Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1

ВВЕДЕНИЕ Теория полета аэродинамика и динамика полета наука фундаментальнаяи строгая, опирающаяся на математический аппарат. Но, как и о всякой науке, о нейможно говорить на кухне, опираясь лишь на интеллект соответствующего уровня. К сожалению,и сегодня появляются ученые , пытающиеся на кухонном уровне объяснитьосновные законы природы, в том числе и аэродинамики и динамики полета.Но когдас помощью этих объяснений пытались решить серьезные задачи в авиации, это приводилои приводит к плачевным результатам после отрыва от Земли первые самолеты вдруг круто пикировали в Землю при большой скорости на самолетах спервыми турбореактивными двигателями ТРД вдруг появлялась тряска исамолет рассыпался преодоление звукового барьера долго не давалось перегруженныесамолеты не могут завершить взлет и т.п.Поэтому мы с Вами будем изучать науку на уровне высшего образования.А для этого придется хорошо вспомнить математику, теоретическую механику и математическоемоделирование. Человек очень давно хотел летать, как птица пытался это делать,но безуспешно.

И только Ньютон смог четко выделить факторы, определяющие возможностьполета тела, тяжелее воздуха.

Давайте повторим эти рассуждения Ньютона. С одной стороны, птицы тяжелеевоздуха, но летают! С другой стороны, по своему опыту мы знаем, что шарообразноетяжелое тело без посторонних внешних сил подняться в воздух не может.А почему простейшаямодель птицы воздушный змей взмывает в воздух? Для того чтобы змей полетел, необходимо наличие следующих факторов плотность среды на Луне змей не полетит , скорость ветра или бегуна и специальная геометрия тела угол атаки, создаваемыйспециально подобранными веревочками . Эти феноменологические рассуждения необходимооблечь в форму строгой теории модели , с помощью которой можно было бы проводитьрасчет полета любого летательного аппарата ЛА в любых условиях.

Ведь при созданииИл-96 никто не прыгал с прототипом его крыла с колокольни, чтобы убедиться в возможностиполета! 1. КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ 1.Основные гипотезы механики сплошной средыПрежде всего, займемся изучением среды. Для ее описания необходимыполные и непротиворечивые модели движения газообразных, жидких и твердых деформируемыхтел, основанные на методах теоретической механики и некоторых дополнительных гипотезах.Согласованная система таких моделей носит название механики сплошной среды.

Все тела состоят из множества отдельных элементарных частиц, взаимодействующихсложным образом в электромагнитном и гравитационном полях.

Существуют предположенияи о других, пока неизвестных полях. Поэтому изучение материальных тел как совокупностиэлементарных частиц требует введения дополнительных гипотез об их свойствахи взаимодействиях.Кроме того, для решения уравнений динамики необходимо знать начальныеусловия, т.е. координаты и скорости всех частиц, что принципиально невозможно. Однакодля решения практических задач совсем не обязательно знать движение каждой частицы достаточно определитьнекоторые осредненные характеристики.

Такой научный подход применяется на основевероятностного описания и использования законов распределения и называется статистическим.Механика сплошной среды использует другой подход феноменологический, основанный на эмпирическихгипотезах, подтвержденных человеческимопытом 1 .1 Гипотеза сплошности, предложенная Бернулли, постулирует тело как непрерывнуюсреду, заполняющую некоторый объем, и необходима для применения математическогоаппарата дифференциального и интегрального исчисления. 2 Гипотезу непрерывности метрического пространства, тесно связанную с предыдущей,вводят для определения координат и расстояний.3 Следующая гипотеза предполагает возможность введения единой для всех точек пространствадекартовой системы координат.

Напомним, что в декартовойсистеме координат каждая точка пространства имеет свои действительные координаты.Эта гипотеза позволяет применять аппарат аналитической геометрии.4 В механике сплошной среды постулируется абсолютность времени для всех систем отсчета,т.е. не учитываются эффекты теории относительности.Эти гипотезы естественны с точки зрения человеческого опыта и вполнеоправданы при исследовании явлений, происходящих в не слишком больших и не слишкоммалых объемах с небольшими скоростями в макромире.

Исходя из них, строятся все последующие положения и выводы теории.2.Термины механики сплошной среды Скорость будем рассматривать как поле вектора в каждойточке пространства, задаваемой радиус-вектором этой точки с координатамиx, y, z, в каждый момент времени t 1.1 или покоординатам 1.2 Очевидныйсмысл этих уравнений заключается в том, что скорость определяется, как производнаяпо времени от функции местоположения частицы cреды x,y,z,t .Уравнения 1.1 или 1.2 , задающие положение x,y,z,t частицы в пространстве в каждый момент временикак решение дифференциального уравнения, можно рассматривать как траекторию ее движения.Если поле вектора скорости сплошной среды не зависит от времени вкаждой точке пространства, то движение называется стационарным или установившимся.

В общем случае и движение называется нестационарным или неустановившимся.Линиями тока в механике сплошной средыназываются линии, которые в каждый фиксированный момент времени имеютв каждой своей точке касательные, совпадающие с вектором скорости. Таким образом,частицы среды, попавшие на линию тока, не имеют составляющей скорости поперек нееи не могут ее пересечь.

Линии тока необходимы для получения в теории математическистрогих выводов.

На практике линии тока в прозрачной жидкости с взвешенными частицаминерастворимой краски можно зафиксировать фотографированием с маленькой выдержкой короткие следыэтих частиц, сливаясь, вырисовывают линии тока. Уравнение линии тока в момент времениt запишется в терминах аналитической геометрии, как условие коллинеарностивекторов . 1.3 Такимобразом, картина линий тока в нестационарном движении все время меняется.

Приустановившемся движении отсутствие в уравнении 1.3 времени t приводитк совпадению линий тока с траекториями частиц.Трубчатая поверхность, образованная линиями тока,проходящими через некоторую замкнутую кривую, называется трубкой тока.Частицы сплошной среды не пересекают стенок трубки тока, не имея нормальных к нимсоставляющих скорости.Если компоненты вектора скорости не обращаются в нуль и вместе сосвоими первыми производными однозначны и не имеют разрывов, то решение уравнения 1.3 существует и единственно.

В противоположном случае существование или единственностьможет нарушаться, т.е. в некоторых точках пространства линии тока могут ветвитьсяили вырождаться в точку.Такие точки называются особыми или критическими.Напомним некоторые математическиетермины 4 применительно к скорости, заданной в пространстве полю скоростей. Вектором будем обозначать поверхностьс указанным направлением нормали , выражающимся через единичные векторы осей координат , а скаляром S только площадь этой поверхности.Потоком скорости через поверхность с заданным вектором нормали называется поверхностныйинтеграл 1.4 где Vn обозначает проекциюскорости на единичный вектор нормали к поверхности .Градиентом называетсявекторная функция скаляра . 1.5 Ротор скорости вихрь определяется формулой , 1.6 а дивергенция скорости . 1.7 Циркуляцией скорости по замкнутому контуруL с определенным направлением обхода называется криволинейный интеграл . 1.8 Известные теоремы векторных полей 4 применимы и к полю скоростей.Теорема Стокса 1.9 справедлива при ориентации обхода контураL и нормали к натянутой на него поверхности по правилу правоговинта, а теорема Остроградского-Гаусса 1.10 при условии, что замкнутая поверхность ограничивает объемW.Полную производную по времени от скаляра A ,t можно определить по известной 4 формуле 1.11 Производную от интеграла по произвольномуподвижному объему W, где от t зависит не только подынтегральная функция,но и объем, вычислим с помощью определения производной В последнем пределе W W образуетсясдвигом элементарных площадок dS поверхности S, ограничивающей W,на расстояние VndS. Кроме того, при Dt 0 f ,t Dt f ,t и деформированная поверхность S S,поэтому предел принимает значение сравните с 1.4 или по теореме Остроградского-Гаусса 1.10 . Откуда в силу уравнения 1.11 1.12 Вектор sup1 0 тоже можно рассматривать, как поле вектора ротора скорости ,t вихревое поле. Непосредственной проверкойлегко убедиться, что всегда div 0. Отсюда по теореме Остроградского-Гаусса следует,что поток ротора скорости сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю . 1.13 В вихревом поле по аналогиис полем скоростей выделяют вихревую линию 1.14 и вихревую трубку.

Так как через боковуюповерхность вихревой трубки по определению нет потока ротора скорости, то из 1.13 вытекает постоянство такого потока через любое ее поперечное сечение перваякинематическая теорема Гельмгольца о вихрях . Эта величина называетсяинтенсивностью вихревой трубки.

Согласно теореме Стокса 1.9 она равна циркуляции скорости по контуру, образующему вихревую трубку . 1.15 1.3. Уравнение неразрывности Как известно, плотность веществав физике вводится предельным переходом , где в механике сплошной среды следует понимать под Dmмассу вещества, заключенную в объеме DW. Посмотрим, как будет выглядетьзакон сохранения массы для произвольногоподвижного объема сплошной среды, для которого . Из 1.12 тогда следует ,или в силу произвольности объема W . 1.16 Это уравнение носит название уравнениянеразрывности непрерывности .Рассмотрим частные случаи уравнениянеразрывности.

Для стационарного установившегося движения сплошной средыиз 1.16 с учетом 1.7 следует , 1.17 а если, кроме того, среда несжимаемая , в том числе и неоднородная , то . 1.18 Т.е. по теореме Остроградского-Гаусса 1.10 установившийся поток скорости несжимаемой среды 1.4 сквозь любую замкнутуюповерхность равен нулю. Так как через боковую поверхность трубки тока по определению нет потока скорости,то поток через любое ее поперечное сечение одинаков 1.19 и численно равен объемному расходусплошной среды.

Отсюда можно сделать вывод внутри объема несжимаемой сплошной средытрубки тока а также линии тока не могут ни начинаться, ни заканчиваться. 1.4. Безвихревое и вихревое движение Движение сплошной среды в некоторойобласти называется безвихревым, если в ней 0, и вихревым, если sup1 0 хотя бы в части этой области, называемой вихрем. Из определения 1.6 следует, чтовихревое движение характеризуется наличием вращения каждой частицы.Этот факт иллюстрируется рис. 1, на котором крайние точки бесконечно малой частицысреды имеют разные скорости в силу наличия ненулевой величины . Если центр этой частицы покоится, а все другие частные производныескорости равны нулю, то очевидно, что sup1 0 характеризует именновращение бесконечно малой частицы среды.

В безвихревом движении такого вращениянет и каждая частица среды совершает лишь поступательное движение.

Вообще говоря,вихревое движение возникает в реальной природе, благодаря наличию границ свободнойповерхности, твердых стенок или твердых тел , а также явлению вязкости.Примерами безвихревогодвижения могут служить состояние покоя среды, поступательное движение, источники сток когда частицы среды выходят из точки или входят в нее строгопо лучам , движение среды вокругнекоторого кругового цилиндра по концентрическим окружностям со скоростью, обратнопропорциональной расстоянию от оси цилиндра.Примерами вихревогодвижения могут служить плоский сдвиг когдаскорость частиц вдоль некоторой плоскости пропорциональна расстоянию от этой плоскости , вращение среды вокругнекоторой оси, как твердого тела в отличие от потенциального движения аналогичнойгеометрии в этом случае скорость с удалением от оси линейно возрастает 2. ДИНАМИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ 2.1. Силы и моменты в механике сплошнойсреды Силы, распределенные по объемуW, называются объемными или массовыми. Они обозначаются и относятся к элементумассы Dm rDW.Т.е. сила, действующая на элемент массы, равна Dm rDW,следовательно, размерность совпадает с размерностьюускорения.

Примерами массовых сил могут служить гравитационные, электромагнитные,инерционные.

Силы, распределенные по поверхностиS, называются поверхностными.

Поверхностные силы будемобозначать вектором и относить к элементу поверхностиDSсплошной среды. Т.е. имеет размерностьдавления.

Такие силы возникают, например, на свободной поверхности среды, при взаимодействиисреды с твердыми телами, а также внутри среды внутренние поверхностные силы .Внутренние поверхностные силынеобходимо рассматривать при изучении движения отдельных частиц среды с учетом ихмеханического влияния друг на друга.

Так, например, происходит при относительномдвижении двух соседних соприкасающихся частиц.

Это явление может наблюдаться в любомместе сплошной среды, причем для бесконечно малых частиц поверхности соприкосновенияdS можно построить любым образом.

Тогда и , зависящее от такого выбора, можно определить по-разномув зависимости от dS, т.е. ориентации нормали этой площадки, поэтому такоевзаимодействие обозначим вектором S. В силу третьего закона Ньютона наодну из пары соприкасающихся частиц действует сила SdS, на другую SdS. Однако если соприкосновениянет, т.е. если движение имеет разрыв каких-то своих характеристик, то последнееусловие может нарушаться.Вектор S в общем случае не перпендикулярен кdS, поэтому различают нормальную составляющую pSn, называемуюнормальным напряжением или нормальным давлением,и тангенциальную pSt, называемую касательнымнапряжением или внутренним трением SdS pSndS pSttdS.Свойство вектора S рассмотрим с помощью представлениябесконечно малой частицы в виде тетраэдра с ребрами, параллельными осям координат рис. 2 . Площади граней такого тетраэдра равны S, S cos ,x , S cos ,y , S cos ,z .Массовые силы будем считатьпостоянными во всем объеме W hS 3 бесконечно малой частицы,а поверхностные силы 1, 2, 3, S постоянными на своих гранях.

Это позволитприменить к частице начало Даламбера из теоретической механики откуда, сократив на S, и перейдяк пределу при h 0,получаем инвариантное к выбору площадки равенство . 2.1 Это означает,что существует некоторый объект P, компонентамикоторогоможно рассматривать векторы , или даже элементы матрицы pij матрицы из компонентвекторов . Объект P с компонентами pij называетсятензором внутренних напряжений.Равенство 2.1 позволяет применить теорему Остроградского- Гаусса 1.10 к расчету поверхностных сил 2.2 Кроме сил на каждую частицужидкости могут действовать и моменты.

Примером может служить момент магнитного поляЗемли, действующий на каждый элемент стрелки компаса.

Такой момент, который действуетна элемент массы Dm,будем обозначать . Его принято называть массовой парой мас совыммоментом . Размерность совпадает с размерностьюквадрата скорости.Момент, который действует наэлемент поверхности DS,будем обозначать . Он называется поверхностной парой поверхност ныммоментом и имеет размерностьсилы, деленной на длину. 2.2. Уравнения движения сплошной среды В теоретической механике известноуравнение количества движения материальной точки ,где в правой части равенства стоит суммавсех действующих на нее сил. Обобщим это уравнение на конечный объем сплошной среды,состоящей из частиц, как системы материальных точек, подверженных действию рассмотренныхв разделе 2.1 объемных и поверхностных сил . 2.3 Уравнение количества движения конечногообъема сплошной среды 2.3 , являющееся аналогомвторого закона Ньютона, имеет такое же фундаментальное значение для описания любыхдвижений сплошной среды.

Оно справедливо и для разрывных движений, и для ударныхпроцессов, характеризующихся разрывными функциями координат и времени но не нарушениямигипотезы сплошности см. раздел 1.1 . Заменив последнее слагаемоев 2.3 с помощью 2.2 , получим ,левую часть которого преобразуем с помощью 1.12 .Это позволит записать равенство подынтегральныхвыражений для элементарного объема .Левую часть этого уравнения в свою очередьможно преобразовать с помощью уравнения неразрывности 1.16 Таким образом, получено основноедифференциальное уравнение движения сплошной среды , 2.4 или в проекциях на оси декартовой системыкоординат 2.5 где компонентымассовой силы . Отметим, что уравнения 2.4 и 2.5 получены при следующих предположениях непрерывность и дифференцируемость векторов напряжений1, 2, 3, неразрывность среды, непрерывность характеристик движения.Итак, для описания движениясплошной среды имеются скалярное уравнение неразрывности 1.16 и одно векторное 2.4 или три скалярных 2.5 уравнения движения.

