Теорема 1: Для заданной транспортной сети величина наибольшего потока равна наименьшей пропускной способности разрезов, т. е. .
Теорема 1: Для заданной транспортной сети величина наибольшего потока равна наименьшей пропускной способности разрезов, т. е. . - раздел Математика, КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ Рис. 11
...
Рис. 11
В качестве примера применения алгоритма Форда - Фалкерсона рассмотрим транспортную сеть и полный поток , для которого (рис. 11). Применяя правила 4° и 5° алгоритма, можно получить поток с величиной .
3. Задача о назначении на должность (комбинаторная прикладная задача).
Пусть в некотором учреждении имеется 6 вакантных должностей и 6 работников .
Рис. 12
Граф , изображенный на рис. 12, иллюстрирует, какие должности может в силу своей квалификации занимать работник . Пусть выполнено условие: каждый работник может занимать хотя бы одну должность и на каждую должность претендует хотя бы один работник. Можно ли произвести назначение на должности так, чтобы все шесть должностей заняли работники соответствующей квалификации?
Один из способов решения этой задачи состоит в рассмотрении вспомогательной транспортной сети . Для ее получения добавим к множеству вершин графа еще две вершины: вход и выход . Соединим с каждой вершиной дугой пропускной способности и каждую вершину с дугой пропускной способности . Припишем дугам исходного графа бесконечные пропускные способности. Получим транспортную сеть , изображенную на рис. 13.
Рис. 13
Ясно, что если на сети будет существовать поток такой, что , то есть поток, насыщающий выходные дуги (одновременно он будет насыщать и входные дуги ), то требуемое назначение будет возможно произвести. Нужно назначить работника на должность в том и только том случае, когда .
ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ
(2 семестр)
(для студентов специальности «Прикладная математика», «Компьютерные системы и сети»)
У Т В Е Р Ж Д Е Н О
на
Основные комбинаторные формулы.
Существует два общих правила комбинаторики: правило сложения и правило умножения.
Правило умножения:
Пусть составляются всевозможные строки
Размещения.
1) Размещения без повторений.
Определение 2: Пусть имеется различных предметов.
Перестановки.
1) Перестановки без повторений.
Определение 3: Пусть - конечное множество из
Сочетания.
1) Сочетания без повторений.
Определение 3: Сочетания из элементов по
Свойства сочетаний. Бином Ньютона.
Одной из наиболее распространённых комбинаторных формул является формула числа сочетаний. Для упрощения подсчётов и для доказательства некоторых утверждений удобно использовать след
Рекуррентные соотношения.
При решении многих комбинаторных задач применяют метод сведения данной задачи к задаче касающегося меньшего числа элементов. Например, можно вывести формулу для числа перестановок:
Производящие функции.
Метод рекуррентных соотношений позволяет решать многие комбинаторные задачи. Но в ряде случаев рекуррентные соотношения трудно составить, а иногда ещё трудней решить. Часто эти труд
Обоснование алгоритма.
Докажем, что после конечного числа применений правила 3° для каждой дуги графа станет справедливым неравенство
Алгоритм построения Эйлерова цикла.
Обратимся к задаче об эйлеровом цикле, уже рассмотренной нами в предыдущем параграфе. Пусть — связный граф, степени всех вершин которого — ч
Обоснование алгоритма.
Пусть мы находимся в некоторой вершине . В исходном графе степень вершины
Потоки на транспортных сетях.
1. Основная задача теории транспортных сетей.
Определение 1: Транспортная сеть есть совокупность
Обоснование алгоритма.
Прежде всего, заметим, что реализация алгоритма состоит из конечного числа шагов. В самом деле, п. 3° может применяться лишь конечное число раз, так как на каждом шаге величина пот
Цикломатическое число графа. Деревья.
Во многих прикладных задачах существенны свойства графов, связанные с существованием в графе замкнутых цепей (циклов). К рассмотрению этих вопросов мы и приступим. Все графы данного
Оценка хроматического числа плоского графа.
1. Теорема о пяти красках. Теорема утверждает, что любой граф, обладающий плоской реализацией, может быть правильно раскрашен пятью красками. Вспоминая задачу, сформулированную в нача
Графы правильных многогранников.
Теория графов позволяет решать задачи из традиционных разделов математики, например, исследовать некоторые свойства правильных многогранников. При этом, используя элементы теории гр
Автомат Мура.
Определение:Конечным автоматом называется набор из 5 объектов , где:
Морфизмы.
Пусть - конечный автомат. Тогда по любой входной строке длины
Машина Тьюринга.
Понятие конечного автомата возникло из близкого понятия, введенного в 1936 г. логиком Тьюрингом. Тьюринг рассмотрел гипотетическую машину, имеющую конечное множество
Примитивно рекурсивные функции.
Операции над числовыми функции назовем операторами. В этом параграфе мы определим ряд операторов, обладающих тем свойством, что, применяя их к функциям, вычи
Машины Тьюринга.
Важный и широкий класс алгоритмов был описан Тьюрингом и Постом в 1936 - 1937 г. Алгоритмы этого класса осуществляются особыми машинами, называемыми сейчас машинами Тьюри
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов