Солнца, а по орбите вокруг Солнца, но эти уточнения нюансы, не играющие роли в главном. - Авт.); но Солнце перемещается относительно Млечного Пути, а Млечный Путь в свою очередь, несомненно, имеет движение, скорости которого мы можем и не знать.

Таким образом, мы совершенно не знаем, и не будем знать никогда, на какое собственно расстояние перемещалась площадь Пантеона в течение суток. Все, что я хотел сказать, сводится, таким образом, к следующему: «завтра я снова увижу купол и фасад Пантеона», и если бы не было Пантеона, то моя фраза потеряла бы всякий смысл - пространство свелось бы на нет.

Это одна из наиболее тривиальных форм идеи относительности пространства; но есть и другая точка зрения, которую особенно отстаивал Дельбеф. Вообразим себе, что за одну ночь все размеры во Вселенной возросли в тысячу раз. Мир остался бы подобен самому себе, если разуметь под подобием то, что указано в третьей книге «Геометрии». Все сведется к тому, что предмет, имевший миллиметр, возрастет до метра. Постель, на которой я лежал, и само мое тело возрастут в одной и той же пропорции (надо быть релятивистом, чтобы в это поверить – Авт.). Что же почувствую я на следующее утро, проснувшись после такого поразительного превращения? Я попросту ничего не замечу. Самые точные измерения не будут в состоянии ни в малейшей мере обнаружить этот поразительный переворот, ибо метры, которыми я буду пользоваться, изменятся в совершенно том же отношении, что и предметы, которые я буду измерять. В действительности переворот существует только для тех, которые рассуждают так, как будто пространство было абсолютным. Если бы я стал на минуту рассуждать, как они, то лишь для того, чтобы обнаружить, что их точка зрения содержит противоречие. В действительности было бы лучше сказать, что ввиду относительности пространства не произошло, собственно говоря, ничего, и именно поэтому мы ничего не заметили».

Рассмотрим поочередно оба примера.

Пуанкаре, стоя на площади Пантеона, принимает за пространство не площадь - пространство тела Земли, не пространство собственного тела. (Он не относит их к пространству. Если посчитать относительными их объемы–пространства, получим абсурд – их несуществование.) За пространство он принимает точку на орбите Земли, в которой в данный момент находится площадь Пантеона, и утверждает, что именно она, эта точка, остается на месте, на следующий день и именно от нее площадь удалится на два миллиона км. Утверждение это достаточно спорное и исходит из предположения о том, что пространство пусто и отсутствующая в таком пространстве точка (повторимся, - в пустоте нет точек, как нет и пространства) не меняет своего положения относительно удаленных звезд. А Земля и его собственное тело не обладают пространством. Но в [2] (как и в предыдущем разделе настоящей работы) показано, что пространство телесно и, следовательно, - абсолютно, и все точки данного пространства на расстоянии 149,6 млн. км движутся по орбите вместе с абсолютным пространством Земли. Таким образом, утверждение Пуанкаре об относительности всякого пространства более чем сомнительны.

Теперь о втором мысленном эксперименте - возрастании размеров Вселенной в тысячу раз. Можно только поразиться той легкости, с которой многоопытный физик - теоретик Пуанкаре поверил на слово (не проверив) утверждению некоего Дельфеба o том, что «Самые точные измерения …» (и см. выше), тем более, что на проверку этого утверждения достаточно было потратить пять минут. Потратим их и убедимся, что и в этом примере Пуанкаре неубедителен.

Прежде всего, вспомним, что тела имеют не одно свойство – длину, а множество и их качественные взаимосвязи не являются линейными. Нелинейность же взаимосвязей приводит к тому, что изменение количественной величины одного из свойств (например, по Пуанкаре, - длины) вызывает различные количественные изменения других качественных свойств и, следовательно, надо ожидать, что часть из количественных величин-свойств изменится линейно, а другая часть нелинейно, и определить эту рассогласованность приборно и расчетами, конечно, не составит труда. Покажем это на примере изменения веса человека на новой Земле. Предположим, что его вес равен F = 80 кг, а масс m = 82 г. Параметры Земли: М = 5,98∙10²⁷г., R = 6,378∙10⁸см, g = 9,81∙10² см/сек. Если предположить, что эти параметры возросли всего в 10 раз, имеем: R₁ = 6,378×10⁹ см, G = 6,67∙10^-8 см³/гс² не изменятся, М = 5,98∙10³⁰ г, и зная их, определим, чему равны, g₁ и вес F₁:

GM₁ = R₁²g₁

g₁ = GM₁ ∕ R₁² = 9,81∙10³ см/сек^2.

F₁= mg₁ = 800 кг.

Результаты достаточно красноречивы и потому не будем продолжать и комментировать их. Таким образом, утверждения Пуанкаре об относительности пространства не совсем корректны. Отсюда также возникают сомнения в корректности тех пяти свойств, которые приписываются им пространству.

Возможно, нам возразят: - Пуанкаре описывает не реальное пространство, в котором мы проживаем, а абстракцию от реального пространства. (Тогда зачем же утверждать во всей математической и физической литературе, включая учебники, что люди проживают в пространстве Евклида? – Авт.) Абстракцию, у которой сохранена только та часть свойств (противоречивая? – Авт.), которая и указана у Пуанкаре. Но, «образуя» геометрическое пространство, Пуанкаре как раз и отталкивался не от некоторой реальности, а от тех отдельных ощущений, которые регистрируются нашими органами чувств в пространстве внешних восприятий, от которых абстрагироваться просто невозможно. Из них можно что-то «сконструировать». И отталкиваясь от ощущений, Пуанкаре и конструирует пространство.

Опираясь на ощущения Пуанкаре, а вместе с ним и другие математики, не замечают, что их собственные тела, как и все физические объекты, образуют свое собственное пространство (обычно называемое объемом), по своим свойствам ничем не напоминающее вышеописанное геометрическое пространство (по-видимому, поэтому его и не считают собственным пространством тел.). Для изучения вне нас существующего пространства вовсе не было необходимости указывать пальцем на предметы во внешнем пространстве или проводить аккомодацию глазного яблока для их отчетливого восприятия. Надо было просто понять, что объемы всех тел образуют собой собственное пространство каждого тела, а другое, внешнее, пространство есть просто расстояние между плотными телами, образованное телами другой плотности.

И нельзя сказать, чтобы тот же Пуанкаре не замечал объема своего тела. Оно фигурирует у него почти по всем работам входящим в сборник «О науке»[10], но фигурирует как твердое тело, как носитель координат, наконец, как физический объем, но никоим образом, не как пространство. Достаточно было разобраться с тем пространством, которое образует наше тело и уже от него, явного вещественного пространства, абстрагироваться к получению геометрического пространства. (Поскольку, похоже, ни один идеалист, ни один человек, ни один математик не сомневаются в существовании своего тела, и, следовательно, в реальном существовании пространства, образуемого его телом, так же как и в том, что от его тела начинается другое, внешнее пространство. То, которое Пуанкаре называет «пространство представления», или «полное визуальное пространство».)

Но нет, такой путь не нашел проявления в обосновании пространства у Пуанкаре. По какой-то странной, молчаливой договоренности (конвенционализм Пуанкаре?) предполагается, что физическое пустое пространство существует само по себе, а вещественные тела занимают, своим объемом, место в этом пространстве, как бы не имея своего собственного пространства. И не имея именно потому, что их собственные реальные свойства не соответствуют постулируемым, перечисленным выше, общепринятым свойствам геометрического пространства.

Это очень удивительное обстоятельство приводит к не менее поразительным результатам. Исходя из него, космос в околоземной области - физическое пространство, поскольку как бы отвечает перечисленным свойствам, приписываемым пространству. (Хотя четвертое и пятое свойства только постулируются. Однородность, и изотропность космического пространства не доказана. Да и первые два свойства - сомнительны.) А вот объемы Солнца, (как и звезд и галактик), Земли, а вместе с ними и объемы любого тела, например, глыб гранита, булыжника, животного, растения… и далее молекул, атомов, электронов… и, конечно же, человека - пространствами не считаются. Нигде нет очевидных запретов для определения объема любого тела его пространством, но объем таковым пространством не считается и потому получается некая физическая несуразица. Тела-пространства заполняют другое пустое пространство, не являющееся телом по определению. И по тому же определению пространство не является целым и может быть только одним, внешним по отношению ко всем заключенным в него телам, не связанным с ними. Тем, из которого построено мнимое, геометрическое пространство, т.е. пустым всеобщим объемом. Тем, которое само не является телом, но обладает функцией субстанции отличной от тел-субстанций, и заполняется другими телами, не взаимодействующими с данным пространством и не зависящими от него. Тем, которое бесконечно во всех направлениях. Неявно подразумевается так же, что в одном месте не могут быть два пространства. И потому получается, что тела не обладают свойствами пространства, а геометрическое пространство не имеет никаких свойств, включая свойство телесности – протяженности. Мы получили тот же вывод, к которому сводились и свойства пространства Пуанкаре. Но без протяженности не может быть представлено никакое пространства. И потому круг замкнулся. Пространство непрерывно, бесконечно, пусто и не протяженно (именно то, которое абсолютизировал Ньютон). В результате имеем нонсенс под названием - «геометрическое пространство».

Но ведь не пустое пространство, а именно вещественные тела обладают единственным свойством, характеризующим пространство - протяженностью. Тем свойством, которое отсутствует (но всегда неявно подразумевается) в геометрическом пространстве и которого уже достаточно как для понимания, так и для «построения» пространства.

То, что качество «протяженность» - первое, на что обращает внимание человек при взгляде на любое тело, - несомненно. То, что это качество невозможно отнять у предмета (тела) тоже понятно, поскольку если нет протяженности, нет и предмета. Не случайно одно из некорректных определений точки гласит: «Точка – тело, не имеющее протяженности» - т.е. тело, не имеющее свойств тела. Но то, что может существовать геометрическое пространство, не имеющее свойства протяженности - математический факт, присутствующий в современной интерпретации и геометрии Евклида, и геометрии Лобачевского, и геометрии Римана, да и в других геометриях.

Отсутствие протяженности как качественной категории пространства привело к тому, что ее место было «занято» приписываемыми пространству метрическими свойствами, а вместе с ним разнообразным математическим многообразием. К тому же отсутствие внефигурного пространства в статических геометриях является естественным следствием их статичности. Реальное, вне нас существующее пространство, есть то, что обеспечивает механическое перемещение тел в любом направлении при обязательном взаимодействии с пространством. Невозможность механического перемещения, а вместе с ним и взаимодействия с реальным пространством, это тот фактор, который обусловливает отсутствие геометрического пространства. Нет, взаимодействие тел в движении - нет и пространства.

Однако отсутствие пространства как отображения телесности в статических геометриях еще не значит, что они не содержат в себе формализованных абстрактных пространств. Перечень таких пространств достаточно велик и опирается в основном на координатную систему и числовые многообразия. Да и движение как формальное, вневременное математическое преобразование, в этих геометриях присутствует. Но мы эти факторы рассматривать не будем, поскольку они обеспечивают только формальные связи между элементами геометрических фигур.

 

2.3. Телесное геометрическое

пространство

 

Итак, у нас имеется некоторое представление об окружающем реальном пространстве, как о множестве тел различной плотности, обладающих бесчисленным количеством равнозначных, качественных свойств. Причем все свойства-качества - обязательная принадлежность каждого тела, его атрибуты, и сознание человека отличает их по определению, а при научном рассмотрении только по размерности. Сама по себе реальность внешнего мира есть целое и не имеет ни частей, ни свойств, ни размеров (длины и объема), ни цветовой гаммы, ни тем более геометрии. Она просто единая, телесная субстанция - целое. Для науки это и есть «вне нас существующая физическая реальность, данная нам в ощущениях» [21]. Геометрия же - схематическое отображение одного из качеств физической реальности. Форма отображения реальности полученная посредством абстрагирование от всех (кроме двух) свойств окружающего мира и от вещественного пространства как от свойства мира.

Однако человек как живой субъект природы, чтобы ориентироваться в реальном пространстве и выжить, должен различать как отдельные предметы (тела), так и их части-доли и качества, и расстояния, и объемы и т.д., выделяя их из реальности и вводя для каждого из них определения и понятия. Без этого бытие человека просто невозможно. Это на первой стадии развития.

На второй стадии развития человек начинает абстрагироваться от реальных свойств и тел природы. Вычленяет их и разделяет на виды, классы, формы и т.д., рассматривая последние как группы идеальных объектов, сопоставляя и сравнивая их между собой, определяя возможности использования с целью приспособления их и себя к более удобному сосуществованию. Эта потребность приспособления к сосуществованию с природой на определенном этапе обусловливает появление науки и как следствие дальнейшего «расчленение» природных объектов и абстрагирование их свойств от реальности.

Но само абстрагирование, поскольку отсутствует методология процесса, носит случайный характер и зависит от того, какие свойства и качества определяются субъектом как основные для отображения предмета, от которого он абстрагируется. Предмет абстрагирования по разному будет восприматься людьми особенно в том случае, когда различие самого понятия «свойство» для тел и фигур однозначно не определено.

Так абстрагирование от тел к геометрическим фигурам можно проводить, основываясь на их первичности, и производить мысленным отвлечением от конкретных свойств и признаков объектов, несущественных для определяемой фигуры. При этом для образуемого идеала оставляются те свойства, которые соответствуют представлению о нем, до конца сохраняя за ним самое существенное (естественно, с точки зрения субъекта производящего абстрагирование) для определяемого предмета природное свойство. А можно этот процесс проводить по-другому. Абстрагироваться от предмета в идеальную точку, лишив данный предмет сразу всех физических свойств. И из этой уже идеальной точки, не обладающей ни одним качеством, той же аксиоматизацией возвращаться к построению идеала тела, основанному не на качественных природных, а на идеальных геометрических свойствах. Кажется, что оба эти процесса приведут к одному и тому же результату, и в том и в другом случае мы имеем одинаковые по форме фигуры. Но это впечатление обманчиво.

В первом случае мы в результате абстрагирования получили идеал с сохранением как минимум одного, самого необходимого для определения данного предмета физического (качественного) свойства и, возвращаясь к предмету от идеала, идем по пути «нанизывания» тех свойств, от которых отвлекались в процессе абстрагирования.

Во втором случае мы не знаем, от каких свойств абстрагировались (хотя понятно, что и второй случай тоже является абстрагированием), но нам неизвестно какие свойства мы «растеряли» при этом абстрагировании, ибо у нас в полученном идеале не осталось ни одного физического свойства. И хотя мы, в самом предмете их определяем, нам неизвестно, сохранилось ли хоть одно из них в полученной фигуре и какое? В частности такая идеальная фигура, как точка, при некоторых определениях не сохраняет ни одного физического свойства и аксиоматизируясь в другие фигуры переносит на них бескачественные формальные свойства. И «возвращаясь» от точки к аксиоматическому, как нам кажется, отображению тела геометрической фигурой, мы автоматически лишаем эту фигуру того физического свойства, которое отражает сущность изображаемого идеала. Тем не менее, остается впечатление, что геометрическая фигура обладает, хотя бы внешне, некоторыми свойствами того тела, которое изображает. Но это впечатление иллюзорно, а поскольку при аксиоматическом абстрагировании ни одно из физических свойств не было выделено основным, то возникает проблема с определением, какое же природное свойство присуще именно этой фигуре? Если, например, спросить у математика, какие природные свойства сохранили при абстрагировании такие фигуры, как круг или квадрат, то не всякий из них сможет сразу ответить на этот вопрос. Более того, не исключено, что найдутся меж ними и такие специалисты, которые вообще на такой вопрос ответа не найдут.

Но это цветочки. Ягодки, похоже, надо искать в тех же школьных учебниках. Вернемся к уже упомянутому определению пространства из учебника геометрии А. Колмогорова - «множество всех точек называют пространством» и зададимся вопросами: А какое пространство образует введенное аксиоматически понятие множество точек? Как множество не связанных между собой точек (одно качество) может образовать новую систему - пространство (другое качество)? И какое физическое свойство сохраняет это пространство? Опираясь на вышеуказанное определение, нам на эти вопросы ответить, не удалось. Интересно, а смогут ли ответить на них авторы учебника? Трудно сказать, но вряд ли, а все потому, что абстрагирование к пространству проводилось не от предмета, а от точки, не являющейся предметом.

Существенное влияние на результаты абстрагирования оказывает и понимание самих свойств, отнесение их к реальному или идеальному объекту. Обычно разделение на геометрические и физические свойства происходит на интуитивном уровне. Логически обоснованное разделение их в математической литературе нам не встречалось. Представление же о том, что любая геометрическая фигура должна обладать, и обладает даже тогда, когда это не определяется никакими геометрическими символами, хотя бы одним физическим свойством, еще не устоялось. А то, что природные и формальные геометрические свойства качественно различаются между собой, похоже, не отображено ни в математике, ни в физике. И по этой причине они на равных основаниях фигурируют в естественных науках. Но разве можно уравнять, например, свойства камня, лежащего на поверхности и точки, отображающей его на листе бумаги.

И потому, для корректного определения тел и абстракций от них, необходимо различать свойства телесные и геометрические и понимать, что появление в геометрии, в дополнение к изображенным статическим фигурам, только одного качественного физического свойства, например, времени, сразу же (как это будет показано далее) превращает статическую геометрию в динамический раздел механики.

Основные различия между физическими свойствами и свойствами статических геометрий заключаются в том, что все физические свойства характеризуют определенные особенности природных тел, их качественную сторону, которая в физике закрепляется размерностью. Геометрические (формальные) свойства не являются качественными и потому не имеют «самостоятельной» размерности оставаясь формальными представлениями фигур. И как бескачественные (безразмерностные) элементы последних так же формально напоминают какое-то идеализированное отображение бескачественных тел. Они могут сопровождаться одним искусственным качеством - метричностью, которая как размерное свойство обусловливает им значимость параметра и численную определенность, но тоже, только искусственной величины - метра. К тому же свойством метричности может обладать только один геометрический элемент - длина. Метричность это отображение пропорционирования протяженности, но не протяженность. Сама по себе метричность не является качественной характеристикой и образуется как эталон длины, «отталкиваясь» либо от естественного измерителя (парижский меридиан), либо от измерителя случайного (длина башмака короля, например, или царский локоть, но не российский). И по этой причине геометрическая единица измерения длины не может являться отображением качества и во всех процессах измерения не имеет размерности. Длина же, как и другие геометрические фигуры, образованные аксиоматически, считается в математике понятием неопределяемым.

Здесь следует остановиться несколько подробнее на неопределяемых понятиях. Впервые вопрос о том, что среди понятий, которые человек давал предметам и явлениям реального мира, должны находиться и такие, которые всегда остаются неопределяемыми, как уже это упоминалось, был поставлен Аристотелем. И неопределяемые понятия являются теми исходными пунктами - понятиями, опираясь на которые и может развиваться процесс познания. Греки полагали, что такими исходными понятиями должны быть математические понятия: число, точка, прямая, плоскость и т.д. Именно они не являются природной данностью, требуют определения, находят применение за пределами своей данности и становятся основой математики. И эти определения даются аксиомами.

Но Евклид, зная учение Аристотеля и его логику, «требующую» описания определения через известные понятия, где в качестве исходных понятий приходится брать неопределяемые, тем не менее, дал определение всем геометрическим понятиям. Можно полагать, что на интуитивном уровне он чувствовал, что неопределяемые понятия не имеют отношения к математике. Очень важно и то обстоятельство, что на протяжении двух тысячелетий после Аристотеля никто из математиков, следующих за Евклидом, не почувствовал необходимости в неопределяемых понятиях в математике и, в частности, в геометрии. Только в ХIХ веке математики, похоже, спохватились опираясь на того же Аристотеля, предположили необходимость обоснования в науке неопределяемых понятий и, заблуждаясь, «потянули одеяло на себя», посчитали, что неопределяемые понятия лежат в основе математики.

Мы полагаем, что это предположение математиков, пришедшее от греков, было ошибочным потому, что в древности произошла незаметная подмена истинно неопределяемых понятий на математические понятия, определяемые абстрагированием от тел и их качеств. Это и естественно, ведь древние греки не имели представления о том, что все качества тел являются размерностными величинами и потому свойства делятся по своему качеству на размерностные и безразмерностные. Похоже, что все математические понятия получаются как однозначное следствие абстрагирования от понятий физических, от понятий принадлежащих природным объектам. Если это так, то под вопросом оказывается вообще необходимость введение в математике аксиоматических методов.

Однако не все физические понятия можно однозначно определить в применении к природным явлениям или телам. И полностью неопределяемыми из них являются качественные понятия, те самые понятия, которые и составляют размерность физических величин. (Нельзя исключить, что именно их интуитивно чувствовал Аристотель, обосновывая необходимость существования неопределяемых понятий.) Это, например, протяженность, объем, масса, энергия и т.д. Каждое из этих понятий может определяться только через другие аналогичные понятия-свойства, также не имеющие независимого определения. И у этой цепочки нет такого логического конца, который бы выводил нас наружу, позволяя получить внешнее определение хотя бы одного свойства.

Не случайно, в физике со времен Аристотеля и до сих пор не имеет точного определения ни одно качественное свойство. И среди них даже такие общеупотребимые и вроде бы не единожды определяемые понятия, как масса, энергия, время, сила и т.д., дискуссии о физическом значении которых и попытки их определения не прекращаются по нескольку веков. Поэтому природные свойства - качества и являются неопределяемыми понятиями. Мы просто даем им название и находим их размерность, а уже от них и тел переходим к свойствам как физическим, так и математическим, которые и становятся свойствами формальными, вполне определяемыми свойствами. И потому,сами по себе формальные математические свойства не могут быть неопределяемыми. Они всегда определяются исходя из качественных свойств тел.Они - формальные отображения качеств тел

Формальные математические, как и геометрические свойства и числа вроде бы не «претендуют» на «обладание» качеством до тех пор, пока не возникает вопрос «Сколько?». Тот самый вопрос, для ответа, на который, и существует математика. Этот вопрос сразу же требует дополнения; «Сколько – чего?» А за этим «чего» стоит тот не менее формальный измеритель-эталон, который и влечет за собою появление количества какого-то качества, например, размерной протяженности длиною в королевский башмак. Именно размерность башмака и привносит, в данном случае, безразмерностному, т.е. не природному, формальному математическому свойству«длина» качество протяженности вне зависимости от того, согласен ли с этим математик или он категорически против качественной составляющей. Без этой явной или неявной составляющей ответа на вопрос «Сколько?» добиться невозможно. (Особое положение занимает градуировка круга, которая, хотя и не имеет общепризнанной размерности, все же при определенных взаимозависимостях выступает как размерностная величина. [6]) Сами же по себе (без вопроса «Сколько?»), геометрические свойства являются формальными структурными отображениями очертаний реальных физических объектов или их конфигураций, а последние, в конечном случае, опять же сводятся к протяженности и метричности.

И хотя метричность формально есть геометрический измеритель длины, а протяженность не характеризует длину расстояния, хотя и употребляется в понимании длины, она, (метричность), используется при измерении расстояния как качественное отображение физического свойства протяженности. И вот в этом случае возникает вопрос, а одно ли свойство многофакторной протяженности проявляет себя в длине?

Многофакторность протяженности включает в неявной форме следующие качественные свойства:

1. протяженность по высоте,

2. протяженность по ширине, формальные

3. протяженность по длине, геометрические

4. протяженность, аналог плоскости, свойства

5. протяженность, аналог объема,

1. протяженность как отображение плотности, качественные

2. протяженность как отображение телесности свойства.

Каждое из этих свойств, одно из качественных характеристик тела, но часть из них 1¸5 могут рассматриваться и как бескачественные (не имеющие физической размерности) геометрические свойства. При рассмотрении природы протяженности следует особо отметить плотностную и телесную характеристику двойственности пространства 1¸2. Однако сама протяженность воспринимается субъектом не столько как качество телесности, сколько как геометрическое свойство длины. И вот эта двойственность восприятия протяженности, интуитивно ощущаемая каждым человеком, и повергала математиков к стремлению освободиться от использования протяженности как двойственности в определениях геометрических свойств.

Особому «преследованию» подвергалось неявное понимание протяженности как телесности и совокупность объем-плотность. Эта совокупность, при использовании в геометрии в качестве элемента пространства как бы отображала телесность пространства. Но телесность пространства, исходя из логики бытия, должна препятствовать перемещению тел. А эмпирика многовековых наблюдений показывала, что никакого препятствия перемещению в открытом пространстве, например, в космосе - не наблюдается. Да и логика бытия требовала, чтобы пространство не препятствовало движению тел. И этому бытийному требованию удовлетворяло только односвойственное понятие пустого, невещественного пространства, не имеющего никаких качественных свойств, если не считать свойство пустоты. Именно это обстоятельство, наряду с многофакторностью и привело к явному удалению понятия протяженность из геометрии. Но удалось ли удалить его полностью?

Наиболее воспринимаемым свойством протяженности есть отображение им свойства геометрической длины. Длина то свойство, которое отсутствует в природе как бескачественная длительность линии, но наличествует при описании природы как качественное отображение протяженности. И в теории размерности качество протяженности отображаемая геометрическим свойством длины, например, R (радиус), имея единичную размерность (метр), тем не менее, есть произведение двух качеств-размерностей - скорости v на время Т_пр, п - безразмерностный коэффициент равный 1:

R = nv Т_пр. (2.3)

Это настолько удивительное уравнение (2.3), что в публикациях тщательно избегаются упоминания о нем и его невозможно встретить практически ни в одном учебнике, ни в одном научном труде. Можно сказать, что в физике это простое уравнение отсутствует, хотя аналогичное уравнению (2.3)

R = v/w, (2.4)

имеется почти во всех учебниках по физике. В этом уравнении:

w = 1/ Т_пр. (2.5)

Заменив в (2.4) w ее значением из (2.5), получаем необъяснимое уравнение (2.3). Однако данная подстановка находится под неявным запретом. Запрет же обусловливается отсутствием понимания физической сути расстояния, а, следовательно, и пространства. И потому пространство в физике неявно строится с опорой и на геометрическую длину, и, неопределенно, на протяженность. Переходя к статической геометрии и строя на основе формального свойства длины геометрическое пространство математики, отказавшись от свойства протяженности, сохранили в качестве единицы измерения ту же самую величину метр, в котором в неявном виде заложены не только протяженность с ее телесностью и объемностью, но и движение и время. Таким образом, в геометрии в неявном виде остались те физические качества, которые формально были удалены из нее постулативно. И наиболее заметное из них - протяженность. И пока в геометрии существует метричность, там наличествует и протяженность, а вместе с ней и телесность (т.е. отсутствие пустоты). Даже в тех проективных геометриях, в которых как бы отсутствует качественное свойство метричности - протяженность, а с ней и телесность, поскольку эти геометрии основываются на пропорционировании неметрических отрезков, от неявного присутствия протяженности избавиться не удается, так как они, эти геометрии, базируются на пропорционировании длин, а, следовательно, на неявном пропорционировании протяженностей.

Следует обратить внимание и на то, что в геометрии Римана под протяженностью понимается именно длина и ее используют как элемент образования пространства (исходя, по-видимому, из того, что куб длины становится объемом). Протяженности «образуют» трехмерное геометрическое пространство «как частный случай трижды протяженной величины». Эти «трижды протяженные величины» мыслятся как пространственная координатная система, причем каждая из бесконечных координатных осей как бы является самостоятельной протяженностью, не связанной с другими осями - протяженностями. И только единая для всех осей метричность обеспечивает их взаимосвязь. И потому предполагается, что именно координатно-плоскостная система отображает объем мыслимого пустого физического пространства, и на ее основе можно строить геометрические фигуры, символизирующие не только идеальные объемы, но и объемы реального пространства.

Если в одном направлении одна протяженность, в другом направлении другая протяженность в третьем - третья и т.д. сами друг с другом не связаны, и качественно не отличаются друг от друга, оставаясь независимыми (по Риману), то они и не образуют пространства и не имеют к нему вообще никакого отношения. Они только определяют некоторое направление для субъекта, изучающего пространство в том объеме, в котором находится субъект или которое изучается им. Связь между плотностными качествами объема осуществляется не направлениями протяженности, не координатными осями и даже не измерительными инструментами, а степенной последовательностью пространственных образований. Пространство, а, следовательно, и тело, образуется многостепенной связностью телесных качеств. Только степень протяженности (определенная некоторой качественной метрической формой и составляющая размерность) изменяет качество и плотностной вид пространства.

Сама по себе протяженность в любом направлении не отображает пространства. Она просто свидетельствует о его постоянном плотностном существовании. Но и само пространство не есть протяженность, хотя в сознании и отображается последней. Пространство это телесность, это внешние габариты тела определенной, количественно бесчисленной совокупности свойств (телесность даже устремленная в бесконечность по нашему представлению, поскольку бесконечность как качество в природе отсутствует). Она - форма отображения очень длинной протяженности, включающей в себя суммарную протяженность многих тел. С возрастанием количественной протяженности в любом направлении следует ожидать изменение качественной совокупности свойств, а вместе с ними и эквипотенциальных границ существования одной пространственной плотности тела и перехода к другой плотности, к другому пространству тела иного качества. И этот переход происходит скачком, полностью меняя свойства вновь образовавшего пространства, создавая тем самым эффект квантованности пространства. Впрочем, этот эффект «присутствует» только в реальном пространстве и не имеет отношения к статической геометрии, в которой наличие плотностного пространства может подразумеваться только за размерностью протяженности и постулируется однородность и изотропность телесности до тех пор, пока геометрия остается статичной.

