рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Определения.

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Определения.

Определения. - раздел Математика, КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКЕ В Математике Принято Одной И Той Же Буквой Обозначать Различн...

В математике принято одной и той же буквой обозначать различные объекты, т. е. под буквой фактически понимается переменная, принимающая значения из некоторого множества. Такие переменные называются свободными переменными. Множества, на которых определены свободные переменные, называются допустимыми множествами для свободных переменных. А элементы допустимых множеств называются значениями свободных переменных.

В логике часто встречаются выражения, грамматически имеющие форму высказываний, но содержащие предметные переменные некоторых множеств. Например, предложение «– простое число» содержит свободную переменную , принимающую значения из множества натуральных чисел. Это множество является допустимым множеством переменной , а элементы множества являются допустимыми значениями переменной . Если заменить любым натуральным числом, то данное предложение превращается в высказывание. Например, «16 – простое число» - это ложное высказывание, а «19 – простое число» - истинное высказывание. В дальнейшем всякое предложение, содержащее свободную переменную, будем называть предикатом.

Определение 1: - местным предикатом, определенным на некотором множестве , называется выражение, содержащее предметные переменные данного множества, и обращающиеся в высказывание при замене переменных любыми элементами данного множества.

Замечание: Если , то предикат называется одноместным, при имеем двуместный предикат и т. д.

Каждое алгебраическое уравнение и неравенство представляет собой предикат. Например, «» - двуместный предикат, определённый на множестве всех пар действительных чисел. Подставив вместо переменных любую пару действительных чисел, получим высказывание (- ложное высказывание, - истинное). Одноместный предикат выражает условие или свойство объекта (например, ), а двуместный предикат – отношение между объектами (например, ). Высказывание принято считать нульместным предикатом.

Для предикатов введём следующие обозначения: - одноместный предикат, - двуместный, - трёхместный. В общем случае будем рассматривать - - местный предикат.

Любое уравнение (или система уравнений) с неизвестными, допустимая область значений которых есть множество действительных чисел, будет – местным предикатом, определенным на множестве действительных чисел. При замене переменных решением уравнения (или системы), получим истинное высказывание; при замене переменных числами, не являющимися решениями, получим ложное высказывание.

Определение 2: Пусть - - местный предикат, определённый на некотором множестве . Если значения такие, что , то говорят, что набор значений удовлетворяют предикату .

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКЕ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ... ВОСТОЧНОУКРАИНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ... имени ВЛАДИМИРА ДАЛЯ...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Определения.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКЕ
(для студентов специальности “Прикладная математика”) У т в е р ж д е н о на заседании кафедры прикладной математики

Отрицание – обозначается ,читается:«не » или «неверно, что ».
2) Дизъюнкция (логическое сложение), обозначаемое(читается «

Упражнения для самостоятельной работы.
1. Даны следующие высказывания: P = «Данное число – целое», Q = «Данное число – положительное», R = «Данное число – простое», S = «Данное число

Формулы алгебры логики. Тавтологии.
В алгебре выводятся формулы, которые остаются верными, какие бы числа не подставляли вместо букв, входящих в эти формулы. Подобным образом в алгебре высказываний конструируются формулы из некоторых

Доказательство.
Необходимость: Пусть формулы и

Упражнения для самостоятельной работы.
1. Определить, является ли данная последовательность символов формулой: 1)

Совершенные нормальные конъюнктивные и дизъюнктивные формы. Полные системы логических связок.
Определение 1:Элементарной конъюнкцией называется конъюнкция переменных, каждая из которых стоит под знаком отрицания или без него. Например:

Определение 4: Формула, представленная в виде конъюнкции элементарных дизъюнкций, называется совершенной нормальной конъюнктивной формой (СНКФ).
Замечание: Каждая элементарная конъюнкция (дизъюнкция), входящая в СНДФ (в СНКФ), должна содержать все пропозиционные буквы, входящие в исходную формулу. Только в этом случае м

Алгоритм преобразования произвольной формулы в СНДФ.
1) Выразить все логические операции через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание. 2) Используя дистрибутивные законы, преобразовать формулу так, чтобы все конъюнкции выполнялись раньше дизъюнк

Замечание о представлении произвольной формулы многочленом Жегалкина.
Введём следующие обозначения: , .

Упражнения для самостоятельной работы.
1. Привести к СНДФ данные формулы: 1) , 2)

Определение 3: Множество всех значений таких, что предикат при этих значениях принимает значение «истина», называется областью истинности предиката.
Определение 4: Предикат , определённый на множестве

Упражнения для самостоятельной работы.
1. Прочитать следующие высказывания. Какие из них принимают истинные значения? 1) ; 4)

Формулы и тавтологии логики предикатов.
При введении определения формул логики предикатов будем использовать следующие обозначения (алфавит): 1)

Упражнения для самостоятельной работы.
1. Записать следующие высказывания в виде формул логики предикатов. 1) Всякое натуральное число, делящееся на 12, делится на 2, 4 и

Некоторые схемы доказательства теорем.
Многие теоремы в математике имеют форму импликации . В этом случае условие

Рассмотрим некоторые схемы доказательства теорем.
1) Пусть и - одноместные предикаты,

Упражнения для самостоятельной работы.
1.Записать на языке логики предикатов аксиому математической индукции. 2. Записать на языке логики предикатов следующую те

Формальный язык логики высказываний.
Таблицы истинности в логике высказываний позволяют ответить на многие вопросы. Например, является ли данная формула тавтологией, противоречием или выполнимой формулой; влечёт ли она

Упражнения для самостоятельной работы.
1. Указать свободные и связные вхождения переменных в следующих формулах: 1)

Свойства теорий первого порядка.
Все результаты этого параграфа относятся к произвольной теории первого порядка. Всяк

Теоремы о полноте.
Теорема 1: Во всяком исчислении предикатов первого порядка всякая теорема является логически общезначимой. Доказательство:

Определение 4: Всякий терм, не содержащий переменных, называется замкнутым термом.
Счётная интерпретация теории будет и

Формальная арифметика. Система аксиом.
Пусть - теория первого порядка, в число предикатных букв которой входит

Принцип двойственности.
Пусть – некоторое подмножество множества булевых функций:

Линейные функции. Монотонные функции.
Рассмотрим систему функций: ,

Теорема Поста.
В предыдущем параграфе были рассмотрены некоторые классы булевых функций. В каждый класс попадают функции, обладающие определённым свойством. Для удобства введём сле

Упражнения для самостоятельной работы.
1) Сколько имеется различных двоичных наборов длины