рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Формула Коши

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Формула Коши

Формула Коши - раздел Математика, Представление в виде степенного ряда Теорема. Пусть D — Область На Комплексной Плоскости С Кусочно-Г...

Теорема. Пусть D — область на комплексной плоскости с кусочно-гладкой границей , функция f(z) — голоморфна в и — точка внутри области D. Тогда справедлива следующая формула Коши:

Док-во

. Г

Рассмотрим окружность S_ρ достаточно малого радиуса ρ с центром в точке z₀. В области, ограниченной контурами Γ и S_ρ подынтегральная функция не имеет особенностей и по интегральной теореме Коши интеграл от неё по границе этой области равен нулю. Это означает, что не зависимо от ρ имеем равенство:

Для расчёта интегралов по S_ρ применим параметризацию., φ Є
Сначала докажем формулу Коши отдельно для случая f(z) = 1:

Воспользуемся ею для доказательства общего случая:

Так как функция f(z) комплексно дифференцируема в точке z₀, то:

Интеграл от равен нулю:

Интеграл от члена o(1) может быть сделан сколь угодно мал при . Но поскольку он от ρ вообще не зависит, значит он равен нулю. В итоге получаем, что

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Представление в виде степенного ряда

Представление Пуассона для гармонических функций... Представление Пуассона для гармонических функций принадлежащих некоторым... Пусть известно лишь что функция U z гармонична в круге z lt Замечательно что часто е вс же можно...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Формула Коши

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Представление в виде степенного ряда
Пусть U(z) – вещественная функция, гармоническая в круге . Тогда можно построить другую веществе

Формула Пуассона
Формулу, которую мы вывели в предыдущем пункте, можно записать в замкнутом виде. Если R > 1, то мы легко находим, что при r < 1

Свойства суммируемости гармонических функций, заданных формулой Пуассона
Сначала получим некоторые грубые результаты, достаточные для многих рассмотрений. Ядро Пуассона

Первоначальное изучение граничного поведения
Ядро Пуассона Рr(θ) обладает и четвертым свойством: d) Для любого σ > О Рr(θ)→0 равномерно для σ≤│θ│

Формула Коши-Грина
f(z)= ς=ξ+iμ z Є inf Г Доказательство

Весовое пространство аналитических в круге функций
Пусть обозначим через

Интегральное представление гармонических функций
Пусть – множество всех гармонических в

ГАРМОНИЧЕСКИ СОПРЯЖЕННАЯ ФУНКЦИЯ
Пусть дана функция U(z), гармоническая в {|r| < 1}, для которой имеет место одно из рассматриваемых представлений. Мы приступаем к исследованию граничного поточечного повед

Формула для гармонически спряженной функции
Предположим, что ,

Бесконечные числовые произведения комплексных чисел и их сходимость.
Бесконечное произведение есть выражение вида (1+а1)(1+а2)(1+а3) .... (1) содержащее бесконечно много сомножителей. Мы обозначаем его через

Логарифм бесконечного произведения.
Пусть верно ли, что

Бесконечные функциональные произведения, равномерная сходимость. Бесконечные произведения Бляшке
А. Произведение Бляшке Если .., и бесконечное произведение

Единице
Пусть так что

Аналитической в единичном круге
Теорема. Пусть функция F(z) регулярна в круге {|z|<1} и zп — её нули в этом круге, |zn| < 1. Предположим, что интегралы

ОБЛАСТИ, ОГРАНИЧЕННЫЕ СПРЯМЛЯЕМОЙ ЖОРДАНОВОИ КРИВОЙ
Рассмотрим теперь область , G ограниченную спрямляемой жордановой кривой. Пусть Ф— конформное отображение единичного круга на G — область, ограниченную жордановой спрямляемой кривой

Образы множеств меры нуль на единичной окружности
Если А — дуга кривой Г, то Ф взаимно-однозначно отображает некоторую дугу j окружности {|z|=1} на Ʌ. Само определение длины дуги теперь нам дает

Ряд Тэйлора конформного отображении абсолютно сходится вплоть до границы
Теорема (Харди). Степенной ряд функции Ф(z) абсолютно сходится вплоть до {|z|= 1}. Дoказательство. По подпункту 1° имеем