Однако протяженность как физическое качество, отображаемая метричностью, не есть длина в трех направлениях. Она - самостоятельное (в понимании – отличное от остальных), единственное свойство природы так же как единственными являются все природные свойства. Протяженность в различном направлении отображается различными качествами. И поэтому протяженность как отображение площади в природе есть не площадь, а свойство-качество имеющее свою размерность м², и трехмерный объем – м³ – свойство, и последующие; четырехмерный объем − м⁴, пятимерный м⁵ … n-мерный объем − мⁿ протяженности, каждый остается единственным и телесным свойством пространства. Естественно, что такое понимание пространственности и объемности отличается от принятых на сегодня пониманий бестелесного пространства и не включает в себя координатную составляющую, так же, как и природа не имеет координат и выделенных направлений, однако это не значит, что в природе отсутствуют выделенные объемы. Можно полагать, что каждая точка пространства принадлежит выделенному объему, является целым, ибо обладает своей количественной величиной каждого из бесчисленных качеств.

Теперь, имея представления о том, какие качественные свойства отображают окружающее нас реальное пространство, попробуем абстрагироваться от него к геометрическому пространству, но прежде отметим одно очень важное обстоятельство, которое оказывает большое влияние на понимание самого реального внешнего пространства. Оно заключается в том, что и реальное пространство (природа), существование которого не вызовет сомнения, само ощущается нашими органами чувств не как объективная реальность во всей совокупности принадлежащих ей качественных свойств, а как самая настоящая абстракция. Телесная субстанция для себя (то есть не изучаемая субъектом и находящаяся вне его) абстракцией не является и в каждом своем теле обладает всей совокупностью бесчисленных природных свойств. Но человек, как живой организм, имеет ограниченное число органов чувств (имеется всего шесть органов чувств, включая и такое неопределенное, как интуиция), воспринимающих часть свойств внешних, телесных объектов. И чувства доносят до его сознания совокупность ограниченного количества свойств и качеств вещественного мира, воспринимаемых ощущениями. И потому человек своими ощущениями воспринимает абстрактный вещественный мир.

Конечно человек как физическое тело обладает тем же бесчисленным набором свойств, что и природа, и этими свойствами в той или иной степени взаимодействует со свойствами окружающих тел и не исключено, что в какой-то мере воспринимает от них воздействия. И возможно, что-то и ощущает в виде интуитивных отображений, но эти взаимодействия как осмысленные отображения в своей большей части не ощущаются. Невоспринимаемые свойства не фиксируются в мышлении, явно не анализируются и, следовательно, отсекаются нашими чувствами, превращая тем самым в ощущениях человека окружающую реальность в некоторую абстракцию с неопределенным количеством отсекаемых свойств. Физические, химические и другие эксперименты, выявляют в природе многие из тех свойств, которые не ощущаются и не отображаются человеческими органами. Они-то, вместе с ощущаемыми свойствами, становятся той эмпирической основой, которую называют внешней реальностью. А выявленные качественные свойства, в существовании которых уже нет никаких сомнений, – становятся носителями теперь уже физической, реальности.

Вот от этой, уже однажды неявно абстрагированной нашими ощущениями динамической, физической реальности и следует перейти, путем дальнейшего абстрагирования, к геометрическому пространству. К такому пространству, которое обладает только одним природным качеством, отображающим всю телесность внешней реальности. И таким качеством является протяженность. Абстрагируясь от пространства тела к пространству геометрической протяженности, мы должны мысленно отстранить (убрать из рассмотрения) от тела как целого все известные нам физические свойства, полагая к тому же, что неизвестные свойства не отображаются на геометрическом пространстве.

Мысленно убирая отдельные свойства или «превращая» некоторые из них в идеальные, мы получаем геометрическую протяженность с одной стороны как отображение формального (бескачественного) геометрического свойства длины в трех направлениях, за которой в неявной форме просматривается качественная протяженность, а с другой в той же протяженности безразмерная телесность как истинный идеал физического пространства. То есть в геометрическом пространстве, как отображении физического пространства, неявно присутствует одно размерностное качество - протяженность и безразмерностной свойство - телесность. И потому, безразмерностной геометрическое пространство включает в себя все образуемые в различных геометриях фигуры и является единственным геометрическим пространством, поскольку только одно геометрическое пространство можно получить, абстрагируясь от реального телесного пространства. Это обстоятельство подсказывает, что в идеальном телесном геометрическом пространстве может образовываться только одна геометрия – динамическая (о которой далее), а остальные, включая евклидову, неевклидовы и проективные геометрии, есть прямое следствие независимого аксиоматического индуктивного абстрагирования и становятся, при «замораживании» тех или иных следов движения тел-точек, «производными» от динамической геометрии. И хотя все они кажутся отличными друг от друга, взаимно противоречивыми и даже противоречащими евклидовой геометрии, тем не менее, они являются различными группами преобразований одной и той же статической евклидовой геометрии.

Вернемся еще раз к отдельному, отметив, что отдельное обладает всем тем комплексом свойств, которым обладает целое (тело). И, как об этом уже говорилось, из всего комплекса свойств в результате абстрагирования в геометрии остается только одно свойство - «протяженность». Оно-то и приобретает качество формального отдельного. Это отдельное имеет размерность в динамической геометрии, не имеет ее в статических геометриях, и оба качества могут присутствовать в полудинамических геометриях. Во всех трех случаях протяженность сохраняет за собой два основных качества:

- протяженность как отображение самого пространства - расстояние между фигурами и длина фигур;

- протяженность как отображение вещественности (очертания фигур и их раскраска).

Таким образом, в различных геометриях протяженность выступает как формальное отдельное (геометрическое целое), как элемент, образующий геометрическое пространство и обусловливающий геометриям возможность идеального фигурного отображения структуры и количественных отношений предметов окружающего мира.

Теперь рассмотрим основную аксиому статической геометрии - аксиому о параллельных в формулировке Евклида.

 

2.4. Статика и динамика пятой

аксиомы Евклида

 

Созданные в III веке до нашей эры сочинения Евклида под названием «Начала» до ХIХ-го века составляли основу всех геометрических знаний. В них геометрия излагалась как небольшое количество априорных аксиом, из которых логическим путем выводятся все теоремы геометрии. Аксиомы в количестве девяти составляют ее основу, а пять первых, определяют метод аксиоматизации и сформулированы Евклидом в следующем виде [22]:

«Чтобы от каждой точке к каждой точке можно провести прямую линию.

И чтобы ограниченную прямую можно было непрерывно продолжать до прямой.

И чтобы из любого центра любым радиусом можно было описать окружность.

И чтобы прямые углы были друг другу равны.

И чтобы всякий раз, как прямая, пересекая две прямые, образует с ними внутренние, односторонние углы, составляющие меньше двух прямых, эти прямые при неограниченном продолжении пересекались с той стороны, с которой эти углы составляют меньше двух прямых.»

(Дословный перевод пятого постулата Евклида; «Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти две прямые неограниченно, встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых [3].)

Из определения сразу следует, что пятая аксиома в формулировке Евклида по содержанию статична, но динамику в нее вносит возможность их неограниченного продолжения до пересечения. Она резко отличается от первых четырех. Можно было полагать, что это не аксиома, а теорема. Однако многочисленные попытки представить ее теоремой оказались безуспешными. Достаточно четкое логическое обоснование теоремы отыскать не удавалось. К тому же это логическое обоснование и не очень-то требовалось в рамках евклидовой геометрии. Не требовалось потому, что в основу ее была положена многовековая эмпирика многочисленных поколений древних геометров и единая метричность всех геометрических фигур. И в геометрических доказательствах главенствующая роль принадлежала очертанию и измерению. Слабость логического обоснования отсутствия пересечения параллельных на значительных расстояниях (на бесконечности), компенсировалось просто и доказательно параллельным переносом на бесконечность мерного отрезка, равного расстоянию между прямыми. Наглядным образом параллельного переноса могли служить следы колес прямолинейно движущейся колесницы. Иное было непредставимо для греков. Отметим, что образующий луч «соединяющий» точки двух параллельных прямых, функцию которого выполняет ось колесницы, имеет очень большое значение для теории. Его отсутствие в евклидовой геометрии способствовало, по-видимому, появлению противоречивых «неевклидовых» геометрий.

Да и сейчас мы не сможем логически доказать древним грекам, что колеса тепловоза, движущегося миллионы-миллиарды лет по рельсам бесконечной протяженности, где-то там на бесконечности поменяются местами и правое колесо побежит по левому рельсу, а левое - по правому. Однако именно такое понимание и следует из логики геометрических представлений пересечения параллельных на бесконечности. То есть там, где мы не наблюдаем условий движения и не представляем, в каком пространстве оно происходит. Но можно ли полагать, что данное представление истинно?

Проанализируем граничные условия существования первых пяти аксиом исходя из того, что геометрия Евклида отображает актуальную бесконечность, по своей природе статична, и существует как данность. Статичность геометрии предполагает, что в определении первичных элементов и аксиом некорректно использовать механическое движение точек, линий или фигур в пространстве, это понимал еще Евклид. И, потому, недопустимо использование движения этих же элементов на бесконечности.

Статичность актуальной геометрии предполагает также, что все ее элементы как бы уже имеются в скрытом виде (как бы виртуальном) в любом месте пространства и их не нужно проводить. При построении или рассмотрении геометрических фигур и их взаимосвязей - эти фигуры как бы обнаруживаются, проявляются или воспроизводятся в количестве и формах необходимых для рассмотрения и снова исчезают из поля зрения после окончания рассмотрения. Все линии проявляются (воспроизводятся), углы обнаруживаются, а точки «движутся» по уже наличествующим невидимым контурам, воспроизводя их, и никакого реального перемещения элементов фигур на плоскости или в пространстве не происходит, так же, как невозможно и механическое перемещение тел в евклидовом пространстве. Поэтому всякое движение в геометрии Евклида безотносительно к сущностям реального мира и происходит вне времени, только мысленно, являясь формальным математическим преобразованием.

Однако формулировки первой, второй и пятой аксиом нарушают это условие. И если в первых двух аксиомах перемещение мыслится как реальное движение в ограниченном пространстве, не выходящее на бесконечность, а потому находящееся в рамках математических преобразований и не приводящее к двойственности (к невозможности движения в статическом пространстве), то движение на бесконечность в пятой аксиоме автоматически вызывает возникновение внутреннего противоречия между статическим характером геометрии Евклида и динамической структурой потенциального бесконечного пространства, в котором только и возможно механическое движение.

Здесь следует еще раз вернуться к потенциальной бесконечности. Как уже говорилось, ее основные свойства - неопределенность и незавершенность на бесконечности. Свойства неопределенность и незавершенность не находят отображения в количественных величинах и потому не могут быть использованы в математике. Будучи свойствами динамическими, связанными с неопределенными формами и количествами движения, они по природе своей неопределенности не могут «входить» в систему математических преобразований, и, следовательно, не могут отображать движение в математике. Математические преобразования недействительны на бесконечности, поскольку производятся только с конечными элементами геометрии. Таким образом, и в этом случае мы сталкиваемся с дихотомией конечного и бесконечного, покоя и движения. И если собственная формулировка аксиомы Евклидом затушевывает эту дихотомию, то сложившаяся в последующем ее дефиниция достаточно определенно выражает ее.

«Через точку, лежащую на плоскости вне прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной».

Данная дефиниция в свою очередь не концентрирует внимание на бесконечности, а только неявно предполагает возможность ее существования. Однако именно эта двусмысленность обусловливает логическую возможность различного толкования, как процесса движения, так и обоснования параллельности прямых.

Статический характер евклидовой геометрии требует также однозначного статического определения параллельности в рамках актуальной бесконечности. И эта однозначность может быть отображена следующей формулировкой:

Две бесконечные прямые на плоскости, не пересекающиеся в одной точке всегда параллельны.

В этой формулировке задействована актуальная бесконечность, отсутствует движение и потому не имеет места логическая неопределенность. В ней четко фиксируется основной признак параллельности - отсутствие точки пересечения прямых на бесконечной плоскости.

Неопределенная формулировка пятой аксиомы Евклида включает неявным образом несколько факторов, связанных с потенциальной бесконечностью и противоречащих бесконечности актуальной:

- она постулирует существование на поверхности одной бесконечной линии и точки (статика) и движение вдоль нее другой линии, проходящей через точку (динамика);

- условия движения линии и качественные параметры пространства на бесконечности (например, существование плотности пространства) не определены, так же как отношение точки и прямой. Поэтому в движении линия может взаимодействовать с пространством или не взаимодействовать (если мысленно допускается такой нонсенс, как наличие пустого пространства). А если существует взаимодействие, то оно будет проявляться в изменении прямизны линии (что и наблюдается в геометриях Лобачевского и Римана).

- она постулирует возможность существования плоскости (а при переходе к объему - пространства) с различной метрикой в ортогональных направлениях. Следствие анизотропии напряженности потенциальной бесконечности.

- она постулирует возможность длительного периода движения линии. То есть постулирует существование времени, которое отсутствует в статической геометрии по определению, и наличие потенциальной бесконечности.

Все четыре неявных постулата относятся не к актуальной бесконечности, а к бесконечности потенциальной. Их наличие показывает, что плоскость, на которую нанесены геометрические элементы (в частности точки и линии), имеет неоднородную напряженность поверхности (независимо от того, понимаем ли мы это или нет, но в структуре уравнений существует память числа, фигуры и состояния пространства, которые проявляются в результатах решения). И эта неоднородность обусловливает искривление прямой, движущейся вдоль существующей (?) линии как в одну сторону от точки, так и в другую сторону от нее. (Кстати, постулируемая в аксиоме прямая на плоскости может оказаться только в нашем воображении, а движутся, оставляя следы, точки.) Характер же искривления зависит от того, какие граничные условия и в каком направлении пространства определяют движение точки.

Изменение напряженности пространства искривляет прямую движущуюся на бесконечность. Движение же на бесконечности обусловливает возможность формулировки нескольких вариантов пятой аксиомы Евклида. Эти формулировки могут задействовать как свойства статики, так и динамики, что и проявилось в определениях Лобачевского и Римана при рассмотрении пятой аксиомы Евклида. Новые определения стали основами так называемых «неевклидовых» геометрий.

Краткий анализ основ геометрий

Лобачевского и Римана

В начале, ХIХ века Н. Лобачевский, пытаясь доказать параллельность прямых методом от противного, предположил: «Через точку, лежащую вне прямой, можно провести бесконечное множество прямых,… Основываясь на этом определении, он вывел десятки логически корректных теорем, базирующихся на свойствах актуальной и…

Следующую прямую проводим по тем же правилам из точки k¢ прямой А'А' к точке k" прямой А"А". И так до тех пор, пока отрезок, выходящий из точки kn прямой АnАn, не замкнет построение ломаной линии прямой АА. Поскольку расстояние между прямыми одинаково, а углы в пересечении каждого отрезка с прямой равны, то замыкающий отрезок попадает в ту же точку k прямой АА, из которой вышел отрезок kkn. Замкнутая ломаная kk'k" ... kn образует равносторонний многоугольник.

В результате получаем на плоскости «частокол» прямых, имеющих своим стремлением недостижимый в бесконечности, а потому фиктивный, центр О. Все прямые в своем движении к недостижимому центру параллельны и по определению, и по структуре напряженности на поверхности плоскости. А основная особенность образовавшегося правильного многоугольника - дихотомия конечного и бесконечного в том, что конечный периметр замыкает в себя площадь бесконечной величины. Если теперь через центры отрезков, образующих стороны многоугольника kk', k'k", k"k"', ..., kⁿk, провести новые прямые и соединить их отрезками по правилам, изложенным выше, то получим многоугольник с количеством сторон, превышающем количество первого в два раза. При продолжении этой операции бесчисленное число раз длина отрезков kk¢, k'k",..., kⁿk будет стремиться к минимуму, а углы Аkk¢, A'k¢k, A'k¢k¢¢,... устремятся к p/2, и в пределе многоугольник kk¢k¢¢ ... kⁿ превратится в окружность на плоскости. Плоскость окружности одновременно будет обладать свойствами евклидовой статической геометрии и содержать в своих границах площадь конечной величины, и свойствами неевклидовой геометрии и содержать в тех же границах площадь величины бесконечной. Две несовместимые бытийно площади как бы налагаются друг на друга. (И здесь дихотомия конечного и бесконечного.)

В полном соответствии с геометрией Евклида длина окружности S обеих геометрий будет равна 2p радиан, а радиус одной будет конечен, другой же, напротив, будет стремиться к бесконечности, никогда не достигая центра О. У данной окружности центр отсутствует. Прямая может исходить из какой-то точки окружности динамической геометрии или входить в нее, но никогда не может пройти бесконечность, то есть дойти до центра. В то же время, по геометрии Евклида, центр у данной окружности имеется, длина радиуса конечна и определяется уравнением R = S/2p.

Получается, что одни и те же геометрические элементы можно одновременно мерить и жесткими стержнями (геометрия Евклида) и динамическими изменяемыми эталонами. А это означает, что между геометрией статической и динамической имеется определенная взаимосвязь. Попробуем ее отыскать.

Отложим от точки k вправо и влево (см. рис. 33) по отрезку kk₁ и kk₂ одинаковой длины в евклидовой мерности и, используя предыдущее правило построения, проведем через них еще две окружности k₁¢k₁¢¢k₁¢¢¢... k₁ⁿ и k₂k₂¢k₂¢¢...k₂ⁿ. Естественно, что окружности k₁ и k₂ по отношению к окружности k будут описанной и вписанной. И это единственное, что общее в структуре, как для евклидовой, так и для неевклидовой геометрии.

Отличие начинается с того, что наружу от окружности k обе геометрии допускают проведение бессчетного числа окружностей на одинаковом расстоянии друг от друга. А внутри окружности k по геометрии Евклида, число таких окружностей ограничено, по динамической же геометрии - количество их неограниченно. Каждая окружность динамической геометрии - эквипотенциальная линия напряженности относительно точки О. И длина ее (или площадь) равна бесконечности одного ранга, т.е.они равны между собой. Это есть следствие гомотетии и аксиомы о динамических параллельных. Она может быть сформулировано следующим образом:

Дуги-хорды kk¢ , k₁k₁¢, пересекающие прямые АА и А¢А¢ под одним углом и на некотором расстоянии друг от друга, имеют одинаковую длину.

Это следствие - теорема требующая доказательства. В настоящей работе оно предлагается как аксиома. И на ее основе получается, что:

- В геометрии Евклида длина всех окружностей различна, в неевклидовой же одинакова. Линия окружности является прямой.

- В геометрии Евклида длина окружности непрерывна, а в неевклидовой - дискретна. Она состоит из бесчисленного множества одинаковых отрезков бесконечной длины.

- В статической геометрии радиус окружности – конечен. В динамической бесконечен.

- В статической геометрии взаимодействие между радиусом и окружностью отсутствует, в динамической наличествует.

- В статической геометрии радиусы и окружности не связаны со временем, в динамической такая связь имеется и т.д.

Таким образом, отсутствие одинаковых качеств у окружностей двух геометрий лишает нас возможности определения взаимосвязи между ними по качественным признакам и вынуждает использовать свойства несоизмеримых чисел (что вполне понятно, поскольку конечное и бесконечное несоизмеримы по определению). Возьмем, например, два евклидовых круга одинакового радиуса r и площадью S. Сложим площади вместе так, чтобы образовался новый круг в два раза большей площадью S¢ и определим, насколько радиус R нового круга больше радиуса r маленького круга. Площадь большого круга S¢= pR² , малого S =pr²:

pR² = 2r²p R = rÖ2 = 1,41421... r .

Число Ö2, по Дедекинду - несоизмеримое иррациональное число. Символ особого способа распределения соизмеримых чисел. Однако, в динамической геометрии это символ связности, соизмеримости, а в данном случае - качественный коэффициент, обусловливающий изменение качества пространства при движении в нем двух линий к отдаленному центру. При коэффициенте связности, равном Ö2, две линии, движущиеся на плоскости к одному центру, всегда параллельны, или, что то же самое, никогда не пересекаются на бесконечности. При устремлении Ö2 ® 1 соизмеримость бесконечности меняется, и при достижении 1 динамическая геометрия переходит в статическую геометрию Евклида на плоскости.

Определим, чему равно несоизмеримое число, описывающее пространство. Используем вышеприведенный метод построения окружности и при образовании сферы. Для этого проведем множество прямых А, параллельных АА не в плоскости, а в объеме, и получим «ежик» прямых, образующих объем и устремленных в одну точку на бесконечности. Пересечем их прямыми, исходящими из точки k₁, по ранее описанному методу. В результате построения получаем сферический многогранник, сходящийся при бесчисленном увеличении граней в правильную сферу, имеющую конечную площадь поверхности, но бесконечную длину радиуса.

Имеется и более простой способ построения сферы путем вращения образовавшегося круга вокруг прямой, например, АА которая поэтому как бы становится осью вращения, а при повороте на минимальные градусы в образовавшиеся элементы сферы «втыкаются» прямые, направленные к центру. Но при этом создается иллюзия, что образовавшаяся сфера имеет выделенную ось вращения, и ось эта - прямая АА, «проходящая» через центр сферы. В данной же сфере ни одна прямая, входящая в сферу и идущая к центру, до него не доходит и тем более его не проходит, а потому не может быть признана осью.

Любым из этих способов можно построить бесчисленное количество сфер как внутренних, так и внешних по отношению к базисной сфере k, объем каждой, из которых будет конечен по евклидовой геометрии и бесконечен по динамической. И если объем всех евклидовых сфер геометрически различен, то объем неевклидовых сфер физически равен друг другу, т.е. обладает тем же соотношением качеств, что и окружности.

Теперь, исходя из метричности евклидовых объемов сфер, определим величину коэффициента объемной связности (объемное число Дедекинда). Мысленно вычленим внутри одной сферы другую таким образом, чтобы объем вычлененной сферы V и объем сферы V₁ между поверхностями двух сфер были равны: V = V₁, тогда суммарный объем V₂ равен:

V₂ = 4/3pR³ = V₁ + V = 2V = 8/3pr³.

Определим, насколько радиус внешней сферы R превышает радиус внутренней r, R³ = 2r³.

Отсюда: R = ³Ö2 r = 1,259921 ... r. k = 1,259921… .

Таким образом, коэффициент связности объема k (несоизмеримое число Дедекинда) равно: k = ³Ö2 = 1,259921... . Это число,как и коэффициент связности окружности, является иррациональным и обусловливает бесконечное движение динамических параллельных к центру сферы.

Хотя коэффициент связности и является безразмерностной величиной, он качественно индивидуален для каждого свойства. Говоря словами Дедекинда, каждый коэффициент принадлежит своему и только своему рангу параметров, а потому для каждого из них необходима собственная числовая индексация.

 

Выводы:

Методы математического преобразования не применимы для описания движения геометрических фигур на бесконечность.

Аксиомы о параллельных неевклидовых геометрий, включающие возможность бесконечного движения прямых через точки, отображают не математическое преобразование, а механическое движение фигур.

Траектории-следы точек, движущихся с минусовым ускорением к единому центру и не достигающие его за бесконечный промежуток времени, не пересекаются и, следовательно, параллельны.

Наличие движущихся в бесконечность и неподвижных фигур в неевклидовых геометриях свидетельствует о том, что они описывают механическое движение и потому являются полудинамическими геометриями. В динамической геометрии все фигуры подвижны.

Статические и полудинамические геометрии являются производными элементами динамической геометрии.

Но математическому описанию движения всегда предшествует понимание процесса взаимодействия природных тел. Попробуем рассмотреть особенности тех движений, которые проявляются в неевклидовых геометриях при отображениях реальных природных движений.

 

2.8. Падение тел в

плотностном пространстве

 

В настоящем разделе речь пойдет только об одной форме движения тел - их «свободном» падении в гравитационном пространстве и времени Солнечной системы, поскольку именно аналогичное падение напоминает след-траектория, оставляемая свободно движущейся точкой относительно другой в полудинамической геометрии. Поскольку всякое движение, по нашему представлению, возможно только в пространстве и во времени, а перемещение точки в геометрическом (реальном?) пространстве не сопровождается явным проявлением времени и, следовательно, не может считаться отображением движения, надо выяснить: Описывает ли траектория движения точки в динамической геометрии реальное движение тел? Проявляет ли себя время в динамической геометрии? И в какой форме? Изменяется ли скорость течения времени в пространстве или остается абсолютной, как это постулируется в классической механике?

Теперь, имея определение основной аксиомы динамической геометрии, рассмотрим, о чем свидетельствует невозможность как статической формулировки аксиомы о параллельных в геометриях Лобачевского и Римана, так и искривление «прямых», проходящих через точку. Проанализируем качественно, на примере (рис. 34), те факторы, которые обусловливают появление «прямых» - элементов геометрий Евклида, Лобачевского, Римана при движении двух тел к общему плотностному центру О.

Предположим, что плотностной центр О является телом (например, Солнцем), на которое под воздействием притяжения, падают в динамической параллельности своих траекторий два тела-точки А и В оставляя прямолинейные следы-линии. В своем движении к центру они перпендикулярны плотностным эквипотенциальным поверхностям напряженности гравитационного поля. В некоторой точке А движение тела А искусственным образом изменяют так, чтобы на участке АД оно двигалось в статической параллельности траектории движения тела В. Естественно, что на участке АД это тело движется под углом к плотностным эквипотенциальным поверхностям и для такого движения должно получать дополнительную энергию и потому двигаться с большим ускорением чем при свободном падении. В точке Д энергия, вызывающая ускоренное движение тела А статически параллельно телу В, прекратила свое воздействие и тело А, представленное самому себе, продолжило падение на центр О. Имея большую энергию движения тело А продолжает падение по одной из трех возможных траекторий (рис. 34):

по траектории а - по параболе, приближаясь к новой форме динамической параллельности с траекторией тела В, с возможным бесконечным падением на центр О;

по траектории b - по эллипсу, огибая плотностной центр О и превращаясь в его спутник;

по траектории с - по гиперболе, «оттолкнувшись» от центра О и удаляясь от него на бесконечное расстояние.

Ориентируясь нарис. 34, можно полагать, что геометрия Лобачевского основывается на разработке элементов траектории с, а геометрия Римана на базе траекторий а и b. Все три фигуры хорошо изучены в статической геометрии. К тому же поэллиптической траектории движутся многие небесные тела и в частности - планеты.

 

 

Рис. 34. с   Д А   а в О В

Появление эллиптической траектории движения точки-тела с одной стороны свидетельствует о том, что статические геометрические фигуры есть остановленные в движении очертания фигур-траекторий динамической геометрии, а с другой вызывает вопрос: А не является ли траектория планет следствием движения небесных тел по законам динамической геометрии? Не является ли динамическая геометрия аналогом физической геометрии?

Выше уже отмечалось что, «свободное» движение точки в полудинамической геометрии несколько напоминает движение комет в околосолнечном пространстве, которое само по себе является падением, а след кометы (траектория) в пространстве также может описывать одну из трех конических сечений: гиперболу, параболу, эллипс. К тому же и планеты, и их спутники, и другие небесные тела имеют эллиптическую траекторию. Такую траекторию, которая, по идее Ньютона, образуется телом, совершающим в гравитационном поле одновременно два движения: горизонтальное - стремление по инерции «проскочить» мимо удерживающего его тела (для планет - Солнца) и вертикальное, падение на то же самое Солнце. Сложение инерционного и гравитационного воздействий «усмиряет» небесные тела и обусловливает им эллиптическую траекторию орбиты.

Законы эллиптического движения небесных тел были эмпирически открыты почти 400 лет назад Кеплером и до сих пор сохранили свое значение в астрономии. Нашему случаю, отображению движения тела-точки по эллиптической орбите, соответствует третий закон Кеплера, связывающий периоды обращения любых двух планет с большими полуосями - средними расстояниями их от Солнца. Закон утверждает:

«Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца пропорциональны кубам их средних расстояний до него».

а³/а₁³ = Т²/Т₁². (2.6)

Очень существенно то обстоятельство, что в самом законе (2.6) ничего не упоминается о планетах. Они «принудительно привнесены» в закон как параметры орбит. В законе же Т и Т₁ - годовой период обращения некоторых тел по орбитам, где а и а₁ - большие полуоси орбит. Закон записан крайне неудачно, так как отображает безразмерностное отношение параметров различных систем и потому скрывает физическую сущность закона Кеплера. К тому же параметры эти непосредственно не связаны друг с другом. Годовое время вращения не имеет прямого отношения к среднему радиусу орбиты. Но то, что даже в такой формализации отмечается связь в параметрах движении всех планет, свидетельствует о глубинной взаимосвязи времени и пространства во всей Солнечной системе.

Поскольку большие и малые полупериоды орбит планет различаются между собой незначительно, то они, без значительных ошибок для расчета, могут считаться радиусами орбит соответственно равными R и R₁. Тогда уравнение (2.6) приведенное к системе одной планеты приобретет вид:

R³/Т² = R₁³/Т₁² - const. (2.7)

То есть отношение куба радиуса орбиты одной планеты к квадрату ее периода вращения равно отношению куба радиуса орбиты другой планеты к квадрату периода ее вращения.