В этой системе уравнений при заданныхвнешних массовых силах Fx,Fy,Fz неизвестнымифункциями пространственных координат и времени являются плотность r, скорость Vx,Vy,Vz и тривектора напряжений 1 p11,p21,p31 ,2 p12,p22,p32 ,3 p13,p23,p33 со своими девятью координатами.

Так как число уравнений меньше числа неизвестных,то система незамкнута.

Для ее замыкания необходимо использовать дополнительные соотношениямежду неизвестными.

Такие соотношения может дать модель конкретной среды. 2.3. Виды сплошной среды Экспериментальные данные показывают,что большинство сред обладает специфическим свойством отсутствием или малостьюкасательных напряжений pSt, т.е. вектор S можно считать перпендикулярным любой площадкевзаимодействия dS и равным нормальному напряжению pSn.Среду, обладающую таким свойством называют идеальной жидкостью или идеальным газом.

Близки к таковым обычныевоздух и вода при малых скоростях.Указанное свойство для любойплощадки с нормалью можно выразить соотношением,вытекающим из 2.1 ,где p общее значениескалярных произведений. Величину p называют давлением. Его особенность заключаетсяв независимости от направления рассматриваемого взаимодействия частиц.При p gt 0среда, как показывает опыт, находится в сжатом состоянии, поэтому и использованзнак минус.

Таким образом, матрица компонент тензора внутренних напряжений в идеальнойжидкости газе имеет вид , 2.6 и тензор P целиком определяется скаляромp.Понятно, что идеальная жидкость не единственно возможная модель сплошнойсреды, позволяющая определить компоненты тензора внутренних напряжений. Можно, например,рассматривать его компоненты как функции от деформации частицы в этом случае среданазывается упругой.В частном случае линейностиэто соотношение приобретает вид закона Гука. Изучением таких средзанимается теория упругости.Особое место в механике сплошнойсреды занимает модель вязкой жидкости, предполагающая связьтензора внутренних напряжений с частными производными скорости по координатам.

Имеетсяв виду эффект трения слоев вязкой жидкости между собой при наличии разностиих поступательных скоростей.В частном случае линейности связь представляется ввиде закона Навье-Стокса или обобщенного законавязкости Ньютона , 2.7 где элементы единичнойматрицы с единицами на главной диагонали и нулями на всех остальных местах , матрицаразмерности 3 3,обозначенная emn,называется тензором скоростей деформации, а тензорный коэффициентлинейности Bijmnописывает свойства вязкой жидкости.

Если свойства среды в разных направлениях одинаковы, то она называетсяизотропной, в противном случае анизотропной. В изотропной среде Bijmn представляетсясимметричной матрицей размерности 3 3 3 3,одинаковой в любой системе координат.Можно показать 1 , что в этом случае всекомпоненты тензора Bijmnвыражаются всего лишь через два независимых параметра l и m, называемых коэффициентамиЛаме, поэтому закон Навье-Стоксадля вязкой изотропной жидкости имеет вид . 2.8 В теории вязкой жидкости m называетсякоэффициентом внутреннего трения или динамическимкоэффициентом вязкости, кинематическимкоэффициентом вязкости коэффициен том линейной вязкости , вторым коэффициентомвязкости коэффициентом объемной вязкости . Размерность m, l и z в СИ .Нетрудно видеть, что упомянутыемодели для идеальной и вязкой жидкости вводят еще одну неизвестную давление p.Т.е. для замыкания системы уравнений движения сплошной среды оказывается необходимымеще одно скалярное соотношение.

В этом качестве чаще всего применяются уравнения,представляющие различные гипотезы связи плотности и давления .Если такое соотношение можно ввести, тожидкость называется баротропной.

Выделяются следующиечастные случаи.1. случай несжимаемойжидкости, или .2 где C постоянная, случай изотермического процесса.3 где C и n постоянные, случай политропического процесса, nназывается показателем политропы.4. уравнение Клапейрона-Менделеевадля совершенного газа, где универсальнаягазовая постоянная, масса веществав кг, численно равная молекулярному весу, T абсолютная температура,которую необходимо задавать еще одним дополнительным соотношением.