Единице - раздел Математика, Представление в виде степенного ряда Пусть ...
Пусть так что
сходится в {|z|< 1} и представляет функцию В(z), аналитическую в этом круге. Согласно элементарной теории функции комплексной переменной, из того, что каждый сомножитель произведения по модулю меньше 1 в {|z|< 1}, вытекает, что В(z)< 1 для |z< 1.
Следовательно, для почти всех ζ, |ζ|=1, предельная функция B(ζ)=limB(z) при z →ζсуществует (теарема Фату).
Теорема.|В(еiθ)|=1 п. в.
Доказательство.
Без ограничения общности можно считать, что все точки zn отличны от нуля (в противном случае мы рассмотрели бы функцию B(z)/zkвместо В (z)). Тогда Теперь из того, что вытекает, что . (NB: для каждого п. Возьмём число r, 0<r< 1, не равное ни одной из величин |zn |. Тогда в силу простейшей разновидности формулы Йенсена
,
т. е.
или
Выберем и зафиксируем какое-нибудь число р, такое что , и возьмём r< 1 настолько блнзким к 1, чтобы при п=1,2, ,.., р все точки zn лежали в круге {z<r}. Тогда из предыдущего соотношения получим
или, если взять r < 1 достаточно близким к 1,
Это значит, что
поскольку число ɛ>0 было произвольным. Но В (reiθ) →В (еiθ) п. в. при r→1, и
Следовательно, по лемме Фату (переходим к пределу по последовательности чисел r, стремящихся к 1)
Представление Пуассона для гармонических функций... Представление Пуассона для гармонических функций принадлежащих некоторым... Пусть известно лишь что функция U z гармонична в круге z lt Замечательно что часто е вс же можно...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Единице
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
ГАРМОНИЧЕСКИ СОПРЯЖЕННАЯ ФУНКЦИЯ
Пусть дана функция U(z), гармоническая в {|r| < 1}, для которой имеет место одно из рассматриваемых представлений. Мы приступаем к исследованию граничного поточечного повед
Аналитической в единичном круге
Теорема. Пусть функция F(z) регулярна в круге {|z|<1} и zп — её нули в этом круге, |zn| < 1. Предположим, что интегралы
ОБЛАСТИ, ОГРАНИЧЕННЫЕ СПРЯМЛЯЕМОЙ ЖОРДАНОВОИ КРИВОЙ
Рассмотрим теперь область , G ограниченную спрямляемой жордановой кривой.
Пусть Ф— конформное отображение единичного круга на G — область, ограниченную жордановой спрямляемой кривой
Новости и инфо для студентов