Уравнение (2.7), в котором R соответствует (2.4), есть системный физический инвариант, связывающий два свойства одной области пространства Солнечной системы единой взаимозависимостью. Инвариантность такого рода уравнений заключается в том, что изменение количественной величины любого из параметров, входящего в инвариант сопровождается пропорциональным изменением всех остальных параметров, но количественная величина инварианта - const при этом остается неизменной.

Инвариантные системы отображают всеобщие, качественные и количественные взаимосвязи всех свойств физических тел и образуемых ими пространств. Они составляют математическую основу физической геометрии.

Это и определяет физическую сущность инварианта (2.7).Инвариант (2.7), приобретая физический смысл, и оказываясь одинаковым для всех планетарных орбит - const, тем не менее, образует ту же что и (2.6) пропорцию годового времени с радиусом орбиты, но другой численной величины. Найдем его по параметрам, например, земной орбиты: R = 1,496×10¹³ см, Т = 3,156×10⁷ сек. Количественная величина инварианта равна для всех планет солнечной системы:

R³/T² = 3,362×10²⁴ см³/с² - const , (2.8)

доказывая тем самым как бы единство закономерности вращения всех планет и спутников Солнечной системы. И естественно, что к уравнениям (2.6) и (2.7) никаких претензий у специалистов математиков и астрономов не возникает. Но такие претензии появляются, если поставить вопросы: Корректно ли уравнение (2.7) астрономически (физически) поскольку прямая качественная взаимосвязь между временем Т и радиусом R отсутствует? И не скрывается ли за ним изменение течения времени на различных расстояниях от Солнца?

Вопросы не возникают уже потому, что расчет по уравнению (2.7) всегда подтверждается главным критерием истины – экспериментом. В данном случае - наблюдением за движением планет. А поскольку выражаемые сомнения в справедливости уравнения (2.7) отображаются качественными факторами, которые «опущены» в современной физике, то надо полагать, что данное уравнение скрывает, в своей простенькой формализации, «мину» замедленного действия страшной разрушительной силы и для физики, и для астрономии. Попробуем разобраться, какие же обстоятельства обусловливают существование факторов, способных изменить представление о физической сущности третьего закона Кеплера и о постулируемой неизменной скорости течения времени.

Прежде всего, отметим, что уравнение (2.7) не нарушает ни одной аксиомы, ни одного математического принципа, и с этой стороны к нему претензии отсутствуют. Оно, как уже говорилось, подтверждено главным астрономическим критерием - экспериментом и потому математически верно. Но верно ли оно физически, ведь оно описывает не так называемые обезличенные, численные математические взаимосвязи, а качественные физические зависимости и должно отображать равнозначные качественно и количественно параметры системы, которую описывает. И, следовательно, его астрономическую корректность надо рассматривать исходя из принципов не математики, а физики. Физически же в уравнении (2.7) задействованы не равнозначные, для одной системы, параметры. И, следовательно, правильный математически результат, даже подтвержденный эмпирически, может оказаться некорректным физически. Разберемся в этом вопросе подробнее.

Два параметра Т и R сведенные в уравнение (2.6) входят в систему уравнений двух различных инвариантов, описывающих различные системы. В одном вместо R фигурирует S = 2pR:

S³/Т² = const₁. (2.9)

Из инварианта (2.9) этой системы взят параметр Т, а от другого инварианта:

R³/Т_пр² = const₂, (2.10)

параметр другой системы R. В результате получили тоже инвариант - третий закон Кеплера (2.6) составленный, однако не из параметров одной системы, и, следовательно, сомнительный для корректного использования в физике. Это обстоятельство, с одной стороны, обусловило получение физически некорректного уравнения (2.6), а с другой - скрыло от рассмотрения величину Т_пр, очень важную для понимания третьего закона Кеплера (2.6). Данный параметр Т_пр мы назвали приведенным периодом времени (2.3). Он получается делением годового времени движения планеты по орбите на 2p:

Т_пр. = Т/2p (2.11)

Нам не удалось ни в одном учебнике по астрономии и физике, как и в другой научной литературе, обнаружить уравнение (2.11). Похоже потому, что оно не получило ни физического, ни астрономического объяснения. Понятие, приведенное время Т_пр в этих науках отсутствует. В современной науке самонеподвижных физических тел оно просто не нужно. Но образованный с этим параметром инвариант (2.10) не ограничивается только отношением куба радиуса R к квадрату непонятного приведенного времени Т_пр. Его образуют и другие, хорошо известные и в физике и в астрономии параметры орбитальной скорости v и напряженности гравитационного поля g (ускорения свободного падения):

R³/Т_пр² = gR² = Rv² … = const₂, (2.12)

Правые части (2.12) были известны еще Ньютону и использовались им для расчета скорости движения Луны и силы притяжения ее Землей. А вот инвариантная зависимость (2.10) – левая часть (2.12), до сих пор не обнаружена потому, что скрывалась за некорректной структурой третьего закона (2.6). И, следовательно, если считать случайностью появление приведенного времени Т_пр в инварианте (2.10), то такой же случайностью становятся правые части инвариантов (2.12). А без них ни физика не астрономия в настоящее время обойтись уже не могут. Инварианты (2.12) описывают еще не замеченную закономерность в строении Солнечной системы. Без выявления этой закономерности наше знание о ней останется неполным, а возможно, и некорректным. Так что же скрывается за параметром приведенного времени Т_пр?

За параметром приведенного времени Т_пр скрывается годовой цикл пульсации Солнца в обусловленной расстоянием R области. Солнце, как и любое физическое тело, находится в эфире и пульсирует объемно, в нескольких гармониках. Пульсация, в виде сжатия и разряжения, распространяется от него, создавая эфирные волны. Последние проходят каждую область пространства за определенный для нее промежуток времени (см. рис. 1.) Этот промежуток времени и является приведенным временем движения волны Т_пр на расстоянии R от Солнца.

Инвариант (2.12) включает в себя не только R , v, g и Т_пр. Он может образовываться со всеми параметрами-свойствами, которые имеются у тел и, следовательно, свойства, присущие пространству Солнечной системы, как телу, так же составляют пропорции системы инварианта (2.12). И поэтому ее всегда можно расширить с включением всех необходимых для изучения свойств. Например:

R³/Т_пр²=Rvw_пр=v²g/w_пр²=v⁴/g=g³Т_пр⁴=Т_прv³=…=1,328×10²⁶см³/с². (2.13)

где w_пр = 1/Т_пр - приведенная частота, такая же как в (2.5).

И количество инвариантов, типа (2.13) с величиной 1,328×10²⁶см³/с², которые следует назватькеплеровскими инвариантами, неисчислимо.

Аналогично (2.13) можно сформировать и для (2.9):

S³/T² = gS²/2p = Sv² = v²g/2pw = Tv³ … и т.д.- const₁ (2.14)

Естественно из уравнений (2.9) или (2.14) можно сформировать несколько аналогов (2.6):

S³/S₁³ = Т²/Т₁² = … = const₁ = 8,339×10²⁶ см³/с², (2.15)

И расписав его:

8p³R³/8p³R₁³ = Т²/Т₁² ,

после сокращения 8p³, получить тождественную (2.6) форму записи третьего закона Кеплера. Математически в этом случае все безукоризненно. Но сокращение на 8p³ левой части меняет физический смысл уравнения (2.15) обусловливая ему получение другой количественной величины const₁:

const ¹ const₁,

Количественно величина const₁ = 8,339×10²⁶ см³/с², на два порядка превышает const = 3,362×10²⁴ см³/с². Это достаточно показательный пример ошибочного использования метода сокращения в физических и математических операциях, результатом которого становится появления физически некорректных решений для одних и тех же параметров. Похоже, возможность возникновения математически корректных, но нарушающих системные взаимосвязи, физически недостоверных уравнений даже не рассматривается ни в физике, ни в математике. Но вернемся к инвариантам (2.13) и (2.14).

В инварианты (2.13) и (2.14) кроме R и Т входят параметры, которые вроде бы, не могут образовывать пропорции типа третьего закона Кеплера (2.6) или (2.7) и по этой причине не рассматриваются:

v²/v₁² = R/R₁, (2.16)

v⁴/v₁⁴ = g/g₁, (2.17)

Т/Т₁ = v³/v₁³ и т.д., (2.18)

но, тем не менее, их образовывают (2.17)-(2.18). Они не востребованы ни в астрономии, ни в физике, не потому, что невозможны физически, а потому, что отсутствует понимание их физической сущности, как и сущности третьего закона Кеплера. Если, например, предположить, что инвариант (2.16) отображает пропорционирование скоростей на орбитах двух планет, то совершенно непонятно, а что же отображают инварианты (2.17) и (2.18)? Ведь они не включают ни планет, ни радиусов орбит, а только напряженности каких-то областей пространства, скорости несуществующих тел в этих областях и приведенное время в неизвестных пространствах.

В современной физике ответы на эти вопросы отсутствуют. И отсутствуют не случайно. Они - следствие постулирования в физике и астрономии пустого невещественного космического пространства и отсутствия у этого пространства физических свойств. Следствие отрицания вещественного космического пространства – эфира.

Постулируемое пустое пространство не имеет свойств и потому, исходя из постулируемой же пустоты, кеплеровские инварианты не имеют права на существование. Вот она главная причина непонимания физической сущности III закона Кеплера и отсутствия кеплеровских инвариантов - существование в физике понятия пустого космического пространства.

Наличие вещественного эфирного пространства, подобного по своим свойствам свойствам физических тел, заставляет совершенно иначе интерпретировать третий закон Кеплера и кеплеровские инварианты. Третий закон Кеплера, как и инварианты, отображает не только периоды обращения каких либо планет или других тел вокруг Солнца, но иописывает количественную величину того или другого свойства в разных областях пространства Солнечной системы и показывает, что все физические свойства (включая время) в области этого телесного пространства изменяются пропорционально расстоянию до него. А применительно к двум различным областям пространства могут быть интерпретированы как периоды обращения неких небесных тел вокруг Солнца. Но не как закон, а как частный вывод из закона инвариантного изменения пространственных свойств.

Кеплеровские инварианты применимы и для описания параметров околопланетных областей с использованием показателей самих планет. Так, например, инварианты, образуемые параметрами вблизи поверхности Земли, записываются аналогично системе (2.13):

g₂R₂²=R₂v₂²=MG=v₂⁴/g²=T_пр2v₂³=Mv⁴/F=R₂²F/M=e²/M…=const₂ (2.19)

Здесь М - масса планеты, G - гравитационная «постоянная», F - сила взаимодействия с эфирным пространством или с другими телами, е - заряд планеты.

Кеплеровские инварианты обусловливают возможность получение законов физики даже без вывода, простым приравниванием соответствующих из них. Так, например, получаем закон притяжения Ньютона:

R₂²F/M = M₁G; F = GMM₁/R₂²,

Или закон Кулона:

R₂²F/M =e²/M; F = e²/R₂². И т.д.

И можно полагать, что именно инвариантные взаимосвязи параметров лежат в основе всех физических уравнений.

Фундаментальный вывод о пропорциональном изменении всех свойств любой области околосолнечного пространства следует уже из признания вещественности космического пространства. Его можно проверить для Солнечной системы на примере инварианта Тv³ - const₁ (2.13), и определить изменяется ли и каким образом скорость течения времени, при «падении» (частный случай - движение планеты по орбите) тела в любой области Солнечной системы.

Понятно, что с приближением к Солнцу период Т будет уменьшаться, поскольку орбитальная скорость движения планеты возрастает, а с удалением от нее увеличиваться. Однако, как постулируется в классической механике, само по себе течение времени в каждой точке пространства остается неизменным и, следовательно, промежутки течения времени в каждой области пространства равны между собой, и по нашему земному времени измеряются секундами. А это означает, что они не должны быть связаны в инварианте нелинейной зависимостью. До сих пор постулат постоянства скорости течения времени в пространстве остается основой любой механической или физической картины мира, поскольку отсутствуют способы его теоретической проверки.

Хотя сам по себе факт изменения скорости вращения планет с приближением к Солнцу тривиален, неизвестен его другой аспект: пропорционально ли изменению скорости вращения планеты вокруг Солнца меняется скорость течения времени. (Неизменна ли, как постулируется, скорость течения времени во всем пространстве Солнечной системы или она меняется от области к области?) И движутся ли тела к Солнцу с возрастающим ускорением? Последнее из наблюдений для всех настолько очевидно, что подобный вопрос кажется нонсенсом. Но наблюдаемое ускорение еще не является доказательством падения тел на Солнце с возрастанием скорости, поскольку нам неизвестно главное - изменяется или нет скорость течения времени в том пространстве, в котором тело приближается к Солнцу? Инвариантность уравнений (2.13), (2.14) свидетельствует о том, что скорость падения тел и скорость течения времени на орбите меняются нелинейно, и обусловливают возможность проведения теоретической проверки постулата о постоянстве течения времени в различных областях пространства.

Для проведения расчетов можно использовать комплекс инвариантов (2.13). Выберем условный шаг измерителя расстояния 12,5 млн. км по радиусу, а за точку начала отсчета примем расстояние от орбиты Земли, тогда S = 9,4×10¹³ см - длина орбиты, v = 29,78×10⁵ см/с - средняя скорость движения планеты по орбите, а Т = 3,156×10⁷ с - годовое время движения. Расчет будем вести последовательно по инвариантам:

Sv² = 8,339×10²⁶ см³/с² - сonst₁,

Тv³ = 8,339×10²⁶ см³/с² - сonst₁, (2.20)

и записывать результаты расчета в таблицу 1.

Таблица 1

S см 1011	T сек 104	V см/c 105
1. 940,0		29,78
2. 863,9		31,06
З. 785,4		32,58
4. 706,8		34,34
5. 628,3		36,42
6. 549,8		38,94
7. 471,2		42,06
8. 392,7	852,5	46,07
9. 314,2	609,9	51,51
10. 235,6	396,1	59,48
11. 157,1	215,7	72,84
12. 78,54	76,29	103,0
13. 6,283	1,725	364,2

 

Итоги оказались весьма неожиданными. Выяснилось, что, с приближением к поверхности Солнца, скорость течения времени в каждой области пространства, не является const.Одновременно с возрастанием скорости падения тел, происходит замедление скорости течения времени в пространстве их движения, и настолько значительное, что если скорость падения на отрезке 149 млн. км возросла на один порядок, то скорость течения времени на этом же отрезке пространства замедлилась более чем на два порядка. И, следовательно, впроцессе орбитального движения тел происходит не ускорение, а по мере их приближения к Солнечной поверхности фактическое значительно более быстрое замедление скорости падения тел в пространстве Солнечной системы. Это и есть та самая мина замедленного действия, которая, если не удастся ее опровергнуть, способна перевернуть все сложившиеся представления о структуре космического пространства в целом, а Солнечной системы в частности. Именно изменяемость скорости течения времени, как и других свойств в различных областях пространства, и скрывал третий закон Кеплера.

Вернемся к уравнению (2.20). Оно - инвариант, произведение параметров годового периода времени на куб средней скорости. Иначе говоря, перед нами уравнение кубической гиперболы, отображающее зависимость изменения орбитальной скорости движения планеты (или любого твердого тела на орбите) от скорости течения времени в той области пространства, в которой находится планета. Для анализа закономерности изменения скорости и времени «вырежем» из таблицы 1 промежуток траектории по длине радиуса от 16 млн. км до 1 млн. км, и рассмотрим подробнее связь структуры изменения расстояния до центра Солнца R, с возрастанием скорости «падения» тела v и замедления течения времени Т_пр. Рассчитаем эти параметры с шагом 2 млн. км по инварианту (2.13):

Т_пр v³ - const,

и выпишем проявившуюся зависимость в таблицу 2.

Таблица 2

V см/c.	3,641×107 :2 =	1,820×107 :2 =	0,910×107 : 2 =	0,455×107 : 2 =	… ®
R см.	1×1011 х 4 =	4×1011 х 4 =	16×1011 х 4 =	64×1011 х 4 =	… ®
T с.	1,73×104 х 8 =	1,38×105 х 8 =	1,106×106 х 8 =	8,83×106 х 8 =	… ®

Вот здесь-то и обнаружится то, что не было заметно по таблице 1. Каждый из параметров изменяется с пошаговой кратностью, как бы квантованностью, равной:

Для скорости падения - двум,

Для расстояния по радиусу (как и по орбите) - четырем,

Для времени падения - восьми.

Из нее следует, что возрастание скорости v падения тела на Солнце происходит в четыре раза медленнее, чем соответствующее замедление течения времени Т_пр на том же отрезке траектории. (Другими словами по мере приближения к Солнцу возрастающая плотность пространства, а вместе с ней и напряженность гравитационного поля g, вызывают соответствующее изменение скорости течения времени, что и отображает, например, инвариант g³Т⁴ – const₁.) Поэтому, по мере приближения к Солнцу время областей пространства, в котором движется тело, замедляется в каждой ее области на строго определенную количественную величину, а скорость его движения тоже возрастает на строго определенную, но другую количественную величину в той же области. Характер изменения скорости движения падающего тела и скорости течения времени хорошо отображен на графике (рис. 35.). И как видно из таблицы 2 и на графике замедление падения происходит намного быстрее, чем возрастание скорости тела. Поэтому в каждый последующий промежуток времени тело-планета, приближаясь к Солнцу, будет проходить путь по длине на строго определенную величину меньший, чем за предыдущий промежуток времени. Отсюда следует, что тело «упавшее» на Солнце, не сможет достичь его центра за бесконечный промежуток времени (если исходить из того, что Солнце является газовым шаром и не принимать во внимание сопротивления газа движению тела).

Как видно на графике, замедление времени Т падения тела происходит намного быстрее возрастания скорости v тела. И в каждый последующий промежуток времени тело − планета, приближаясь к Солнцу, проходит путь по длине меньший, чем за предыдущий промежуток времени. Следовательно, тело, “упавшее” на Солнце, не сможет достичь его центра за бесконечный промежуток времени.

Повторимся:

Геометрическое пространство появляется только тогда, когда имеет место явное или неявное механическое движение фигур. В статических геометриях пространство отсутствует, поскольку отсутствует взаимодействие фигур с пространством.

Известно, что точка-тело, в движении которой вдоль прямой на бесконечности каждый последующий шаг оказывается меньше предыдущего, на строго нормированную величину, не сможет пройти ограниченный отрезок линии даже за бесконечный промежуток времени. Именно эта ситуация и наблюдается при рассмотрении процесса падения тел на Солнце по комплексу уравнений (2.13). Поскольку тела на Солнце могут падать с любой стороны и в своем падении замедляются на строго определенный отрезок расстояния, то ни один из них не в состоянии достичь его центра, а, следовательно, их траектория нигде не пересекаются.

Это обстоятельство, обусловленное движением падающих в пространстве тел, показывает, что аксиома о динамических параллельных не является аксиомой, а есть следствие третьего закона Кеплера. Есть отображение теоретического вывода о том, что тела падают на Солнце с отрицательным ускорением (с замедлением). И эта констатация могла появиться только после того, как удалось выяснить теоретически замедление скорости свободного падения тел по мере их приближения к Солнцу.

Выводы из анализа третьего закона Кеплера:

Движение точек-тел полудинамической геометрии по эллиптическим траекториям описывается третьим законом Кеплера.

Закон Кеплера не ограничивается констатацией равенства отношений квадратов периодов к кубам расстояний, а сопровождается системой инвариантов, отображающих изменение параметров тел и пространства при движении.

Согласно инвариантам Кеплера, скорость течения времени пространства по мере приближения к Солнцу замедляется, а падающие тела деформируются возрастающей напряженностью его гравиполя.

Можно полагать, что аппарат динамической геометрии является математическим инвариантным аппаратом физики.

 

2.9. Строение физического

пространства

Известно, что проблема бесконечного включает дихотомию взаимосвязи двух пар категорий, с одной стороны, различие конечного и бесконечного, с другой - покоя и движения. Попарно существование противоположных категорий обусловливает различие в подходе к описательному отображению космических тел и структур. Это различие прежде всего относится к первичным понятиям: тело-точка, прямая-луч, плоскость, движение, время и т.д.

Простейшее тело в динамической геометрии можно представить как материальную сферу, бесконечную внутрь и отграниченную собственной поверхностью от окружающего пространства. Тело, как вещественное образование, формирует плотностную структуру и влияет на внешнее пространство в соответствии с энергетической напряженностью, создаваемой количественной величиной своих свойств.

Тело можно представить точкой только тогда, когда ее параметры и собственная напряженность несопоставимы по рангу с параметрами и напряженностью окружающего пространства и тел, образующих структуру данного пространства.

Линия или прямая есть условный след от движения точки (тела) в пространстве. И начало, и конец линии входят в поверхность «динамических» точек. Линия, на участке от поверхности одной точки-сферы до поверхности другой, имеет конечную длину.

Если эту же прямую продолжить за пределы поверхности конечных точек-сфер, внутрь их, то прямая станет иметь бесконечную длину, не отождествляемую ни с какими действительными числами.

Вернемся к бесконечной прямойна плоскости и точке N вне ее, через которую проводится прямая. Это плотностная точка и аналогичную плотностную функцию имеет ближайшая к N точка М на «бесконечной» прямой. Они взаимодействуя “создают” поле напряженности (штрихи нарис. 26), и для них, как уже говорилось, отсутствует прямая АВ на которой находится М. Именно движение прямой через точку N, «сопровождаемое» неявным движением точки М вдоль прямой АВ становится фактором определяющим истинную форму образуемых параллельных.

Образующий луч Л (рис. 26) в природе отсутствует. Он - фигурное отображение факта силового взаимодействия между центрами и соединяет плотностные точки, которые в своем движении, “выписывают” различные как плоские, так и объемные фигуры. Это как бы изменяемая ось греческой колесницы.

Неявное существование образующего луча создает возможность в статико-динамической геометрии обобщения геометрий Евклида, Лобачевского и Римана в одной и той же области пространства простым “замораживанием" отдельных линий (или всех). Последнее свидетельствует о том, что полудинамические и статические геометрии являются производными элементами динамической геометрии.

В пространственных полудинамических системах образующий луч Л всегда подвижен, и каждая его концевая точка в процессе движения описывает геометрическую фигуру, соответствующую уравнению движения и коэффициенту связности. Естественно, что в уравнении движения зашифрована и напряженность области концевых точек луча и пространства, в котором луч движется. (Везде предполагается, что след движения остается только от перемещения концевых точек.)

Основной способ движения образующего луча - собственное удлинение или сокращение (пульсация) с определенным периодом, сочетающийся с возможным вращением и некоторым пространственным перемещением, например в пространстве декартовых координат. Поэтому кривые (следы), плоскости и пространства всех геометрий, включая геометрии Евклида, Лобачевского и Римана, описываются образующим лучом, один конец которого может двигаться по линии или оставаться неподвижным, а другой, в движении, удлиняться или сокращаться. На рис. 36 показано, как, двигаясь на плоскости, образующий АО от точки А до точки А', остается неизменным по длине и описывает дугу окружности полностью в соответствии с геометрией Евклида. В точке А' он в движении начинает укорачиваться и до точки А" движется по сферической кривой, описывая линию положительной кривизны в соответствии с геометрией Римана. В точке А" происходит следующий перелом и образующий на участке А" А"' начинает описывать линию отрицательной кривизны по геометрии Лобачевского до точки А"', после которой линия движения снова меняет «свою» геометрию и т.д. Переломные точки А', А", А"¢, А"" имеют статическую для этой области величину луча, и потому луч в них может быть отнесен к геометрии Евклида. Перелом есть изменение формального качества линии, процесс перехода от одной кривизны к другой.

Рис. 36. А¢   Л А¢¢ Л А¢ Л М Л А¢¢¢

Оба конца луча могут совершать любые движения, описывать самые различные фигуры. Так, например, если конец луча, описывающий кривую AA'A"A'"... (см. рис. 36), замкнется при одновременном движении другого конца-точки О по прямой, то выписывается объемная фигура - профилированный цилиндр. Если же точка О будет двигаться по окружности, то вместо цилиндра получается тор того же профиля. Таким образом, возникновение искривления как «положительного», так и «отрицательного», связано с изменением длины луча, создающего это «искривление». Длина луча, в свою очередь, зависит от напряженности пространства в различных направлениях от точки, из которой он исходит. Изменение напряженности не есть искривление поверхности и не приводит к нему, а вызывает изменение метричности. И, следовательно, численной длины луча. Покажем это на примере (рис. 37). Пусть луч AО, исходящий из условной точки О, двигаясь по отрезку окружности АВО, начал удлиняться и в точке А' пересек прямую А"О. Продолжая дальнейшее движение, он пересек также прямую ОВ" - окончание дуги АВ.

Дуга АВ разделена прямыми на четыре равных отрезка k, 1, т, п. Прямые, разделившие дугу, продолжены до пересечения эквипотенциальной линии А" В" и также делят эту дугу на четыре равных отрезка k", l¢¢, т", п". В пространстве отрезки

k" = k= l¢¢ = 1 = т" = т = п" = п,

как следствие пропорционального изменения напряженности от точки О к периферии поверхности. Поскольку пропорциональность напряженности сохраняется на всей поверхности, то отрезок А'В' делится на четыре части k¢, l¢, т', п', так что:

k' = l¢ = m' = п',

хотя по евклидовой и римановой геометрии k' ¹ п'.

Естественно также, что

k = k¢ = k¢¢; l = l¢ = l"; m = m' = m"; п = п' = п".

То есть все отрезки физически равны между собой так, что отношение каждого из отрезков к длине соответствующего луча между эквипотен-циальными дугами будет величиной постоянной. Именно это свойство напряженности пространства обусловливает образование пространственных ячеек - основных элементов динамической геометрии. Напряженность и изменение метричности (кривизна относительно статичности) - это те факторы, которые не учитывались в теории кривизны ни Гауссом, ни Риманом. Отметим, что, похоже, кривизны поверхностей, а тем более кривизны объемов в пространстве не существует. А поскольку геометрическое пространство отображает динамическую структуру реального мира, то эмпирическое подтверждение ее адекватности этому миру можно получить на поверхности Земли.

Приведем описание нескольких экспериментов, подтверждающих такую возможность. В долине вблизи гор можно построить горизонтальную мерную милю из идеального материала длиной в 3 км (с точностью до 1 см). Произвести геодезическую съемку этой мили и перенести ее размеры теодолитом на горное плато на высоту одного, а лучше 2 км, и там построить другую горизонтальную мерную милю той же длины. Современные геодезиче­ские приборы позволяют провести операцию переноса размеров на несколько десятков километров с точностью до 1-2 см. В соответствии с геометрией Евклида мили и в долине и на плато должны быть равной длины. Однако миля на плато на высоте 1 км будет на 47 см длиннее мили в долине, а на высоте 2 км - на 94 см.

Следует замерить милю в долине несколькими металлическими мерными линейками, проведя ими же в аналогичных условиях измерение мили на плато, убедиться, что она в точности, до ошибок измерения, равна миле в долине, а следовательно, мерные линейки изменили свою длину.

Другой эксперимент: на горе с горизонтальным плато на высоте 2 км выложить горизонтально из 40-50 стальных стержней длиной по 20-25 м (± 0,1 мм) единый стержень километровой длины. Отметки его концов перенести теодолитом в долину под горой, потом разобрать конструкцию, перебросить ее в долину и вновь собрать. Согласно геометрии Евклида собранная конструкция будет длиннее отметок на 32 см. Однако стержни при измерении метром окажутся в рамках отметок ± ошибка измерения.

Наконец можно просто провести геодезическими приборами измерение отрезка относительно горизонтальной поверхности в долине на длине 10 км и, замерив такую же длину, перенесенную на плато на высоту 2 км, убедиться с достаточно грубым приближением (± 25-30 см) в появлении при измерении отрезка почти трехметровой длины. (Можно предположить, что аналогичные нестыковки уже встречались картографам и геодезистам но не получали объяснения.)

Рассмотрим в общих чертах структуру пространственной ячейки отграниченной нейтральными зонами. Пространственные первичные ячейки, соизмеримые по напряженности с напряженностью окружающего пространства, образуются ядрами по периметру своей нейтральной зоны. В настоящей работе напряженность схематически обозначается условной линией, как бы оставляемой ядром тела, взаимодействующего с пространством и другим телом. Эти линии по наглядности являются некоторым подобием фарадеевых силовых линий, а в геометрии это геодезические линии.

Прямые напряженности выходят из пространства одного ядра 1 (рис. 38) с фиктивным центром О₁ и входят в пространство другого ядра 2 с фиктивным центром О₂. Линии напряженности О₁АО₂, О₁ВО₂, О₁СО₂..., соединяющие фиктивные центры, в пространстве параллельны. В точках А, В, С, D, ... они испытывают кажущееся преломление, обусловленное зоной единой минимальной напряженности - нейтральной или эквипотенциальной зоной.

Ячейка, например, О₃ образуется только тогда, когда оба ядра имеют пространственную линию общей эквипотенциальной зоны (нейтральные зоны), как бы выделяющую их из окружающего пространства. Эти зоны образует для них единую систему, не позволяют ядрам покинуть ее. Именно ячейки обусловливают дискретность пространства одного ранга.

Первичные ячейки через нейтральные зоны взаимодействуют с окружающими ячейками и входят в состав ячеек несоизмеримого ранга. Общая структура пространства - иерархия равенства. В пространстве ячейки между ядром и нейтральной зоной могут существовать спутники ядра 3 с центром О₃. Между спутником и ядром также существует нейтральная зона А' В' С' ... А"В"С", охватывающая спутник эллиптической сферой. Выходящие из центра O₁ линии входят в центр О₃ или замыкаются в нейтральной зоне. Радиус (статический) спутника определяется гранич­ными условиями. Пространство ячейки, ядра и спутника всегда находятся в движении.

Ядро как элемент ячейки и самостоятельная система единой внутренней напряженности имеет сложную структуру, обусловленную материальностью самого образования. Оно включает несколько «скорлуп»-сателлитов 1 (рис. 39.), у которых нейтральная зона 2 каждой скорлупы находится либо внутри этой поверхности,

либо у самой поверхности, что и удерживает их в единой системе. Поэтому сферы сателлитов, взаимодействуя нейтральными зонами, образуют на своей внешней поверхности равновеликую напряженность, интегрированную уже как напряженность самого ядра. Пространство (рис. 39.) внутри скорлуп материально и имеет напряженность более высокого ранга, чем снаружи. В этом пространстве может находиться внутреннее вещественное ядро-керн 3. Его напряженность несоизмерима по рангу ни с напряженностью пространства ячейки, ни с напряженностью сателлитов. Она есть плотность другого ранга.

Выводы:

Геометрическое пространство появляется только тогда, когда имеет место явное или неявное механическое движение точек-тел. В статических геометриях пространство отсутствует, поскольку отсутствует взаимодействие фигур с пространством.

Уравнения, описывающие движущиеся в пространстве точки, “создают” между ними неявную зону изменяемой плотности (аналогию анизотропного пространства).

Движущиеся в пространстве на бесконечность точки “взаимодействуют” между собой по прямой - образующей.

 

2.10. Свойства пространственных систем

Рассмотрим, что неявно происходит с пространством при возникновении в нем тел, отображаемых элементами динамической геометрии. Возьмем чистый лист бумаги и предположим, что этот лист есть некоторая плоскость, однородная и изотропная в обоих направлениях, а, следовательно, на пространстве листа мы не замечаем никакой структуры и внутренней напряженности. Эта поверхность может быть названа бесформенной, хаотичной, или поверхностью одного ранга. Структура этого ранга и его ячейки нами не фиксируются.

Поставим в любом месте листа точку. Точка на листе никакой роли не играет, структуры не создает, и как бы не возникает напряженности различной плотности на всей поверхности. Но хаос уже исчез, точка становится центром образования нового пространства, центром структуризации и изменения его качеств, центром другого ранга. И не существенно, пространство ли это листа или пространство космоса, в котором имеется тело. Существенно в подходе к явлению, к его формализации - другое. Образует ли точка пространство актуальной бесконечности или бесконечности потенциальной? Именно одна из сторон двойственности обусловливает процесс понимания формализации элементов различных пространств по мере их воссоздания на листе.

Точка, как и другие элементы в пространстве потенциальной бесконечности (или в объеме), не равнозначна другим, не видимым на листе точкам, и уже создает (даже если это не отражают условия задачи) в окружающем пространстве некоторую напряженность, определяемую изменением метричности пространства. Именно метричность есть агент, отображающий распространение плотности напряженности от точки в пространстве. При этом на бесконечности одного ранга плотность убывает от точки до нуля. (Нулевая плотность напряженности равна напряженности, создаваемой телами нижнего ранга и потому не равна 0.) Поскольку значимость точки определяется ее рангом и рангом пространства, то ранги определяют также изменение метричности.

Если на плоскости (в пространстве) имеется две или несколько точек, то напряженность между ними определяется рангом точек. Поскольку в задачах чаще всего задается одинаковый ранг, то плотность напряженности между точками становится неоднозначной. Но между ними всегда имеется зона одинаковой плотности напряженности - нейтральная зона. Структура всех напряженностей между точками определяется именно характером и местом нейтральных зон. В плоскости (как и в объеме) актуальной бесконечности напряженность отсутствует, а, следовательно, может отсутствовать и метричность (что и наблюдается в проективной геометрии). Если же она как бы присутствует, то неизменна величиной по всей плоскости (по всему объему), и точка, как и другие фигуры в этом пространстве, на пространство никакого влияния не оказывает.

Поставим еще одну точку. Структуризация возросла. Между точками по различным критериям может быть найдена активная область или нейтральная зона, разделяющая как их, так и плоскость листа. Или они могут быть соединены одной линией, которая делит лист уже на две иные, чем нейтральная линия, части, создавая иные пространства по обе ее стороны.

Соединим точки линией и в одном из образовавшихся пространств, в стороне от линии поставим точку, создав тем самым все необходимые предпосылки для формулирования или пятой аксиомы Евклида или основной аксиомы динамики пространства. Все имеющиеся на плоскости элементы равнозначны или, по современной артикуляции, равноправны, и только движение определяет их принадлежность к динамике. Если теперь со стороны прямой, восстановив до точки М образующий луч, двигать его неизменным по длине вдоль прямой, то точка, в которую он вошел, будет оставлять след евклидовой прямой, параллельной базовой. И это будет продолжаться бесконечно, если... если мы не последуем за Дезаргом. Дезарг, исходя из кажущегося пересечения в перспективе параллельных в одной точке, предложил считать пересечения проекциями «бесконечно удаленных» точек, равноправными со всеми остальными элементами. Так в проективную геометрию вошли «несобственные (бесконечно удаленные) точки» и «несобственные плоскости» - плоскости, на которых лежат эти точки.

Введение «несобственных» точек и плоскостей нарушило равнозначность элементов геометрии, было первым качественным отображением на плоскости факторов напряженности пространства и свидетельствовало о другом ранге несобственных точек. Однако нарушения равнозначности элементов обнаружено не было, и не потому, что оно отсутствует, а потому, что и обычным, и несобственным точкам и площадям постулировали равноправие. Это постулирование равноправия обусловило полную статичность проективной геометрии, снивилировало напряженности, привело к тому, что все прямые одной плоскости Дезарга всегда пересекаются на бесконечности. Таким образом, вопрос о различной напряженности у точек и линий на плоскости даже не возник. Развитие получили аксиомы статической геометрии.

Если, для примера, представить движение колес паровоза по рельсам в обычном пространстве несобственной (потенциальной бесконечности), то мы увидим, как бы следуя за ним неизменными, что рельсы сначала будут параллельными (расстояние между ними - образующий луч, остается неизменным). Затем под воздействием возрастающей напряженности несобственного пространства рельсы как бы начнут сходиться (образующий луч будет уменьшаться и, соответственно паровоз тоже). И, подойдя к несобственной точке, луч станет по «длине» меньше ее. Пройдя поверхность сферы-точки, т.е. проникнув в объем другого ранга, луч продолжает уменьшаться и, миновав центр (но не через него), начинает возрастать до противоположной поверхности сферы. Поскольку напряженность поверхности вокруг точки сферически симметрична (в предположении, что точка находится вдали от других точек), по выходу из несобственной точки луч начнет расширяться, а рельсы, следовательно, расходиться под тем же самым углом, под которым они сходились. В результате возникнет полная иллюзия того, что в несобственной точке произошло пересечение рельсов. На самом деле, на всем протяжении движения к точке, сквозь нее и за ней рельсы оставались параллельными. Менялась же напряженность несобственного пространства и несобственной точки в полном соответствии с динамикой пространства, что и создавало иллюзию схождения и расхождения рельсов. (Их пересечения в одной точке.)

Вторично неявная напряженность геометрической поверхности проявила себя в геометриях Лобачевского и Римана. Это станет особенно заметно, если луч Л, входящий в точку М из прямой а, начинает двигаться вместе с точкой М на бесконечность, например в правую сторону (рис. 40.). Причем граничные условия аксиомы запрещают точке приближение к прямой а, а лучу - сокращаться по длине, но не запрещают точке М удаляться, а лучу Л удлиняться (своего рода пространственное отталкивание). Поэтому по мере движения точка начинает отклоняться от прямой - ветвь в¢. Если же луч Л вместе с точкой будет двигаться в левую сторону, то получим аналогичное отклонение от прямой а, - ветвь в. Фигура, образуемая обеими ветвями как бы единой прямой в, окажется не эквидистантой, а некоторой седловиной.

В этом построении начинает проявляться физический смысл движения, и точка М замыкает на себя две самостоятельные ветви прямой в, разрывая ее и имея статус несобственной точки (точки одного ранга с прямой). Отсюда также следует, что пространство, в котором двигаются «прямые», анизотропно. А потому луч Л, двигаясь от точки в любую из сторон, будет изменять свою длину пропорционально изменению напряженности пространства и движущейся точки. И также пропорционально этой напряженности будет меняться метричность отрезков по длине прямой вМв¢.

Если же граничные условия (по Риману) препятствуют отклонению ветвей в и в¢ от прямой а, при движении в обе стороны от точки М, то ветви в и в', перемещаясь на бесконечность, будут приближаться к прямой а (рис. 41.). Таким образом, граничные условия не позволяют образующему лучу в движении удлиняться, оставляя ему возможность сокращения. И в этих условиях луч Л выписывает подобие эллиптической кривой (своего рода про­странственное притяжение). Однако конечные точки ветвей в и в¢, имеющие ранг прямой, никогда не пересекут прямую а. И кривая вМв¢ никогда не будет иметь общей точки с прямой а. Она не замкнута.

Подобие линии вМв¢ эллиптической кривой послужило основанием для наречения римановой геометрии сферической. Оно завуалировало и существование напряженности пространства, и разрыв кривой в точке М. Сферическая поверхность, образованная данной кривой при вращении ее вокруг а, как уже говорилось, не может считаться истинной сферой. И потому, что след точки М несет в себе момент нестыковки ветвей в и в¢. И потому, что эта "сфера" оказывается незамкнутой с линией а. И потому, что внутри "сферы" остается элемент образующей ее структуры - прямая а.

Напряженность, выражаемая элементами геометрии в виде неравноправных, несобственных точек и линий, по-видимому, снимается введением в геометрию понятия абсолюта - такой геометрической фигуры, которая остается неизменной при любых преобразованиях данной подгруппы. Следовательно, абсолютом считается элемент, ранг собственной напряженности которого выше остальных элементов данной плоскости. И все преобразования, изменяющие форму остальных элементов (и их напряженность), не в состоянии изменить напряженность абсолюта.

Таким образом, понятие абсолюта окончательно закрыло в геометрии все направления возможного описания реального мира в терминах напряженности, движения, взаимодействия. Геометрия превратилась в чисто статическое описание только одной актуальной бесконечности.

Попробуем в самой эскизной форме резюмировать некоторые первичные понятия и свойства элементов динамического пространства. Прежде всего, отметим важнейшую роль познания потенциальной бесконечности. Бесконечность как понятие - высшая форма абстрагирования. Представление об осуществимости абстрактного движения в бесконечность приводит к противоречию с проявлением неопределенности и недостижимости в отдалении от нашего сознания. Движение в бесконечность оказывается абстракцией, связанной с возможностями качественного изменения дискретного пространства с переходом от пространства одного ранга к пространству другого ранга. Именно ранжирование бесконечностей по уровням определяет соизмеримость или несоизмеримость пространственных образований или отрезков прямых.

Иерархическая равнозначность ранговых структур по их положению и естественное взаимодействие при движении определяет дискретность и непрерывность образуемого ячейками пространства плоскости или объема. Ячеистое поле пространства само для себя и для своего ранга дискретно, а для верхнего ранга непрерывно и носит полевой характер. Динамическое пространство всегда не пусто.

Естественный смысл бесконечности заключается в ее количественной и качественной незавершенности. Это выражается, в частности, через изменение метричности в сопоставлении с метричностью статической геометрии. Каждый последующий шаг всегда отличен от предыдущего качественно и количественно.

Как только вводится понятие бесконечного пространства, и элементы геометрических фигур устремляются в бесконечность (пятая аксиома в формулировке Евклида), тем самым вводятся новые, ей не присущие качества и в статическую геометрию (движение, недостижимость бесконечности, неопределенность, время, взаимодействие и т.д.). И эти качества коренным образом изменяют поведение геометрических элементов и пространства, которое описывается ими. Эти качества приводят к взаимосвязи всех элементов движения и геометрическая статическая общность точек, отрезков, плоскостей, объемов сразу наполняется физическим содержанием и становится разделом физики, системной общностью. Общностью, в которой ни одна точка, ни одна фигура, ни в одном месте пространства не обладает истинной самостоятельностью, оставаясь в то же время равновеликой по значимости и взаимодействию со всеми фигурами и пространством. И всякое ее движение в любом направлении этого пространства будет сопровождаться изменением ее геометрических (статических) параметров пропорционально напряженности самого пространства. Однако динамические (физические) параметры этой общности останутся неизменными. И эти качественные противоречия изменяемости и неизменности параметров в статическом и динамическом состояниях тоже неявно заложены в аксиому о параллельных.

Перенос отрезков или фигур параллельно своему положению вдоль замкнутого контура вызывает их постоянное самотождественное изменение, но в результате обхода контура конечная фигура совпадет с первичной фигурой. В пространстве отсутствуют малые поверхности и объемы (относительно измерителя), и перенос фигуры или мерного инструмента из одного пространства в другое вызывает изменение длины мерных инструментов (относительно статики) пропорционально напряженности внешнего поля данного пространства. Сумма же углов треугольника и на поверхности сферы, и в объеме всегда равна 2p.

Отличительная особенность динамического пространства является детерминизм последовательного изменения фигур. Именно каузальность порядка причина-следствие определяется коэффициентом связности и золотым многообразием.

Рассмотрим основные фигуры пространства. Все материальные образования одного ранга, кроме продуктов катастроф, стремятся приобрести форму сферы. Сферы одного пространства обладают следующими качествами:

- все сферы, построенные вокруг отсутствующего единого центра, по объему равны между собой. Их эквипотенциальная поверхность состоит из бесчисленного количества ячеек, а радиус имеет бесконечную длину;

- каждый отрезок исходит из точки и входит в другую точку. Однако их можно продолжить по прямолинейной поверхности сферы до исходя­щего отрезка и считать непрерывными;

- все окружности, построенные на сфере, по длине равны;

- сферы всегда ядра и на плоскости и в пространстве различаются по рангу. Сферы более «низкого» ранга могут считаться точками. Точка - это всегда материальная сфера, не имеющая центра.

Точка - ядро, структура которого несоизмерима по рангу с пространством, вкотором она находится, и влияющая на него. Внешняя поверхность отграничивает ее от пространства. Точка всегда бесконечна вглубь. Точка на прямой или в пространстве и луч из нее - это отделение соизмеримой области пространства (внешняя часть образующегося луча) от несоизмеримой (части, устремленной к центру точки).

Все точки одного ранга неравнозначны по количественным величинам всех качеств и в первую очередь по напряженности. Поэтому метрика координатных осей с центром в любой окрестности точки, кроме ядра, будет различной (относительно статического эталонного метра).

Ячейка (две или более) - взаимосвязанные напряженностью собственного поля сферические структуры (ядра), несоизмеримые по размерам с расстояниями между ними, входящие в единую внешнюю эквипотенциальную, нейтральную зону. Все пространство - «пена» взаимосвязанных первичных ячеек.

Линия (прямая) - абстракция - последовательность расположенных в одном направлении несоизмеримых с пространством ячеек. Линия всегда дискретна. Дискретность обусловлена наличием бесконечных (вглубь) точек на ней. Непрерывной она может быть только мысленно.

Поверхность (плоскость) - многообразие распространяющихся в двух направлениях дискретных ячеек.

Объем - область, образованная состоянием взаимосвязанных ячеек, отграниченная от других областей своей нейтральной зоной. Существование нейтральных зон определенной напряженности обусловливает свойства каждого из тел.

 

 

Глава III.

 

Золотые пропорции геометрии

 

Арифметика рядов Фибоначчи

Изучая размножение кроликов, итальянский математик Леонардо Пизано (по прозвищу Фибоначчи) с удивлением обнаружил, что оно происходит не хаотичным… Ряд 1. …  

Не нарушая, таким образом, геометричности уравнения и не сокращая размерностей. Появление в (3.18) новой геометрической величины b, как бы не имеющей отношения к АС, свидетельствует о том, что к одной из долей бывшего отрезка виртуально “примыкает” еще одна доля, о которой мы ничего не ведали, но о которой “помнят” образовавшиеся в результате деления доли (память числа, память формы [26]).

В результате доли исчезнувшего отрезка, разделенного надвое, образовали виртуальный прямоугольный треугольник (рис. 44). И в него, в качестве одной из сторон, входит безразмерностная численная величина b, полученная из решения (3.15), равная по модулю золотому числу, приобретая в (3.19) размерность как сторона прямоугольного треугольника.Таким образом деление отрезка в крайнем и среднем отношении на две части - доли геометрическим методом приводит к появлению третьего отрезка – доли, равного по модулю золотому числу Ф, и образование ими прямоугольного треугольника. Совместное решение уравнений (3.13) и (3.18) (приведенное выше) дает численные величины долей-сторон треугольника а = 1,272…см, b = 1,618… см, с = 2,058… см, модули которых следующим образом соотносятся между собой: а³ = b² = с¹. И, следовательно, являются золотыми числами, а образованный ими треугольник – золотым треугольником. Только в этом случае величина b как размерностная сторона треугольника и равная по модулю золотому числу b = Ф, т.е. имеющая алгебраический и геометрический смысл в уравнениях (3.15) и (3.18), становится решением задачи о делении отрезка в крайнем и среднем отношении.

Задачу о делении отрезка в крайнем и среднем отношении иногда формализуют в «обобщенной форме»:

BC/AB = (AC/BC)^P, (3.20)

необоснованно, вводя в правую часть (3.20) в качестве степени целое неотрицательное число р, (р = 0, 1, 2, 3, … .) [30]. Пропорция (3.13) в виде (3.20) не может включать отрезка АС поскольку он, после разделения, отсутствует. Его же доли не могут геометрически складываться, они размерностные отдельности, и потому заменять (а + с) на АС логически некорректно, поскольку АC – одно качество, а доли – другие качества, несопоставимые и несовместимые с AC. Они всегда остаются отдельностями. Заменив в (3.20) из (3.13) суммы долей (а + с) на АС мы, с одной стороны, проводим математически некорректную операцию. С другой качественно меняем смысл уравнения, смешивая доли и отрезок. Это видно по такой записи уравнения (3.20):

ВС/АВ = (АС/ВС)^Р = (доля/доля)= (отрезок/доля)^Р (3.21)

И хотя каждый член уравнения (3.21) имеет одинаковую размерность, например в см, качественно они различны и по этой причине не могут корректно вводиться в одно уравнение. Геометрически в левой части уравнения (3.21) отдельности имеют одинаковое качество – длину, а правой части - различные качества – отрезок и доля отрезка, которые качественно не адекватны между собой и не могут, поэтому, быть членами одного уравнения. К тому же возводя, например, правую часть (3.20) в степень р, допустим, в квадрат, куб и т.д., мы получаем в левой части отношение долей, а в правой – отношение площадей кубов, и далее что-то геометрически бессмысленное, но никоим образом не отношение долей отрезка. Однако алгебраически в этом случае все корректно.

Само введение числа р устремленного от 1 ® ¥ неявно превращает геометрическое уравнение (3.13) в алгебраическое (3.20), поскольку неявно предполагает сокращение размерности в нем еще до начала решения. Но в постановке задачи не говорится о формализации и решении алгебраического уравнения, а только о геометрическом делении в крайнем и среднем отношении, что заранее обусловливает наличие размерности в уравнении деления. Поэтому привлечение целого неотрицательного числа р есть необоснованное изменение условия задачи, вызванное не геометрическими, а алгебраическими соображениями, поскольку в геометрии степенное изменение размерностной величины (отрезка) означает изменение его качественного содержания: квадрат отрезка – площадь, куб отрезка – объем, а далее в геометрии Евклида нет фигур со степенью > 3. Поэтому все дальнейшие рассуждения и решения (3.20) не имеют отношения к золотому сечению. Как полагают, преобразованное уравнения (3.20) с р = 1, 2, 3, …, n позволяет получать бесчисленное множество вариантов деления отрезка в «золотой пропорции». Вот как разделяется отрезок при возрастании р от 0 до 3:

 

а) р = 0, A C B, t_o = 2,

 

b) p = 1, A B,t₁=1,618, C

с) p = 2, АC B,t₂=1,465

 

d) p = 3, AC B,t₃=1,380

Рис. 45.

И получаемые результаты обобщаются по всем t как некие «золотые числа», получаемые посредством деления степенных (?) пропорций отрезков в крайнем и среднем отношении.

Покажем, что получаемые при решении (3.20) числа не имеют отношения к золотым пропорциям и не могут обусловливать получение “обобщенных золотых пропорций” [8,30].

Уравнение (3,20) тоже решается методом замены, но другого из ее членов, безразмерностным символом х: х = АС : ВС, при этом ВС : АВ = х^р, а отрезок АВ есть сумма двух долей АС + СВ. Далее геометрическая операция заменяется алгебраической: и получается “аналог” уравнения (3.15) но уже со степенями при неизвестных:

х^р+1 - х^р - 1 = 0. (3.22)

Алгебраическое уравнение (3.22), при обозначении через t_р положительных корней решения задает бесконечное число пропорций как бы деления отрезка АВ в отношении (3.20):

t_о = 2;t₁ = 1,618…;t₂ = 1,465…;t₃ = 1,380…;t₄ = 1,324, и т.д. (3.23)

Однако эти отношения не являются следствием деления отрезка на доли, и оказываются не отношениями долей, а пропорциями некоторых неизвестных безразмерностных чисел, отнесенных к делению отрезка. Числа же могут быть не причастными к делению отрезка в крайнем и среднем отношении. Их принадлежность к геометрии золотого сечения еще следует доказать нахождением геометрических пропорции длин долей АВ и ВС. И потому, при алгебраическом решении (3.20) со степенями р = 1, 2, 3, … получаемый ряд 2; 1,618; 1,465;1,380; … не имеет никакого отношения к золотой пропорции даже при наличии в нем х = 1,618… .

Тем не менее, в настоящее время, считается возможным обобщить их, на основе не имеющего геометрического смысла алгебраического уравнения (3.22), в единый класс золотых пропорций и считать “обобщенными золотыми р - пропорциями”. Покажем, что корректно этого сделать не удается и ряд (3.23), за исключением одного числа t₁, имеющего численную но не размерностную величину равную Ф, не образует обобщенных золотых пропорций. К тому же использование t^р не обусловливает вычисление длин долей а и с, и построение треугольников типа (3.18) или других геометрических фигур, а члены данного (3.23) обобщения не отвечают критериям чисел Фибоначчи или Люка.

Деление отрезка в золотой пропорции приводит, как показано выше, к появлению уравнения прямоугольного золотого треугольника. Следовательно, по аналогии, и делению по формуле (3.22) должно соответствовать некое уравнение, отображающее геометрическое смысл этого деления. Получим его для р² и р³, исходя из (3.20):

с^р+1 = аd^р

при р² имеем: с³ = аd², (3.24)

при р³ имеем: с₁⁴ (?) = а₁d³. (3.25)

Уравнение (3.24) приравнивает объем куба к объему некоего “бруска”, а уравнение (3.25) геометрически бессмысленно. Но алгебраически все верно. Решаем их подставляя соответствующие значение х в (3.24) и (3.25) получаем: с = 2,146а, с₁ = 2,268а₁. Т.е. длина долей остается неизвестными, а образуемая пропорция может быть отнесена не только к долям отрезка, а к любым пропорциональным 1,464 и 1,380 случайным числам.

Предположим однако, по аналогии с золотым сечением, что, например, t₃ как доля отрезка полученная при р = 3, образует прямоугольный треугольник в той же пропорции, что золотой треугольник, т.е. а³ = b² = с¹. Или в численном выражении: 1,175; 1,38; 1,621 и проверим предположение.

(1,175)² + (1,380)² = (1,38) + (1,904) = 3,287 ¹ (1,621)² = 2,628

Итак, численная величина t₃ = 1,38 с приданием ей функции долей-отрезков не образует прямоугольного треугольника, что указывает на отсутствие у числа 1,38 золотых качеств.

Другой критерий: при последовательном делении или умножении 1 на золотое число 1,618 образуется греческий ряд чисел

…; 0,056;0,090;0,146; 0,236; 0,382;0,618;1,000;1,618;2,618; (3.26)

в котором выполняется правило Фибоначчи сложения двух последовательных чисел с образованием следующего за ними числа ряда:

0,056 + 0,090 = 0,146 + 0,236 = 0,382 и т.д.

Образуем, например, из числа 1,38 аналогичный ряд и проведем операцию сложения двух любых последовательных чисел:

…; 0,1998; 0,2757; 0,3805; 0,5251; 0,7246; 1,000; 1,380;1 ,904; … (3.27)

0,3805 + 0,5251 = 0,9056 ¹ 0,7246,

или

0,7246 + 1,000 = 1,7246 ¹ 1,380 и т.д.,

равенства слагаемых последующему числу не получается, что также свидетельствует об отсутствии у t₃ золотых качеств. И так по всем t_р, образуемым числами “обобщенных золотых пропорций”.

Наконец, главным свидетельством отнесения образуемых чисел к золотым является получение, при делении одного из них на другое, золотого числа Ф с тем большей точностью, чем дальше от начала ряда берутся числа. Все числа греческого ряда этому критерию соответствуют, поскольку получены именно через золотое число Ф. Числа рядов, полученных из “обобщенных золотых р-сечений” не соответствуют и этому критерию. И можно сделать вывод: золотая пропорция в виде (3.13) единственна в математике и потому не может быть обобщена. Надо отметить, что ряд (3.27) как и (3.26) является геометрической прогрессией и как таковой имеет прямое отношения к золотому ряду, но в неявном виде (об этом разговор отдельный). Однако в виде (3.27) те золотые качества, которые имеются у греческого ряда, он не проявляет и потому к золотой пропорции не принадлежит.

И можно сделать вывод: Деление отрезка в крайнем и среднем отношении производится геометрическим методом с сохранением за долями – отрезками формальных и размерностных качеств, с соблюдением качественных переходов от геометрии к алгебре и обратно и является единственной операцией деления, не поддающейся обобщению.

 

Гармония золотых пропорций

В архитектуре известно, что объекты, построенные с соблюдением золотых пропорций, обладают высокими эстетическими качествами и гармоничностью своих… К гармонически выдержанным искусственным или числовым системам, отображающим… Пропорционирование элементов золотому числу.

Глава 1

Диалектика математики

1.1. Целое и отдельное в познании 7

1.2. Отдельное как целое. 11

1.3. Введение в диалектику математических понятий 17

1.4 Математические иллюзии 26

1.5. Диалектические законы в математике 40

1.6. Идеология пространственной бесконечности 51

1.7. Качественные аспекты математики 63

1.8. Свойства фигур евклидовой геометрии 75

1.9. Диалектика элементов геометрии 78

Глава 2

Динамические свойства геометрии

2.2. Геометрическое понятие - «пространство» 104 2.3. Телесное геометрическое пространство 118 2.4. Статика и динамика пятой аксиомы Евклида 130

Глава 3

Золотые пропорции геометрии

3.1. Арифметика рядов Фибоначчи 193

3.2. Библейская геометрия золотого сечения 201

3.3. Поэлементное деление отрезка в крайнем

и среднем отношении 219

3.4. Гармония золотых пропорций. 226

3.5. Фигуры золотого сечения 236

Глава 4

Статико-динамическая проективная

геометрия

4.1. Несобственные точки Дезарга 246

4.2. Скрытые фигуры полудинамической геометрии 251

4.3. Числа Фибоначчи и золото

статико-динамической геометрии 270

4.4. Двойственность – точка, прямая 278

4.5. Пространственное гармоническое

пропорционирование 285

Глава 5

Элементы физической геометрии

5.1. Физика в геометрических символах 298

5.2. Структура русских матриц 306

5.3. Введение в плотностную r_n - мерность 322

5.4. Трехчастная взаимосвязь вурфа 334

5.5. Коэффициенты физической размерности 341

Приложения:

Митрохин. А. О взаимодействии размерностей

в математических преобразованиях 351

Пилецкий. А. Система размеров и их отношение

в древнерусской архитектуре 358

Древнерусские сажени 407

Литература 408

 

 

Черняев Анатолий Федорович

 

Основы русской геометрии

 

 

Редактор В.Ф. Черняев

Корректор Н.В. Денисова.

 

Сдано в набор 3.11.04. Подписано в печать 7.12.04.

Формат 60 х 90/16. Печ. л. 6,5. Тираж 500 экз. Заказ №

 

На четвертую страницу обложки:

 

Анатолий Федорович Черняев родился в городе Куйбышеве. Закончил Пензенский инженерно − строительный институт и аспирантуру Центрального научно-исследовательского экспериментального и проектного института по сельскому строительству. Работал прорабом, главным инженером, научным сотрудником, секретарем парткома ЦНИИЭПсельстроя. В настоящее время пенсионер. Автор неожиданных и оригинальных книг: «Тайна пирамиды Хефрена», Большой сфинкс: знак беды», «Золото Древней Руси», «Диалектика пространства», «Авиакатастрофы», «Камни падают в небо», «Время пирамид, время России» (в соавторстве), «Русская механика» «Гравитация и антигравитация» и др.… Круг научных интересов автора – механика, гравитация, геометрия, золотые пропорции, система древнерусских саженей. А.Ф. Черняев – незаурядный человек, известен среди специалистов неординарными подходами, новыми идеями и неожиданным взглядом на привычное.